Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A + B A B, 3. (I X) on kääntvä, jos X <, Vihje : Oleta, että löt N(I X), 0 ja muodosta ristiriita. Vastaus:. Jos a b, saadaan a b = a + b b b a + b + b b = a + b + b b = a + b + b b = a + b joten väite pätee. Jos taas a b a b = b a = b + a a a Kolmioepähtälö nt voimme tehdä täsmälleen saman päätteln kuin edellä, ainoastaan a ja b ovat eripäin. 2. Sama perustelu kuin edellisessä. Matriisinormille pätee samat tarvittavat ominaisuudet. 3. Tehdään vastaoletus N(I X), 0. Nt (I X) = 0 I = X I = X = X = X ma R n, 0 X = X
mistä seuraa ristiriita väitteen X < kanssa. Tehtävä 2: Olkoot a, b R n, a, b 0 ja A = ab T. Nätä, että. R(A) = span{a} 2. N(A) = { R n b T = 0 }. Vastaus:. Matriisi A on muotoa a b a b 2... a b n ab T a 2 b a 2 b 2... a 2 b n =. = [ b a b 2 a... b n a ] a n b a n b 2... a n b n koska R(A) on määritelmän mukaan lineaarikombinaatiot matriisin A sarakevektoreista, ja matriisin A sarakkeet ovat kaikki pelkästään a kerrottuna jollakin vakiolla (joista ainakin ksi on nollasta poikkeava, koska b 0), virittää vektori a ksin vektoriavaruuden R(A), eli R(A) = span{a}. 2. Etsitään sellaiset, että A = 0. Nt edellisen kohdan aukikirjoittettua matriisia tarkastelemalla huomataan, että A = 0 joss a i b T = 0 () kaikilla a i. Kun a i = 0, kseinen htälö () ei anna mitään tietoa vektorista. Kuitenkin, koska a 0, on olemassa ainakin ksi htälö (), missä a i 0. Tämä htälö voidaan jakaa puolittain vakiolla a i, jolloin saadaan väite N(A) = { R n b T = 0 }. Kotitehtävä 3: Olkoot 3 2 A = 2 2 ja A 2 = 0 3 2. Muodostavatko matriisin A sarakkeet avaruuden R(A ) kannan? 2. Tutki, päteekö R(A ) = R(A 2 ). 3. Tutki, päteekö N(A ) = N(A 2 ). Vastaus: 2
. Kllä. Määritelmän mukaan avaruuden R(A ) kanta muodostuu lineaarisesti riippumattomista sarakevektoreista ja matriisin A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat, sillä 3 0 a 2 + b 2 = 0 3 0 a = 3b (2) 2a = 2b (3) 3a = b (4) sijoitetaan (2) htälöön (3) ja saadaan 6b = 2b 4b = 0 b = 0. Sijoitetaan tämä vaikka htälöön (4), jolloin saadaan, että mös a = 0. Koska ainoa vaihtoehto on a = b = 0, sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat. 2. R(A 2 ) R(A ) pätee, jos A :n sarakevektorien lineaarikombinaatioilla voidaan muodostaa A 2 :n sarakevektorit, eli on olemassa ja 2 siten, että A = b ja A 2 = b 2, missä A 2 = [b b 2 ]. Tutkitaan: A = b 3 [ ] 2 2 2 = 0 3 2 nt = [ ] T toteuttaa htälön. Toinen htälö: A 2 = b 2 3 [ ] 2 2 = 3 3 ( 2) ( 3) 2 2 + 3 + 3 0 4 0 8 2 kaksi viimeistä riviä eliminaatiomatriisissa kertovat, että = /4. Sijoitetaan 3
tämä ensimmäiseen htälöön ja saadaan + 3 4 = = 3 4 = 4 siis 2 = [ 4 4 ]T toteuttaa htälön. Tutkitaan vielä toinen suunta, eli R(A ) R(A 2 ). Etsitään siis vektoreita ja 2 siten että A 2 = a ja A 2 2 = a 2, missä A = [a a 2 ]. A 2 = a 2 [ ] 0 = 2 2 3 toinen rivi matriisihtälöstä antaa = 2. Sijoitetaan se ensimmäiseen ja kolmanteen htälöön: 2 + 2 = = 2 2 + 2 = 3 = 2 saadaan siis ratkaisu = [ 2 2]T. Etsitään 2 : A 2 2 = a 2 2 [ ] 3 0 = 2 2 taas toinen rivi matriisihtälöstä antaa = 2. Sijoitetaan se ensimmäiseen ja kolmanteen htälöön: 2 + 2 = 3 = 2 ja saadaan ratkaisu = [ 2 2]T. 2 + 2 = = 2 Koska kaikki kertoimet lötvät, väite pätee. 4
3. Etsitään nolla-avaruudet. A = 0 3 [ ] 2 2 = 0 3 3 0 ( 2) ( 3) 2 2 0 + 3 0 + 3 0 0 4 0 0 8 0 kaksi viimeistä htälöä kertovat että = 0. Sijoitetaan tämä ensimmäiseen ja saadaan + 3 0 = 0 = 0. Saadaan N(A ) = {0}. A 2 = 0 2 [ ] 0 = 0 2 nt toinen rivi kertoo, että = 0. Kun tämä sijoitetaan ensimmäiseen riviin matriisihtälöstä, saadaan 2 + 0 = 0 = 0, joten N(A 2 ) = {0}. Molemmat nolla-avaruudet sisältävät siis pelkän nollavektorin, joten väite pätee. Kotitehtävä 4: Olkoot A R m n, jossa m > n. Nätä, että N(A T A) = N(A). Eli, matriisin A nolla-avaruus voidaan määrittää matriisin A T A nolla-ominaisarvoa vastaavien ominaisvektorien avulla. 2. Olkoot A = ɛ 0, 0 ɛ jossa ɛ R. Laske matriisin A T A ominaisarvot. Koska matriisilla A on eitriviaali nolla-avaruus? 3. Määritä matriisin A nolla-avaruus Matlabin avulla, kun ɛ =, 0 6 ja 0 9 laskemalla matriisin A T A ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisvektorit. 5
Vastaus:. Matriisin A T A nolla-avaruuden alkiot toteuttavat A T A = 0 kerrotaan puolittain vasemmalta :n transpoosilla T A T A = 0 (A) T A = 0 A 2 = 0 A = 0 joten matriisin A T A nolla-avaruuden alkiot kuuluvat mös A:n nolla-avaruuteen. Toisaalta, jos joku N(A), niin A = 0 A T A = A T 0 = 0, eli varmasti mös kaikki N(A):n alkiot kuuluvat matriisin A T A nolla-avaruuteen. Nollaavaruudet ovat siis samat. 2. Ratkaistaan ominaisarvot λ: A T A λi = 0 [ ] ɛ 0 ɛ 0 λi 0 ɛ 0 ɛ = 0 [ ] + ɛ 2 + ɛ 2 λi = 0 + ɛ2 λ + ɛ 2 λ = 0 ( + ɛ 2 λ) 2 = 0 + ɛ 2 λ = ± { ɛ 2 λ = ɛ 2 + 2 Matriisilla on ei-triviaali nolla-avaruus joss joku sen ominaisarvo on 0, katsotaan milloin näin tapahtuu: λ = ɛ 2 = 0 ɛ = 0 (λ 2 = ɛ 2 + 2 = 0 ɛ = ± 2) Koska ɛ R, ainoa mahdollisuus milloin matriisilla on ei-triviaali nolla-avaruus on, kun ɛ = 0. 3. Matlab-koodi 6
format long % nata enemman desimaaleja 2 for eps = [, 0^( 6), 0^( 9)]; 3 M=[+eps^2, ;, +eps^2]; % matriisi A^* A 4 [V,D] = eig(m) % V = 22 matriisi, jonka sarakkeet ominaisvektorit, D = diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ominaisarvoja 5 end tulostaa ominaisvektorit ja -arvot kullakin ɛ:in arvolla. tulosteeksi saadaan V = 0.707067886547 0.707067886547 0.707067886547 0.707067886547 D = 0 0 3 kun epsilon =, eli ominaisarvot ovat ja 3 ja vektorit [ 0.707 0.707] T ja [0.707 0.707] T. Koska molemmat ominaisarvot poikkeavat nollasta, N(A) = {0}. Loput tulosteesta: V = 0.707067886547 0.707067886547 0.707067886547 0.707067886547 D = 0.00000000000000 0 0 2.00000000000000 V = 0.707067886547 0.707067886547 0.707067886547 0.707067886547 D = 0 0 0 2 Huomataan, että ominaisarvoista toinen menee nollaan pienemmällä epsilonilla (tämä voi vaihdella riippuen tietokoneen kättämästä tarkkuudesta), eli Matlabin mu- 7
kaan tällä olisi ei-triviaali nolla-avaruus. Tämä nolla-avaruus on ominaisarvoa 0 vastaavan ominaisvektorin, eli [ 0.707 0.707] T :n virittämä. 8