d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð Ñ Ò Ò ÅÖ Ø ÐÐÒ ÖÚÓØ d ij 0 i m 0 j n ÙÖ Ú ÐÐ Ô Ð ÙØÙ ¹ Ú ÐÐ d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j = j, 1 j n, d ij = min{d i 1,j 1 + ( a i = b j Ø Ò 0 Ð 1), d i 1,j + 1, d i,j 1 + 1}, 1 i m, 1 j n. Ä Ù ¾º¾º½ d ij = D(a 1 a i, b 1 b j ) ÐÐ 0 i m 0 j nº Ö ØÝ Ø d mn = D(A, B)º ÌÓ ØÙ º ÁÒ Ù Ø Óº ½º ÐÙ ØÙ ÓÒ Ó Ò d 00 = D(ǫ, ǫ) = 0, d i0 = D(a 1 a 2 a i, ǫ) = (a 1 ǫ)(a 2 ǫ) (a i ǫ) = i, d 0j = D(ǫ, b 1 b 2 b j ) = (ǫ b 1 )(ǫ b 2 ) (ǫ b j ) = j. ¾º ÁÒ Ù Ø Ó Ð ÇÐ Ø Ø Ò ØØ d i,j ÓÒ Ó Ò ÙÒ i + j < i + jº Ì Ö Ø ÐÐ Ò a 1 a 2 a i Ò b 1 b 2 b j Ò Ú Ñ Ø Ò Ñ Ö Ò Ñ ÓÐÐ ØÓ ÒØ ¹ º Ì Ô Ù ÓÒ ÓÐÑ

¼ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË µ a i b j ÑÙÙØÓ Ø Ø ÑÝ µ ÄÝ ÑÑÒ ØÐÐ Ò ØÓ ÒØ ÓÒÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ d i 1,j 1 + ( a i = b j Ø Ò 0 Ð 1)º µ a i ǫ b j Ò Ó ØÙÙ ÑÙÙØÓ Ø Ø ÑÝ ÄÝ ÑÑÒ ØÐÐ ¹ Ò ØÓ ÒØ ÓÒÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ d i 1,j + 1º µ ǫ b j a i Ò Ó ØÙÙ ÑÙÙØÓ Ø Ø ÑÝ ÄÝ ÑÑÒ ØÐÐ ¹ Ò ØÓ ÒØ ÓÒÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ d i,j 1 + 1º Ì Ô Ù Ø Ó Ñ Ò Ø a i ǫ ǫ b j Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ Ó Ò Ô ØÙÙ ÓÒ d i 1,j 1 + 2 > d i 1,j 1 + 1º ÄÝ Ò ØÓ ÒØ ÓÒÓ a 1 a 2 a i b 1 b 2 b j ÓÒ Ô ØÙÙ ÐØ Ò Ó Ø Ò µ µ µ Ñ Ò Ñ ÓØ Ò Ú ÔØ º Ñ Ö ¾º¾º¾ A = ÐÐ, B = Ò ÐÐ D(A, B) = d mn = d 6,8 = 6º d Ò Ð Ð ¼ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ Ð ¾ ¾ Ð ÖÚÓ Ò (d ij ) 0 i m 0 j n Ð ÒØ ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ø ÙÐÙ¹ Ó ÒØ Ò Ð ÝØØÑÐÐ Ò º ÝÒ Ñ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ ¾º¾º D(A, B) Ò Ð ÒØ ÝÒ Ñ ÐÐ Ó ÐÑÓ ÒÒ ÐÐ Ô ÖÙ ¹ Ú Ö Óº ËÝ Ø A = a 1 a 2 a m B = b 1 b 2 b n ÌÙÐÓ Ø Å ØÖ (d ij ) 0 i m 0 j n d mn = D(A,B) ½µ ÓÖ i := 0 ØÓ m Ó d i0 := i ÐÙ ØÙ Ø µ ¾µ ÓÖ j := 1 ØÓ n Ó d 0j := j µ ÓÖ j := 1 ØÓ n Ó µ ÓÖ i := 1 ØÓ m Ó µ d ij := min{d i 1,j 1 + ( a i = b j Ø Ò 0 Ð 1),d i 1,j + 1,d i,j 1 + 1} Ú Ø ÑÙ ÓÒ Θ(mn)º

¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ½ ËÙÓÖ Ú Ú Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ Θ(mn) Ð Ñ ØÖ Ò (d ij ) Ú ¹ Ø Ñ Ø Ð µº Ì Ð Ú Ø ÑÙ Ø Ö ÑÑ Ò d ij Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ØÓ Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ë Ö Ò j ÖÚÓ Ò d ij 1 i m Ð Ñ Ö ØØ ØÙÒØ ÐÐ Ò Ö Ò j 1 ÖÚÓØ d i,j 1 1 i mº ÐÙ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ¹ ØÒ d 0j = j Ó Ø Ð Ô Ò Ð ÒØ Ù ÙÙ ÐÐ Ò Ö Ò ÖÚÓ Ò ÚÙÐÐ º Ì ÖÚ Ø Ò ØÝ Ø Ð Ø ÙÐÙ C[0...m] Ý ÔÙÑÙÙØØÙ C ÓØ Ø¹ ØÚØ ÚÙÓÖÓ ÓÐ Ú Ò Ö Ò Ó Ð ØØÙ Ó ÐÐ Ò Ö Ò Ú Ð Ø ÖÚ ØØ Ú Ó C[0...i 1] ÓÒ Ö Ò j Ó Ð ØØÙ Ó ÙÙ º C C[i...m] ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ö Ò j 1 Ú Ð Ø ÖÚ ØØ Ú Ò Ó ÙÙ Òº

¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË Ð ÓÖ ØÑ ¾º¾º D(A, B) Ò Ð ÒØ Ø Ð Θ(m)º ËÝ Ø A = a 1 a 2 a m B = b 1 b 2 b n ÌÙÐÓ Ø d mn = D(A,B) ÀÙÓѺ Ã Ñ ØÖ Ò d ij µ Ð ÓØ Ð Ø Ò ÑÙØØ Ò Ø Ø ÐÐ Ø Ø º ½µ ÓÖ i := 0 ØÓ m Ó C[i] := i ÐÙ ØÙ j = 0 µ ¾µ ÓÖ j := 1 ØÓ n Ó µ C := C[0];C[0] := j ÐÙ ØÙ i = 0µ µ µ ÓÖ i := 1 ØÓ m Ó ÒÚ Ö ÒØØ C = d i 1,j 1 C[i 1] = d i 1,j C[i] = d i,j 1 µ µ tmp := min(c a i = b j Ø Ò 0 Ð 1µ C[i 1] + 1 C[i] + 1µ µ C := C[i] d i,j 1 Ø ÐØ Ò µ µ C[i] := tmp µ write C[m] Ú Ø ÑÙ ÓÒ Θ(mn) Ó C[0...m] ØÝØ ØÒ n ÖØ º Ì Ð Ú ¹ Ø ÑÙ ÓÒ Θ(m)º ÀÙÓÑ ØØ Ó D(A, B) = D(B, A) ÚÓ Ò Ð º ¾º¾º Ò Ú Ð Ø ÓÒÓ A ÐÝ Ý ÑÔ Ú ÖÖ ØØ Ú Ø ÓÒÓ Ø ÓØ Ò m n ÔØ Ò º ØÓ ÒØ Ø ÝÝØØ Ú Ø Ú Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ Ð ØØÑ ¹ Ò Ò ÃÙØ Ò ÝÐ Ò Ò ÝÒ Ñ Ó ÐÑÓ ÒÒ ÚÓ Ò ØÙÒ ÓÔØ ¹ Ñ Ö Ø ÙÒ Ø d mn µ ÒØ Ú Ø Ð Ð Ø Ø ØÓ ÒØ ÓÔ Ö ¹ Ø Óص ÐÚ ØØ Ð Ø Ò ÙÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ð ØØÙº ÌÙÐÓ Ø d mn Ô ÖÙÙ¹ Ø Ø Ò Ó Ø Ð ÙÔ Ø ØØ d 00 ØÙØ Ø Ò Ñ Ø Ö ØØ Ô Ø Ò Ñ Ò ÑÓ ÒØ Ø Ò (d ij ) º ÌÑÒ ÐÔÓØØ Ñ ÚÓ Ò d ij Ò Ð ØØ Ø ØÓ Ø Ñ Ø Ð Ó Ø d i 1,j 1 d i 1,j Ø d i,j 1 µ Ò Ô Ø Ò Ñ Ò ÑÓ ÒÒ º Ð ÓÒ d ij ÖÚÓ ÓÒ Ý Ø Ù ÑÔ ÙÖ Ú Ø ½µ d i 1,j 1 + ( a i = b j Ø Ò 0 Ð 1) ¾µ d i 1,j + 1 µ d i,j 1 + 1 Î Ø Ú Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø

¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ½µ ÑÙÙØÓ Ø Ø ÑÝ a i b j ¾µ ÔÓ ØÓ a i ǫ µ Ð Ý ǫ b j º Ê Ø ÙÒ Ð ØØÑ Ò Ò ½º ÃÙÒ d ij ÓÒ Ð ØØÙ Ð ÓÖ ØÑ ¾º¾º µ Ø ÐÐ Ø ÐÐ i, j ÓÙ ÓÓÒ pred ij Ð Ó (i 1, j 1) Ó ½µ ÔØ Ð Ó (i 1, j) Ó ¾µ ÔØ Ð Ó (i, j 1) Ó µ ÔØ º ¾º ÃÙÒ d mn ÓÒ Ð ØØÙ ÙÖ pred¹ð Ò d 00 Òº Ñ Ö ¾º¾º d Ò Ð Ð ¼ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ Ð ¾ ¾ Ð Ä Ý ØÒ Ö Ø Ù ÔÓÐ Ù d mn Ø d 00 Òµ Ѻ ÄÄÄÄÌÌÌÌÈÈ ÅÌÄÅÅÌÄÅ ÅÌÅÅÄÌÅÄ ¹¹¹¹ ÐÐ ¹ÐÐ ¹ Ðй ¹ Ò Ðй¹ Ò ÐÐ Ò ÐÐ Ê Ø Ù ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø º ËÓÚ ÐÐÙ Ø Ö ÔÙ Ò Ò ÐÐ ØØ Ú Ð ÓÐÐ Ó Ò ÖÚÓ Ö ØÝ º ÃÓ Ð º ¾º¾º Ø ÐÐ Ø Ñ ØÖ (d ij ) Ø ÝØ ØØ Ö Ø Ù ÚÓ Ð Øغ Í Ò Ù Ø Ò Ò Ô Ð d mn ¹ ÖÚÓ Ö Øغ

ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ¾º À ÑÓÒ Ð ÑÖ Ø Ò ÒØÝÑ Ò Ø Ñ ¹ Ò Ò º Æ Ú ÖÖÓº Ù ØÓÙÖ ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ò Ñ Ø Ò º Å ÓÑÔÙØ Ò ËÙÖÚ Ý ½µ ½ ¾¼¼½º ÇÐ ÓÓÒ S = s 1 s 2 s n Σ Ø Ø P = p 1 p 2 p m Σ ÑÓº ÇÐ ÓÓÒ k Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù 0 k mº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º½ À ÑÓÒ P Ð ÑÖ Ò Ò ÒØÝÑ k Ú Ö ÐÐ k ¹ Ö Ò µ ÓÒ Ø Ø Ò S Ó ÓÒÓ X ÓÐÐ D(P, X) kº ÃÝØÒÒ Ù Ò ÐÙØ Ò Ú Ò ÒØÝÑ Ò ÐÓÔÔÙ Ó Øº ÃÙ¹ ÙÒ Ò ÐÓÔÔÙ Ó Ø Ò ÚÓ ÔØØÝ Ù Ø ÒØÝÑ º ¾º º½ ÝÒ Ñ Ò Ò Ó ÐÑÓ ÒØ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÖÚÓØ g ij 0 i m, 0 j n ÙÖ Ú Ø g 0j = 0, 0 j n, g i0 = i, 1 i m, g ij = min{g i 1,j 1 + ( p i = s j Ø Ò 0 Ð 1), g i 1,j + 1, g i,j 1 + 1}, 1 i m, 1 j n. Ä Ù ¾º º¾ g ij = min{d(p 1 p i, s l s j ) 1 l j + 1} ÐÐ 0 i m 0 j nº Ö ØÝ Ø j ÓÒ ÒØÝÑÒ ÐÓÔÔÙ Ó Ø Ó Ú Ò Ó g mj kº ÌÓ ØÙ º ÁÒ Ù Ø Óº ½º ÐÙ ØÙ ÓÒ Ó Ò g 00 = D(ǫ, ǫ) = 0, g 0j = D(ǫ, s j+1 s j ) = D(ǫ, ǫ) = 0, g i0 = D(p 1 p i, ǫ) = i. ¾º ÁÒ Ù Ø Ó Ð ÃÙØ Ò Ð Ù ¾º¾º½º

¾º º À ÀÅÇÆ ÄÁÃÁÅ Ê ÁËÌ Æ ËÁÁÆÌ ÅÁ Æ ÌËÁÅÁÆ Æ g ij Ö Ñ Ò ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ñ ½ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Ø ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ Ð ÓÖ ØÑ ¾º º Ä ÑÖ Ò Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ k Ú Ö ØØ ËÝ Ø P S kº ÌÙÐÓ Ø P Ò Ð ÑÖ Ø ÒØÝÑ Ó Ø k Ú Ö ÐÐ S ½µ ÓÖ i = 0 ØÓ m Ó g i0 := i ¾µ ÓÖ j = 1 ØÓ n Ó µ g 0j := 0 µ ÓÖ i := 1 ØÓ m Ó µ g ij := min{g i 1,j 1 + p i = s j Ø Ò 0 Ð 1µ g i 1,j + 1 g i,j 1 + 1Ð µ g mj k Ø Ò ÛÖ Ø µ Ð ÓÖ ØÑ Ò ¾º º Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(mn) Ø Ð Ú Ø ÑÙ O(mn)º Ì Ð Ú Ø ÑÙ ÚÓ Ò Ô Ò ÒØ O(m) Ò Ô ØÑÐÐ Ú Ò Ý Ö ÑÙ Ø ÙØ Ò Ð ÓÖ ØÑ ¾º¾º º Ä Ù ¾º º Ä ÑÖ Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ k Ú Ö ÐÐ ¹ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ¾º º O(mn) Ø Ð O(m)º Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò ÑÙÙØØ ØÙÐÓ Ø Ñ Ò ÙÐÐ Ò ÐÓÔÔÙ Ó ÐÐ ÑÝ ¹ Ò ÔØØÝÚÒ ÒØÝÑÒ Ð Ù Ó Ø Ñ Ø Ð º ÂÓ g ij = d Ò Ò D(p 1 p i, s t s j ) = d ÓÐÐ Ò t = t ij º Ì ÐÐ Ø Ø Ò t ij Ý g ij Ò Ò º t ij ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ñ Ò ÑÓ ÒÒ Ò Ý Ø Ý º Ñ Ö Ó g ij = g i,j 1 + 1 Ò Ò t ij = t i,j 1 º à ÒØÝÑ Ù Ø Ò Ò Ò Ò Ð Ý Øº Ò ÒÒ Ò t ij ÓÐ ÚÐØØÑØØ Ý ØØ Ò Òº ÌÓ Ó g mj < d k Ð ÓÖ ØÑ Ð Ý¹ j Ò ÔØØÝÚ ÒØÝÑ Ó Ò ØÓ ÒØ Ø ÝÝ ÑÓ Ø ÓÒ dº

ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ¾º º¾ Ê Ó Ø ØØÙ ÝÒ Ñ Ò Ò Ó ÐÑÓ ÒØ º Í ÓÒ Ò Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ô ØØ ÖÒ Ò ØÖ Ò º º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ¾ ½ ½ º Å ØÖ Ò (g ij ) Ö ÒØ ÓÒ ÒÒ ÒÑÙ ÙÙ Ó Ó Ø Ô Ö٠й ÓÖ ØÑ Ø Ó ÑÔ Ò Ö Ø ÙÙÒº Å ØÖ Ò (g ij ) ÐÚ Ø Ò k m k n ÙÙÐÙÚ Ø Ò Ð ÓØ g ij Ó ÐÐ j i = kº g ij Ö Ñ Ò ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ñ ½ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Ø ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ Å ØÖ Ò (g ij ) Ð Ó Ò ÖÚÓØ ÚÓ Ú Ø ÒÓ Ø Ò ÔÝ Ý ÒÒ ÐÐ Ò Ø Ú ÙÒ ØÒ ÓØ Ò ÐÚ Ø Ô Ø Òº ÃÙÒ ÖÚÓ Ú Ð Ý ÓÒ Ò Ý º ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð Ñ ÝØ ØØÚÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ (d ij ) ÓÒ Ñ ÓÑ Ò ÙÙ º Ä ÑÑ ¾º º ÂÓ ÐÐ g ij 1 i m 1 j n g ij = g i 1,j 1 Ø g ij = g i 1,j 1 + 1º ÀÙÓÑ ØØ g ij g i 1,j 1 ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÐÚ Ø Ðкµ ÌÓ ØÙ º ÃÓ g ij ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ó ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò g ij g i 1,j 1 + 1 Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ g i 1,j 1 g ij. ÌÑ ØÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ i + j Ò Ù Ø Òº Ò Ò Ý ÙÖ Ú Ø ÔØ µ g ij = g i 1,j 1 + ( p i = s j Ø Ò 0 Ð 1)º ÌÐÐ Ò g ij g i 1,j 1 º µ i = 1º ÌÐÐ Ò g 0,j 1 = 0 g 1j º

¾º º À ÀÅÇÆ ÄÁÃÁÅ Ê ÁËÌ Æ ËÁÁÆÌ ÅÁ Æ ÌËÁÅÁÆ Æ µ i > 1 g ij = g i 1,j + 1º ÌÐÐ Ò ÔØ g ij = g i 1,j + 1 g i 2,j 1 + 1 g i 1,j 1 Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò Ò ÑÑ Ò Ò µ ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÓ Ò Ò µ ÒÓ Ð¹ Ð º ÀÙÓÑ ØØ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÚÓ Ø Ò ÝØØ Ó i > 1º µ g ij = g i,j 1 + 1º ÌÑ ÚÓ Ø Ô ØÙ Ú Ò Ó j > 1 Ó g i,1 g i 1,0 + 1 < g i,0 + 1º ÌÐÐ Ò ÔØ g ij = g i,j 1 + 1 g i 1,j 2 + 1 g i 1,j 1. ÌÑÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÙÐÐ (g ij ) Ò Ð ÒØ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ k Ú Ö ØØ ¹ÓÒ ÐÑ È ØÒ Ö Ø Ñ ÙÐÐ Ò Ö ÐÐ g,j ÓÒ Ú Ñ Ò Ò g ij Ó ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò kº Ë ÐÐÓ Ò Ö ÐÐ g,j+1 ÚÓ ÓÐÐ ÖÚÓ ÓØ ÓÚ Ø ÓÖ ÒØ Ò k Ú Ò Ö Ú ÐÐ 0,...,i+1º Æ Ø Ô Ø ÑÑÐÐ ÒÒ Ø Ð º Å Ö Ø Ò top[j] = max{i i m g i,j = k}º ÌÐÐ Ò top[j + 1] top[j] + 1º Ð ÓÖ ØÑ ¾º º Ä ÑÖ Ò Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Ö Ó Ø ØØÙ Ú Ö Ó ËÝ Ø P S kº ÌÙÐÓ Ø P Ò Ð ÑÖ Ø ÒØÝÑ Ó Ø k Ú Ö ÐÐ S º ½µ ÓÖ i = 0 ØÓ min(k + 1,m) Ó g i0 := i ¾µ top := min(k + 1,m) top[0] = min(k,m) µ µ ÓÖ j = 1 ØÓ n Ó µ g 0j := 0 µ ÓÖ i := 1 ØÓ top Ó µ g ij := min{g i 1,j 1 + p i = s j Ø Ò 0 Ð 1µ g i 1,j + 1 g i,j 1 + 1} µ Û Ð g top,j > k Ó top := top 1 Ð Ý ØÒ top[j] µ µ ØÓÔ Ñ Ø Ò write(j) µ Ð ½¼µ top := top + 1 ½½µ g top,j := ÐÙ ØÙ ÙÖ Ú Ö ØØ Ú ÖØ Ò µ

ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË k = 1 g ij Ö Ñ Ò ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ñ ½ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Ø ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ Ð ÓÖ ØÑ Ò ¾º º Ú Ø ÑÙ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò Ð ØÙÒ (g ij ) Ò Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Òº ÂÓ S P ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÑÖ Ò Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(kn)º Ì Ð Ú Ø ÑÙ O(m) ÚÙØ Ø Ò Ô ØÑÐÐ Ú Ò Ý Ö ÑÙ Ø º Ä Ù ¾º º Ä ÑÖ Ò Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ k Ú Ö ÐÐ ¹ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ¾º º ÑÖ Ò O(kn) Ø Ð O(m)º ÌÓ ØÙ º Ã Ø Ó Ïº Ò ² º Ä ÑÔ Ì ÓÖ Ø Ð Ò ÑÔ ¹ Ö Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ò Ñ Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ º ÈÖÓº Ö ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÓÑ Ò ØÓ¹ Ö Ð È ØØ ÖÒ Å Ø Ò Èŵ ÄÆ Ë ËÔÖ Ò Ö ½ ¾ ½ ½ º Ð ÓÖ ØÑ ¾º º ØÓ Ñ ÝÚ Ò ÝØÒÒ Ó k ÓÒ Ô Ò º Ò ² Ä ÑÔ ØØÚØ ØÓ ÒÐ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó ØÓ Ñ Ñ¹ Ö Ò O(kn)º ÄÚ Ø Ð ÑÑ Ò Ô ÖÙ ØÙ Ò ÓÒ Ø ØØÝ Ù Ø Ð ÑÖ Ò ¹ ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ó Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(kn) Ô ÑÑ ¹ Ò Ø Ô Ù Ú Ò ÑÖ Òµ Ѻ º Ä Ò Ù ² ͺ Î Ò Ø ØÖ Ò Ñ Ø Ò Û Ø k Ö Ò º º ÓÑÔÙغ ËÝ Øº Ë º ½ º

¾º º Å ÊËÁÆ ÁÌÌÁÊÁÆÆ Ãà ÁÆ Æ Ä ÇÊÁÌÅÁ ¾º ÅÝ Ö Ò ØØ Ö ÒÒ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ º ÅÝ Ö º Ø Ø¹Ú ØÓÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ ¹ Ø Ô ØØ ÖÒ Ñ Ø Ò ÓÒ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò º  Šµ ½ ½ º ÆÓÔ ÙØ Ø Ò Ñ ØÖ Ò (g ij ) Ð ÒØ ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ØØ Ö ÒÒ ÙÙع Ø º Ê Ó ØÙÑÑ ÐÝ Ý Ò ÑÓ Ò Ó ÐÐ Ñ ØÖ Ò Ö ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ý Ò º Å ØÖ (g ij ) Ø ØÒ ÑÙÓ Ó Ó Ø ÐÐ Ø Ø Ò ÓÐÙ Ò ÖÚÓ Ò Ø Ò Ú Ö Ò ÓÐÙÒ ÖÓØÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú ÖÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÐØ µ h ij = g ij g i,j 1 ÔÝ ØÝ ÖÓ Ú ÖØ Ð ÐØ µ v ij = g ij g i 1,j º ÃÓ g i0 = i g 0j = 0 ÔØ g ij = v 1j + v 2j + + v ij = i + h i1 + h i2 + + h ij à ÖÚÓØ h ij v ij ÚÓ Ò ØØ ÐÐ Ø ÐÐ Ñ ÙÖ Ä ÑÑ Ø ¾º º½º Ä ÑÑ ¾º º½ à ÐÐ i, j ÓÒ ÚÓ Ñ h ij, v ij { 1, 0, 1}º Ä ÒØ Ø Ò Ö ØØ Ò v 0 h 1 v 1 h 2 Ä Ð Ø Ò Ú Ñ Ò Ö Ú Ò ÖÚÓØ sc j = g mj 0 j n ÚÓ ÐÐ sc 0 = m sc j = sc j 1 + h mj º

¼ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË Ñ Ö ¾º º¾ Î ¹ ÔÝ ØÝ ÖÓØ ÑÓÐÐ Ñ Ø Ø Ø ÐÐ Ö Ñ Ò 1 1 ÓÒ ÓÖÚ ØØÙ ÝÑ ÓÐ ÐÐ +µº Ö Ñ Ò ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ñ + + + ¼ + + + + + + ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ + ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ + + + + ¼ + + + + ¾ ¼ ¾ ¼ ¾ ½ ¼ + ½ + ¾ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼ ¾ Ø + + + + + ¼ ¼ + + + ¼ ¼ ¾ ½ ¼ ½ + ¾ + ¼ ¼ + + + + + ¼ ¼ ¼ + + ¼ ¼ ¾ ½ + ¾ + + ¼ + + + + + + ¼ ¼ ¼ ¾ ½ + ¾ + + ÝÒ Ñ Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÐÙÒ g ij Ð Ñ Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÓÐÙ g i 1,j, g i 1,j 1 g i,j 1 º Æ Ò Ð ØØÝÝ ÔÝ ØÝ ÖÓ v in = v i,j 1 v out = v i,j Ú ÖÓ h in = h i,j 1 h out = h i,j º ÌÓ ØÙ ÑÙØØ Ð ÒÒ µ ÝØ ØÒ Ð ÖÚÓ d = g ij g i 1,j 1 º g i 1,j 1 h in g i 1,j v in d v out g i,j 1 h out g ij Ä ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Eq = Eq ij ÓÒ ½ Ó p i = s j ÑÙÙØÓ Ò ¼º ÃÙÚ Ø Ò Ð ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ö ÙÑ ÒØØ Ò ÓÚ Ø v in, h in Eq ØÙÐÓ Ò d v out h out º Ä ÑÑ ¾º º ÂÓ Eq = 1 Ø v in = 1 Ø h in = 1, Ò Ò ÔØ d = 0, v out = h in h out = v in. ÅÙÙØ Ò d = 1, v out = 1 h in h out = 1 v in.

¾º º Å ÊËÁÆ ÁÌÌÁÊÁÆÆ Ãà ÁÆ Æ Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ ÌÓ ØÙ º g ij Ò Ô Ð ÙØÙ Ú ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ g ij = min{g i 1,j 1 + ( p i = s j Ø Ò 0 Ð 1), g i,j 1 + 1, g i 1,j + 1} = g i 1,j 1 + min{1 Eq, v in + 1, h in + 1}. Å Ö ØÒ d = g ij g i 1,j 1 = min{1 Eq, v in + 1, h in + 1}º Ë d = 0 Ó Eq = 1 Ø v in = 1 Ø h in = 1º ÅÙÙØ Ò d = 1º Ë ÐÚ Ø d = v in + h out = h in + v out Ñ Ø Ò v out = d h in h out = d v in º ÖÚÓØ Eq ij d ÓÚ Ø ØØ ÑÙØØ v ij h ij ÓÚ Ø ØÖ ØØ º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ð Ñ Ò Ó ÓÒ Ò Ø Ðк Ë Ñ ÐÐ ÖÖÝØÒ Ö ØÑ ØØ Ø ÐÓÓ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò ØÙÐ ÒÒ ÐÐ ¼ ÓÒ ÔØÓ ½ ÓÒ ØÓ º Ø ØÒ v ij ÐÐ Ø ÐÐ Pv ij Mv ij Ó Ø ÐÐ Ò Ò ÓÒ ½ Ó v ij = 1 Ú Ø Ú Ø Ð ÑÑ Ò Ò ÓÒ ½ Ó v ij = 1º Ø ØÒ h ij Ú Ø Ú Ø ÐÐ Ø ÐÐ Ph ij Mh ij º ÌÐÐ Ò v ij h ij = Pv ij Mv ij = Ph ij Mh ij Ä ÑÑ ¾º º Pv out = Mh in (Xv Ph in ) Mv out = Ph in Xv Ph out = Mv in (Xh Pv in ) Mh out = Pv in Xh Ñ Xv = Eq Mv in Xh = Eq Mh in º ÌÓ ØÙ º ËÝÑÑ ØÖ Ò ÚÙÓ Ö ØØ Ó Ó ØØ Ú Ø Pv ÐÐ Mv ÐÐ º Ä ÑÑ Ò ¾º º ÑÙ Ò Pv out = ( d Mh in ) ( d Ph in ) Mv out = ( d Ph in ) ( d 0) = d Ph in

¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ÃÓ d = (Eq Mv in Mh in ) = (Xv Mh in ) = Xv Mh in ÔØ Pv out = ((Xv Mh in ) Mh in ) ( Xv Mh in Ph in ) Mv out = Mh in (Xv Mh in Ph in ) = Mh in (Xv Ph in ) = (Xv Mh in ) Ph in = Xv Ph in Î Ñ Ð ÓÒ Ý ÝÒÒ ØØÝ Ø ØÓ ØØ Mh in Ph in ÚØ ÚÓ ÓÐÐ ½ Ñ Ò Ø º Ä ÑÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ó Ñ ØÖ Ò ØØ ØÝ ÚÓ Ò Ð ÙÖ Ú ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÖ i := 1 ØÓ m Ó Pv i0 := 1 Mv i0 := 0 ÓÖ j := 1 ØÓ n Ó Ph 0j := 0 Mh 0j := 0 ÓÖ i := 1 ØÓ m Ó Xh ij := Eq ij Mh i 1,j Ph ij := Mv i,j 1 (Xh ij Pv i,j 1 ) Mh ij := Pv i,j 1 Xh ij ÓÖ i := 1 ØÓ m Ó Xv ij := Eq ij Mv i,j 1 Pv ij := Mh i 1,j (Xv ij Ph i 1,j ) Mv ij := Ph i 1,j Xv ij ÌÑ Ð ÓÖ ØÑ ÓÐ Ú Ð ÑÔ Ø Ó ÑÔ ÑÙØØ Ò ÐÑÙ Ø ÚÓ Ò ØØ Ö ÒÒ Ø º Ì ÐÐ Ø Ø Ò Ö Ø Pv j Mv j Ph j Mh j Eq j Ù Ò Ý Ø Ò ØØ Ú ØÓÖ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ m w Ú ØÓÖ ÓÒ Ø Ø ÔÓ Ø Ó 1,..., mº ½ ÂÐ ÑÑ Ò Ò ÐÑÙ ÚÓ Ò ÒÝØ ÙÓÖ ØØ ÙÖ Ú Ø ½ Ð ÓÖ ØÑ Ú Ø Ø Ò Ph¹ Mh¹Ú ØÓÖ Ò ¼¹ ØØ Ò ÑÙØØ Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ Ò ¼ Ñ ØÙÐ ÖØÓ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ó Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØ ØÙ º

¾º º Å ÊËÁÆ ÁÌÌÁÊÁÆÆ Ãà ÁÆ Æ Ä ÇÊÁÌÅÁ Xv j := Eq j Mv,j 1 Pv j := (Mh,j << 1) (Xv j (Ph j << 1)) Mv j := (Ph j << 1) Xv j Ì ÓÒ ÝØ ØØÝ ÖØÓ¹ÓÔ Ö Ø ÓØ B << 1 Ó ÖØ ØØ Ú ØÓÖ B Ø Ò Ó Ø i 1 Ó Ø Ò i ÐÐ 1 < i B ØØ B 1 = 0µº Ò ÑÑ Ò ÐÑÙ Ò ØØ Ö ÒÒ ØÙ ÙØØ Ù Ø Ò Ò ÓÒ Ð¹ Ñ Ò Xh j := Eq j (Mh j << 1) Ph j := Mv,j 1 (Xh j Pv,j 1 ) Mh j := Pv,j 1 Xh j ÆÝØ Ú ØÓÖ Mh j ÝØ ØÒ Xh j Ò Ð Ñ Ò ÒÒ Ò Ù Ò ÓÒ Ð ØØÙº Ä ÒØ Ö ØÝ Ò ÑÙÙØÓ ÙØ Ó Xh j Ø ÝØ ØÒ ÔÙÓÐ Ø Ò Mh j Ò Ð Ñ Òº Ã Ø Ô ØÒ ÙÐÓ Ð Ñ ÐÐ Xh j ÐÑ Ò Mh j Ø Ø ÑÙ Ø Ú Ø ÑÝ ÑÑ Ò ÖÚÓÒ Ú ØØ Ú ØÓÖ Ø º Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ ÑÖ ØØ ¹ Ð Xh j Ò Ú ØÓÖ Ò Eq j Pv,j 1 ÚÙÐÐ º Ä ÑÑ ¾º º Xh ij = l [1, i] : Eq lj ( x [l, i 1] : Pv x,j 1 ). ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ i Ò Ù Ø Òº Ä ÑÑ Ò ¾º º ÑÙ Ò Xh ij Mh ij = Eq ij Mh i 1,j = Pv i,j 1 Xh ij ÐÙ ØÙ i = 1 Ç ÔÙÓÐ ÙØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ Eq 1j º ÃÓ Mh 0j = 0 ÐÐ j ÔØ Xh 1j = Eq 1j Mh 0j = Eq 1j. ÁÒ Ù Ø Ó Ð ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Xh i 1,j ÓÒ Ú ØØ Ò ÑÙ Ò Òº Xh ij = Eq ij Mh i 1,j = Eq ij (Pv i 1,j 1 Xh i 1,j )

ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ÌÓ ÐØ l [1, i] : Eq lj ( x [l, i 1] : Pv x,j 1 ) = Eq ij l [1, i 1] : Eq lj ( x [l, i 1] : Pv x,j 1 ) = Eq ij (Pv i 1,j 1 l [1, i 1] : Eq lj ( x [l, i 2] : Pv x,j 1 )) Î Ø ÙÖ ÒÝØ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø º Ä ÑÑ Ò ¾º º Ú ÒÝØØ Ñ ÓØØÓÑ ÐØ Ð Ú Ó Ý ¹ ÐÐ Ø ÐÐ Ø ØØ Ò ØØ Ö ÒÒ Ø Ó Ó Ú ØÓÖ ÐÐ Xh j º Ë ÓÒ Ù ¹ Ø Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÑÙØØ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ð Å Ö ØÒ ÜÓÖ¹ÓÔ Ö Ø ÓØ ÝÑ ÓÐ ÐÐ 0 1 = 1 0 = 1 0 0 = 1 1 = 0º ÌÙÐ Ø Ò ØØ Ú ØÓÖ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ØØ ØÝ Ø Ò ØØ Ú ¹ Ø Ò Ñ Ö Ø Ú ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ó ½º Ø Ø Ð Ø Ø Ò Ò Ø Ò Ñ Ö Ø Ú Ø Ð Òº Ñ Ö B 1...m = B m B m 1 B 1 º ÃÝØ ØÒ Ý Ø ÒÐ Ù ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Ѻ 0001 + 0111 = 1000º Ä ÑÑ ¾º º Å Ö ØÒ X = Xh j E = Eq j P = Pv,j 1 ÓÐ ÓÓÒ Y = (((E P) + P) P) Eº ÌÐÐ Ò X = Y º ÌÓ ØÙ º Ã Ö Ó Ø Ø Ò X i Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ò ØÓ Ò ÑÙÓØÓÓÒ X i = 1 Ó Ú Ò Ó µ E i = 1 Ø µ l [1, i] : E l...i = 00 01 P l...i 1 = 11 1º X i = 0 Ó Ú Ò Ó µ E 1...i = 00 0 Ø µ l [1, i] : E l...i = 00 01 P l...i 1 11 1º Ç Ó Ø Ø Ò Ø Ô Ù Ó Ø Ø ØØ Y i = X i µ Y Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÐÓÔÔÙ E Ø ØØ Y i = 1º

¾º º Å ÊËÁÆ ÁÌÌÁÊÁÆÆ Ãà ÁÆ Æ Ä ÇÊÁÌÅÁ µ ÇÐ ÓÓÒ ØØ P i Ð P l...i = ½½ººº½ ØØ Ò 1...,l 1 Ý Ø ÒÐ ¹ Ù Ø Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÐ Ú ÑÙ Ø ØØ º i l E l...i P l...i = ¼¼ººº¼½ = ½ººº½½ (E P) l...i = ¼¼ººº¼½ ((E P) + P) l...i (((E P) + P) P) l...i Y = ((((E P) + P) P) E) l...i Ñ ÓÒ Ò Ò Ø Óº = ¼ººº¼ = ½½ººº½ = ½½ººº½½ µ ÃÓ ÐÐ ØØ Ú ØÓÖ ÐÐ B 0 B = 0 0 + B = B Ò Y = (((0 P) + P) P) 0 = (P P) 0 = 0º µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó Ò µ Ð ÒØ º Ë Ò Ò ÓÒ ØØ Ý Ø ÒÐ Ù ÔÓ Ø Ó l ÝÒØÝÚ ÑÙ Ø ØØ ÒØ ÙØÙÙ Ò ÔÓ Ø ÓÓÒ i Ø ØÙÓع Ø ÒÒ Ø Ò º ÖÓÒ ÓÒ ÒÝØ ØØ Ò Ò Ý ØØ P k l k < i ÓÒ ¼º ÂÓ k = l Ò Ò P l = (E P) l = 0 ÑÙ Ø ØØ ÝÒÒÝ Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØ Ø Ø cµº ÂÓ Ø k > l ÑÙ Ø ØØ ÔÝ ØÝÝ ÔÓ Ø ÓÓÒ kº ÃÙÑÑ Ò Ø Ô Ù ((E P) + P) i = Ø Ò Y i = 0º ÅÖ Ø ÐÐÒ Peq[a] a Σ ÓÒ ØØ Ú ØÓÖ Ó ÓÒ ½ ÔÓ Ø Ó i Ó Ú Ò Ó p i = aº ÌÐÐ Ò Eq j = Peq[s j ]º Ð ÓÖ ØÑ ¾º º ÅÝ Ö ËÝ Ø P S k P w Ñ w ÓÒ Ø ØÓ ÓÒ Ò Ò Ò Ô ØÙÙ ÌÙÐÓ Ø P Ò Ð ÑÖ Ø ÒØÝÑ Ó Ø k Ú Ö ÐÐ S ½µ Ä Peq[a] Ó ÐÐ a Σ ¾µ Pv := 1 m Mv := 0 Sc := m µ ÓÖ j := 1 ØÓ n Ó µ Eq := Peq[S j ] µ Xh := (((Eq Pv) + Pv) Pv) Eq µ Ph := Mv (Xh Pv) µ Mh := Pv Xh; µ Xv := Eq Mv µ Pv := (Mh << 1) (Xv (Ph << 1)) ½¼µ Mv := (Ph << 1) Xv ½½µ Sc := Sc + Ph(m) Mh(m) ½¾µ Sc k Ø Ò write j

ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ ÑÓ P = p 1 p m Ø Ø S = s 1 s n º Ä Ñ¹ Ö Ò Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ k Ú Ö ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ¾º º O( m/w n) Ñ w ÓÒ Ø ØÓ ÓÒ Ò Ò ÒÔ ØÙÙ ØØ Òº ÌÓ ØÙ º ÇÒ ÐÚ ØØ Ð ÓÖ ØÑ ¾º º ØÓ Ñ O(n) ÙÒ m wº Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø ÑÙÐÓ Ô ÑÑ ÐÐ ÑÓ ÐÐ ÝØØ Ò Ù Ø ØÓ ÓÒ Ò Ú ØÓÖ Ò Pv, Eq Ò º ØØÑ Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º Ê Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð ÒØ ÙÐÐ Ò Ö ÐÐ Ú Ñ Ò ÖÚÓÓÒ k Ø ÙØ Ò Ð ÓÖ ØÑ ¾º º µ ÚÓ Ò Ð ÓÖ ØÑ ¾º º Ø Ó Ø ØÓ Ñ Ñ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø O( k/w n) º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º½¼ ÅÓÒ Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ w = Ω(log n) ÓØØ ÑÙ Ø Ó Ó Ø Ñ ØÙÙ Ú ÓÑÖÒ ÒÓ µº ÌÐÐ Ò Ð Ó¹ Ö ØÑ Ò ¾º º Ú Ø ÑÙ ÓÒ Ó Ø Ò O(mn/ log n)º ÅÙ Ø Ò Ñ ÒÐ ¹ Ð ÓÖ ØÑ ÓÒº Å Ò È Ø Ö ÓÒ Ò Âº ÓÑÔÙغ ËÝ Øº Ë º ¾¼ ½ ½ ½ ¼µ Ò Ð Ò Ú ÒÐ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ú Ø ¹ ÑÙ ÓÒ ÓÔ O(mn/ log 2 σ n)º ÇÒ ÓÐ Ñ ÑÝ ÑÙ Ø ØØ Ö ÒÒ ÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ÓÖ ØÑ Ð ÑÖ Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Òº Ã Ö Ð ÓÖ ØÑ Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÙØÓÑ Ø Ò ÑÙÐÓ ÒØ Ò p a t t e r n Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ p a t t e r n Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ p a t t e r n Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ ε Σ Σ p a t t e r n no errors 1 error 2 errors 3 errors ÏÙÒ Å Ò Ö Ò Å ½¼µ ½ ½ ¾µ Ð ÓÖ ØÑ Ó ÓÓ ÙÒ Ò ÙØÓÑ Ø Ò Ö Ú Ò Ö ÐÐ ÐÐ ØØ Ú ØÓÖ ÐÐ ÚÓ Ò Ò Ø¹ ÓÖ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÝÐ ØÝ Òº Ë Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(k m/w n)º Þ ¹ Ø Ò Æ Ú ÖÖÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ ¾µ ½¾ ½ ½ µ Ð Ó¹ Ö ØÑ ÓÓ ÙØÓÑ Ø Ò ÐÚ Ø Ø ØØ Ú ØÓÖ ÐÐ ÓØ ÚÓ Ô Ø Ý Ô Ø Ú ØÓÖ º Ú Ø ÑÙ ÓÒ O( km/w n)º