Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma

Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden muuttujan funktioita ja yhtälöitä Esim. f x = 2x 2 + 2, ln x + 2 = 0 x Luennoilla 9-15 tarkastelemme useamman muuttujan funktioita ja yhtälöitä Esim. f x 1, x 2 = 2x 1 2 + 2 x 2, ln x 1 + 2x 2 = 0 Aluksi (luennot 9-12) keskitymme usean muuttujan lineaarisiin funktioihin Esim. f x 1, x 2 = 2x 1 + 3x 2 31.1.2018 2

Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko matikkaa saa 1000 :lla? Ratkaisu lineaarisella yhtälöllä: Kerroin 50 x = 1000 Side-ehto Muuttuja 50 1 50 x = 50 1 1000 x = 50 1 1000 = 20. Yleisesti lineaarinen yhtälö ax = b ratkaistaan Kerroin ax = b a 1 a x = a 1 b x = a 1 b Muuttuja Side-ehto 3

Motivointi Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään raaka-aineita A, B ja C. Kuinka paljon raaka-aineita A, B ja C on käytettävä, kun 1. Tehdään 100 kg:n erä 2. Entsyymiä E on oltava 8000 mg ja 3. Erä saa maksaa 2000? Ehdoista 1-3 saadaan lineaarinen yhtälöryhmä: 1. x 1 + x 2 + x 3 = 100 2. 40x 1 + 340x 2 + 60x 3 = 8000 3. 10x 1 + 60x 2 + 20x 3 = 2000 A B C Valmistettava määrä (kg) x 1 x 2 x 3 Entsyymin E määrä (mg/kg) 40 340 60 Hinta ( /kg) 10 60 20 Lineaarisen yhtälöryhmän voi esittää matriisimuodossa: Kerroinmatriisi A 1 1 1 40 340 60 10 60 20 Muuttujavektori x x 1 x 2 x 3 = Ax = b Side-ehtovektori b 100 8000 2000 4

Motivointi Voidaanko lineaarinen yhtälöryhmä ratkaista samalla tavoin kuin yhtälö? ax = b x = a 1 b Ax = b x = A 1 b a:n käänteisluku A:n käänteismatriisi Voidaan! Lineaaristen yhtälöryhmien kannalta kiinnostavia matriiseja ja vektoreita tarkastellaan seuraavan kolmen luennon ajan 5

R n :n vektorit Tähän asti olemme tarkastelleet reaalilukuja x R Vektori x = [x 1, x 2,, x n ] R n on n-ulotteisen reaaliavaruuden alkio, missä Jokainen vektorin komponentti x i R on reaaliluku Avaruus R n = R R R on n:n 1-ulotteisen reaaliavaruuden karteesinen tulo Vektorin voi esittää pysty- tai vaakavektorina: Pystyvektori a= 100 8000 2000 Vaakavektori b=[100,8000,2000] x = 2 R = (, ) x 2 x = [3,2] R 2 = R R x = [2, 1,2] x 1 x 3 x Pystyvektori voidaan muuttaa vaakavektoriksi transponoimalla: a = b T, b = a T x 1 x 2 R 3 = R R R 6

Vektorin kertominen vakiolla Esim. Ekonomisti E hankkii USA:sta terveysvaikutteisia luonnontuotteita: Kuntojuomaa (KJ), Terveysuutetta (TU) ja Ihmepillereitä (IP). Hän seuraa näiden hyödykkeiden hintoja ja viikon aikana kuluttamiaan määriä noin vuoden välein: Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 2014 0.40 0.50 1.40 35 60 30 2015 0.80 0.60 2.00 50 70 25 2016 0.30 0.80 4.00 120 90 50 Mitkä olivat vuoden 2014 hinnat euroissa, kun kurssi oli tuolloin 1 USD = 0.74 EUR? Vuoden 2014 hinnat dollareissa voidaan esittää vektorina p 14 = [0.40, 0.50, 1.40] R 3 Kun hinnat muutetaan euroiksi, kukin vektorin komponentti kerrotaan vakiolla 0.74 Tämä vastaa koko vektorin kertomista vakiolla 0.74: 0.74 p 14 = 0.74 0.40, 0.50, 1.40 = 0.74 0.40,0.74 0.50,0.74 1.40 = 0.30, 0.37, 1.04 Vektorin kertominen vakiolla tehdään siis komponenteittain 7

Vektorin kertominen vakiolla Vakiolla a kertomisen geometrinen tulkinta: Vektorin pituus a -kertaistuu Vektorin suunta pysyy samana, jos a>0 Vektorin suunta vaihtuu vastakkaiseksi, jos a<0 x = [1.5,1] 2 x = [3,2] x 1 x 1 x 1 2 x = [ 3, 2] 8

Vektorin kertominen vakiolla Vakiokertomisia voidaan yhdistellä ja järjestystä vaihtaa Esim. Mitkä olivat vuoden 2014 hinnat eurosenteissä, kun kurssi oli tuolloin 1 USD = 0.74 EUR? Dollarit voidaan ensin muuttaa euroiksi ja sitten eurosenteiksi: 100 0.74 p 14 = 100 0.30, 0.37, 1.04 = 30, 37, 104 Dollarit voidaan ensin muuttaa dollarisenteiksi ja sitten eurosenteiksi: 0.74 100 p 14 = 0.74 40, 50, 140 = 30, 37, 104 Kurssi voidaan ensin muuttaa 1 USD = 74 eurosenttiä: 100 0.74 p 14 = 74 0.40, 0.50, 1.40 = 30, 37, 104 Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 2014 0.40 0.50 1.40 35 60 30 2015 0.80 0.60 2.00 50 70 25 2016 0.30 0.80 4.00 120 90 50 9

Vektorien yhteenlasku Kuinka paljon E käytti Kuntojuomaa, Terveysuutetta ja Ihmepillereitä keskimäärin välillä 2014-2015? Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 2014 0.40 0.50 1.40 35 60 30 2015 0.80 0.60 2.00 50 70 25 2016 0.30 0.80 4.00 120 90 50 Vuosina 2014 ja 2015 kulutetut määrät voidaan esittää vektoreina q 14 = [35, 60, 30] R 3 ja q 15 = [50, 70, 25] R 3 Keskimääräiset kulutukset saadaan laskemalla vuosien 2014 ja 2015 kulutukset yhteen ja jakamalla kahdella: Yhteenlasku komponenteittain: q 14 +q 15 = 35, 60, 30 + 50, 70, 25 = 35 + 50, 60 + 70, 30 + 25 = 85,130, 55 = q 15 + q 14 (summausjärjestyksellä ei väliä) Kahdella jako (= vakiolla 0.5 kertominen) komponenteittain: 1 2 (q 14+q 15 ) = 1 2 85,130, 55 = [42.5, 65, 27.5]. 10

Vektorien yhteenlasku Vektorien yhteenlaskun x + y geometrinen tulkinta: y = [1, 2] x + y = [2.5, 3] x = [1.5,1] x y x y Siirretään y alkamaan x:n kärkipisteestä Summavektori x+y lähtee origosta ja päättyy y:n uuteen kärkipisteeseen 11

Vektorien yhteenlasku Yhteenlaskujärjestyksellä ei ole väliä: x + y = y + x y = [1, 2] x = [1.5,1] y x y x y + x = [2.5, 3] Siirretään x alkamaan y:n kärkipisteestä Summavektori y+x lähtee origosta ja päättyy x:n uuteen kärkipisteeseen 12

Vektorien yhteenlasku Yhteenlaskuja voidaan yhdistellä: y = [1, 2] x + y = [2.5,3] z x = [1.5,1] x + y z = [ 3, 2] z = [ 3, 2] (x + y) + z = [ 0.5, 1] Summausjärjestystä voidaan tässäkin vaihtaa: (x + y) + z = x + (y + z) 13

Vektorien vähennyslasku Mikä oli viikottaisten kulutusmäärien ero vuosien 2014 ja 2015 välillä? Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 2014 0.40 0.50 1.40 35 60 30 2015 0.80 0.60 2.00 50 70 25 2016 0.30 0.80 4.00 120 90 50 Viikottaisten kulutusmäärien ero saadaan vuoden 2015 ja vuoden 2014 laskemalla määrävektoreiden erotus komponenteittain: q 15 q 14 = 50, 70, 25 35, 60, 30 = 50 35, 70 60, 25 30 = 15,10, 5 14

Vektorien vähennyslasku Vektorien vähennyslaskun x y geometrinen tulkinta: y = [1, 2] x = [1.5,1] x = [1.5,1] x x y y y = [ 1, 2] x y = [0.5, 1] Kerrotaan y-vektori -1:llä, jolloin sen suunta vaihtuu vastakkaiseksi Siirretään -y alkamaan x:n kärkipisteestä Erotusvektori x-y lähtee origosta ja päättyy -y:n uuteen kärkipisteeseen 15

Vektorien vähennyslasku Vähennyslaskujärjestyksellä on väliä: x y = (y x) y = [1, 2] y = [1, 2] x = [1.5,1] x y x y x = [ 1.5, 1] y x = [ 0.5, 1] Kerrotaan x-vektori -1:llä, jolloin sen suunta vaihtuu vastakkaiseksi Siirretään -x alkamaan y:n kärkipisteestä Erotusvektori y-x lähtee origosta ja päättyy -x:n uuteen kärkipisteeseen 16

Vastavektori x = [2,2] Vektorin x = [x 1, x 2,, x n ] vastavektori on 1 x = x = [ x 1, x 2,, x n ] Esim. Vektorin [2,-1,3] vastavektori on [-2,1,-3] x = [ 2, 2] Kun vektori lasketaan yhteen vastavektorinsa kanssa, saadaan nollavektori 0 R n, jonka kaikki komponentit ovat nollia: x + x = x 1 x 1, x 2 x 2,, x n x n = 0,0,, 0 = 0 x x = 0,0 = 0 17

Lineaariavaruus Ehdot 1-8 toteuttavat vektorit muodostavat lineaariavaruuden 1. x + y = y + x (vaihdannaisuus) 2. x + y + z = x + y + z (liitännäisyys) 3. On olemassa nollavektori 0 = 0,, 0 4. Vektorilla x = [x 1, x 2,, x n ] on vastavektori x = [ x 1, x 2,, x n ] 5. a bx = b ax = ab x, missä a ja b ovat vakioita 6. 1 x = x 7. a x + y = ax + ay, missä a on vakio 8. a + b x = ax + bx, missä a ja b ovat vakioita Esim. R n on lineaariavaruus Lineaariavaruutta kutsutaan myös vektoriavaruudeksi 18

Lineaarikombinaatio Vakioilla kertomalla ja yhteenlaskemalla voidaan vektoreista x 1, x 2, tehdä uusia vektoreita. Esim. x 1 = 2,1,0, x 2 = [1, 3, 4] R 3 y = 4x 1 2x 2 = 4 2,1,0 2 1, 3, 4 = [6,10,8] R 3 Vektoria y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n sanotaan vektorien x 1, x 2,, x n lineaarikombinaatioksi (a i :t vakioita) 19

Lineaarinen riippuvuus Esim. Tarkastellaan vektoreita x = 3, 2, y = 1,4, z = 5,4 R 2 Voidaanko z esittää x:n ja y:n lineaarikombinaationa? Eli onko olemassa vakiot a 1, a 2 siten, että z = a 1 x + a 2 y? Ehdosta 5,4 = a 1 3, 2 + a 2 1,4 saadaan yhtälöpari 2.2y = [ 2.2,8.8] z = [5,4] y = [ 1,4] z = [5,4] x = [3, 2] ቊ 3a 1 a 2 = 5 2a 1 + 4a 2 = 4 jonka ratkaisu on a 1 = 2.4 ja a 2 = 2.2 2.4x = [7.2, 4.8] 2.2y +2.4x z = [5,4] Tällaisia vektoreita sanotaan lineaarisesti riippuviksi 20

Lineaarinen riippumattomuus Vektoreita x 1, x 2,, x n sanotaan lineaarisesti riippumattomiksi, mikäli a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = 0 a 1 = a 2 = = a n = 0 Luetaan: Vektorien x 1, x 2,, x n lineaarikombinaatio a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n on nollavektori jos ja vain jos kaikki kertoimet a i ovat nollia. Muuten vektorit ovat lineaarisesti riippuvia ja ainakin jokin niistä voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa Esim. Ovatko x = 3, 2, y = 1,4 R 2 lineaarisesti riippumattomia? Ehdosta a 1 x + a 2 y = 0 a 1 3, 2 + a 2 1,4 = 0,0 saadaan yhtälöpari ቊ 3a 1 a 2 = 0 2a 1 + 4a 2 = 0 jonka ratkaisu on a 1 = a 2 = 0. Vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. 21

Lineaarinen riippumattomuus Edellisissä esimerkeissä x = 3, 2, y = 1,4 R 2 olivat lineaarisesti riippumattomia, mutta x, y ja z = 5,4 R 2 lineaarisesti riippuvia Yleisesti pätee: R n :ssä on korkeintaan n lineaarisesti riippumatonta vektoria Erilaisia lineaarisesti riippumattomien vektorien yhdistelmiä on ääretön määrä Mutta kussakin on korkeintaan n vektoria R Mutta vektorit x, y R ovat keskenään lineaarisesti riippuvia, sillä esim. x = 2y. R 2 y = 1 y = [ 1,4] x = 2 Vektori x = 2 R on lineaarisesti riippumaton Vektori y = 1 R on lineaarisesti riippumaton z = [5,4] x = [3, 2] Vektorit x = 3, 2, y = 1,4 R 2 ovat lineaarisesti riippumattomia Vektorit x = 3, 2, z = 5,4 R 2 ovat lineaarisesti riippumattomia Vektorit y = 1,4, z = 5,4 R 2 ovat lineaarisesti riippumattomia Mutta vektorit x, y, z R 2 ovat keskenään lineaarisesti riippuvia, sillä esim. z = 2.4x + 2.2y. x 22

Lineaariavaruuden kanta R 2 4,10 = 2.6x + 3.8y Kaikki R n :n vektorit voidaan muodostaa n:n lineaarisesti riippumattoman vektorin lineaarikombinaatioina y = [ 1,4] 4,0 = 1.6x 0.8y x = [3, 2] 5,4 = 2.4x + 2.2y Nämä n vektoria Virittävät lineaariavaruuden R n ja Muodostavat R n :n kannan 6, 8 = 3.2x 3.6y R 2 4,10 = 4e 1 + 10e 2 Tärkeä erikoistapaus on ortonormaalinen kanta, jonka muodostavat (koordinaattiakselien suuntaiset) yksikkövektorit: e 1 = 1,0,0,, 0 e 2 = [0,1,0,, 0] e n = [0,0,0,, 1] 4,0 = 4e 1 + 0e 2 e 2 = [0,1] e 1 = [1,0] 5,4 = 5e 1 + 4e 2 6, 8 = 6e 1 8e 2 23

Presemo-kysymys Ovatko vektorit a = 1, 1,1, b = 2,0,1 ja c = 1, 1,0 keskenään lineaarisesti riippumattomia? 1. Kyllä 2. Ei Minkä avaruuden vektorit a, b ja c virittävät? 31.1.2018 24

Presemo-kysymys Ovatko vektorit b = 2,0,1 ja c = 1, 1,0 keskenään lineaarisesti riippumattomia? 1. Kyllä 2. Ei Minkä avaruuden vektorit b ja c virittävät? 31.1.2018 25

Yhteenveto tähän asti Vektori x = [x 1, x 2,, x n ] R n on n-ulotteisen reaaliavaruuden alkio, missä jokainen vektorin komponentti x i R on reaaliluku Vektorien peruslaskutoimitukset (vakiolla kertominen, yhteenlasku, vähennyslasku) tehdään komponenteittain Vektoria y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n sanotaan vektorien x 1, x 2,, x n lineaarikombinaatioksi (a i :t vakioita) Vektoreita x 1, x 2,, x n sanotaan lineaarisesti riippumattomiksi, mikäli a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = 0 jos ja vain jos a 1 = a 2 = = a n = 0 Avaruus R n sisältää n kpl lineaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka Virittävät lineaariavaruuden R n ja Muodostavat R n :n kannan 26

Kahden R n :n vektorin sisätulo Esim. Kuinka paljon ekonomisti E käytti viikoittain rahaa kuntojuomaan vuonna 2016? Käytetty raha saadaan KJ:n vuoden 2016 desilitrahinnan ja määrän tulona: 0.30 120 = $36. Esim. Kuinka paljon ekonomisti E käytti viikoittain rahaa lisäravinteisiin vuonna 2016? Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 2014 0.40 0.50 1.40 35 60 30 2015 0.80 0.60 2.00 50 70 25 2016 0.30 0.80 4.00 120 90 50 Käytetty raha saadaan vuoden 2016 hinta- ja määrävektoreiden sisätulona: p 16 q 16 = 0.30,0.80,4.00 120, 90,50 = 0.30 120 + 0.80 90 + 4.00 50 = $308 27

Kahden R n :n vektorin sisätulo Vektorien x = [x 1, x 2,, x n ] ja y = [y 1, y 2,, y n ] sisätulo lasketaan siis kaavalla x y = x 1 y 1 + + x n y n = x i y i n i=1 Vastinkomponentit kerrotaan keskenään ja lasketaan yhteen. 28

Kahden R n :n vektorin sisätulo Sisätulolle pätevät: 1. x y = y x 2. x 0 = 0 3. ax y = a x y = x ay 4. x + y z = x z + y z ja x y + z = x y + x z 29

Kahden R n :n vektorin sisätulo Sisätuloa kutsutaan myös Pistetuloksi, koska sitä merkitään pisteellä: x y Skalaarituloksi, koska tuloksena on skalaari: σ n i=1 x i y i R Projektiotuloksi johtuen sisätulon geometrisesta tulkinnasta Sisätulo voidaan kirjoittaa myös x, y Jos x ja y ovat Vaakavektoreita, voidaan sisätulo kirjoittaa myös xy T Pystyvektoreita, voidaan sisätulo kirjoittaa myös x T y Näistä merkinnöistä lisää ensi luennolla 30

Presemo-kysymys Laske sisätulo p 15 q 15. Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 2014 0.40 0.50 1.40 35 60 30 2015 0.80 0.60 2.00 50 70 25 2016 0.30 0.80 4.00 120 90 50 1. $44 2. $86 3. $132 Mitä sisätulo kuvaa? 31.1.2018 31

Vektorin pituus Vektorin x R n pituus x lasketaan kaavalla x = x x = x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 Esim. Vektorin x = [2,3,4] R 3 pituus on x = 2 2 + 3 2 + 4 2 5.39 R 2 x x = [2,4] 4 R 2 :ssa tulos on yhtäpitävä Pythagoraan lauseen kanssa: x = 2 2 + 4 2 4.47 2 32

Vektorien välinen kulma Vektorien x ja y väliselle kulmalle θ pätee R 2 y = [2,4] cos θ = x y x y θ x = [3,0] Esim. x = [3,0], y = [2,4]: cos θ = 3 2 + 0 4 3 2 + 0 2 2 2 + 4 = 6 2 3 20 0.45 θ = cos 1 (0.45) 63 Esim. x = [2, 3,4, 1], y = [3, 4,5, 2]: cos θ = 2 3 + 3 4 + 4 5 + 1 2 2 2 + ( 3) 2 + 4 2 + ( 1) 2 3 2 + ( 4) 2 + 5 2 + ( 2) = 40 0.994 θ 2 6.4 30 54 33

Vektorien välinen kulma Jos vektorit x ja y ovat Lähes samansuuntaiset θ 0 cos θ 1 Lähes vastakkaissuuntaiset θ 180 cos θ 1 Kohtisuorassa toisiaan vastaan, θ 90 cos θ 0 y = [ 6,4] θ x = [3, 2] Esim. x = [3, 2], y = [ 6,4]: cos θ = 3 ( 6) + ( 2) 4 3 2 + ( 2) 2 ( 6) 2 +4 = 26 2 13 52 = 1 θ = cos 1 ( 1) = 180 Esim. Edelliseltä kalvolta x = [2, 3,4, 1], y = [3, 4,5, 2] θ = 6.4 Vektoreita ei voida havainnollistaa geometrisesti Niiden välinen pieni kulma kertoo kuitenkin samansuuntaisuudesta eli samankaltaisuudesta Vektorien vastinkomponentit ovatkin samanmerkkisiä ja melko saman suuruisia 34

Kulman määrittäminen laskimella / Excelissä Kosinin käänteisfunktio: Laskimessa tyypillisesti cos 1, acos tai arccos Excelissä =ACOS() Excel antaa kulman radiaaneina, jotka voi muuttaa asteiksi funktiolla =DEGREES() Laskimessa oletusasetus on yleensä antaa kulma asteina (varmista, näkyykö näytön yläreunassa D vai R). Radiaanituloksen voi muuttaa asteiksi tyypillisesti napista DRG tai DEG. 31.1.2018 35

Presemo-kysymys Mikä on määrävektorien q 15 ja q 16 välinen kulma? Hinnat Määrät 1. 17 2. 29 3. 96 Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 2014 0.40 0.50 1.40 35 60 30 2015 0.80 0.60 2.00 50 70 25 2016 0.30 0.80 4.00 120 90 50 Miten tulkitset tuloksen? 31.1.2018 36

Yhteenveto Vektorien sisätulo: x y = x 1 y 1 + + x n y n = σ n i=1 vastinkomponentit keskenään ja lasketaan yhteen Vektorin x pituus: x = x x = x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 Vektorien välinen kulma θ: cos θ = Jos vektorit x ja y ovat x y Lähes samansuuntaiset θ 0 cos θ 1 Lähes vastakkaissuuntaiset θ 180 cos θ 1 Kohtisuorassa toisiaan vastaan θ 90 cos θ 0 x y x i y i, eli kerrotaan 37

Harjoittele verkossa! http://www.wolframalpha.com/problem-generator/ Linear algebra Vectors 2D vectors tai 3D vectors Yhteenlasku = Add Vähennyslasku = Subtract Vakiolla kertominen = Multiply scalar and vector Sisätulo = Dot product 31.1.2018 38