1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen eksponenttifunktio 5. Trigonometriset ja hyperboliset funktiot 6. Logaritmi, kompleksinen potenssifunktio CDH: luku 9 (s. 301-328). Tällä kurssilla on tärkeää oppia manipuloimaan kompleksilukuja. Kompleksifunktioihin ja kompleksianalyysiin palataan myöhemmillä kursseilla. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/17 17
Kompleksiluvut Toisen asteen yhtälön az 2 + bz + c = 0 ratkaisu: z = b± b 2 4ac. 2a Jos diskriminantti d = (b 2 4ac) < 0, niin määrittelemällä 1 = i, yhtälöllä on aina kaksi ratkaisua. Lukuja z = x + iy, missä x, y R, sanotaan kompleksiluvuiksi. x on luvun z reaaliosa. y on luvun z imaginaariosa. i on ns. imaginaariyksikkö. Kompleksilukujen kuntaa merkitään C. C voidaan samaistaa 2-ulotteisen tason kanssa. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 2/17 17
Kompleksitaso Luvut z = x + iy voidaan esittää järj. parina (x, y). Napakoordinaatit: x = r cos θ, y = r sin θ. z r = x 2 + y 2 on luvun z moodi. θ = arctan(y/x) on luvun z argumentti. Polaariesitys: z = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = re iθ. Kompleksikonjugaatti: z = x iy = r(cos θ i sin θ) = re iθ. HUOM: ilmaise laskuissa θ radiaaneissa. 3 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 3/17 17
Yhdellä pisteellä on monta eri esitystä Esimerkki: kompleksitason hahmottamista Kirjoita z = 1 i polaariesityksessä. Mikä on kompleksiluvun 2e iπ/4 reaaliosa? Mikä on kompleksiluvun 1 i 3 normi ja argumentti? 4 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 4/17 17
Kompleksilukujen algebraa Yhteenlasku ja kertolasku kuten reaaliluvuille. Muista i 2 = 1. Esimerkki: Kompleksilukujen kertomista (1 + i) 2 = 2i Tee lasku karteesisessa kannassa ja polaariesityksessä. Jakolaskussa lavenna nimittäjän konjugaatilla. Sievennä osoittaja muotoon a + ib. Esimerkki: Kompleksilukujen osamäärä 2 + i 3 i = 1 2 + 1 2 i 5 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 5/17 17
Kompleksikonjugaatti ja normi Summan (erotuksen) konjugaatti on konjugaatien summa (erotus), (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2. Tulon (osamäärän) konjugaatti on konjugaattien tulo (osamäärä), (z 1 z 2 ) = z1z 2. Normi: z = r = x 2 + y 2 = z z. HUOM: Normi on aina reaaliluku. Esimerkki: Normin laskeminen Laske 5 + 3i 1 i 6 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 6/17 17
Kompleksiyhtälöt Kompleksiyhtälöä z 1 = z 2 vastaa kaksi reaaliyhtälöä: Rez 1 = Rez 2, Imz 1 = Imz 2. Esimerkki: kompleksiyhtälö Etsi reaaliluvut x ja y, joille (x + iy) 2 = 2i. Kompleksitaso: geometrinen tulkinta Mikä (x, y)-tason käyrä on z = 3? Entä z 1 = 2? Mikä (x, y)-tason alue on Rez < 1/2? 7 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 7/17 17
Kompleksiset sarjat Kompleksilukujen sarja n=0 z n, missä z n = x n + iy n, suppenee, jos osasummien S N jono lähestyy raja-arvoa lim S N = lim X N + lim Y N = X + iy = S. N N N Toisin sanoen reaalilukujen x n ja y n osasummien jonot X N ja Y N lähestyvät raja-arvoja X ja Y. (MAPU I) Kuten reaaliset sarjat, kompleksiset sarjat suppenevat jos ne suppenevat itseisesti. Tätä voidaan testata suhdetestillä. Esimerkki: kompleksisarjan suppeneminen Tutki suppeneeko sarja 1 + 1 + i 2 + (1 + i)2 4 + + (1 + i)n 2 n +... 8 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 8/17 17
Kompleksiset potenssisarjat n a n z n, z = x + iy, a n C. Esimerkki: Tutki suppenemista suhdetestillä (Suppenee kun z < 1.) 1 + iz + (iz)2 2! (Suppenee koko kompleksitasossa.) 1 z + z2 2 z3 3 + z4 4 +..., n=0 + (iz)3 3! (z + 1 i) n 3 n n 2. +..., (Suppenee alueessa z ( 1 + i) < 3. (Ympyrä, säde 3, KP: 1 + i)) 9 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 9/17 17
Kompleksiset funktiot Polynomit ja rationaalifunktiot: Esim. f(z) = z 2 2z + 1, laske f(1 i). (Vastaus: f(1 i) = 1.) Eksponenttifunktio: e z = 1 + z + z2 2! + z3 3! +... Suppenee itseisesti kaikilla z C. e z toteuttaa tutut laskusäännöt d dz ez = e z, e z1 e z 2 = e z 1+z 2. 10 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 10/17 17
Eulerin kaava e iθ = 1 + iθ + (iθ)2 2! + (iθ)3 3! +... = 1 + iθ θ2 2! iθ3 3! + θ4 4! + iθ5 5! +... = 1 θ2 2! + θ4 4! + + i ( θ θ3 3! + θ5 5! +... Tästä tunnistetaan cos θ ja sin θ sarjakehitelmät (MAPU I). HUOM: θ R. Näin saamme Eulerin kaavan: e iθ = cos θ + i sin θ. ). z = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = re iθ. 11 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 11/17 17
Kompleksilukujen potenssit ja juuret De Moivre: z n = (re iθ ) n = r n e inθ = r n (cos(nθ) + i sin(nθ)). z:n n.s juuri: ( z 1/n = (re iθ ) 1/n = n r cos θ n + i sin θ ). n Esimerkki: potenssi Laske (1 + i) 8. Esimerkki: juuri Laske 4 64. 12 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 12/17 17
Juuren lasku yleisesti Luvun z n.s juuria on n kappaletta. Etene seuraavasti: Kirjoita z polaariesityksessä: z = re i(θ+2πk), (k = 0, 1, 2,... ). Juuret ovat n r-säteisen ympyrän kehällä. Ensimmäisen juuren argumentti on θ/n. Seuraavan juuren saat lisäämällä edelliseen 2π/n, kunnes kaikki n juurta on konstruoitu. Edellisen sivun esimerkki: 64 = 64e i(π+2πk). 4 64 = 2 2. 1. juuri: z 1 = 2 2e iπ/4. 2. juuri: z 2 = 2 2e i2π/4, 3. juuri: z 3 = 2 2e i5π/4, 4. juuri: z 4 = 2 2e i7π/4. 13 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 13/17 17
Eksponenttifunktio ja trigonometriset funktiot Eulerin kaavasta seuraa sin θ = 1 2i (eiθ e iθ ), cos θ = 1 2 (eiθ + e iθ ). Määritellään näiden avulla kaikille z C sin z = 1 2i (eiz e iz ), cos z = 1 2 (eiz + e iz ). Näiden avulla on helppoa osoittaa esim. sin 2 z + cos 2 z = 1, d sin z dz Lisäksi tan z = sin z/ cos z, cot z = cos z/ sin z. = cos z, etc. 14 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 14/17 17
Hyperboliset funktiot Edelleen määritellään sinh z = 1 2 (ez e z ), cosh z = 1 2 (ez + e z ). tanh = sinh z cosh z, Suoraan laskemalla voidaan osoittaa, että cosh z coth = sinh z. cosh 2 z sinh 2 d z = 1, cosh z = sinh z. dz HUOM: Imaginaariselle iy (ts. y R) pätee sin(iy) = i sinh y cos(iy) = cosh y. 15 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 15/17 17
Kompleksinen logaritmi Olkoon kompleksiluku z = e w. Silloin w = ln z. Eksponenttifunktion laskusäännöistä seuraa, että ja ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2. ln z = ln(re iθ ) = Lnr + iθ. Tässä Ln on tuttu reaalinen logaritmi. Huomaa, että ln z on moniarvoinen (vastaten θ θ ± n2π, n = 0, 1, 2,... ). Rajoittamalla θ [0, 2π] saadaan ns. logaritmin päähaara Esimerkki: kompleksiluvun logaritmi Laske ln(1 + i). Vastaus: Ln2 + i( π 4 ± 2nπ). 16 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 16/17 17
Kompleksiset potenssit ja juuret Määritellään kompleksiluvuille a (a e) ja b a b = e b ln a. Koska logarimi on moniarvoinen, myös potenssit ovat. Esimerkki: kompleksiluvun kompleksinen potenssi Laske (1 + i) 1 i. Vastaus: 2e π/4 e ±2nπ (cos(π/4 Ln2) + i sin(π/4 Ln2)). HUOM: Logaritmin moniarvoisuudesta seuraa, että a b a c ei välttämättä ole sama kuin a b+c ja (a b ) c ei välttämättä ole sama kuin a bc. 17 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 17/17 17