Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
Matematiikan koe 009 Diplomi-insinöörikoulutuksen yhteisvalinnassa MAFY-valmennuksen mallivastaukset, 4..0 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet diplomi-insinööri Antti Suominen ja filosofian maisteri Teemu Kekkonen. Antti on toiminut neljä vuotta tuntiopettajana Teknillisessä korkeakoulussa ja sen jälkeen lukiossa. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFY-valmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit yksityisopetus Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta www.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: www.mafyvalmennus.fi s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: (09) 3540 373 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
A. Kokonaistuotanto jaetaan materian ja palveluiden tuotantoon. Verrataan tuotantoa tammikuussa 008 tammikuuhun 009. Tänä vuoden pituisen tarkastelujakson aikana materiatuotanto kasvoi,0 % ja palvelutuontanto laski 7,0 %. Kuinka suuri oli materiatuotannon osuus kokonaistuotannosta tammikuussa 009, a) kun tammikuussa 008 materia- ja palvelutuotanto olivat yhtäsuuret? b) kun vertailuaikana kokonaistuotanto laski,0 %. Anna kummatkin vastaukset 0, %-yksikön tarkkuuteen pyöristettynä. Ratkaisu Merkitään m on materiaalituotannon määrä p on palvelutuotannon määrä Tuotannon määrät tammikuussa 009 olivat molemmissa skenaarioissa m 09,0m 08 ja p 09 0,93p 08 () Materiatuotannon osuus kokonaistuotannosta tammikuussa 009 oli m 09 m 09 + p 09,0m 08,0m 08 + 0,93p 08 () a) Osuudet tuotannosta olivat yhtä suuret vuonna 008, joten sijoitetaan edelliseen p 08 m 08, saadaan V: 5,3 % m 08,0m 08,0,0m 08 + 0,93m 08,95 m 0,5307... 0,53 08 b) Vertailuaikana kokonaistuotanto laski,0 %, joten saadaan yhtälö m 09 + p 09 0,98 m 08 + p 08 Sijoitetaan yhtälö (),0m 08 + 0,93p 08 0,98 m 08 + p 08 (m 08 + p 08 ),0m 08 + 0,93p 08 0,98m 08 + 0,98p 08 0,05p 08 0,04m 08 : ( 0,05) p 08 0,8m 08 (3) Sijoitetaan (3) yhtälöön (), niin saadaan osuudeksi,0m 08,0m 08 + 0,93 0,8m 08 V: 57,8 %,0m 08,0 m 08,0m 08 + 0,744m 08,764 m 0,578... 0,578 08 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
A. Valonsäde kulkee x-akselia pitkin positiiviseen suuntaan. Säde heijastuu suorasta y k(x 3), k 0. Säde kulkee suoraan, paitsi heijastuessaan; hejastuessa tulo- ja lähtökulma ovat yhtäsuuret (vertaa kuva). a) Millä k:n arvoilla heijastunut valonsäde leikkaa y-akselin? b) Missä pisteessä, jos missään, heijastunut valonsäde leikkaa y-akselin, kun k? Anna a-kohdassa tarkka vastaus ja b-kohdassa likiarvo neljällä desimaalilla. Ratkaisu a) Tutkitaan, missä pisteessä x-akselia pitkin tuleva valonsäde kohtaa suoran y k(x 3). Merkitään pistettä (x 0, 0):lla, jolloin saadaan yhtälö 0 k (x 0 3) : k 0 x 0 3 x 0 3 Valonsäde siis kohtaa heijastavan suoran pisteessä (3, 0) riippumatta k:n arvosta. Tutkitaan aluksi tilannetta, jossa k > 0, ja näin ollen heijastava suora on nouseva. Alla on kuva tilanteesta. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
Kuvassa heijastavan suoran suuntakulmaa AP B on merkitty α:lla. Tulokulma CP D on kulman AP B ristikulma, joten <)CP D <)AP B α. Heijastuskulma on yhtä suuri kuin tulokulma, joten myös sen suuruus on α. y-akseli on kuvassa vasemmalla, joten heijastunut valonsäde leikkaa y-akselin, jos se lähtee x-akselin negatiiviseen suuntaan. Näin käy jos α > 90, eli α > 45 tan α > tan 45 tan α > tan(), tan on aidosti kasvava funktio Suoran kulmakertoimella ja suuntakulmalla on yhteys k tan α, joten viimeinen yhtälö tarkoittaa, että k >. Tutkitaan vielä tilanne, kun k < 0, jolloin suora on laskeva. Alla on kuva tilanteesta. Heijastavan suoran suuntakulma on β. Kuten edellä saadaan nyt β > 90 : β > 45 tan(), tan on aidosti kasvava funktio tan β > tan 45 tan β > () Suoran kulmakertoimella ja suuntakulmalla β on yhteys tan( β) k tan β k () tan β k Sijoitetaan edellinen epäyhtälöön (), saadaan k > : () k < TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 3
V: k < tai k > b) Kulmakerroin k toteuttaa a-kohdassa saadun ehdon, joten heijastunut valonsäde leikkaa y-akselin. Tilanne on esitetty alla olevassa kuvassa. Kulma α on heijastavan suoran suuntakulma ja muut yhtäsuuret kulmat voidaan päätellä kuten a-kohdassa. Suuntakulmalle pätee tan α k tan α α 63,434... Jana CP on taittuneen valonsäteen jatke. Kulmat AP R, AP B ja BP C muodostavat oikokulman, joten niiden summa α + α + β 80 β 80 α β 80 63,434... 53,30... Toisaalta ristikulma <)OP R <)BP C β. Edelleen suorakulmaiselle kolmiolle OP R pätee tan <)OP R OR OP Sij. OR y 0, OC 3 ja <)OP R β tan β y 0 /3 3 y 0 3 tan β Sij. β 53,30... y 0 4 V: Heijastunut valonsäde leikkaa y-akselin pisteessä (0, 4) TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 4
A3. Määrää käyrien y x 3 ax ja y (a )x rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala, a) kun a 0. b) kun a > 0. Ratkaisu a) Merkitään Käyrien leikkauspisteet Tulon nollasäännön mukaan Käyrien rajoittama pinta-ala A f(x) x 3 ax x 3 g(x) (a )x x f(x) g(x) x 3 x x 3 + x 0 x (x + ) 0 x 0 tai x 0 0 0 0/ [f(x) g(x)] dx [ x 3 ( x )] dx ( x 3 + x ) dx ( 4 x4 + 3 x3 ) [ 0 4 ()4 + ] 3 ()3 ( 4 3) V: Pinta-ala on TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 5
b) Merkitään f(x) x 3 ax g(x) (a )x Käyrien leikkauspisteet f(x) g(x) x 3 ax (a )x x 3 (a )x ax 0 x ( x (a )x a ) 0 Tulon nollasäännön mukaan x 0 tai x (a )x a 0 x a ± (a ) + 4a a ± a a + + 4a a ± a + a + a ± (a + ) x a + a + tai x a a x a tai x Leikkauspisteet ovat kohdissa x, x 0 ja x a, jossa a > 0. Käyrien rajoittaman alueen pinta-ala on a f(x) g(x) dx. Selvitetään funktion f(x) g(x) merkki väleillä ], 0[ ja ]0, a[. Kohdassa x TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 6
saadaan f ( ) ( g ) ( 3 ( a ) ) ( (a ) ) 8 + a (a ) 4 8 + a 4 a + 4 4 a + 8 > 0, koska a > 0. Kohdassa x a saadaan ( ) ( ) ( a a a f g 3 Siis A a 0 0 0 0/ f(x) g(x) dx [f(x) g(x)] dx + [f(x) g(x)] dx a 0 a 0 ) 3 ( ) a a a (a ) 8 a3 a (a ) 4 a 8 a3 a 4 a3 + 4 a 8 a3 4 a < 0, koska a > 0. [f(x) g(x)] dx [f(x) g(x)] dx [ x 3 ax (a )x ] a [ dx x 3 ax (a )x ] dx ( 4 x4 a x a 3 x3 ) 0 a/ 0 ( 4 x4 a x a 3 x3 [ 0 4 ()4 a () a ] [ 3 ()3 4 a4 a a a ] 3 a3 0 [ 4 a + a ] [ 3 4 a4 a3 3 a4 + ] 3 a3 [ 4 a + 3 a [ 3] a4 ] 6 a3 [ ] 6 a + a4 + 6 a3 ) a4 + 6 a3 + 6 a + V: Pinta-ala on a4 + 6 a3 + 6 a + TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 7
A4. Merkitään f(t):llä erään aineen pitoisuutta näytteessä ajan hetkellä t > 0. Oletetaan, että pitoisuus vaihtelee mallin f(t) at b mukaan, missä a ja b ovat tuntemattomia ajasta riippumattomia vakioita. Mikä on oletetun mallin mukaan aineen pitoisuus hetkellä t 3, kun tiedetään pitoisuudet f() 7 ja f(5) 3? Anna vastauksena pitoisuuden tarkka arvo ja sen likiarvo kolmen desimaalin tarkkuuteen pyöristettynä. Ratkaisu Oletettu malli on f(t) at b. Annetuista pitoisuuksista hetkillä t ja t 5 saadaan yhtälöpari { f() 7 f(5) 3 { a b 7 () Yhtälöstä () saadaan a 5 b 3 () Sijoitetaan (3) yhtälöön (), saadaan a b 7 : b a 7 b (3) 7 b 5b 3 : 7 5 b 3 b 7 ( ) 5 b 3 ln() 7 ( ) 5 b ln ln 3 7 b ln 5 ln 3 7 : ln 5 b ln 3 7 ln 5 (4) Sijoitetaan (4) yhtälöön (3), saadaan a 7 ln 3 7 ln 5 (5) TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 8
Nyt saadaan f(3) a 3 b Sijoitetaan (4) ja (5) 7 ln 3 7 ln 5 ln 3 7 3 7 ln 5 7 ln 3 7 ln 5 4,8 ln 3 7 ln 3 5 ( 3 ) ln 3 7 ln 5 V: Pitoisuus hetkellä t 3 on 7 ( ) ln 3 7 3 ln 5 4,8 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 9
A5. Tarkastellaan lukujonoa a n n 00 /e n, n,, 3,... Monesko lukujonon jäsen on suurin, vai onko suurinta ollenkaan? Perustele väitteesi täsmällisesti. Ratkaisu Tutkitaan millä n:n arvoilla lukujonon jäsen on suurempi kuin edellinen. n 00 a n > a n (n )00 e n > e n e n (n ) 00 n 00 en > (n ) 00 ( n n e n ) 00 > e () 00 n n > e 00 (n ) n > (n )e 00 n > ne 00 e 00 n ne 00 > e 00 n ( e 00 ) > e 00 : ( e 00 n < e 00 e 00 n < 00,50004... ), ( e 00 ) 0,000498 < 0 Suurin kokonaisluku, joka toteuttaa viimeisen epäyhtälön on n 00. Ensimmäinen epäyhtälö on yhtäpitävä viimeisen kanssa, joten 00 on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa epäyhtälön a n > a n. Jokainen lukujonon jäsen on siis edellistä suurempi jäseneen a 00 asti. Sen jälkeen mikään lukujonon jäsen ei ole edellistä suurempi. Näin ollen jäsenellä a 00 on lukujonon suurin arvo. Osoitetaan vielä, että kaikki jäsenet a n, kun n > 00 ovat pienempiä kuin a 00. Epäyhtälöstä a n < a n seuraa vastaavien välivaiheiden jälkeen kuin edellä, että n > 00,50004.... Pienin kokonaisluku, joka toteuttaa tämän ehdon on n 0. Lukujonon jäsenet ovat siis edellistä pienempiä jäsenestä a 0 alkaen. Näin ollen jäsen a 00 on ainoa lukujonon jäsen, jolla on suurin arvo ja se on siis lukujonon suurin jäsen. Suurin lukujonon jäsen on siis olemassa ja se on 00:s jäsen. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 0
A6. Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta. Suora S edustaa rantaviivaa, joka olkoon koordinaatiston x-akselilla. Pisteessä A (0, a) oleva uimavalvoja havaitsee pisteessä B (c, b) hädässä olevan uimarin (a, b, c > 0). Uimavalvoja juoksee vauhdilla v suoraan rannalle pisteeseen P ja ui sieltä suoraan vauhdilla v hukkuvan luo. Perustele, miksi nopeimmalla mahdollisella reitillä on Tilannekuva cos α v cos β v Ratkaisu Merkitään pistettä P (d, 0), jolloin saadaan seuraava tilannekuva TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
Pythagoraan lauseen mukaan Matka-aika on AP a + d () BP b + (c d) () t(d) AP + BP v v a + d t(d) b + (c d) + v t(d) v ( a + d ) + v [ b + (c d) ] v (3) Matka-ajan derivaatta d:n suhteen on t (d) ( a + d ) d + [ b + (c d) ] v v d ( a + d ) + [ b + (c d) ] (c d) () v v d v ( a + d ) c d v Derivaatan nollakohdat: [ b + (c d) ] t (d) 0 d ( a + d ) c d [ b + (c d) ] 0 v Kuvan perusteella yhtälöön saadaan v d AP v D [ b + (c d) ] d a + d c d Sij. () ja () v b + (c d) v cos α ja c d BP d AP c d v BP v cos α v cos β cos α v cos β. Sijoittamalla nämä edelliseen cos β v (4) Matka-aika (3) kasvaa selvästi rajatta, kun d tai d. Matka-ajan pienin arvo täytyy siis olla derivaatan nollakohdassa, jolloin täytyy olla voimassa yhtälö (4). Yhtälö (4) on sama kuin tehtävänannossa annettu yhtälö, joten tehtävänannossa annetun yhtälön täytyy siis olla voimassa nopeimmalla reitillä. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri