Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 ( 39) 5 39 64 64 8 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 8. b) Kolmion kateetin pituus on 4 ja hypotenuusan pituus on 31. Toisen kateetin pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 4 31 16 31 3116 15 15 Sivun pituus on positiivinen luku, joten 15.
98. a) Nelikulmion lävistäjänä on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Merkataan hypotenuusaa kirjaimella. Kolmion kateettien pituudet ovat 1 ja 1. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 1 1 11 Sivun pituus on positiivinen luku, joten. b) Nelikulmion lävistäjänä on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Merkataan hypotenuusaa kirjaimella. Kolmion kateettien pituudet ovat 1 ja 3. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 1 3 19 10 10 Sivun pituus on positiivinen luku, joten 10.
99. a) Kolmion kateetin pituus on 6 ja hypotenuusan pituus on 10. Toisen kateetin pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 6 10 36 100 100 36 64 8 64 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 8. b) Nelikulmion lävistäjänä on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Kolmion hypotenuusan pituus on. Kolmion kateettien pituudet ovat 1 ja. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 1 14 41 3 3 Sivun pituus on positiivinen luku, joten 3.
100. Lasketaan ensin pienemmän suorakulmaisen kolmion toinen kateetti. Merkataan sitä kirjaimella. Kolmion toinen kateetin pituus on 1 ja hypotenuusan pituus on 37. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 1 37 37 1 36 36 6 1 37 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 6. Nyt meillä on kolmio, jonka kateettien pituudet ovat 6 ja a + 1 ja hypotenuusan pituus on 10. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja lasketaan yhtälöstä a. a 6 ( a 1) 10 a a 36 1 100 a136 100 0 a a630
Sijoitetaan arvot toisen asteen ratkaisukaavaan. a 4 1 ( 63) 1 56 a 16 a 16 18 16 14 a = = 9 tai a 7 Sivun pituus on positiivinen luku, joten a = 7.
101. Kolmion kateettien pituudet ovat 3 ja 4. Hypotenuusan pituutta ei tiedetä. Merkataan sitä kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 3 4 916 5 5 5 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 5.
10. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. 4 Merkataan neliön sivuja kirjaimella. Kuvasta muodostuu näkyviin suorakulmainen kolmio, jonka kateettien arvot ovat ja ja hypotenuusan pituus on 4. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 4 16 : 8 8 Sivun pituus on positiivinen luku, joten 8. Neliön sivun pituus on 8.
103. Kolmion sivujen pituudet ovat, 7 ja 3. Jos kolmion sivujen pituuksille a, b ja c on voimassa ehto a + b = c, kolmio on suorakulmainen. Jos a, b 7 ja c = 3 7 3 79 9 9 yhtälö on tosi Koska ehto a + b = c toteutuu, on kolmio suorakulmainen.
104. a) Kolmion sivujen pituudet ovat 6 cm, 8 cm ja 10 cm. Jos kolmion sivujen pituuksille a, b ja c on voimassa ehto a + b = c, kolmio on suorakulmainen. Jos a = 6, b = 8 ja c = 10 6 8 10 36 64 100 100 100 yhtälö on tosi Koska ehto a + b = c toteutuu, on kolmio suorakulmainen. b) Kolmion sivujen pituudet ovat 5 cm, cm ja 1 cm. Jos kolmion sivujen pituuksille a, b ja c on voimassa ehto a + b = c, kolmio on suorakulmainen. Koska hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu, c = 5, a = ja b = 1. 1 5 415 5 5 yhtälö on epätosi Koska ehto a + b = c ei toteudu, kolmio ei ole suorakulmainen.
105. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. 17 + 3 Merkitään korkeutta kirjaimella, jolloin kanta on + 3. Kuviosta muodostuu näkyviin suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat ja + 3 ja hypotenuusan pituus on 17. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 6 9 17 0 ( 3) 17 6 917 6 8 0 : 3 40
Sijoitetaan arvot toisen asteen ratkaisukaavaan. 3 3 41 ( 4) 3 5 1 35 35 8 35 4 tai 1 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 1. Suorakulmion sivujen arvot ovat 1 p.y ja 1 + 3 = 4 p.y.
106. Merkataan kateetteja 3 ja 4. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. (3 ) (4 ) 10 9 16 100 5 100 : 5 4 4 Sivun pituus on positiivinen luku, joten =. Kateettien pituudet ovat 3 6ja 4 8.
107. a) Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 14 mm ja 35 mm. Merkataan hypotenuusaa kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 14 35 70 601 65,708... 66 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 66. b) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 5, m ja toisen kateetin pituus on,7 m. Merkataan toista kateettia kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä.,7 5, 19,75 4,444... 4,4 (m) Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 4,4 m.
108. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 3,5 m ja toisen kateetin pituus on, m. Merkataan toista kateettia kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä., 3,5 7,41,7...,7 (m) Sivun pituus on positiivinen luku, joten =,7 m. Kolmion piiri on p,7 m, m3,5 m 8,4 m. Kolmion pinta-ala on A,7 m, m,97 m 3,0 m.
109. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. Pystyyn jäänyt osa 97 mm Taitettu osa 7 mm Sijoitetaan pituudet, 7 ja 97 Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 7 (97 ) 157,7... (mm) 157 mm Paperi on taitettu 157 mm yläreunasta.
110. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. 4,5 6 Hypotenuusan pituus on 4,5 m ja piiri on 10,5 m. Merkitään toista kateettia kirjaimella, jolloin toisen kateetin pituus on 10,5 m 4,5m = 6,0 m. Sijoitetaan arvot, 4,5 ja 6 Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. (6 ) 4,5 1,939... 1,9 tai 4,060... 4,1 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 4,1. Kateettien pituudet ovat 4,1 m ja 6,0 m 4,1 m = 1,9 m.
111. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. C 48 B 455 A Lasketaan ensin, kuinka kauan lentokoneella, joka lensi kaupungin B:n kautta kaupunkiin C. Lentomatka on 455 km + 48 km = 703 km ja keskinopeus matkalla on 760 km/h. Nopeus saadaan matkan ja ajan osamäärästä. s v t Aika saadaan matkan ja nopeuden osamäärästä. s t v Lentoaika on 703 km t1 0,95 h 55,5 min. 760 km/h
Lasketaan lentomatka kaupungista A kaupunkiin C Pythagoraan lauseen avulla. 455 48 68 59 518,197... (km) Lasketaan toisen lennon lentoaika, kun lennon keskinopeus on 650 km/h. 518,197... km t 0,797... h 47,833... min 650 km/h Lentoaikojen ero on t1t 55,5 min 47,833... min 7, 666... min 7, 7 min Kone, joka lentää suoraan kaupungista A kaupunkiin C, saapuu 7,7 min aikaisemmin.
11. a) Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. 830 670 Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 830 670 1066,677... (m) 1070 m Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 1070 m. Nea on 1070 m:n päässä koulusta.
b) Muutetaan arvot samannimisiksi. 1,3 km = 1300 m. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. 830 + 670 1300 Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 830 ( 670) 1 300 330,549... (m) 330 m tai 1670,549... (m) 1700 m Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 330 m. Kaupasta joen rantaan on matkaa 330 m.
113. a) Kosini on viereisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman α viereisen kateetin pituus on. Kolmion hypotenuusan pituus on 5. 1 cos 5 5 Tangentti on vastaisen kateetin ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Kulman α vastaisen kateetin pituus on 4. Kulman α viereisen kateetin pituus on. 4 cos b) Sini on vastaisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman β vastaisen kateetin pituus on. Kolmion hypotenuusan pituus on 5. 1 sin 5 5 Kosini on viereisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman β viereisen kateetin pituus on 4. Kolmion hypotenuusan pituus on 5. 4 cos 5 5
114. Merkitään suorakolmion toista kateettia kirjaimella. Sijoitetaan kolmion sivujen pituuksien arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 5 7 5 49 49 5 4 4 6 Sivun pituus on positiivinen luku, joten 6. 5 sin 7 6 cos 7 5 tan 6
115. Merkataan toista kateettia kirjaimella. Suorakulmaisesta kolmiosta 1 tiedetään toinen kateetti sekä tan. Muodostetaan yhtälö ja 3 ratkaistaan. 10 1 tan 3 3 10 Merkitään hypotenuusaa kirjaimella c. Kolmion hypotenuusa voidaan ratkaista Pythagoraan lauseen avulla. 10 3 10 10 910 c c c 100 c 100 c 10 Sivun pituus on positiivinen luku, joten c = 10. Kolmion muut sivut ovat 10 ja 3 10.
116. a) Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 5. Tämän kulman vastaisen kateetin pituus on. Hypotenuusan pituus on 17,4 cm. Sivun pituus voidaan ratkaista sinin avulla. sin 5 17,4 7,353... 7,4 cm b) Kulman β viereisen kateetin pituus on 5,5 m ja hypotenuusan pituus on 8,0 m. Kulma β voidaan ratkaista kosinin avulla. 5,5 cos 8,0 46,567... 47
117. a) Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 7 ja hypotenuusan pituus on 68 cm. Merkataan tuntematonta kateettia kirjaimella. Tämän kulman viereisen sivun pituus voidaan ratkaista kosinin avulla. cos7 68 1,013... 1 cm Tunnetun kulman vastaisen sivun pituus voidaan ratkaista sinin avulla. Merkataan tuntematonta kateettia kirjaimella y. y sin 7 68 y 64,671... y 65 cm b) Kolmion pinta-ala on 1,013... cm64,671... cm A 679,474... cm 680 cm
118. Kulman α vastaisen kateetin pituus on 13, m ja viereisen kateetin pituus on 7, m. Kulman α voidaan ratkaista tangentin avulla. 13, tan 7, 5,887... 5,9 Kulman β vastaisen kateetin pituus on 7, m ja viereisen kateetin pituus on 13,3 m. Kulman β voidaan ratkaista tangentin avulla. 7, tan 13, 64,11... 64,1
119. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 1,5 cm c 18 Merkataan tuntemattomia sivuja kirjaimilla ja c. Hypotenuusan, sivu c, voidaan laskea sinin avulla. 1,5 sin18 c c 4,854... c 4,9 cm Toisen kateetin, sivu, voidaan laskea tangentin avulla. 1, 5 tan18 4,616... 4,6 cm
10. a) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 48 650 m Merkataan laivan etäisyyttä rannasta kirjaimella. Tämä voidaan ratkaista tangentin avulla. tan 48 650 71,898... 70 m Laiva on 70 m:n päässä rannasta.
b) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 70 m 48 650 m Merkataan pisteessä A seisovan henkilön etäisyyttä laivasta kirjaimella. Tämä voidaan laskea kosinin avulla. 650 cos48 971,409... 970 m
c) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 970 m 70 m 48 35 650 m Merkataan tuntematonta sivua kirjaimella. Tämä voidaan laskea tangentin avulla. 70 tan 35 108,66... m Kahden rannalla seisovan henkilön välinen etäisyys on 650 m 108, 66... m 1678, 66... m 1700 m
11. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 3,9 m 7 Merkataan seinän korkeutta kirjaimella. Tämä voidaan laskea sinin avulla. sin 7 3,9 3,709... 3,7 m Tikapuiden yläpää on 3,7 m:n korkeudella.
1. a) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 150 m 0,8 Merkataan Eiffel-tornin ensimmäisen tasanteen korkeutta kirjaimella. Tämä voidaan ratkaista tangentin avulla. tan 0,8 150 56,969... 57,0 m
b) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 34 m 346 m α Merkataan kysyttyä kulmaa α:lla. Kulma voidaan laskea tangentin avulla. 34 tan 346 43,119... 43,1
13. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 50 30 m Merkataan joen leveyttä AC kirjaimella. Tämä voidaan laskea tangentin avulla. tan50 30 35,75... 36 m Joki on 36 m leveä.
14. Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi. 1,8 km = 1800 km. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 138 m 1800 m α Merkataan kulmaa, josta henkilö näkee lentokoneen α:lla. Tämä voidaan laskea sinin avulla. 138 sin 1800 4,396.. 4,40 Henkilö näkee lentokoneen 4,40 kulmassa.
15. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 1 m 4,6 Merkataan rinteen pituutta kirjaimella. Tämä voidaan laskea sinin avulla. 1 sin 4,6 643,46... m,643... km Nopeus saadaan matkan ja ajan suhteella. s v t Aika saadaan matkan ja nopeuden suhteella. s t v Lasketaan kuinka kauan hissillä kestää matka huipulle.,643... km t 0,146.. h 8 min 49 s 18 km/h
16. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. a b 750 m b 100 m 30 z Muutetaan annetut arvot samannimisiksi. 1, km = 100 m. Merkataan linnuntietä autosta marjapaikkaan kirjaimella. Sivun z pituus on z cos30 750 z 649,519... m Sivun b pituus on b sin 30 750 b 375 m Sivun a pituus on a 1 00 m 649,519... m 1849,519... m
Sivun pituus on a b 1887,15... m 1900 m 1,9 km
17. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 39 m α α β β 50 6 m Kulman β voidaan ratkaista 39 tan ja 6 tan 50 Tästä saadaan yhtälöpari 39 tan 6 tan 50
Ratkaistaan yhtälöpari. 39 tan 6 tan 50 6 39 50 30 m Kulma α on 30 m korkeammasta asunnosta.
18. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. h 13,5 6,3 350 m Korkeus h voidaan laskea h tan 6,3 350 h tan 6,3 ( 350) ja tan13,5 h h tan13,5 Tästä saadaan yhtälöpari h tan 6,3 ( 350) h tan13,5 Ratkaistaan yhtälöpari. tan 6,3 ( 350) tan13,5 tan6,3 tan6,3350 tan13,5 97,97... m 300 m Henkilö on 300 m:n päässä tornista siirtymisen jälkeen.
b) Tornin korkeus on tan13,5 h h 71,536... m h 7 m
19. a) Sivu voidaan laskea sinin avulla. 7,10 sin 7,0 15,639... m 15,6 m b) Sivun voidaan laskea tangentin avulla. 15 tan 34,38... cm cm c) Sivun voidaan laskea Pythagoraan lauseella. 6, 4 8,3 5,84... 5,3 cm Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 5,3 cm.
130. a) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 4,5 cm β 8,7 cm α Merkataan toista kateettia kirjaimella. Sivun pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseella. 4,5 8, 7 7, 445... cm 7,4 cm Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 7,4 cm
b) Kulman α voidaan laskea sinin avulla. 4,5 sin 8,7 31,147... 31 Kulman β voidaan laskea kosinin avulla. 4,5 cos 8,7 58,85... 59 c) Kolmion pinta-ala on 4,5 cm 7,445... cm A 16,753... cm 17 cm
131. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 59 m 60 Merkataan liukumäen korkeutta kirjaimella. Liukumäen korkeus voidaan laskea sinin avulla. sin 60 59 51,095... m 51 m
13. a) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 3,1 km,8 km β α Merkataan suunnistajan matkaa kohti länteen kirjaimella. Tämä voidaan laskea Pythagoraan lauseella.,8 3,1 1,330... km 1, 3 km Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 1,3 km.
b) Kulma α voidaan laskea sinin avulla.,8 sin 3,1 64,585.. Kulmat β ja α muodostavat suorankulman, joten kulma β on 90 5,414... 5
133. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 100 140 Merkataan toista kateettia kirjaimella, joten toinen kateetti on 40 100 = 140. Sijoitetaan luvut Pythagoraan lauseeseen ja lasketaan siitä. (140 ) 100 80 cm tai 60 cm
. Suorakulmainen kolmio ja monikulmiot 134. a) C 5,0 cm h A 3,0 cm D B Koska kolmio on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion kannan pituus on 6,0 cm AD 3, 0 cm. Lasketaan kolmion korkeus suorakulmaisesta kolmiosta ADC Pythagoraan lauseen avulla. 3, 0 h 5, 0 9,0 h 5 h 16 h 16 h 4,0 Korkeus on aina positiivinen, joten h = 4,0 cm.
b) Kolmion pinta-ala on 1 6,0 cm 4,0 cm 1 cm A
135. 10,0 cm 10,0 cm h 8,0 cm 8,0 cm Koska kolmio on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion kannan pituus on 16,0 cm 8, 0 cm Lasketaan kolmion korkeus suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. 8, 0 h 10, 0 64 h 100 h 36 h 36 h 6 Korkeus on aina positiivinen, joten h = 6,0 cm. Nelikulmion pinta-ala on A1 16,0 cm 6,0 cm 96 cm
Kolmion pinta-ala on 1 A 16,0 cm 6 cm 48 cm Väritetyn alueen pinta-ala on A A1 A 96 cm 48 cm 48 cm.
136. Lasketaan puolisuunnikkaan korkeus pinta-alan yhtälöstä. 3, 0 11, 0 h 1 7h 1 :7 h 3 3,0 cm 3,0 cm y y Sivun y pituus on y3, 0 cm y 11, 0 cm y 8,0cm : y 4,0 cm
Sivun pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. 4,0 3,0 16 9,0 5 5 5, 0 Sivun pituus on aina positiivinen, joten = 5,0 cm. Puolisuunnikkaan piiri on p 3,0cm11,0cm5,0cm5,0cm 4cm.
137. a) 4,1 cm h 55 Kolmion korkeus, h, voidaan laskea sinin avulla. h sin55 4,1 h 3,358... 3,4 cm
b) 8, mm 8, mm h 3, mm Koska kolmio on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion kannan pituus on 6, 4 mm 3, mm Lasketaan kolmion korkeus suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. 3, h 8, h 7,549... mm h 7,5 mm Korkeus on aina positiivista, joten h = 7,5 mm.
138. h 5,60 cm α 115 10,1 cm Kulma α muodostaa 115 :n kulman kanssa oikokulman, joten kulma α on 115180 65 Korkeus h voidaan laskea sinin avulla. h sin 65 5,60 h 5,075... cm Kolmion pinta-ala on 10,1cm5,075... cm A 5,630... cm 5,6 cm
139. a) α h 1,75 m 84 4,05 m Kulman α suuruus on 9084180 6 Lasketaan kolmion korkeus h kosinin avulla. h cos6 1, 75 h 1,740... m Kolmion pinta-ala on A 4,05 m 1,740... m 3,54... m 3,5 m.
b) h,59 cm α 95 3,5 cm Kulma α muodostaa oikokulman 95 :n kulman kanssa. Kulma α suuruus on 95180 85 Korkeus h voidaan ratkaista sinin avulla. h sin85,59 h,580... cm Kolmion pinta-ala on 3,5 cm,580...cm A 4,19... cm 4,19 cm
c) α 3,7 m h 3,7 m Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kärkikulman α. Suorakulmaisen kolmion kärkikulma α on 46 3 Korkeus h voidaan ratkaista kosinin avulla. h cos3 3,7 h 3,405... m Sivun pituus voidaan laskea sinin avulla. sin 3 3, 7 1,445... m
Kolmion pinta-ala on h A h1,445... m3,405... m 4,9... m 4,9 m d) 4, cm h 1,8 cm α 108 Kulma α muodostaa oikokulman 108 kulman kanssa. Kulma α suuruus on 108180 7 Korkeus h voidaan laskea sinin avulla. h sin 7 1,8 h 1,711... cm Suunnikkaan pinta-ala on A 4, cm 1,711... cm 7,189... cm 7, cm
140. a) 5,9 mm α 5,9 mm 3,7 mm Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kärkikulman α. Suorakulmaisen kolmion kärkikulma on α/. Koska kolmio on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion kannan pituus on 7, 4 mm 3, 7 mm Kulman α/ voidaan laskea sinin avulla. 3,7 sin 5,9 77,675... 78
b) 10,4 cm α 13,6 cm h 13,6 cm 6, cm Sivun pituus on 6, cm 10, 4 cm,1 cm Kulma α voidaan ratkaista kosinin avulla.,1 cos 13,6 81,117... 81,1
141. Kolmion sivujen pituudet ovat 0,80148 mm 118, 4 mm. C 118,4 mm 118,4 mm h A 59, mm D 118,4 mm B Koska kolmio ABC on tasasivuinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion ADC kannan pituus on 118,4 mm AD 59, mm Korkeusjana h voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. 59, h 118,4 h 10,537... mm Kolmion pinta-ala on 118,4 mm 10,537... mm A1 6 070,14... mm
Paperiarin pinta-ala on A 148 mm 10 mm 31080 mm Lasketaan, kuinka paljon paperiarkin pinta-ala pienenee, kun siitä leikataan kolmion muotoinen ala pois. A A 31 080 mm 6 070,14... mm 31 080 mm 1 1 1 A 0,1953... 0,195 19,5 %
14. Tasasivuisen kolmion piiri on 1,0 cm, joten kolmion sivujen pituudet ovat 1 cm : 3 = 4,0 cm. C 4,0 cm 4,0 cm h A D B Koska kolmio ABC on tasasivuinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion ADC kannan pituus on 4,0 cm AD,0 cm Korkeus, h, voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADC Pythagoraan lauseen avulla.,0 h 4,0 h 3,464... cm Kolmion pinta-ala on 4,0 cm 3,464... cm A 6,98... cm 6,93 cm
143. a) C 7 mm h 7 mm A D 5 mm B Koska kolmio ABC on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion ADC kannan pituus on 5 mm AD 6 mm Korkeus h voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADC Pythagoraan lauseen avulla. 6 h 7 h 67,141... mm Kolmion pinta-ala on 5 mm 67,141... mm A 1745,68... mm 1700 mm 17 cm
b) C β 7 mm h 7 mm A α D α 6 mm B Kulman α voidaan laskea kosinin avulla. 6 cos 7 68,831... 69 Kulman β suuruus on 180 6969 180 4 Kolmion kulmat ovat 69, 69 ja 4.
144. E D C 56,70 m 3,97 A B Sivun pituus voidaan laskea kosinin avulla. 56,70 cos3,97 56,836... m 56,84 m
145. Keinu ei ole liikkeessä.,40 m,40 m 1,75 m 0,15 m Maanpinta Keinun yläosa on,40 m + 0,15 m =,55 m päässä maanpinnasta. Keinu liikkeessä. α,40 m 75 Kulma α ja 75 kulma muodostavat suoran kulman. Kulman α suuruus on 7590 15
Sivun pituus on cos15,40,318... m Keinun yläosa on,55 m:n päässä maanpinnasta. Kun keinu on liikkeessä, pohjalevyn ja maanpinnan etäisyys on,55 m,318... m 0, 3... m 0,3 m 3 cm.
146. A 8,0 cm y 8,0 cm D E B 8,0 cm y 8,0 cm C Lyhyemmän lävistäjän DB pituus on 4,0 cm, joten sivun pituus on DB 4,0 cm,0 cm Sivun y pituus voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ABE Pythagoraan lauseen avulla. y,0 8,0 y 7,745... cm Sivun pituus on aina positiivista, joten y = 7,745 cm. Pitemmän lävistäjän pituus AC on AC y 7,745... cm 15,491... cm 15,5 cm.
147. Keltainen suunnikas. D 3,0 cm C 3,0 cm A 3,0 cm B Keltaisen suunnikkaan korkeus on ison suunnikkaan korkeus vihreän neliön korkeus 6,0 cm 3,0 cm 3,0 cm Lasketaan sivun pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABD Pythagoraan lauseen avulla. 3, 0 3, 0 18 Sivun pituus on aina positiivista, joten 18 cm Keltaisen suunnikkaan piiri on p1 3,0 cm 3,0 cm 18 cm 18 cm 14,485... cm
Iso suunnikas. D F C 6,0 cm 6,0 cm A E 6,0 cm B Sivun pituus voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta EBC Pythagoraan lauseen avulla. 6,0 6,0 7 Sivun pituus on aina positiivinen, joten 7. Ison suunnikkaan piiri on p 1,0 cm 1,0 cm 7 cm 7 cm 40,970... cm. Lasketaan, kuinka monta prosenttia keltaisen suunnikkaan piiri on ison suunnikkaan piiristä. p p 40,970... cm 14,485... cm 1 1 1 0,3535... 0,354 35, 4 % p 40,970... cm
148. Muutetaan annetut arvot samannimisiksi. 50 cm = 0,5 m. 0,5 m h 1,7 m a) Muodostetaan puolisuunnikkaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä yhdensuuntaisten sivujen välinen etäisyys h. 0,5 m 1,7 m, m h h,0 m
b) 0,5 m β β,0 m α 0,5 m α Sivun pituus on 0,5 m 1,7 m 0,6 m Kulma α voidaan laskea tangentin avulla.,0 tan 0,6 73,300... 73 Kulma β on 360 7373 360 107 Puolisuunnikkaan kulmat ovat 73, 73, 107 ja 107.
149. D y C 60 cm 50 cm A E y 10 cm F B Lasketaan sivun pituus suorakulmaisesta kolmiosta AED Pythagoraan lauseen avulla. 50 60 33,166... cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten = 33,166 cm. Lasketaan sivun y pituus janan AB avulla. AB AE EF FB 10 cm y 10 cm 33,166... cm y 33,166... cm y 53,667... cm Puolisuunnikkaan pinta-ala on 10 cm 53,667... cm A 50 cm 4 341,687... cm 4 300 cm 43 dm
150. A y 40 E D 5,0 cm B 33,0 cm C Lasketaan sivun pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABE sinin avulla. sin 40 5 16,069... cm Lasketaan sivun y pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABE kosinin avulla. y cos40 5 y 19,151... cm Nelikulmion BCDE pinta-ala on A1 33,0 cm 16,069... cm 530,99... cm Suorakulmaisen kolmion ABE pinta-ala on 19,151... cm 16,069... cm A 153,876... cm
Opaskyltin pinta-ala on A1 A 530, 99... cm 153,876... cm 684,175... cm 684 cm
151. a) A 1, cm y D E 1, cm C 1, cm 3,5 cm F y B Sivun y pituus voidaan laskea janan AB avulla. AB AEEF FB 3,5 cm y1, cm y y 1,15 cm Lasketaan sivun pituus suorakulmaisesta kolmiosta AED Pythagoraan lauseen avulla. 1,15 1, 0,34... cm 0,34 cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten = 0,34 cm.
b) Tasakylkisen kolmion kanta on 1, cm ja korkeus on tasasivuisen kolmion korkeus + puolisuunnikkaan korkeus. Ratkaistaan tasasivuisen kolmion korkeus. A D 1,75 cm C h 3,5 cm B Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kantasivun. Janan DC pituus 3,5 cm on DC 1, 75 cm. Lasketaan korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta DBC Pythagoraan lauseen avulla. 1, 75 h 3,5 h 3,031... cm Tasakylkisen kolmion pinta-ala on 1, cm (0,34... cm 3,031... cm) A,03... cm,0 cm
c) Lasketaan ketun pään pinta-ala osissa. Kahden tasakylkisen suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 1, cm 1, cm A1 1,44cm Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala on 3,5 cm 1, cm A 0,34... cm 0,805... cm Tasasivuisen kolmion pinta-ala on 3,5 cm 3,031... cm A3 5,304... cm Ketun pään pinta-ala on A4 A1 A A3 1, 44 cm 0,805... cm 5,304... cm 7,549... cm Lasketaan, kuinka monta prosenttia ketun pään pinta-alasta on ruskea. 4 7,549... cm,03... cm 0,73... 0,73 73 % A4 A A 7,549... cm
15. 3,90 cm C γ h 5,40 cm A α D 6,18 cm β B Kolmion korkeus h on 6,18 cm h 10,41cm h 3,368... cm Kulma α voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADC sinin avulla. 3,368... sin 3, 90 59,749... 60 Kulman β voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta DBC sinin avulla. 3,368... sin 5, 40 38,587... 39
Kulma γ on 180 6039 180 81
153. α α α α α α Kuusi samankokoista kulmaa α muodostavat täyden kulman. Kulman α suuruus on 6 360 60 Tarkastellaan yhtä kolmiota. 30 30 h 7,4 cm 7,4 cm Tasakylkisessä kolmiossa korkeusjana puolittaa kärkikulman sekä kantasivun.
Lasketaan kolmion korkeus h tangentin avulla. 7,4 tan30 h h 1,817... cm Lasketaan kuuden kolmion pinta-ala. 14,8 cm 1,817... cm A 6 569, 08... cm 569 cm
154. a) Merkataan janan FC pituutta kirjaimella. Tällöin janan DE pituus on 3, ja janan EF pituus on 6. Janan FC pituus on 364cm, 4 cm Janan EF pituus on EF 6 6,4cm 14,4cm Puolisuunnikkaan ABFE pinta-ala on 4 cm 14,4 cm A 16 cm 307, cm 310 cm
b) Janan DE pituus on DE 3 3,4cm 7,cm Merkataan janaa AE pituutta kirjaimella y. Lasketaan janan AE pituus suorakulmaisesta kolmiosta AED Pythagoraan lauseen avulla. 16 7, y y 17,545... cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten y = 17,545 cm. Merkataan janan BF pituutta kirjaimella z. Lasketaan janan BF pituus suorakulmaisesta kolmiosta BCF Pythagoraan lauseen avulla., 4 16 z z 16,178... cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten z = 16,178 cm. Puolisuunnikkaan ABFE piiri on p 4 cm 16,178... cm 14, 4 cm 17,545... cm 7,14... cm 7 cm c) Kulman β voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta AED tangentin avulla. 7, tan 16 4,7... 4
155. a) C h 3,5 m D α 103 A 4,7 m B Kulma α muodostaa oikokulman 103 :n kulman kanssa. Kulma α on 103180 77 Korkeuden h voidaan laskea Suorakulmaisesta kolmiosta DAC sinin avulla. h sin 77 3,5 h 3,410... m Kolmion pinta-ala on 4,7 m3, 410... m A 8,014... m 8,0 m
b) E 8,61 cm D 9,4 cm h A B 14,75 cm C Sivun pituus voidaan laskea janan AC pituudesta. AC ABBC 14,75cm 8,61cm 6,14 cm Korkeuden h voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta ABE Pythagoraan lauseen avulla. 6,14 h 9, 4 h 6,904... cm Korkeus on aina positiivinen luku, joten h = 6,904 cm. Nelikulmion pinta-ala on A1 6,904... cm 8,61 cm 59,451... cm
Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 6,14 cm6,904... cm A 1,198... cm Kuvion pinta-ala on A1 A 59,451... cm 1,198... cm 80,649... cm 80,6 cm
156. D 1,7 cm A B C Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kantasivun. Sivun voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosa ABD Pythagoraan lauseen avulla. 1,7 5, 057... cm 5,1 cm Sivun pituus on aina positiivista, joten = 5,1 cm.
157. C 6,8 cm 6,8 cm A α α 5,5 cm D 5,5 cm B Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Kulman α voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADC kosinin avulla. 5, 5 cos 6,8 39,460... 39,5
158. y α 65 cm 150 cm Kuusikulmion yhden kulman suuruus on 10. Kaksi α kulmaa muodostavat 10 :n kulman, joten kulma α on 10 60 Lasketaan sivun pituus tangentin avulla. 65 tan 60 37,57... cm Sivun y pituus on 150 cm y 150 cm 37,57... cm y 37,57... cm y 74,944... cm
Lasketaan kuuden puolisuunnikkaan pinta-ala. 150 cm 74,944... cm A 6 65cm 43 864,170... cm 44 000 cm 4,4 m
159. D,8 cm C,8 cm h E,8 cm A,8 cm B Neljäkäs muodostuu kahdesta samanlaisesta tasakylkisestä kolmiosta ABD ja BCD. Korkeusjana puolittaa kannan. Janan BD pituus on, cm, joten janan EB pituus on, cm : = 1,1 cm. Lasketaan sivun h pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABE Pythagoraan lauseen avulla. h 1,1,8 h,574... cm Lasketaan neljäkkään pinta-ala., cm,574... cm A 5,664... cm 5,7 cm
.3 Ympyrän sekantti ja tangentti 160. a) O 100 A B b) 60 O A B
161. O 19,0 mm α α A C 19,0 mm B Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: CB 56 korkeusjana puolittaa huippukulman 56 : 8. Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 8 19,0 8,919... mm
Jänteen AB pituus on: 8,919... mm 17,839... mm 17,8 mm
16. O α α 18 cm 18 cm C D B Jänne BC on tasakylkisen kolmion BOC kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla BOC on korkeusjana OD. Koska kolmio BOC on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: BD 64 korkeusjana puolittaa huippukulman 64 : 3. Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 3 18 9,538... cm Jänteen BC pituus on: 9,538... cm 19,077... cm 19 cm
b) Koska segmentin pinta-ala on alle puolet ympyrän pinta-alasta, segmentin pinta-ala saadaan vähentämällä sektorin alasta kolmion BOC pinta-ala. Kolmion pinta-alan laskemiseksi määritetään ensin korkeusjanan pituus h. h cos3 18 h 15,64... cm Kolmion BOC kantana on jänne BC. Lasketaan kolmion BOC pinta-ala. A BOC 19,077... cm 15,64... cm 145,603... cm Lasketaan sektorin pinta-ala. A sektori 64 (18 cm) 360 180,955... cm Lasketaan segmentin pinta-ala. A A A BOC segmentti sektori 180,955... cm 145,603... cm 35,35... cm 35 cm
163. Segmentin pinta-ala saadaan sektorin pinta-alaan lisäämällä kolmion AOB pinta-ala. B h O α 114 mm C A Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Kolmion huippukulma on 360 47 = 113. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: CB 113 korkeusjana puolittaa huippukulman 113 : 56,5.
Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 56,5 114 95,06... mm Jänteen AB pituus on 95, 06... mm 190,15... mm. Ratkaistaan kolmion korkeusjanan h pituus kosinin avulla. h cos 56,5 114 h 6,90... mm Lasketaan kolmion pinta-ala. A AOB 190,15... mm 6,90... mm 5 981,410... mm Lasketaan sektorin pinta-ala. A sektori 47 (114 mm) 8 01,639... mm 360 Lasketaan väritetyn alueen pinta-ala. A A A 5 981,410... mm 8 01,639... mm AOB sektori 33 994,049... mm 34 000 mm 340 cm
164. a) B O C β 7 mm A Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: AB AO OB 94 mm 47 mm korkeusjana puolittaa huippukulman α:.
Lasketaan sinin avulla kulma β. 47 sin 7 40,751... Kulman α suuruus on 40,751... 81,50... 8
b) B C O β z A Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: AB AO OB 45 cm 1,5 cm 11 korkeusjana puolittaa huippukulman 11 : 56. Lasketaan sinin avulla ympyrän säteen z pituus. 1,5 sin56 z z 147,761... cm 148 cm
165. Piirretään mallikuva. Merkitään kirjaimella O saaren keskipistettä. Henkilö 1 kulkee ympyrän kaarta pitkin. Henkilö kulkee pitkin jännettä AB. B Henkilön 1 reitti O Henkilön reitti A Janan OA pituus on sama kuin saaren säde. OA 1693 m Merkitään henkilön 1 reittiä eli kaarta AB vastaavaa keskuskulmaa kirjaimella α. Ratkaistaan kaaren pituuden avulla keskuskulman α suuruus. 4500 1693 360 15,9...
Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Merkitään sivun CA pituutta kirjaimella. B C O α β 1693 m A Suorakulmaisen kolmion OAC kulma β on puolet kulmasta α eli 15,9... 76,146... Ratkaistaan sinin avulla. sin 76,146... 1693 1643,750... m
Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 1643,750... m 387,500... m Henkilö 1 kävelee 4500 m 387,500... m 11, 499... m 110 m pidemmän matkan kuin henkilö.
166. Ratkaistaan kaaren pituuden avulla keskuskulman α suuruus. 7 7 360 57,95... Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Merkitään sivun CA pituutta kirjaimella. B O α β 7 cm C A Suorakulmaisen kolmion OAC kulma β on puolet kulmasta α eli 57,95... 8,647...
Ratkaistaan sinin avulla. sin 8,647... 7 34,518... cm Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 34,518... cm 69,037... cm 69 cm
167. Piirretään mallikuva. Merkitään kirjaimella O järven keskipistettä. Juuso Juoksee ympyrän kaarta pitkin. Elias soutaa pitkin jännettä AB. B Juoksumatka O Soutumatka A Lasketaan järven säde ympärysmitan avulla. 4360 r r 693,915... m Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Sivun CA pituus on puolet jänteestä AB eli 150 m CA 65 m.
B O C α β 65 m 693,915 m A Lasketaan kulman β suuruus sinin avulla. 65 sin 693,915... 64,48... Kulma α on kaksi kertaa suurempi kuin kulma β, joten kulman α suuruus on 64,48... 18,496... Lasketaan kaaren pituus AB. 18,496... b 693,915 m 1556, 39... m 1560 m 360
168. Vuoan halkaisija on 34 cm, joten vuoan säde on 17 cm. Tarkastellaan yhtä sektorinmuotoista palasta. Kakkupohja jaetaan 1 yhtä suureen sektoriin, joten yhden sektorin keskuskulma on 360 30 1 O 17 cm A α β h C B Kulma β on puolet kulmasta α, joten kulman β suuruus on 30 15
Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta ACO sivun pituus sinin avulla. sin15 17 4,399... cm Janan AB pituus on kaksi kertaa suurempi kuin, joten janan AB pituus on AB 4,399... cm 8,799... cm Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta ACO korkeusjanan h pituus kosinin avulla. h cos15 17 h 16,40... cm Kolmion pinta-ala on A AOB 8,799... cm16,40... cm 7,51... cm Sektorin pinta-ala on A sektori 30 (17 cm) 75,660... cm 360
Lasketaan pois leikatun kakkupohjan pinta-ala. A Asektori A AOB 1 ( ) 1 (75,660... cm 7,51... cm ) 40,906... cm Kakun pinta-ala on A1 (17 cm) 907,90... cm Lasketaan, kuinka monta prosenttia kakun pinta-alasta leikataan pois. A A 907,90... cm 40,906... cm 1 1 1 0,045... 0,045 4,5 % A1 907,90... cm
169. Ratkaistaan ympyräkaaren pituuden avulla sektorin säteen pituus r. 75,1 64, r 360 r 48,979... cm Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. A B h β α 48,979 cm O Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska Kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: CA korkeusjana puolittaa huippukulman α: 37,55.
Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 37,55 48,979... 9,850... cm Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 9,850... cm 59,701... cm Ratkaistaan sivun pituus h kosinin avulla. h cos37,55 48,979 h 38,83... cm Lasketaan kolmion pinta-ala. A AOB 59,701... cm 38,83... cm 1159,164... cm Sektorin pinta-ala on A sektori 75,1 (48,979... cm) 157, 54... cm 360
Segmentin pinta-ala on Asegmentti Asektori A AOB 157,54... cm 1159,164... cm 413,090... cm Lasketaan, kuinka monta prosenttia segmentti on koko sektorin pintaalasta. A A 157,54... cm 413,090... cm 157,54... cm sektori segmentti 1 1 A sektori 0, 6... 0, 63 6,3 %
170. Piirretään mallikuva. Merkitään kirjaimella O ympyräsektorin kärkeä. Merkitään kirjaimella sektorin sädettä. Merkitään kirjaimella y kaaren pituutta. O 3 A y B Sektorin säteet ja kaari muodostavat ympyräsektorin piirin. Muodostetaan yhtälö. y 4 y 4 Muodostetaan kaaren pituuden yhtälö 3 y 360 Sivun pituus on 3 4 360 87,551... cm
Kaaren pituus y on y 4 87,551... 48,897... cm Piirretään ympyräsektoriin segmentti AB. Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Merkitään sivun CA pituutta kirjaimella z. O α β h A z C z B Suorakulmaisen kolmion OAC kulma β on puolet kulmasta α eli 3 16 Ratkaistaan z sinin avulla. z sin16 87,551... z 4,13... cm
Ratkaistu z on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 4,13... cm 48,64... cm Ratkaistaan h kosinin avulla. h cos16 87,551... h 84,159... cm Lasketaan kolmion AOB pinta-ala. A AOB 48,64... cm 84,159... cm 030,935... cm Sektorin pinta-ala on A sektori 3 (87,551... cm) 140,51... cm 360 Leikatun palan pinta-ala. Asektori A AOB 140,51... cm 030,935... cm 109,586... cm 110 cm
171. Ympyrän halkaisija on,0 cm, joten ympyrän säde on 11,0 cm. Piirretään mallikuva. Merkitään ympyrän keskipistettä kirjaimella O. Merkitään segmentin päätepisteitä kirjaimilla A ja B. Piirretään ympyrän keskipisteeltä säteet pisteisiin A ja B. B 11,0 cm O α 11,0 cm A Väritetty alue pitää laskea. Ratkaistaan kaaren pituuden avulla keskuskulman α suuruus. 0,0 11,0 360 104,174...
Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Merkitään sivun CA pituutta kirjaimella. B 11,0 cm O C h α β 11,0 cm A Suorakulmaisen kolmion OAC kulma β on puolet kulmasta α eli 104,174... 5,087.. Ratkaistaan sinin avulla. sin5,087... 11,0 8,678... cm Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 8,678... cm 17,356... cm
Ratkaistaan h kosinin avulla. h cos 5,087... 11,0 h 6,759... cm Kolmion AOB pinta-ala on A AOB 17,356... cm 6,759... cm 58,655... cm Kulmat α ja γ muodostavat täyden kulman, joten 360 55,85... Lasketaan γ kulmaisen sektorin pinta-ala. A sektori 55,85... (11,0 cm) 70,13... cm 360 Lasketaan väritetyn alueen ala. AAOB Asektori 58, 655... cm 70,13... cm 38, 787... cm 39 cm
17. A O
173. a) A O B b) A C O B
c) A O 36 C B d) A 36 C O B
174. a) A,1 cm B β 1,4 cm O Kolmio OAB on suorakulmainen, koska jana OB on kohtisuorassa janaa AB vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OB ja AB. Hypotenuusa on jana OA. Hypotenuusan pituus on,1 m + 1,4 m = 3,5 m. Lasketaan kulma β kosinin avulla. 1, 4 cos 3,5 66,41... Kulma α on kaksi kertaa β kulma, eli 66,41... 13,84... 133.
b) C B α O 6 mm A Suorakulmaisen kolmion OAC kulma α on puolet keskuskulmasta eli 156 : = 78. Merkitään janan OC pituutta kirjaimella. Ratkaistaan kosinin avulla. 6 cos78 98, 03... mm 98 mm
175. a) Piirretään mallikuva. C A β α 14 mm O 14 mm B Kulma α on 66,0, joten kulma β = 33,0. Kolmio OCA on suorakulmainen, koska jana AC on kohtisuorassa janaa OA vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OA ja AC. Hypotenuusa on jana OC. Lasketaan jana AC tangentin avulla. tan33,0 14 AC AC 18,660... mm 19 mm
b) Piirretään mallikuva. C A 14 mm D β α O 14 mm B Merkitään janan OA pituutta kirjaimella. Ratkaistaan sinin avulla. 14 sin 33,0 60,73... mm Pisteen C etäisyys pisteestä D on säteen verran lyhyempi kuin sivu OC. DC OC OD 60,73... mm 14 mm 118,73... mm 119 mm
176. Ratkaistaan ympyrän säde kehän pituuden avulla. 78 r r 1,414... cm A α D 1,414 cm C O B Pisteen D etäisyys pisteestä O on säteen verran pidempi kuin sivu CD. OD OC CD 1,414... cm 35 cm 47,414... cm Kolmio ODA on suorakulmainen, koska jana AD on kohtisuorassa janaa OA vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OA ja AD. Hypotenuusa on jana OD.
Lasketaan kulma α sinin avulla. 1,414... sin 47,414... 15,178... Tangenttikulma on kaksi α kulmaa, eli 15,178... 30,356... 30
177. Ympyrän halkaisija on 5, m, joten ympyrän säde on,6 m. C,6 m α O β,6 m E D A Kulma β on puolet kulmasta α, joten 106 53 Kolmio ODA on suorakulmainen, koska jana AD on kohtisuorassa janaa OD vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OD ja AD. Hypotenuusa on jana OA. Lasketaan jana OA kosinin avulla.,6 cos53 OA OA 4,30... m Pisteen E etäisyys pisteestä A on säteen verran lyhyempi kuin sivu OA. EA OA OE 4,30... m,6 m 1,70... m 1,7 m
178. Tornin halkaisija on 6 m, joten tornin säde on 6 m : = 13 m. Piirretään mallikuva Henkilö seisoo pisteessä B Merkitään tornin keskipistettä kirjaimella O. Henkilö näkee tornin pisteen A. 13 m A O C β α B Jana OB on säteen verran pidempi kuin CB, joten OB CB OC 35 m 13 m 48 m Kolmio OBA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OA vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OA ja AB. Hypotenuusa on jana OB.
Lasketaan kulma β sinin avulla. 13 sin 48 15,713... Kulma α on kaksi kertaa kulma β, joten 15,713... 31,47... 31 Henkilö näkee tornin 31 asten kulmassa.
179. Piirretään mallikuva. Henkilö seisoo pisteessä B Merkitään jäähallin keskipistettä kirjaimella O. Henkilö näkee jäähallin pisteen A. 55 m A O C β α B Jana OB on säteen verran pidempi kuin CB, joten OB CB OC 45 m 55 m 300 m Kolmio OBA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OA vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OA ja AB. Hypotenuusa on jana OB. Lasketaan kulma β sinin avulla. 55 sin 300 10,563...
Kulma α on kaksi kertaa kulma β, joten 10,563... 1,17... 1 Henkilö näkee jäähallin 1 asteen kulmassa.
180. Piirretään mallikuva. Merkitään maan keskipistettä kirjaimella O. Majakka on pisteessä A. Majakasta näkee pisteeseen B. C A B 6378 km O Jana OA on säteen verran pidempi kuin CA, joten OA CA OC 51,0 m 6 378 000 m 6 378 051 m Kolmio BOA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OB vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OB ja AB. Hypotenuusa on jana OA.
Lasketaan sivun pituus Pythagoraan lauseen avulla. 6 378 000 6 378 051 5 506,050... m 5500 m Sivun pituus on aina positiivinen, joten = 5 500 m = 5,5 km.
181. Piirretään mallikuva. Merkitään maan keskipistettä kirjaimella O. Merkitään satelliitin kohtaa pisteellä A. Merkitään pisteillä C ja B päiväntasaajan kohtia, joihin satelliitista näkee. 6378 km B O β α D A C Jana OA on säteen verran pidempi kuin DA, joten OA DA OD 58 km 6 378 km 6 436 km Kolmio BOA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OB vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OB ja AB. Hypotenuusa on jana OA.
Lasketaan kulma β kosinin avulla. 6378 cos 6436 7,697... Kulma α on kaksi kertaa kulma β, joten 7,697... 15,395... Lasketaan kehän pituus CB. b CB 15,395... 6378 km 1713,808... km 360 Päiväntasaajan pituus on b1 6 378 km 40 074,155... km Lasketaan, kuinka monta prosenttia päiväntasaajasta voitaisiin nähdä satelliitista. b b CB 40 074,155... km 1713,808... km 1 1 1 0,047... 0,043 4,3 % b1 40 074,155... km
18. Piirretään mallikuva. 56 cm B O 68 cm A Kolmio BOA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OB vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OB ja AB. Hypotenuusa on jana OA. Ratkaistaan jana AB pituus Pythagoraan lauseen avulla. 56 AB 68 AB 38,574... Sivun pituus on aina positiivista, joten AB 38,574... cm 39 cm.
b) 56 cm B O α 68 cm C A Lasketaan kulma α kosinin avulla. 56 cos 68 34,560... Lasketaan kaaren BC pituus. b BC 34,560... 56 cm 33,778... cm 34 cm 360
183. Lasketaan maapallon säde r ympärysmitan avulla. 40 000 r r 6 366,197... km Piirretään mallikuva. Merkitään kirjaimella O maan keskipiste. Merkitään pisteellä E Helsingin Pasilassa sijaitseva linkkitornin huippu. Merkitän pisteellä F paikka Tallinnasta, josta näkee linkkitornin huipun. E A F B 6366,197 km α O Linkkitorni on maassa pisteessä A ja paikka Tallinnassa on maassa pisteessä B. Jotta paikasta F nähdään paikka E, janan EF sivuaa ympyrää, eli se on ympyrän tangentti. Keskuskulma α voidaan laskea, kun tunnetaan kaaren AB pituus (85 km). Jana AE on 146 m ja jana BF pitää ratkaista.
Ratkaistaan kulma α. 85 6366,197... 360 0,765 Jana OE on OE 6 366,197... km 0,146 km 6366,343... km Piirretään kolmiolle OEF korkeusjana. Merkitään suorakulmaisen kolmion OCE toista terävää kulmaa kirjaimella β. Kulman β viereinen kateetti on OC ja hypotenuusa OE. E A β γ α O C F B Lasketaan kulma β kosinin avulla. 6366,197... cos 6366,343... 0,388...
Kulman γ suuruus on 0,7650,388... 0,376... Lasketaan janan OF pituus kosinin avulla. 6366,197... cos0,376... OF OF 6366,335... km Jana OF on säteen verran pidempi kuin jana BF, joten BF OF OB 6366,335... km 6366,197... km 0,137... km 0,138 km 138 m Rakennuksen tulee olla vähintään 138 m korkea.
184. a) Kolmio BEA on suorakulmainen, koska jana EA on kohtisuorassa janaa OE vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OE ja EA. Hypotenuusa on jana OA. E 8,1 cm O β D α A C 33,1 Tangenttikulma on 33,1, joten kulma 16,55. Lasketaan janan EA pituus tangentin avulla. 8,1 tan16,55 EA EA 76,79... cm
Lasketaan kulman 1/β suuruus tangentin avulla. 1 76,79... tan 8,1 1 73,45 146,9147 b) Kaaren ADC pituus on b ADC 146,9 8,1 cm 10,495... cm 10 cm 360 c) Janan OA pituus on 8,1 sin16,55 OA OA 88,19... cm Jana OA on säteen verran pidempi kuin AD, joten AD OA OD 88,19... cm 8,1 cm 06,119... cm 06 cm d) Janan EA pituus on EA 76,79... cm 76 cm.
185. a) Segmentin pinta-ala saadaan sektorin pinta-alaan lisäämällä kolmion AOB pinta-ala. B O h α 13, cm C A Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Kolmion huippukulma on 88,0. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: CB 88,0 korkeusjana puolittaa huippukulman 88,0 : 44,0.
Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 44,0 13, 9,169... cm Jänteen AB pituus on: 9,169... cm 18,338... cm 18,3 cm
b) Ratkaistaan kolmion korkeusjanan h pituus kosinin avulla. h cos 44,0 13, h 9,495... cm Lasketaan kolmion pinta-ala. A AOB 18,338... cm 9,495... cm 87,06... cm Sektorin keskuskulma on 360 88,0 = 7. Lasketaan sektorin pintaala. A sektori 7 (13, cm) 413,584... cm 360 Lasketaan väritetyn alueen pinta-ala. A A Asektori 87, 06... cm 413,584... cm 500, 646... cm 501 cm AOB
186. Piirretään mallikuva. Merkitään pisteellä A kuumailmapallon paikkaa Merkitään pisteillä D ja B Laatokan päätepisteitä. Merkitään kirjaimella O Maan keskipistettä. D A C B r α β r O Laatokan pituus on 19 km, joten kaaren DB pituus on 19 km. Lasketaan kaaren DB keskuskulman α suuruus kaaren pituuden avulla. 19 6 378 360 1,967... Kulma β on puolet kulmasta α, joten 1,967... 0,983...
Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta OBA janan OA pituus kosinin avulla. 6 378 cos 0,983... OA OA 6 378,940... km Lasketaan, kuinka korkealla kuumailmapallo on maanpinnasta. CA OA OC. 6378,940... km 6378 km 0,940... km 0,940 km 940 m
187. B 14 cm O β α C 14 cm A Lasketaan keskuskulman α arvo kehän AB avulla. 1,5 14 360 51,156... Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: korkeusjana puolittaa huippukulman α: CA 51,156 5,578....
Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 5,578 14 6,044... cm Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 6,044... cm 1,088... cm Ratkaistaan sivun pituus h kosinin avulla. h cos 5,578 14 h 1,67... cm Lasketaan kolmion pinta-ala. A AOB 1,088... cm 1,67... cm 76,33... cm Sektorin pinta-ala on A sektori 51,156... (14 cm) 87,5 cm 360 Segmentin pinta-ala on Asegmentti Asektori A AOB 87,5 cm 76,33... cm 11,177... cm 11 cm
188. α r r α r α α r r α r α Tukin halkaisija r = 0 cm, joten sen säde r = 10 cm. Vaijerin kunkin suoran osan pituus = r Kaarevat osat ovat ympyrän kaaria, joiden keskuskulmat ovat Lasketaan kaarevan osuuden pituus. 60 p 6 10 cm 6,831... cm 360 Koko vaijerin pituus on 6r p610 cm 6,831... cm 18,831... cm 183 cm
.4 Avaruusgeometriaa 189. a) Lasketaan korkeusjana Pythagoraan lauseen avulla. h 4,5 1 h 11,14... cm 11cm Korkeus on aina positiivista, joten = 11 cm. b) Lasketaan korkeusjana Pythagoraan lauseen avulla. h 7,5 16, 0 h 14,133... cm 14,1 cm Korkeus on aina positiivista, joten = 14,1 cm.
190. a) Sivun s pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. 7,5,3 s s 7,844... dm 7,8 dm Sivun pituus on aina positiivinen, joten s = 7,8 dm. b) Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. 4,6, 43 s s 5,0... dm 5, dm Sivun pituus on aina positiivinen, joten s = 5, dm.
191. a) Lasketaan kulman α suuruus sinin avulla. 1, sin 1, 5 53,130... 53 b) Lasketaan kulman α suuruus kosinin avulla. 1,1 cos,3 61,48... 61
19. a) Suorakulmaisen kolmion kanta on puolet pyramidin pohjan sivusta, eli 3,4 dm : = 1,7 dm. Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. 1, 7 4,5 s s 4,810... dm 4,8dm Sivun pituus on aina positiivinen, joten s = 4,8 dm. b) Merkataan suorakulmaisen kolmion pohjasivua kirjaimella. Piirretään Pyramidin pohjasta mallikuva. 0,80 m Sivun pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. 0,80 0,579... m Sivun pituus on aina positiivinen, joten = 0,579 m. Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. 1,4 0,579... s s 1,515... m 1,5 m
193. a) Merkitään pohjasuorakulmion lävistäjä kirjaimella. 6,5 dm 4,80 dm 4,80 dm Ratkaistaan Pythagoraan lauseella. 4,80 4,80 6,788... dm 6,79 dm Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 6,79 dm.
b) Merkitään särmiön avaruuslävistäjän pituutta kirjaimella l. l 6,5 dm 4,80 dm 4,80 dm l 4,80 4,80 6, 5 9,7... dm 9,3 dm
c) Merkitään pohjan lävistäjän ja avaruuslävistäjän kulmaa kirjaimella α. Ratkaistaan se tangentin avulla. l 6,5 dm α 4,80 dm 4,80 dm 6,5 tan 6,788... 4,636... 4,6
194. Merkitään pohjalävistäjää kirjaimella, avaruuslävistäjää kirjaimella l ja niiden välistä kulmaa kirjaimella α. l 13, cm 13, cm α 13, cm Lasketaan pohjalävistäjän pituus Pythagoraan lauseella. 13, 13, 18,667... cm Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 18,667 cm. Lasketaan kulman α suuruus tangentin avulla. 13, tan 18,667... 35,64... 35,3
195. Piirretään särmiön pohja ja ratkaistaan siitä pohjalävistäjä. Merkitään sitä kirjaimella. Sivujen terävä kulma on 33, joten sivujen tylppä kulma on 180 33 = 147. B A 147 33 33 4 cm C 168 cm z h D Lasketaan kolmiosta CDB sivun h pituus sinin avulla. h sin 33 168 h 91,499... cm Lasketaan kolmiosta CDB sivun z pituus kosinin avulla. z cos33 168 z 140,896... cm Lasketaan kolmiosta ADB sivun pituus Pythagoraan lauseen avulla. 91,499... (4 140,896...) 376,19... cm
Lävistäjän pituus on aina positiivinen luku, joten = 376,193 cm. 89 cm β 376,19 cm Nyt voidaan laskea kulman β suuruus tangentin avulla. 89 tan 376,19... 13,310... 13,3
196. 0,95 m z 3, m 1,8 m Sivun pituus on puolet sivun 3, m pituudesta, eli 3, m 1, 6 m. Lasketaan sivun z pituus Pythagoraan lauseella. z 1, 6 0,95 z 1,860... m Sivun pituus on aina positiivista, joten z = 1,860 m. 0,95 m l y 3, m 1,8 m Sivun y pituus on puolet sivun 1,8 m pituudesta, eli 1,8 m 0,9 m.
Lasketaan sivun l pituus Pythagoraan lauseella. l 0,9 0,95 l 1,308... m Sivun pituus on aina positiivista, joten l = 1,308 m. Myyntikojun katto rakentuu neljästä kolmiosta. Lasketaan kolmioiden pinta-alat. Kaksi katon kolmioista ovat 1,308 m 3, m Näiden pinta-ala on 1,308... m 3, m A1 4,187... m
Kaksi katon kolmioista ovat 1,860 m 1,8 m Näiden pinta-ala on 1, 8 m 1, 860... m A 3,349... m Katon pinta-ala on A A1 4,187... m 3,349... m 7,536... m 7,5 m
197. Tetraedrissä on neljä samanlaista tahkoa. Tahkot ovat tasasivuisia kolmioita. 9,3 cm 4,65 cm Suorakulmaisen kannan pituus on puolet tasasivuisen kolmion kannasta, eli 9,3 cm 4,65 cm. Lasketaan sivun h pituus Pythagoraan lauseella. h 4, 65 9,3 h 8,054... cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten h = 8,054 cm. Tetraedrin pinta-ala on 9,3 cm 8,054... cm A 4 149,805... cm 150 cm
198. a) Piirretään mallikuva. Kartion sisälle muodostuu suorakulmainen kolmio. h 45, cm r Kolmion korkeus on sama kuin kartion korkeus h. Kolmion toisen kateetin pituus on sama kuin kartion pohjaympyrän säde r. Kolmion hypotenuusa on sama kuin kartion sivujana eli 45, cm. Lasketaan ensin säteen r pituus, kun tiedetään, että kartion vaipan ala on 45,3 dm = 4 530 cm. 4 530 cm r 45, cm r 31,901... cm Lasketaan Pythagoraan lauseella sivun h pituus. h 31,901... 45, h 3,00... cm 3,0 cm 3,0 dm Sivun pituus on aina positiivinen, joten h = 3,0 dm.