Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi?

Kertaus: energian dissipaatio Mekaanisen energian dissipaatio, yleisiä tapauksia Kitka (ei riipu nopeudesta) Viskoottinen (laminaarinen) vastus: F~v Pienet esineet, pienet nopeudet Turbulentti vastus (ilmanvastus): F~v Isot esineet, isot nopeudet

Kertaus Kappale (massa m) putoaa, ja siihen vaikuttaa ilmanvastus, joka on ~v. Hetkellä t kappaleen nopeus on v 0. Vastusvoiman kerroin on b. Mikä on rajanopeus? A. v = v 0 + mg b B. v = mg b C. v = v 0 + ( mg b ) D. v = ( mg b ) E. v = v 0 + ( g b ) F. Joku muu

Vaimennettu harmoninen värähtelijä on ääriasennossa ja päästetään irti kun t = 0. Tässä on kolme siihen liittyvää kuvaajaa (aika on x-akselilla). Mitä ne kuvaavat? 1 3 a) 1: U, : K, 3: x b) 1: K, : K+U, 3: x c) 1: U, : K+U, 3: x d) 1: K, : K+U, 3: U e) 1: K, : K+U, 3: x f) En tiedä

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä dpҧ dt = ഥF s + ഥD + തF D Liikemäärän muutos = Jousivoima + vaimentava voima + pakkovoima

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Vaimennettuun harmoniseen värähtelijään lisätään pakkovoima. Ajatellaan nyt, että pakkovoima värähtelee sekin ajan funktiona kulmataajuudella ω D. m d x dx = b dt dt mω 0 x + F D sin( ω D t) Täällä on nyt kaksi kulmataajuutta, kuka voittaa?

Pakotettu alivaimennettu harmoninen värähtelijä laitetaan värähtelemään. Millainen tilanne on pitkän ajan kuluttua? a) Värähtely kulmataajuudella ω 0 (sama kuin ilman pakkovoimaa) b) Värähtely kulmataajuudella ω D (pakkovoiman taajuus) c) Värähtely taajuudella ω, ω 0 :n ja ω D :n väliltä d) Värähtely lakkaa e) Ei voi tietää

Steady state: x t = A sin(ω D t + φ)

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä m d x dx = b dt dt mω 0 x + F D sin( ω D t) m d x dx = b dt dt mω 0 (x(t) D(t)) m d x dx = b dt dt mω 0 x(t) + mω 0 D(t) Huom! Tässä siis D on se amplitudi, jolla voima F D liikkuu m d x dx +b dt dt + mω 0 x(t) = mω 0 D(t) = mω 0 D sin(ω D t)

Pakotettua vaimennettua värähtelijää ajetaan taajuudella, joka eroaa huomattavasti sen ominaisvärähtelytaajuudesta (ω D ω 0 ja ω D ω 0 ). Miten pakkovoiman taajuus vaikuttaa värähtelyn amplitudiin? A) Amplitudi on pienempi, kun ω D ω 0 B) Amplitudi on suurempi, kun ω D ω 0 C) Amplitudi ei riipu pakkovoiman taajuudesta D) Ei voi tietää

Alhainen taajuus: ω D ω 0 d x dt + b m dx dt + ω 0 x = ω 0 Dsin( ω D t) Jos nyt x t = A sin(ω D t + φ), d x ~ω dt D ja dx ~ω dt D -> ω 0 x ω 0 D sin(ω D t) x t = D sin(ω D t)

Korkea taajuus: ω D ω 0 d x dt + b m dx dt + ω 0 x = Nyt dominoi: d x dt ~ω D d x dt ω 0 D sin(ω D t), ω 0 D sin( ω D t) x(t) = ω D ω 0 D sin ω D t = ω 0 D ω D sin(ω D t + π)

Yhteenveto Matala taajuus x t = D sin(ω D t) Sama vaihe Amplitudi ei riipu pakkovoiman taajuudesta Korkea taajuus x t = ω 0 D ω D sin(ω D t + π) Vastakkainen vaihe Amplitudi riippuu voimakkaasti pakkovoiman taajuudesta

Entäs kun ω D ω 0? Pakotettua vaimennettua värähtelijää ajetaan taajuudella, joka on samaa luokkaa kuin sen ominaisvärähtelytaajuus (ω 0 ω D ). Mitä käy amplitudille? A) Värähtelijän amplitudi on sama kuin pakkovoiman B) Värähtelijän amplitudi on pienempi kuin pakkovoiman C) Värähtelijän amplitudi on suurempi kuin pakkovoiman D) Ei voi tietää

Resonanssi d x dt + b m dx dt + ω 0 x = ω 0 D sin( ω D t) x t = A sin(ω D t + φ) = A sin(ω 0 t + φ) ω 0 A sin(ω 0 t + φ) + b m ω 0A cos(ω 0 t + φ)+ω 0 Asin ω 0 t + φ = ω 0 D sin( ω D t) b m ω 0A cos ω 0 t + φ = ω 0 D sin(ω D t) cos θ = sin(θ + π )

Resonanssi b m ω 0A sin ω 0 t + φ + π = ω 0 D sin(ω D t) Tämän on oltava totta kaikilla t:n arvoilla! b ω m 0A = ω 0 D ω 0 = ω D φ = π x t = Dω 0m b sin(ω D π )

Yleinen tapaus d x dt + b m dx dt + ω 0 x = ω 0 D sin( ω D t) x t = A sin(ω D t + φ) Lasketaan derivaatat ja sijoitetaan: A ω 0 ω D sin ω D t + φ + baω D m Jotta (1) on tosi, kaikkien kosinien ja kaikkien sinien on aina oltava yhtä suuria. Lavennetaan oikealle puolelle sin(ω D t) = sin(ω D t + φ φ) ja käytetään sin α β = sin α cos β cos α sin(β) cos ω Dt + φ = ω 0 D sin(ω D t) A ω 0 ω D sin ω D t + φ = ω 0 D sin ω D t + φ cos φ baω D m cos ω Dt + φ = ω 0 D cos ω D t + φ sin φ (1)

Yleinen tapaus jatkuu Neliöidään ja summataan cos φ = A ω (ω 0 D) 0 ω D + b A ω D m D ω4 = 1 0 A ω 0 D ω 0 ω D sin φ = baω D mdω 0 A = ω 0 ω D ω 0 D + b m ω D = F 0 m ω 0 ω D + b ω D

Vaihesiirto cos φ = A = A ω 0 D ω 0 ω D ω 0 ω D ω 0 D + b m ω D cos φ = (ω 0 ω D ) ω 0 ω D + b m ω D sin φ = baω D mdω 0 = baω D F D

Pakkovärähtely: amplitudi ja vaihe

Palataan hetkeksi vaimentamattomaan, pakottamattomaan harmoniseen värähtelijään. Harmonisen värähtelijän energialle pätee a) Mekaaninen energia on koko ajan vakio b) Kineettinen energia on koko ajan vakio c) Potentiaalienergia on koko ajan vakio d) Mekaaninen energia on koko ajan vakio, lisäksi kineettisen ja potentiaalienergia keskiarvot jakson yli ovat yhtä suuret e) Ei mikään ylläolevista

Vaimentamaton harmoninen värähtelijä K = 1 m dx dt = m sin (ωt) U = 1 mx C = m cos ωt C Tämä siis alkuehdosta kun t = 0, x = x max

Alivaimennetun harmonisen värähtelijän (ei pakkovoimaa!) energialle pätee a) Mekaaninen energia on koko ajan vakio b) Mekaaninen energia vähenee eniten, kun nopeus on suurin c) Mekaaninen energia vähenee tasaisesti d) Mekaaninen energia kasvaa ajan kuluessa

Tämä siis alkuehdosta kun t = 0, x = x max

Pakotetun vaimennetun värähtelijän energialle pätee a) Mekaaninen energia on koko ajan vakio b) Mekaanisen energian keskiarvo yhden jakson yli on vakio c) Mekaaninen energia vähenee ajan kuluessa d) Mekaaninen energia kasvaa ajan kuluessa e) Ei voi tietää

Energia k = mω 0 dx + k E = K + U = m dt x = m dt x E t = m A ω D cos (ω D t + φ) + m ω 0 A sin (ω D t + φ) (kun t on suuri) dx + mω 0 E riippuu ajasta silloin kun ω 0 ω D! E:n keskiarvo syklin yli ei riipu ajasta! < E > =< K >+< U > = m 4 A ω D + m 4 A ω 0

< E > =< K >+< U > = m 4 A ω D + m 4 A ω 0 < K > < U > Kun ω 0 ω D, < U > < K > Kun ω 0 ω D, < U > < K >

Pakkovoiman tekemä työ W F = തF dr ҧ = t+t t തF drҧ dt dt t+t = F 0 ω D A sin(ωd t t ) (cos ω D t + φ) dt sin α cos β = 1 [sin α β + sin(α + β)] W F = 1 F 0ω D A t t+t sin φ + sin(ωd t + φ) dt W F = 1 F 0ω D A t t+t t sin φ 1 ω D cos(ω D t + φ) W F = T F 0ω D A sinφ = mt ω 0 DAω D sin φ

Resonanssi Edellä oli systeemi, jossa värähtelijä on harmoninen ja vaimennus oli verrannollinen nopeuteen -> vastaavia systeemejä löytyy luonnosta lukuisia (eli joiden dynamiikka palautuu vastaavaan liikeyhtälöön)! Huom. Resonanssia esiintyy myös systeemeissä joissa on epäharmonisia värähtelijöitä ja pakkovoiman ollessa verrannollinen muuhun kuin nopeuteen ja pakkovoima voi olla jokin muu periodinen funktio kuin kosini.

All troups must break step Sotilaita ohjeistetaan usein olemaan marssimatta tahdissa sillalla Kappaleilla on ominaisvärähtelytaajuus, joilla ne resonoivat Jos samassa tahdissa pumpataan systeemiin energiaa, amplitudi voimistuu Romahtaminen ei yleistä! Kuitenkin pari tapausta, jotka ilmeisesti osin selittyvät tällä 1831 Broughton Suspension Bridge 1850 Angers Bridge Millennium Bridge Lontoossa korjattiin 000- luvulla (lateraaliset värähtelyt) http://www.britainexpress.com/london/albert-bridge.htm

Sovellus: viritetty massavaimennin Esimerkiksi korkeissa rakennuksissa ja pitkissä silloissa Resonanssikohtia voi tulla kaksi mutta kummassakin amplitudi jää alle vaimentamattoman Kuvat: Wikipedia