Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2012 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6. 1. Ratkaise yhtälöt 2 2 a) 2(1 3x 3 x ) 3(1 2x 2 x ) b) x 1 x 1 c) 1 x. 1 x 2. Sievennä lausekkeet 1 1 a) x x x x 2 x 9 b) x 3 x x c) ln ln ln 2. 2 e x 2 2 3. a) Määritä funktion 1 x f ( x) e (sin x cos x ) 2 derivaatan arvo kohdassa x 0. b) Laske integraalin tarkka arvo. x 1 + sin dx 3 0 3 4. a) Olkoon, 2 sellainen kulma, että 1 cos. Määritä lukujen sin ja tan 3 tarkat arvot. b) Laske oheisessa kuvassa olevan kolmion sivun pituuden a tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. 3 a 30 o 2
2 5. Määritä polynomin 3 2 f ( x ) x 6x 15x 2 suurin ja pienin arvo välillä f x x x x suurin ja pienin arvo välillä 2,6. 2 6. 2 Laske paraabelin y 4 x ja suoran 4 x 3 y 4 väliin jäävän rajoitetun alueen pinta ala. Anna vastauksena tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. Piirrä kuvio. 7. Erään mallin (R. MacArthur & E. O. Wilson, 1967) mukaan saarella pesivien lintulajien lu b kumäärä n riippuu saaren pinta alasta A likimain kaavan n ka mukaisesti, missä k ja b ovat saaresta riippumattomia positiivisia vakioita. a) Havaintojen perusteella kahdella Kanariansaarella on saatu seuraavat arvot: 2 n1 20, A 1 10,2 km (Alegranza), 2 n2 6, A 2 0,0158 km (Roque del Oeste). Määritä näiden tietojen perusteella vakiot k ja b kolmen merkitsevän numeron tark kuudella. b) Arvioi mallin avulla La Palman saarella ((A A = 708 708 km km 2 ) pesivien lintulajien lukumäärää. Alegranza <http://www.lanzarote.org/blog/?p=629>. Luettu 31.3.2011. Tähän kaksi pientä kuvaa allekkain. Roque del Oeste La Palma <http://mappery.com/map-of/la-palma-physical-map>. Luettu 29.3.2011. <http://www.reptilesdecanariastjorge.com>. Luettu 31.3.2011. Luettu 31.3.2011. <http://www.lanzarote.org/blog/?p=629>. Luettu 31.3.2011. <http://mappery.com/map of/la Palma Physical Map>. Luettu 29.3.2011.
3 8. 8. Kiireisellä Kiireisellä professorilla professorilla on on yksi yksi luento luento jokaisena jokaisena viitenä viitenä arkipäivänä, arkipäivänä, mutta mutta hän hän ehtii ehtii pitää pitää päivittäisen päivittäisen luentonsa luentonsa vain vain 80 80 prosentin prosentin todennäköisyydellä. todennäköisyydellä. a) a) Millä Millä todennäköisyydellä todennäköisyydellä hän hän ehtii ehtii pitää pitää viikon viikon kaikki kaikki luennot? luennot? b) b) Millä Millä todennäköisyydellä todennäköisyydellä vain vain yksi yksi viidestä viidestä luennosta luennosta jää jää pitämättä? pitämättä? c) c) Määritä Määritä viikossa viikossa pidettyjen pidettyjen luentojen luentojen lukumäärän lukumäärän odotusarvo. odotusarvo. 9. 9. Olkoot Olkoot a a (cos (cos 2sin 2sin ) i ) i j j (sin (sin 2cos 2cos ) k ), k, b b (cos (cos sin sin ) i ) i j j (sin (sin cos cos ) k ). k. a) a) Osoita, Osoita, että että vektorit vektorit a a ja ja b b ovat ovat kohtisuorassa kohtisuorassa toisiaan toisiaan vastaan vastaan kaikilla kaikilla R R.. b) b) Olkoon Olkoon 0. 0. Onko Onko olemassa olemassa sellaisia sellaisia kertoimia kertoimia s, s t, t R, R että, että i i j j sa sa tb tb?? x 10. Tutki, kuinka monta ratkaisua yhtälöllä a 10. 10. Tutki, kuinka monta ratkaisua yhtälöllä e e x x on on vakion vakion a a R R eri eri arvoilla. arvoilla. x a 11. 11. 11. a) a) Geometrisen Geometrisen jonon jonon kaksi kaksi peräkkäistä peräkkäistä termiä termiä ovat ovat rationaalilukuja. rationaalilukuja. Osoita, Osoita, että että jonon jonon kaikki kaikki termit termit ovat ovat rationaalilukuja. rationaalilukuja. b) b) Geometrisessa Geometrisessa jonossa jonossa on on ainakin ainakin kaksi kaksi rationaalista rationaalista termiä. termiä. Osoita, Osoita, että että rationaalisia rationaalisia termejä termejä on on äärettömän äärettömän monta. monta. 12. 12. 12. Erään Erään vuorokauden vuorokauden lämpötilaa lämpötilaa f ( t f ) ( t tutkittiin ) tutkittiin ajan ajan t funktiona t funktiona mittaamalla mittaamalla lämpötila lämpötila Celsius Celsiusasteina asteina kolmen kolmen tunnin tunnin välein välein keskiyöstä keskiyöstä alkaen. alkaen. Tuloksena Tuloksena saatiin saatiin seuraava seuraava taulukko: taulukko: t t 0.00 0.00 3.00 3.00 6.00 6.00 9.00 9.00 12.00 12.00 15.00 15.00 18.00 18.00 21.00 21.00 24.00 24.00 f ( t f) ( t) 10,2 10,2 10,7 10,7 12,3 12,3 13,8 13,8 15,8 15,8 17,9 17,9 17,0 17,0 15,5 15,5 14,2 14,2 Arvioi Arvioi vuorokauden vuorokauden keskilämpötilaa keskilämpötilaa 24 24 1 1 ( ) 24 f t ( ) 24 f t dt dt 0 0 laskemalla laskemalla siinä siinä esiintyvä esiintyvä integraali integraali puolisuunnikassäännön puolisuunnikassäännön avulla. avulla. 13. 13. Määritä Määritä raja arvo raja arvo lim ln(4 x x 3) ln(3 x x 4). x 13. x lim ln(4 3) ln(3 4).
4 *14. 14. Sijoittaja käytti osakkeen kurssikehityksen arvioimiseen todennäköisyysjakaumaa, jonka tiheysfunktion maksimi saavutetaan markkina arvolla 20,50 ja joka on nolla yli viiden euron poikkeamilla markkina arvosta 20,50. Tiheysfunktio on jatkuva, ja sen kuvaaja koostuu kahdesta lineaarisesta osasta välillä 15,50 25,50. a) Määritä tiheysfunktion lauseke. (3 p.) b) Millä todennäköisyydellä osakkeen markkina arvo on alle 19? (2 p.) c) Muiden kurssien nousu sai sijoittajan muuttamaan jakaumaa epäsymmetriseksi niin, että maksimi saavutettiin edelleen arvolla 20,50, mutta nollakohta 25,50 siirtyi pistee seen 30,50. Muilta ominaisuuksiltaan jakauma pysyi samantyyppisenä kuin aikaisem min. Määritä tämän uuden jakauman odotusarvo. (4 p.) *15. 15. Suora ympyrälieriö on pallon sisällä niin, että sen molempien pohjien reunat sivuavat pallon pintaa. Pallon pinta alan suhdetta lieriön koko pinta alaan merkitään symbolilla t. Lieriön koko pinta alalla tarkoitetaan sen vaipan ja pohjien yhteenlaskettuja pinta aloja. a) Määritä lieriön korkeuden suhde lieriön pohjan säteeseen parametrin t avulla lausuttuna. (2 p.) Millä parametrin t arvoilla b) tällaista lieriötä ei ole olemassa (2 p.) c) on täsmälleen yksi tällainen lieriö (3 p.) d) on kaksi tällaista lieriötä? (2 p.)
%&'()&*''))7++39238,-882.8+989/3017+229933,495+29891-882.8+989+9+182 397+360896+0893/39166/375756238233386452 33149+9+29987/66+39+183/393-89786+,832 +73/389/678897+3149/3-882+6318,39884892 637289989/3+1836389373,8735216,6+0891:6262372 76338+63495+2989;5<9+2331 %=>?@'&))(*)A879B6+2636372899,87986232 82339/37+99+988089+188898,+95,51C37687322 28+63 G73822898,9826732283891373889/+9333333932 63,832281:6963,2322886137687322899+9873 7276+92370+733033,3/3,8787989636262876 6++0+331 HIJ*)I*(557897378+187653391.+2 1+96633,/336+73033489263728998998,982673 KKKLMNOPQNRMSTTUVLOW1.65333313733,+3+9872 7851X+92382339+183/3936+656666876661383+12 1238,337937+,8731 4892637289989578580+< X666372899,aEF26372899,a5+26372899, 98,98<KKKLMNOPQNRMSTTUVLOW 21+<WTOYZMNOPQNRMSTTUVLOW 17879<[#"\]^_#$]`] D76688887896372899, DEF26372899, D5+2+89637289363, D3,87,96372899, D345982673989+11238,337 376338!1"1#$ 0001234563728991
13 4,%6372899,'% 0-3 5( 5 7!99!739 *% 3.# 55!73"#$87%"1&9"$9%9% 6373!786398(+!9,3931 3%938* 0001234563728991 #!% 3% 3% 3%8%3'6!5( 7)!9 3./ # # 3% )# 56786372899,'% 122'% H J KL JM T V WX VY N P QR PS 3%# 3% 55!86372899,'% 8758(!3# B D EF DG < >?@ >A 9 ;
13 ())*+6372899*,+-./016372899*,+-.5216372899*,+- "#$#$%&#$'' 0001234563728991!! #$'' #$#$%&'' #$'' #$ #$%& 3 5 3 5 69 58 :;<=>;?@@A@<?BCDEFDB 3 5 6I 58 3 5 6H 58 3 5 6G 58 3 5 67 58
13 899: (6!9!733!9$)*)%+%%, 8 "339# $%&%&' %&%&%&'%& 0001234563728991 -./ 6372899: *0%12345/6*0'21234 ;<=>6372899: 72& 7'2&2 07'217234'0)'21)234 7'2+%&''2+% ;<5!>6372899:? A ;? A BC AD? A BG AD? A BE AD C A BF AD
13 =$$()6372899(')%>?@A6372899(')%>54A6372899(')% 34%89"5)31 #$$%87$$9&928'(()5()((*52+5'$%$,(9-./01 69!" 120001234563728991 678 6:9 " ";< "9 B D EF DG
D163728991EFGH63728991E53H63728991I./0313339621397388731 891 ' 1!" 0001234563728991 #$# &% (&)*'&(+,33-#$#,33-B69C39>" %31 2#7489:") 2#" 2<4=>" 2"!;"8?@@@ A"!;" #4#) ; ; A"!;"1 ))* 56+ (& J L MR LO J L MP LO J L MQ LO J L MN LO
1 ;3&3<<9!"93!6#6*7"7*#9//736"89"99:1 =**%"6372899%!"&> )&"&**9$8!"633&399#73%#+$3&1 83378&736*7"7*!"2239736"89"22*93!6#93$8!"633&399#738 %#+$"3&3"6*7"96**&86"&8"*1 #96#759#2"49%&"#9373&%636*7"7*73$8!"6#"&636*7"7*7#&89 8!"6#"$33949%&"#1'( (,-.( 229:46"89"93!6#5 22:: 22//4!"93!6#5 /, ', /01//22 4&3"8"%7&3!%3&876*7"785 /0 /03,?86372899%!"&>5#86372899%!"&@A C 0001234563728991 A C DH CFDA CI JKKLMN OLPQF DA CI CMRNMN OLPQF E C DS CF A C DE CF A C DG CF
1 $ A6372899BCD96372899B596372899EF H 8933387933978388 8893338733+4,9:93391 833387;<= %8339"#5&7''9"$# 9.4-+.,5..486.4.7 94-.5.48+4, ( )0 )*+,-.-+, 123.!"# "$# //-. 0001234563728991 >?-+,@? /..>? >? (( @?.
463728995678637289955863728999.77/0)123+1 3333963339263893231 333395"7#$%&'9"8891 *89() +),- ( ()!!0001234563728991 : < =A <? : < => <? : < =@ <?
<6372899=>?6372899=56372899@ 5633973835559337325998337931 0001234563728991!"#$!"%&! '()!*+#+)!,-&! /0)!,*!#+ '(20),*)#+/0)1-#'(20 +/3.'(2!,*!#+/!1- /)34/52(/666734/+ (0)!1-#+",#+#+/0 8339:555933739,;,734/+1A C DG CF A C DE CF #+"1-
19738972338993373333639 23823636331 6372899IJK6372899I56372899(L 3 3)$#&#%*+', -333395.7/'(09.8891 48339'35.7//9',1%#&"'3 483393309365.7//9'( H330%G#&%+)1 8!898"#$%#&"'( 78)"#78#&#%*+ )"#5#&#%*+ )"# 0001234563728991 "#$%#&"12%#&" "# %#&"$#&#%*+12"# %#&"61789: 78BA< #&%+)#+CCC D#&%+) "#$%#&"<=>@B<@E12%#&"<=>@B<@E "# %"&F+"CCC D%G&# %#<=>@B<@E 78<=<>?@ ><=A %#&";278<=<>?@ ><=AM O PS OR M O PQ OR
06674637289972489:;637289972485;6372899724<< 0001234563728991 589.33/031372393328733845574973431 ++! -++#!",### ###$%&'()%(* =? @A?B C? @D?B
18982968978999 3882967893 3$%$%!"#!"&' C6372899IJKL6372899I5L6372899MN 1(2*568789932 3()*82937899 B(C383398995893328989945581 86939992339!"# 3588919289945553673891 DE!:7!;?!"#D?!"&+!"&+!"!!!,& GE&:7!;?!"#G?!"&H!"!7$& HE,:7!;?!"#H?!"&G!"&!9# @E92!"9!A. FE$:7$;?!"#F?!"&@!"!!.9 +E7:7!;?!"#+?!"&D!"#+!",&-.# )+!"#+!",&-.#/,&"#0 0001234563728991 2:68;<=>< :79;?!"#@?!"&+>@ 7?!"#@?!"&!"9!A. /9$"!0 O Q RO QS TUUVWWXYZYZV[ \W]^Y `YZV[ ab Q b Q Rd QS b Q Re QS b Q Rc QS
-..6372899/0126372899/52637289934 3858978989369 33+,369%10001234563728991 % #!%("!"#$%"&#'&!"! #%)$"%#!*$("' 5 7 89 7:
17 C++&6372899%&DEFG6372899%&D5G6372899%&HIJ L ;#7971<+7=&9 3#$8%&63'&%33&&33963339()9&*896+7&989,&87 7>?@9:1A5 87&-"73&&739:1$8%&)3"63&&&33963339 99731 '&%331 B37&& -". 0 122222 011 011 22222 -. 222222 3456 " 77 "77 222222 >@"> 0J L MP LOJ L MQ LO J L MN LO 1 >> >@>@!!!/ 101!/!@ >!@@ 77! 77! >@!! @! 0001234563728991
*6372899+,-(6372899+5(6372899'. 868933932339333973'3(')89733823 3878782331 556889585589937373!"!#$ $ %& 0001234563728991 / 1 25 14 / 1 23 14
1333957 '()9973*363579%33& +8%&6&*339'',()- $89!949&9'()3&932&9&2&31 '()97&89&93%69 ',()93&*&363635 353',()43&&73"# $3%3873398%49&3'().&9*8%&63339973*3 '()78&78973&3597&89&93%697&&6&989587&9 '()795&973359897&89&93%69973587& ;&6372899%&<+=>6372899%&<5>6372899%&? '(!)8(!)92!!2-: ',()494! ',()696! 89-0101- ',() 2! -/01()!-!4-3!"#1 3130001234563728991 @ B CG BE @ B CF BE @ B CD BE
=978923!#373133&3397336 3"'(1)13737863631 1892!#' 33978786331798993699836989 3 >6372899?@AB6372899?5B6372899CD 3833982!#.91 33927$93673&8633399836989!"#$928292%&3927822979%&3"'!(#'*/0-,-!(#'*/-( */-(!#'*+,-'*-. */-(45!# 23!#'*/-( */-.(467!#.67(45!# 67(89:;<!(#'*/-(0001234563728991
899369&'6989()'89*)3'8925+,*9&'6989-3-73*.1,/929'9989-0139/*278229&79()'89729-3 -89'3395-973-0'32782273&77314-3,/630'3328--229 6278725 73'3890'27+728783'-3)3(-9*$(95-3'-3( 899369 :22-6372899-';<=36372899-';536372899-'>? -9*)39-3-3'-33(-9*.1!*6)35*!*6(99729'2227889-3-973-0'331!"#$ 0001234563728991 %@ B CF BE @ B CD BE
133998289898989923 46372899IJK:6372899I5:6372899L ;589323289399897893:9-331.7889 *!(99 8'!(79.78892339978233873989/80%0$11!(3737968+881,-3397833 '!(3731 #$%%"&%"'!() 0001234563728991 2739253320$ 789393377189-9899287637398989 93933771 3"199"09393377897399789393379891 " 46-339333933778932983363 #$939337789789993898633933: 0!"0 "0#$!" 0$!"056"0!0$ "0)! 9373978233<%=<>=89899898?!"?#$ 6339337789738998633933773137: 73389983292939968+881 3@!"@#$633933731273932 9393379891A89B!"@#?) *99898 M O PT ORQ O PU OR?0C@#?D!"?0C@#?D#$!"?#$EF"@#?G0!?B0%/H%?!"@#$ "?#$!"@#? M O PS OR M O PQ OR
13799366333633678981939363336349 93618936799933799399 &#'(3)#*+133,339 @6372899ABC6372899A56372899D =33=3,89872 0001234563728991 7!"#$% -'(./ 0123-'(4*45-'4-$6'7-$687-'6*7-*697-:69 #-(6( 73999-(6(>?1 7-86;7-86$7-:6:7-'4-(6'< E GH G IJ GK E G IL GK
1,-!6372899-"! 89!"3#3$3"6%%9 ()&' &'./0$6372899-"! * 0001234563728991 ().5%$6372899-"! *+ 1 2 45 4 67 48 2 4 69 485 4 6: 48
13836398549963339885633185 ://6372899DEF6372899D56372899GG #6333238339331.//8//9895/ 499338793332337398993333339 83!$'$()(*!()(+ (!",(!"#7278 0001234563728991!$%& 70112 85499 58639395/709$()(*$-)( :38639395/7096 <'+ =>?>@-)-3*-)9$9!()(AA$-)( *-)-3;!)-$9$-)(AA$()( -9B!()(3C$()( $-)(*!()( -)$*- -*-)$ 141'*7+ 6*67 6*- 6 *-)-3'*$()(+ -)-38'*!()(+ H J H J KL JMH J KN JM
B63728997CDE963728997C5963728997FG 555899559 56789793388939:331 3334555899559()-11 723872863@/&+( 0001234563728991 -?()1+1)18 ()-*12()-1 "#$% &'&()(*+(),-% ()(-0/+(),-0+()(-01)1/+(),-01)1 &'&()(-/+(),-.! 1-8<0-1 ;<7278;-=> -()1+1)1-A1 8-1 @/(+/&?()1+-()1+A1H J KO JM H J KL JM H J KN JM
!"&6372899"&FGHI6372899"&F5I6372899"&JKL N OP NQ 8639395790001234563728991!3"863939579 D33E01369C1 %&8549"&995 234 '()*)+ 53'6 #$,"9.3&/,"9--,"9.- #$ ;:9:< 4=6#>89: 789:< 4#$ =6 ;:9:< @>@ 7=#>89:?@>#@$ 789: @> @ ;:9:<>? $$$AAABC >#$@ @7<@> 7=#>89: 7<@>#$@7= 789:<>#$7=? @7= 7= L N OS NQ L N OR NQ
1633333395333973887372833798789889 0001234563728991 388936731 37993(3739293673) -8993(3739*. /8993(378989-6372899234(637289925(637289956 8 0 *+!"#$%& ', ',!"'%&$,"%',& #,&%#,&" *+#1,&%#1,&" 1,"%'1,&"'%& #&%#&" "%'&
76372899?@AB6372899?5B6372899CDE G HI GJ 67887878233899:878287557458879 33333978988988888993673 ;()957>938363>3336871 37&2 2939;() 399733 #$ #$ $% $+2=3$+$2= 0001234563728991!" ## %,&-,$./+0,1!289# &'($ % $*+*($) $<%, $45 )$*+*($ )
6372899?@A6372899?5!6372899BCD F GH FI 7/27889578 7388-./!928751 5!36390987333!341:6!#$3923397386 8-./!92875373+1<#889=>!9899!7363 :6!#$3923399!73!#$3!63;95309 98(369891)373273*936!73879!93!69897!345!897 8#69399!92398978 8990001234563728991 8 8!78!78233933328 8!7825 9!8$8953889#$8-./189!939397!99!9!782338738735!73!9!78233639 90129 012 +, 1898#69399!9233786 9!9!7823339395 %'86!!73D F GJ FI D F GK FI 97!99"!3#$8%&
863728999:;563728999556372899<= $%378*7*55591230 +899639586939992398978*9 6989897388899836836336973555 571 453658993739999 336339336395$89876789889()378*963951 939369899"#237388 633$398363936333699731%9 +339279 0 -.3, -.77!"#!	,,! /&/!,# &!&#'!!"#3! 0001234563728991!-.1E @ AF @C > @ AD @C > @ AB @C