2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4. (s. 522-546). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/18 18
Johdantoa Tyypillinen ongelma: ratkaistava funktio f(t), joka toteuttaa differentiaaliyhtälön ja lisäksi tiedetään f(t 0 ) hetkellä t 0. Esimerkkejä: dn Radioaktiivinen hajoaminen: dt Newton II: mẍ = f(ẋ, x, t). d 2 = kn. Schrödingerin yhtälö: ħ2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx 2 dt Lämmön johtuminen: = k(t (t) A(t)) dt... 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 2/18 18
Luokittelua Differentiaaliyhtläön kertaluku on korkein yhtälössä esiintyvä derivaatan kertaluku. Esim. yhtälöt dy dx = f(x, y) ja 1 2 mẋ2 + V (x) = E, (ẋ dx dt ) ovat ensimmäistä kertalukua. Newtonin laki, mẍ = f(ẋ, x, t) ja Schrödingerin yhtälö ħ2 d 2 ψ(x) V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 ovat toista kertalukua. Yhtälö η + 1 2 ηη = 0 on kolmatta kertalukua jne. 3 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 3/18 18
Luokittelua Yhtälö, joka on muotoa a n (t) dn y dt n + a n 1(t) dn 1 y dt n 1 + + a 1(t) dy dt + a 0(t)y = f(t) on lineaarinen. Jos f(t) = 0, on yhtälö homogeeninen. Jos f(t) 0, on yhtälö epähomogeeninen. Jos yhtälö ei ole lineaarinen, se on epälineaarinen. Jos funktiot a i (i = 0,... n) ovat vakioita, yhtälö on vakiokertoiminen. HUOM: Ole tarkkana mikä on riippuva muuttuja (yllä y ) ja mikä riippumaton muuttuja (yllä t). 4 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 4/18 18
Yleinen ratkaisu (CDH: 19.3.1.) Yksinkertaisin differentiaaliyhtälö on jonka yleinen ratkaisu on dy dx = f(x), y(x) = F (x) + C, missä F (x) on funktion f(x) integraalifunktio ja C on integroimisvakio. Usein fysiikan ongelmissa halutaan tietty ratkaisu, joka toteuttaa reunaehdon y(x 0 ) = y 0. Tällöin C = y 0 F (x 0 ), ja saadaan erikoisratkaisu y = y 0 + F (x) F (x 0 ). 5 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 5/18 18
Erikoisratkaisu Erikoisratkaisun saa suoraviivaisesti integroimalla josta saadaan x x 0 dy x dx (x )dx = f(x )dx, x 0 y(x) y(x 0 ) = x x 0 f(x )dx. Merkitään y(x 0 ) = y 0 ja käytetään integraalilaskennan päälausetta: y(x) = y 0 + F (x) F (x 0 ). Esimerkki Etsi sellaisen käyrän yhtälö, joka kulkee pisteen (x, y) = (1, 0) kautta, ja jonka tangentti on ln x. 6 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 6/18 18
Esimerkin ratkaisu Käyrän tangentti on ln x, eli on toteuduttava yhtälö dy = ln x. dx Integroidaan puolittain, jolloin saadaan y(x) = x ln x x + C. Kiinnitetään vakio C alkuehdosta: y(1) = 1 + C = 0, eli C = 1. Saadaan erikoisratkaisu y(x) = 1 + x ln x x. Vaihtoehtoisesti alkuehto voidaan huomioida integroimisrajoissa: y(x) y(1) = x Eli jälleen saadaan y(x) = 1 + x ln x 1. 1 ln x dx = [x ln x x ] x x =1 = (x ln x x) (0 1). 7 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 7/18 18
Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Määritelmä Olkoon I reaaliakselin väli ja t 0 I. Alkuarvo-ongelman dx (t) = f(x, t), dt x(t 0) = x 0, ( ) ratkaisu välillä I on kaikille t I määritelty differentioituva funktio x(t), joka toteuttaa x(t 0 ) = x 0 ja ẋ = f(x, t). Lause Jos f ja f/ x ovat jatkuvia alueessa a < x < b ja c < t < d, niin mille tahansa x 0 (a, b) ja t 0 (c, d) alkuarvo-ongelmalla ( ) on yksikäsitteinen ratkaisu jollakin avoimella välillä I, johon t 0 sisältyy. 8 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 8/18 18
Separoituvat yhtälöt (CDH: 19.3.2.) Separoituva yhtälö on muotoa dx dt = f(x)g(t), (f(x) 0). Kerrotaan yhtälö puolittain tekijällä dt/f(x), dx f(x) = g(t)dt. Tämä voidaan integroida puolittain: dx f(x) = g(t)dt. Alkuehto x(t 0 ) = x 0 voidaan huomioida integroimisrajoissa: x x 0 dx f(x ) = t t 0 g(t )dt. 9 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 9/18 18
Separoituvat yhtälöt Edellisen kelmun johto täsmällisemmin: Jos puolittain kertominen differentiaalilla dt (ja sen supistaminen) ei edellä pelottanut, voit sivuuttaa alla olevan... Yhtälö voidaan aluksi kirjoittaa muodossa 1 dx f(x) dt = g(t). Merkitään H (x) = 1/f(x) (ts. H(x) on 1/f:n integraalifunktio). Silloin ketjusäännön avulla: d dt H(x(t)) = H (x(t)) dx dt = 1 dx f(x) dt. Eli alkuperäinen yhtälö tulee muotoon Integroimalla puolittain d H(x(t)) = g(t). dt H(x(t)) = g(t)dt, tai ekvivalentisti Tämä on edellisellä sivulla johdettu tulos. 1 f(x) dx = g(t)dt. 10 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 10/18 18
Populaatiomalli Populaatio kasvaa sitä nopeammin, mitä enemmän sitä on: dp dt = kp. Separoituva yhtälö (Ratkaise!). Ennustaa eksponentiaalisen kasvun: (Data: Britannia) 11 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 11/18 18
Esimerkki: populaatiomalli ns. logistinen yhtälö: (Huom: Mieti, mitä oikean puolen termit tekevät) dp (1 dt = kp p ). p = populaation koko, k, M > 0. M Separointi: Integrointi: (osamurtokehitelmä) p(t) p(t 0 ) M dp = kdt. p(m p) ( ) 1 p + 1 t dp = kdt. M p t 0 Ratkaisu: ( p(t 0 )e k(t t ) 0) p(t) = M. M p(t 0 ) + p(t 0 )e k(t t 0) 12 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 12/18 18
Populaatiomalli Takaisinkytkentä antaa realistisemman kuvan: Miksi data erkanee ennusteesta n. 1900-luvun puolivälissä? (Data: Britannia) 13 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 13/18 18
Lineaariset 1. kl:n yhtälöt (CDH: 19.4.) dx + p(t)x = q(t). dt Kerrotaan puolittain funktiolla I(t): I(t) dx dt + I(t)p(t)x = I(t)q(t). Yritetään löytää sellainen I(t), että (Miksi?) Tämä toteutuu, jos d (I(t)x(t)) = I(t)dx dt dt + I(t)p(t)x(t). x(t) di dt = I(t)p(t)x(t). di dt = p(t)i. 14 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 14/18 18
di/dt = p(t)i Ratkaistaan separoimalla: ( I(t) = exp ) p(t)dt. Nyt lineaarisen yhtälön yleinen ratkaisu on Esimerkki Ratkaise yhtälö alkuehdolla x(0) = 8/9. dx dt + p(t)x = q(t) x(t)i(t) = q(t)i(t)dt. dx dt + 3x = t 15 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 15/18 18
Esimerkin ratkaisu Tunnistetaan aluksi kerroinfuktiot p(t) = 3, q(t) = t. Muodostetaan integroiva tekijä ( I(t) = exp ) p(t)dt = exp(3t). Kirjoitetaan yleinen ratkaisu x(t) = e 3t te 3t dt = ( 1 9 + t ) + Ce 3t. 3 Määrätään C alkuehdosta: x(0) = 1 + C = 8/9, C = 1. 9 Erikoisratkaisu: x(t) = ( 1 9 + t ) + e 3t. 3 16 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 16/18 18
Sijoitusmenetelmistä Tarkastellaan yhtälöitä, jotka ovat muotoa dy dx = F (y x ). Tekemällä sijoitus u = y/x yhtälö saadaan muotoon joka on separoituva. x du dx = F (u) u, Esimerkki Ratkaise sopivalla sijoituksella yhtälö xy dy dx = 2x2 + 3y 2. 17 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 17/18 18
Esimerkin ratkaisu Jaetaan yhtälö aluksi puolittain yx:lla. dy dx = 2x y + 3 y x. Sijoitus u = y/x ja u = 1 x y y x 2, ts. y = xu + u antaa separoituvan Separointi: Integrointi puolittain x du dx = 2 1 u + 2u. udu 1 + u 2 = 2dx x. 1 2 ln(1 + u2 ) = 2 ln x + C 1 + u 2 = Cx 2, (C = e C). Lopuksi vielä ratkaistaan u:n suhteen ja sijoitetaan y = xu: y(x) = ±x C 2 x 4 1. 18 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 18/18 18