1 Eksponenttifunktion määritelmä

Samankaltaiset tiedostot
Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Matematiikan tukikurssi

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

Matematiikan tukikurssi

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

Matematiikan tukikurssi

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

1 sup- ja inf-esimerkkejä

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018

Eksponenttifunktio. Sanni Muotka. Matematiikan pro gradu

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!

1 sup- ja inf-esimerkkejä

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

Solmu 3/ toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Matematiikan tukikurssi

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Kompleksilukujen alkeet

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Tenttiin valmentavia harjoituksia

1 Supremum ja infimum

2.2 Monotoniset jonot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Matematiikan peruskurssi 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Insinöörimatematiikka IA

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

2 Funktion derivaatta

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

3 10 ei ole rationaaliluku.

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

S Laskennallinen systeemibiologia

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Matematiikan peruskurssi 2

Johdatus matematiikkaan

EX1 EX 2 EX =

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

Kompleksianalyysi, viikko 5

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

Matematiikan tukikurssi

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Tehtävien ratkaisut

Matematiikan tukikurssi

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Transkriptio:

Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella exp x). Sarja suppeee kaikilla x R, koska se peräkkäiste termie suhteelle o voimassa + /k + )! k / x k k + 0 <. Määritelmä ojalla voidaa heti todeta seuraavat omiaisuudet: exp 0). Fuktio exp o jatkuva ja derivoituva joukossa R ja exp exp. Syy: Potessisarjaa saa suppeemisvälillä derivoida termeittäi; derivoituva futio o jatkuva. Jos x > 0, ii exp x) > xk kaikilla k N. x exp x)/x kaikilla N, ts. x x /exp x) 0 kaikilla N. Ryhdymme seuraavaksi tutkimaa ekspoettifuktio omiaisuuksia. Parissa kohdassa käytämme äärelliste summalausekkeide arvioiissa s. karkeaa arviota: summa itseisarvo o korkeitaa se termie lukumäärä kertaa termie maksimiarvo. Tyypillie esimerkki voisi olla seuraava, jossa imittäjät jätetää kokoaa pois: k k x k { x, jos x, x, jos x. Lause.2 Kaikilla x, y R o voimassa exp x + y) exp x) exp y). Todistus: Biomikaava avulla saadaa 2 x + y) k 2 k ) k x u y k u u u0 2 k u0 x u u! y k u k u)!. Summassa esiityvät ideksit u ja v k u käyvät läpi kaikki e arvot, joissa u 0, v 0 ja u+v k 2. Tällaiset ideksiparit u, v) muodostavat tasossa kolmio, joka kärjet ovat origossa ja pisteissä 0, 2) sekä 2, 0). Tämä kolmio sisältää kaikki hilapisteet u, v) eliössä 0 u, v, ja eliö ulkopuolelle jää korkeitaa summassa esiityvää ideksiparia.

v 2 2 u 0 2 2 Jaetaa summa tämä perusteella kahtee osaa, jolloi saadaa tulokseksi u0 v0 x u y v u! v! + x u y v u! v! x u u! u> tai v>, u0 0 u+v 2 v0 y v v! + R x, y), missä termi R x, y) koostuu eliö ulkopuolisia summausideksejä vastaavista termeistä. Osoitetaa, että R x, y) 0 kaikilla x, y. Summa R x, y) kussaki termissä o joko u > tai v >, jolloi /u! v!) < /! ja karkealla arviolla saamme ylärajoiksi eri tapauksissa! x 2 y 2, jos x >, y >, R x, y)! x 2, jos x >, y,! y 2, jos x, y >,, jos x, y.! Kaikissa tapauksissa raja-arvoksi tulee olla, ja väite seuraa rajalla yhtälöstä 2 x + y) k x u y v v! + R x, y). u0 Edellise lausee perusteella voidaa todeta uusia ekspoettifuktio omiaisuuksia: v0 Kaikilla x R o voimassa exp x) exp x). exp x) > 0 kaikilla x R. x exp x) 0. Fuktio exp : R R + o aidosti kasvava bijektio. Positiivisuus ja aito kasvavuus ovat sarjakehitelmä perusteella voimassa arvoilla x 0 ja tapauksessa x < 0 e palautuvat positiivisii muuttuja arvoihi yhtälö exp x) exp x) 2

perusteella. Tämä yhtälö avulla perustellaa myös raja-arvoa koskeva omiaisuus, ja viimeie väite seuraa yhdistelemällä äitä. Seuraavaksi johdamme ekspoettifuktiolle esitykse raja-arvoa. Lause.3 Kaikilla x R o voimassa exp x) + x ). Todistus: Etukätee ei ole selvää, että oikea puole raja-arvo o olemassa, mutta tämä sisältyy todistuksee. Oletetaa aluksi, että x 0, ja lasketaa. potessi auki käyttämällä biomikaavaa: + x ) Tämä perusteella ) x ) k k! k k)! k xk ) 2)... k + ) + + k k k ) 2 + x ) )... k exp x) ) x k. ) kaikilla. Tulos osoittaa, että vasemma puole luvuista muodostettu joo o ylhäältä rajoitettu. Koska kaikki summa termit ovat positiivisia ja koska j/ + ) > j/ arvoilla j k, ii yhtälö ) perusteella tämä joo myös ouseva. Kyseie joo o siis suppeeva, ja saamme epäyhtälö + x ) exp x). Arvio vastakkaisee suutaa saadaa myös yhtälöstä ) seuraavalla tavalla. Valitaa aluksi kiiteä luku m ja katkaistaa oikea puoleie summa kohdasta k m, jolloi saadaa + x ) + m k Aetaa, jolloi saadaa epäyhtälö ) 2 )... k ) x k. + x ) m. Tämä o voimassa kaikilla m, jote atamalla lopuksi m saadaa vaadittu vastakkaie epäyhtälö. 3

Väite o siis todistettu tapauksessa x 0. Tapauksessa x < 0 toimitaa seuraavalla tavalla. Sijoittamalla x x 2 / yhtälöö ) saadaa ) x2 ku > x 2. Tästä seuraa, että k x 2k k ) x 2 k x2 / x 2 /, k ) x2 kaikilla x R. Koska + x ) x ) ) x2, ii arvoilla x < 0 saadaa + x ) x ) exp x) todistukse alkuosa ja aikaisempie tuloste ojalla. Väite o yt kokoaa todistettu. Määritelmä.4 Neperi luku o e exp ) +. ) exp x) Ekspoettifuktio likiarvoja voidaa laskea sarjakehitelmä avulla, mutta sitä varte o tuettava arvio sarja suppeemise opeudelle. Jos t, ii + t)! + ) + )... + )! + ) t!, jote tapauksessa x > 0 saadaa geometrise sarja avulla arvio 0 < exp x) k+ x! x + + x)!. t x t + ) x x/ + ) t! x + Tapauksessa x virhetermi o korkeitaa /!), joka arvolla 9 o alle /0 6. Vastaava likiarvo o e 2,7828. Negatiivisilla muuttuja x arvoilla likiarvoja o parasta laskea kaava exp x) /exp x) avulla. Lause.5 Kaikilla ratioaaliluvuilla r Q ja kaikilla x R o voimassa exp x)) r exp rx). 4

Todistus: Käytämme hyväksi ekspoettifuktio esitystä raja-arvoa. Olkoo aluksi r p/q > 0. Tällöi + x ) ) p/q + px/q ) p/q. p/q Tässä vasemma puole raja-arvo o exp x)) p/q fuktio t t p/q jatkuvuude perusteella. Oikealla puolella aetaa muodossa mq, jolloi myös m. Koska osajoo raja-arvo o sama kui alkuperäise joo, ii oikealta puolelta saadaa raja-arvoksi m + px/q pm ) pm exp px/q). Väite o siis todistettu positiivisille ekspoeteille r Q. Tapaus r 0 o selvä, ja tapaus r < 0 palautuu jällee positiivisee ekspoettii yhtälö perusteella. exp x)) r exp x) r exp rx) exp rx) 2 Logaritmi Koska exp : R 0, ) o aidosti kasvava bijektio, iis sillä o kääteisfuktio. Kääteisfuktiolle käytettää imitystä luoollie logaritmi, ja sitä merkitää l: 0, ) R, lx) exp x). Ekspoettifuktio omiaisuuksista seuraa lyhyillä laskuilla seuraavat logaritmifuktio omiaisuudet: l lexp 0)) 0 ja l e lexp )). D lx) /x, ku x > 0. Yleisemmi D l x /x, ku x 0. lxy) l x + l y, ku x > 0 ja y > 0. l/x) l x, ku x > 0. la r ) r l a kaikilla a > 0 ja r Q. x l x, x 0+ l x. x x l x 0 eli x x / l x, jos N. x 0+ x l x 0, jos N. 5

Tässä vaiheessa o syytä huomauttaa siitä, että ekspoettilauseke a b o aikaisemmi määritelty aioastaa positiivisille reaaliluvuille a ja ratioaalisille ekspoeteille b. Esimerkiksi tapauksessa b π 3,4 voimme tietysti valita ratioaalisia approksimaatioita b luvulle π ja todeta laskime avulla, että luvut a b äyttävät lähestyvä yksikäsitteistä reaalilukua, ku b π. Tämä perustuu kuiteki vai kokeilu atamaa tuloksee, eikä se kelpaa ekspoettilausekkee a b määritelmäksi. Se vuoksi määrittelemme lausekkee a b yleisessä tapauksessa ekspoettifuktio avulla. Määritelmä 2. Olkoot a > 0 ja b R reaalilukuja. Tällöi määritellää a b exp b l a). Jos r Q, ii a r o määritelty jo alkeellisillaki meetelmillä, mutta molemmat tavat atavat sama tulokse yhtälö exp r l a) exp la r )) a r ojalla. Logaritmifuktio kohdalla määritelmä johtaa kaavaa la b ) b l a, joka o yt voimassa kaikilla a > 0 ja b R. Lause 2.2 Kaikilla x R o voimassa exp x) e x. Todistus: Määritelmä mukaa e x exp x l e) exp x). Määritelmä ja ekspoettifuktio omiaisuuksie avulla saadaa lopulta yleiset potessilausekkeide laskusääöt ku a > 0 ja b, c R. a b ) c a bc, a b a c a b+c, a b a b 6