3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n korkeudella ja lentää n. 40 m:n päähän
2. Kuvan perusteella leikkauskuvio on paraabeli, kun tason kulma on 63. Vastaus: 63
3.1 Paraabeli ALOITA PERUSTEISTA 301. a) Yhtälön y = x 2x 2 lauseke on toista astetta, joten sen kuvaaja on paraabeli. Vastaus: on b) Yhtälön y = 4x 3 lauseke on ensimmäistä astetta, joten sen kuvaaja ei ole paraabeli. Vastaus: ei c) Yhtälön y = x(2x 1) = 2x 2 x lauseke on toista astetta, joten sen kuvaaja on paraabeli. Vastaus: on d) Yhtälön y = 2x 3 1 lauseke on kolmatta astetta, joten sen kuvaaja ei ole paraabeli. Vastaus: ei
302. Täydennetään taulukko etsimällä kuvaajasta x-koordinaatteja vastaavat y- koordinaattien arvot. Kuvassa määritetty muuttujan y-arvot, kun x = 1 ja x = 4. x y 0 2 1 1 2 2 3 1 4 2 303. a) Paraabelin huippu on noin pisteessä ( 2, 1). Vastaus: n. ( 2, 1)
b) Muuttujaa x = 4 vastaava funktion arvo on 3. Vastaus: f(4) 3 c) x-akselin leikkauspisteet ovat noin ( 3, 0) ja ( 1, 0) ja y-akselin leikkauspiste on noin (0, 3) Vastaus: x-akseli n. ( 3, 0) ja ( 1, 0), y-akseli n. (0, 3) d) Nollakohdat ovat x 3 ja x 1 Vastaus: x 3 ja x 1
304. a) Siirretään appletin liukukytkimellä nopeus 80 km/h kohdalle. Kun nopeus on 80 km/h, niin pysähtymismatka on noin 52 m. Vastaus: n. 52 m b) Siirretään appletin liukukytkintä, kunnes pysähtymismatka on 70 m. Pysähtymismatka on 70 metriä, kun nopeus on 100 km/h. Vastaus: 100 km/h
305. a) Lasketaan puuttuvat y:n arvot yhtälöstä y = x 2 + 1. b) x y = x 2 + 1 (x, y) 0 0 2 + 1= 0 0 + 1 = 1 (0, 1) 1 1 2 + 1 = 2 (1, 2) 2 5 (2, 5) 1 2 ( 1, 2) 2 ( 2) 2 + 1 = 5 ( 2, 5) 0,5 0,5 2 + 1 = 1,25 (0,5; 1,25) 0,5 1,25 ( 0,5; 1,25) 306.
a) Muuttujan x = 2 arvoa vastaa funktion arvo 2,0 ja muuttujan x = 0 arvoa vastaa funktion arvo 2,0. Vastaus: f(2) 2,0 ja f(0) 2,0 b) Funktion nollakohdat ovat x 3,0 ja x 1,0. Vastaus: x 3,0 ja x 1,0
c) Funktion arvoa 3,5 vastaa muuttujan arvot x 4,0 ja x 2,0. Vastaus: x 4,0 tai x 2,0 d) Huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolivälissä, eli kun 3,0 + 1,0 2,0 x = = = 1,0. 2 2 Huippu on noin pisteessä ( 1,0; 2,7). Vastaus: n. ( 1,0; 2,7)
VAHVISTA OSAAMISTA 307. a) Funktion f(x) = x(2x 1) = 2x 2 + x lauseke on toista astetta, joten sen kuvaaja on paraabeli. 308. a) Vastaus: on b) Funktion f(x) = (2x 1) 2 = (2x 1)(2x 1) = 4x 2 2x 2x + 1 = 4x 2 4x + 1 lauseke on toista astetta, joten sen kuvaaja on paraabeli. Vastaus: on c) Funktion f(x) = (2x 1) 3 lauseke saadaan symbolisella laskimella muotoon f(x) = 8x 3 12x 2 + 6x 1 ja se on kolmatta astetta, joten sen kuvaaja ei ole paraabeli. Vastaus: ei Kuvaaja leikkaa y-akselin noin pisteessä (0, 3). Vastaus: n. pisteessä (0, 3)
b) Kuvaaja leikkaa x-akselin noin pisteissä ( 1, 0) ja (3, 0). Vastaus: n. pisteissä ( 1, 0) ja (3, 0) c) Huipun koordinaatit ovat noin pisteessä (1, 4). Vastaus: n. (1, 4)
d) Funktion f arvo kohdassa x = 2 on noin 3. Vastaus: f(2) 3 e) Funktion f arvoa 5 vastaavat muuttujan arvot x 2 ja x 4. Vastaus: x 2 ja x 4
f) Funktio f saa negatiivisia arvoja, kun kuvaaja on x-akselin alapuolella. 309. a) Funktio saa negatiivisia arvoja, kun x on lukujen 1 ja 3 välissä. Vastaus: kun x on lukujen 1 ja 3 välissä Kiikari putoaa 2,6 sekunnissa noin 828 795 = 33 metriä. Vastaus: n. 33 m
b) 310. a) ja b) Kiikari osuu maahan noin 13 sekunnin putoamisen jälkeen. Vastaus: n. 13 s kuluttua putoamisessa c) Kuvaajan perusteella paraabelin ja suoran leikkauspisteet ovat ( 2, 4) ja (1, 1). Sijoitetaan piste ( 2, 4) paraabelin yhtälöön: y = ( 2) 2 = 4, tosi. Sijoitetaan piste ( 2, 4) suoran yhtälöön: y = 2 2 = 4, tosi.
Sijoitetaan piste (1, 1) paraabelin yhtälöön: y = 1 2 = 1, tosi. Sijoitetaan piste (1, 1) suoran yhtälöön: y = 1 2 = 1, tosi. Vastaus: c) ( 2, 4) ja (1, 1) 311. Piirretään tunnelin poikkileikkausta vastaava paraabeli y = 0,5x 2 + 2,9x ja määritetään kuvaajan avulla paraabelin ja x-akselin leikkauspisteet. Kuvan perusteella maantietunnelin leveys on 5,8 m. Yhden kaistan leveys on siis 5,8 m = 2,9 m. 2 Auton leveys on 2,24 m. Jos auto ajaa omalla kaistallaan keskiviivan tuntumassa, auton reuna on 2,9 m 2,24 m = 0,66 metrin päässä tunnelin seinästä.
Tällä kohdalla tunnelin korkeus kuvan perusteella on noin 1,7 m. Auton korkeus on 1,98 m eli yli 1,7 m, joten auto ei voi ajaa tunnelin läpi pysyen omalla kaistallaan. Vastaus: ei voi 312. Piirretään funktioiden kuvaajat. Funktion f kuvaaja on nouseva suora, joten se kuvaa tasaista lämpötilan kasvua. Funktiota f vastaa vaihtoehto B. Funktion g kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jonka x-akselin yläpuolinen osa kuvaa jäniksen loikkaa. Funktiota g vastaa vaihtoehto C.
Funktion h kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, 5). Funktiota h vastaa vaihtoehto D. Funktion i kuvaaja on laskeva suora, jonka nollakohta on x = 2. Funktiota i vastaa vaihtoehto A. Vastaus: f: B, g: C, h: D, i: A 313. a) Syöttö lähtee ajanhetkellä 0 s. Kuvaajan perusteella pallo on silloin 1,5 metrin korkeudella. b) Pallo on korkeimmillaan paraabelin huipussa. Tämä on kuvaajan perusteella noin 8,7 metrin korkeudella. Aikaa huipun saavuttamiseen on kulunut noin 1,2 sekuntia. c) Pallo on 2,5 metrin korkeudella noin 0,1 sekunnin ja noin 2,4 sekunnin kuluttua syötöstä. d) Kuvaajasta luettuna pallo on ilmassa noin 2,6 s. 314. Kuvaaja saadaan täydennettyä käyttämällä hyödyksi paraabelin symmetrisyyttä. Paraabelin huippu on kuvaajan alin piste eli (1, 4). Piirretään tämän pisteen kautta suora x = 1 (paraabelin symmetria-akseli) ja peilataan paraabelin toinen puolikas suoran suhteen. Paraabelin huippu on noin pisteessä ( 1, 4) ja x-akselin leikkauspisteet ovat noin ( 1, 0) ja (3, 0). Vastaus: huippu n. ( 1, 4) ja leikkauspisteet n. ( 1, 0) ja (3, 0)
315. a) Kasvu on suurinta paraabelin huipussa, eli kun lämpötila on noin 13 astetta ja kala kasvaa noin 1,7 % päivässä. Vastaus: Lämpötilassa 13 C ja kala kasvaa n. 1,7 % päivässä. b) Kuvaajan perusteella lämpötilan ollessa 18 astetta kala kasvaa noin 1,4 % päivässä. Tarkistus: f(18) = 0,012 18 2 + 0,321 18 0,5 1,4 (% päivässä) Vastaus: 1,4 % c) Suhteellinen kasvu on prosentin päivässä, kun lämpötila on noin 6 tai 21 astetta. Tarkistus: f(6) = 0,012 6 2 + 0,321 6 0,5 1,0 ja f(21) = 0,012 21 2 + 0,321 21 0,5 1,0 Vastaus: Kun lämpötila on 6 C tai 21 C.
316. Lasketaan funktion f arvoja muuttujan x eri arvoilla ja ilmoitetaan ne koordinaattipisteinä (x, y). x y = f(x) = 2x 2 + 4x (x, y) 1 y = 2 ( 1) 2 + 4 ( 1) = 6 ( 1, 6) 0 y = 2 0 2 + 4 0 = 0 (0, 0) 1 y = 2 1 2 + 4 1 = 2 (1, 2) 2 y = 2 2 2 + 4 2 = 0 (2, 0) 3 y = 2 3 2 + 4 3 = 6 (3, 6) a) Kuvaajan perusteella nollakohdat ovat x 0 ja x 2. Tarkistus: f(0) = 2 0 2 + 4 0 = 0 ja f(2) = 2 2 2 + 4 2 = 0 Vastaus: x = 0 ja x = 2 b) Kuvaajan perusteella funktio leikkaa y-akselin noin pisteessä (0, 0). Tarkistus: f(0) = 2 0 2 + 4 0 = 0. Vastaus: pisteessä (0, 0) c) Kuvaajan perusteella huipun koordinaatit ovat noin (1, 2). Tarkistus: huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolivälissä 0+ 2 x = = 1, jolloin f(1) = 2 1 2 + 4 1 = 2 ja huipun koordinaatit 2 ovat (1,2). Vastaus: (1, 2)
SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 317. Piirretään funktioiden kuvaajat.
A Funktion j nollakohta on 3. Tarkistus: j( 3) = 8,1 + 2,7 ( 3) = 0. B Funktioiden f ja i kuvaajat ovat laskevia suoria. C Funktion g kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka kuvaa heittoliikettä. D Mikään funktion kuvaaja ei leikkaa y-akselia pisteessä (0, 1). E Funktion h kuvaaja kulkee pisteen (0, 3) kautta. Tarkistus: h(0) = 9 0 2 + 2,8 0 + 3 = 3. Vastaus: j: A, f ja i: B, g: C ja h: E 318. a) Paraabelin huippu on pisteessä (4; 4,5). Kohdat 3 ja 5 ovat yhtä etäällä huipuista, joten funktion arvot ovat niissä samat. Vastaavasti saadaan muutkin arvot. b) x y 1 8 2 2,5 3 4 4 4,5 5 4 6 2,5 9 8
319. Ei osu, koska kohdan x = 5 kautta kulkee symmetria-akseli ja kohdan x = 8 symmetrinen kohta on x = 2, jota vastaava korkeus on n. 3,2 m. Vastaus: ei osu 320. Piirretään funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. Funktio f saa suurempia arvoja kuin funktio g silloin, kun sen kuvaaja on funktion g kuvaajan yläpuolella, eli kun x on pienempi kuin noin 3 tai x suurempi kuin noin 0. Vastaus: Kun x on pienempi kuin n. 3 tai suurempi kuin n. 0. 321. a) Sijoitetaan annetut tiedot funktion lausekkeeseen. f(1) = a 1 2 + b 1 = 3 eli a + b = 3 f( 1) = a ( 1) 2 + b ( 1) = 5 eli a b = 5 Ratkaistaan yhtälöpari a+ b= 3 a b = 5 2a = 2 a = 1 Sijoitetaan a = 1 yhtälöön a + b = 3, jolloin 1 + b = 3, josta saadaan b = 4, joten funktio on: f(x) = x 2 4x
Vastaus: f(x) = x 2 4x b) Kuvaajan perusteella funktion arvo kohdassa 2 on noin 12. Tarkistus: f( 2) = ( 2) 2 4 ( 2) = 12. Vastaus: f( 2) = 12 c) Huippu on pisteessä (2, 4). Perustelu: Funktion nollakohdat ovat 0 ja 4, koska f(0) = 0 2 4 0 = 0 ja f(4) = 4 2 4 4 = 0. Huipun x koordinaatti on näiden keskiarvo eli 0 + 4 4 = = 2 ja 2 2 f(2) = 2 2 4 2 = 4. Vastaus: pisteessä (2, 4)
322. b) Huippu 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.2016
3.2 Paraabelin tutkimista ALOITA PERUSTEISTA 323. A kuvaaja 3, koska y = x 2 on ylöspäin aukeava paraabeli. B kuvaaja 1, koska y = x 2 on alaspäin aukeava paraabeli. C kuvaaja 2, koska y = 2x on laskeva suora. D kuvaaja 4, koska y = x + 2 on nouseva suora, joka leikka y-akselin pisteessä (0,2). Vastaus: A: 3, B: 1, C: 2 ja D: 4 324. a) Funktiolla on kaksi nollakohtaa. Toisen asteen termin kerroin on positiivinen, koska paraabeli aukeaa ylöspäin. Vastaus: kaksi, positiivinen b) Funktiolla ei ole nollakohtia. Toisen asteen termin kerroin on positiivinen, koska paraabeli aukeaa ylöspäin. Vastaus: ei yhtään, positiivinen c) Funktiolla on yksi nollakohta. Toisen asteen termin kerroin on negatiivinen, koska paraabeli aukeaa alaspäin. Vastaus: yksi, negatiivinen
325. Funktion A(x) = x 2 2x 1 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolla on yksi nollakohta, joten sitä vastaa kuvaaja q. 326. Funktion B(x) = x 2 + 2x + 1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on yksi nollakohta, joten sitä vastaa kuvaaja g. Funktion C(x) = x 2 + 10x + 24 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa, joten sitä vastaa kuvaaja p. Funktion D(x) = x 2 10x 24 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa, joten sitä vastaa kuvaaja f. Funktion E(x) = x 2 6x + 10 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia, joten sitä vastaa kuvaaja h. Funktion F(x) = x 2 + 6x 10 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia, joten sitä vastaa kuvaaja r. Vastaus: A: q, B: g, C: p, D: f, E: h ja F: r
a) Vastaus: tosi b) Epätosi. Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Vastaus: epätosi, ylöspäin aukeava c) Epätosi. Paraabelin huippu on pisteessä (1, 2). Vastaus: epätosi (1, 2)
d) Vastaus: tosi e) Vastaus: tosi
327. a) Tuotteen hinta on x ja myytyjen tuotteiden määrä on 75 0,08x. Koska myyntitulo on hinnan ja myytyjen tuotteiden määrän tulo, myyntitulon funktio on f(x) = x (75 0,08x). b) Vastaus: f(x) = x (75 0,08x) c) Suurin myyntitulo saadaan paraabelin huipussa. Tällöin tuotteen hinta on noin 475. Vastaus: n. 475
VAHVISTA OSAAMISTA 328. Sievennetään yhtälöt. A y = x 2 10 B y = 3x + 5x 2 y = 5x 2 3x C x 8y + 5 = 0 8y = x 5 :( 8) 1 5 y = x 8 8 1 5 y = x + 8 8 D y = 2x(x 1) y = 2x 2 + 2x Yhtälöt A ja B ovat ylöspäin aukeavia paraabeleja, koska lausekkeet ovat toista astetta ja toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Yhtälö D on alaspäin aukeava paraabeli, koska lauseke on toista astetta ja muuttujan toisen asteen termin kerroin on negatiivinen. Vastaus: Ylöspäin aukeavia paraabeleja ovat A ja B. D aukeaa alaspäin. 329. Sievennetään funktio f(x) = (x 3) 2 = x 2 6x + 9. A Funktioiden f,g ja i kuvaajat ovat ylöspäin aukeavia paraabeleja, koska niiden toisen asteen termin kertoimet ovat positiivisia. B Funktion f nollakohta on x = 3, koska f(3) = (3 3) 2 = 0. C Funktiot h ja i saavat arvon 5 muuttujan arvolla 0, koska h(0) = 4 0 2 + 3 0 5 = 5 ja i(0) = 0 2 5 = 5 D Funktioiden h ja i arvo on negatiivinen, kun x = 1, koska h( 1) = 4 ( 1) 2 + 3 ( 1) 5 = 12 ja i( ) = ( 1) 2 5 = 4. Vastaus: f: A ja B, g: A, h: C ja D, i: A, C ja D
330. I Funktion f(x) = 2x 2 kuvaaja on nouseva suora, joten sitä vastaa kuvaaja c. 331. II Funktion f(x) = 6x 2 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin vakiotermin perusteella pisteessä (0, 2). Lisäksi laskemalla funktion arvo kohdassa x = 1, saadaan f(1) = 6 1 2 2 = 6 2 = 4. Funktiota vastaa kuvaaja f. III Funktion f(x) = 0,5x 2 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin vakiotermin perusteella pisteessä (0, 2) ja f(1) = 0,5 1 2 2 = 0,5 2 = 1,5. Funktiota vastaa kuvaaja e. IV Funktion f(x) = x 2 2 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktiota vastaa kuvaaja h. V Funktion f(x) = (x 1)(x + 2) = x 2 + x 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin vakiotermin perusteella pisteessä (0, 2) ja f(1) = 1 2 + 1 2 = 1 + 1 2 = 0. Funktiota vastaa kuvaaja a. VI Funktion f(x) = x(x + 1) = x 2 + x kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin vakiotermin perusteella pisteessä (0, 0). Funktiota vastaa kuvaaja d. Vastaus: I: c, II: f, III: e, IV: h, V: a ja VI: d
a) Kuvaajan perusteella nollakohdat ovat x 1 ja x 3. Tarkistus: f( 1) = ( 1) 2 + 2 ( 1) + 3 = 0 ja f(3) = (3) 2 + 2 3 + 3 = 0. Vastaus: x = 1 ja x = 3 b) Huippu on noin pisteessä (1, 4). Tarkistus: Huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolessavälissä, joten 1+ 3 se on x = = 1 ja f(1) = (1) 2 + 2 (1) + 3 = 4. 2 Vastaus: (1, 4) c) Funktio leikkaa y-akselin kuvaajan perusteella noin pisteessä (0, 3). Tarkistus: f(0) = 0 2 + 2 0 + 3 = 3. Vastaus: pisteessä (0, 3) d) Kuvaajan perusteella f(2) 3. Tarkistus: f(2) = (2) 2 + 2 2 + 3 = 3. Vastaus: f(2) = 3 e) Funktio saa arvon 5, kun x 2 tai x 4. Tarkistus: f( 2) = ( 2) 2 + 2 ( 2) + 3 = 5 ja f(4) = (4) 2 + 2 4 + 3 = 5. Vastaus: x = 2 tai x = 4
332. a) Pallo osuu maahan 10 metrin päässä. Tarkistus: y = 0,1 10 2 + 10 = 0. Vastaus: 10 m:n päässä b) Pallo käy 2,5 metrin korkeudella. Tarkistus: Pallon korkeimman kohdan x-koordinaatti on nollakohtien puolessa välissä, joten se on x = 0 + 10 = 5 ja 2 y = 0.01 5 2 + 5 = 2,5 + 5 = 2,5. Vastaus: 2,5 m:n päässä
333. a) b) Kun heilahdusaika on 1 s, niin heilurin pituus on 0,3 m. Kun heilahdusaika on 2 s, niin heilurin pituus on 1,0 m. Kun heilahdusaika on 5 s, niin heilurin pituus on 6,0 m. 9,81 2 9,81 2 Tarkistus: l (1) = 1 0,3, l (2) = 2 1,0 ja 2 2 4π 4π 9,81 2 l (5) = 5 6,0 2 4π Vastaus: 0,3 m, 1 m ja 6 m c) Kun heilurin pituus on 4 m, niin heilahdusaika on 4 s. Kun heilurin pituus on 50 cm, heilahdusaika on 1,4 s. 9,81 2 9,81 2 Tarkistus: l (4) = 4 4,0 ja l (1,4) = 1,4 0,5 2 2 4π 4π Vastaus: 4 s ja 1,4 s
334. a) Kuvaajan perusteella voittoa saadaan noin 196 000 euroa, kun valmistetaan 50 moottoria. Tarkistus: f(50) = 20 50 2 + 5 000 50 4 000 = 196 000 Vastaus: 196 000 b) Voittoa saadaan 100 000, kun valmistetaan noin 23 tai 227 moottoria. Tarkistus: f(23) = 20 23 2 + 5 000 23 4 000 100 000 ja f(227) = 20 227 2 + 5 000 227 4 000 100 000 Vastaus: 23 moottoria tai 227 moottoria c) Moottoreita kannattaa valmistaa niin, että saadaan suurin voitto. Suurin voitto on paraabelin huipussa ja kuvaajan perusteella huipun x- koordinaatti on noin 125. Tarkistus: Huipun x-koordinaatti saadaan b-kohdan muuttujien arvojen puolesta välistä: 23 + 227 250 = = 125 2 2 Moottoreita kannattaa valmistaa 125 kappaletta. Vastaus: 125 moottoria
335. a) d) Kuvaajan perusteella voittoa voidaan saada noin 310 000 euroa. Tarkistus: f(125) = 20 125 2 + 5 000 125 4 000 = 309 000 Vastaus: 309 000 e) Valmistus muuttuu tappiolliseksi, kun moottoreita valmistetaan 250 kappaletta tai enemmän. Tällöin voitto on alle nolla ja toiminta on tappiollista. Tarkistus: f(249) = 20 249 2 + 5 000 249 4 000 = 980 f(250) = 20 250 2 + 5 000 250 4 000 = 4000 Vastaus: 250 kpl b) Appletin perustella paraabelin yhtälö on y = 0,0000378x 2 + 0,0174x + 16 Vastaus: y = 0,0000378x 2 + 0,0174x + 16 c) Appletin perusteella sillan korkeus 120 metrin etäisyydellä sillan päästä on noin 17,5 metriä. Tarkistus: sijoitetaan x = 120 yhtälön lausekkeeseen. y = 0,0000378 120 2 + 0,0174 120 + 16 17,5 m Vastaus:n. 17,5 m
336. a) Tapa I: kyseessä on laskeva suora, jonka kulmakerroin 650 ilmaisee, että jokaista euron muutosta kohti myytyjen lukumäärä vähenee 650 kappaleella, joten 10 hinnan nousu aiheuttaa 10 650 = 6500 kappaleen vähenemisen. Tapa II: lasketaan myyntimäärät ja verrataan toisiinsa: 650 10 + 80 000 = 73 500 ja 650 20 + 80 000 = 67 000 ja näiden erotus on 73 500 67 000 = 6500 Vastaus: vähenee 6500 kpl b) Myyntitulo on tuotteen hinnan ja myytyjen tuotteiden määrän tulo, joten myyntitulon funktio on f(x) = x ( 650x + 80 000) = 650x 2 + 80000x Vastaus: f(x) = 650x 2 + 80000x c) Kuvaajan perusteella myynti tulo on suurin, kun tuotteen hinta on noin 62 euroa. Tarkistus: lasketaan myyntitulo, kun tuotteen hinta on 61, 62 ja 63. Tällöin varmistutaan, millä tuotteen hinnalla myyntitulo on suurin. f(61) = 650 61 2 + 80000 61 = 2 461 350 f(62) = 650 62 2 + 80000 62 = 2 461 400 f(63) = 650 63 2 + 80000 63 = 2 461 350 Vastaus: n. 62
SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 337. a) Jos a = 0, on kyseessä ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on suora. Vastaus: Jos a = 0, on kyseessä ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on suora. b) Kun a = 1, b = c = 0, on paraabelin yhtälö y = x 2. Vastaus: a = 1, b = c = 0 c) Kun b = 0, on yhtälö y = ax 2 + c. Tällaisen paraabelin symmetriaakselina on y-akseli, joten huipun x-koordinaatti on 0. Vakio c vaikuttaa vain paraabelin sijaintiin pystysuorassa suunnassa, joten paraabelin huipun on y-koordinaatti on c. Huippu on siis pisteessä (0, c). Vastaus: pisteessä (0, c) d) Vakiotermin perusteella funktio leikkaa y-akselin pisteessä (0, c). Vastaus: pisteessä (0, c) e) a- ja c-kohtien perusteella paraabelin huippu on origossa, kun b = c = 0, a eri suuri kuin nolla. Vastaus: b = c = 0, a 0
338. a) Kuvaajan perusteella vastuksen teho on noin 3000 W, kun sähkövirta on 13 A. Tarkistus: P = 18 13 2 3000 Vastaus: 3000 W b) Kuvaajan perusteella sähkövirta on noin 9,7 A, kun vastuksen teho on 1700 W. Tarkistus: P = 18 9,7 2 1700 Vastaus: 9,7 A
339. a) Myytyjen huoneiden määrä vähenee aina kahdella yhtä hinnan nousua kohden, joten myytyjen huoneiden määrää kuvaa lauseke 100 2x. Vastaus: 100 2x b) Myyntitulo on huoneiden hinnan ja myytyjen huoneiden lukumäärä tulo, joten myyntitulon funktio on f(x) = (90 + 4,5x)(100 2x) = 9x 2 + 270x + 9000. c) Vastaus: f(x) = 9x 2 + 270x + 9000 d) Paraabelin huippu on kohdassa n. 15, joten hinnan korotuksia on 15 kpl ja huoneen hinta on silloin 90 + 15 4,5 = 157,5 158 ( ). Vastaus: n. 158
340. a) Piirretään mallikuva aitauksesta, johon merkitään neljää jokea vastaan kohtisuoraa sivua kirjaimella y ja joen suuntaista sivua kirjaimella x. Aitamateriaalia on käytössä 360 metriä, joten ne muodostavat yhtälön x + 4y = 360. Ratkaistaan yhtälöstä jokea vastaan kohtisuoran sivun pituus y. x + 4y = 360 4y = 360 x y = 360 x 4 Vastaus: 360 x 4 b) Aitaus on suorakulmion muotoinen, joten sen pinta-ala saadaan kannan 360 x ja korkeuden tulona. Pinta-alan funktio on A(x) = xy = x. 4 Vastaus: A(x) = x 360 4 x
c) d) Aitauksen suurin pinta-ala on paraabelin huipussa. Kuvaajan perusteella funktion nollakohdat ovat x 0 ja x 360. Tarkistus: f(0) = 0 360 0 = 0 90 = 0 ja 4 360 360 f(360) = 360 = 360 0 = 0. 4 Huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolessa välissä. 0+ 360 = 180 2 Joen suuntainen sivu x oltava 180 m, jolloin kohtisuora aita 360 180 180 y = = = 45 (m). 4 4 Vastaus: Joen suuntaisen sivun on oltava n. 180 m ja kohtisuoran aidan n. 45 m e) Kun x on lukujen 0 ja 360 välillä, koska aitaa oli 360 m.
341. a) Piirretään lentoratojen kuvaajat. Korkeudet ovat huipun y-koordinaatteja eli noin 0,6 m, 2,1 m ja 3,8 m. Pituudet ovat funktioiden suuremmat nollakohdat eli noin 6,5 m, 10 m ja 8,8 m. Vastaus: n. 0,6 m, 2,1 m ja 3,8 m b) Kappale lentää pisimmälle 45 asteen kulmalla, jolloin se lentää n. 10,2 m. Appletti osoitteessa: http://ggbtu.be/mzb3bcvik Vastaus: 45, n. 10,2 m
ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1. Komennolla Polynomi[A,B,C] saadaan funktio f(x) = 0,5x 2 2x 1,13. 2. Vastaus: f(x) = 0,5x 2 2x 1,13