Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla välillä [ 1, 3] ja derivoituva avoimella välillä ( 1, 3), joten Lauseen.. se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. Nyt ja f (x)=3x 3=3(x 1)=0 x = 1 x=±1 f ( 1)=( 1) 3 3( 1)= 1+3=, f (1)=1 3 3 1=1 33=, f (3)=3 3 3 3=7 9=18, joten f :n suurin arvo on f (3)=18 ja pienin arvo on f (1)=. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3].. Funktio f toteuttaa origon ympäristössä epäytälön f (x) x. Osoita, että f :llä on derivaatta origossa, ja määritä sen arvo. Ratkaisu. Osoitetaan, että f (0)=0. Koska f (0) 0 = 0, niin f (0)=0. Jos 0, niin f () = f () = f () = f (). Olkoonε>0. Kun 0< 0 = <ε(=δ), niin f (0+) f (0) 0 = f () <ε, joten erotusosamäärällä on origossa raja-arvo f (0+) f (0) lim = 0= f (0). 0 1
3. Funktio f : määritellään asettamalla cos x 1 f (x)=, kun x 0, ja f (0)=lim f (x). x 0 Määritä f (0). Ratkaisu. Koska Lemman..6 mukaan lim = 1, x 0 x niin on olemassa r>0siten, että jos 0< x <r, niin 1 x < 1 0< <. x Silloin 0kaikilla 0< x <r. Jos 0< x <r, niin cos x 1 cos x cos 0 x f (x)= = x x 0 g (0) 1= sin 0 1=0, missä g(x)=cos x ja täten g (x)=. Kuvaus f on siis cos x 1, x 0, f (x)= 0, x=0. Olkoon 0< <r. Silloin f (0+) f (0) = f () koska cos +1 0kaikilla 0< <r. Nyt (cos +1)(cos 1) = sin (cos +1) sin = (cos +1) = sin cos 1 = sin (cos +1)(cos 1) =, sin (cos +1) cos 1 sin (cos +1) = sin sin (cos +1) 1 cos +1 0 1 1 = 1. Näin ollen f (0)= 1. (Mika paoittelee vaativaa tetävää, kurssikokeessa ei ole näin vaikeita!) 4. Derivoi funktio f (x)=1+sin e kx. Ratkaisu. Olkoot g, :, g(x)=1+ ja (x)=e kx (k ). Tällöin g ja ovat derivoituvia kaikilla x ja g (x)=cos x ja (x)=ke kx. Näin ollen funktio f= g :, f (x)=(g )(x)=1+sin e kx, on derivoituva kaikilla x (Lause..11) ja ketjusäännön mukaan f (x)=(g ) (x)=g ((x)) (x)=cos e kx ke kx.
3. Osoita, että funktion f, f (x)= x 3 6x + 1x 8, käänteisfunktion derivaatta on niillä arvoilla, jotka f saa f :n nollakodissa. Ratkaisu. Koska f (x)= x 3 6x + 1x 8=(x ) 3, niin Korollaarin..3 perusteella f on derivoituva kaikilla x ja f (x)=3x 1x+1=3(x ) = 0 x=. Koska f (x)>0 kaikilla x, niin f on aidosti kasvava ja koska se on lisäksi jatkuva, niin sillä on käänteiskuvaus f 1 : f ( ) (vrt. Lause 4..4). Selvitetään käänteisfunktion ytälö ratkaisemalla x ytälöstä (x ) 3 = y x = 3 y x= 3 y+, joten käänteisfunktion lauseke on f 1 (y)= 3 y+. Koska f ()=0, niin on osoitettava, että ( f 1 ) (0)=. Nyt erotusosamäärälle pätee 3 3 3 f 1 (0+) f 1 (0) = f 1 () f 1 (0) + ( 0+) = = = 1 /3, 0 joten ( f 1 ) (0)=. 6. Funktiosta f tiedetään, että ja että f (0)=0. Määritä f. f (x)=++cos x Ratkaisu. Koska D x (x)=, D x ( cos x)= ja D x ()=cos x, niin summan derivoimissäännön (Lause..1(b)) ja Korollaarin.3.14 perusteella f (x)=x cos x++ C, missä C on vakio. Nyt f (0)=0 0 cos 0+sin 0+C= 0 1+C= 0 C= 1. Näin ollen f (x)=x cos x++1. Kuvassa välillä [ 10, 10] funktion f kuvaaja punaisella ja funktion f kuvaaja sinisellä.
4 7. Oletetaan, että f : on kasvava funktio. Osoita, että kiinteällä x:n arvolla erotusosamäärä f (x+) f (x) on :n kasvava funktio :ssä. Ratkaisu. Olkoon x. Määritellään g:, f (x+) f (x), 0, g()= f (x), =0. Osoitetaan, että g on kasvava. Koska derivoituvana kuvauksena f on jatkuva (Lause.1.3) ja lim g()= f (x)=g(0), niin g on jatkuva koko :ssä. Lisäksi g on derivoituva joukossa \{0}. 0 Olkoon >0. Tällöin x+> x. Väliarvolauseen (Lause.3.) nojalla on olemassaξ (x, x+) siten, että f f (x+) f (x) (ξ)= f (x+) f (x)= f (ξ), joten osamäärän derivoimissäännön (Lause..) ja f :n kasvavuuden nojalla g ()= f (x+) ( f (x+) f (x)) = f (x+) f (ξ) = f (x+) f (ξ) 0. Näin ollen Lauseen.3.11 perusteella funktio g on kasvava välillä [0, ). Vastaavasti osoitetaan, että g on kasvava välillä (, 0], joten g on kasvava koko :ssä. 8. Määritä R-säteisen pallon sisäänpiirretyistä ympyrälieriöistä se, jonka (a) tilavuus on suurin, (b) vaipan pinta-ala on suurin, (c) kokonaispinta-ala on suurin. Ratkaisu. Merkitään lieriön pojan sädettä r:llä ja lieriön korkeutta :lla, missä [0, R]. Tällöin Pytagoraan lauseen mukaan R = + r. (Piirrä kuva!) (a) Ympyrälieriön tilavuus on V()=πr =π(r ) =πr π 3, [0, R]. Funktio V : [0, R] on jatkuva välillä [0, R] ja derivoituva välillä (0, R). Koska V(0)=0= V(R) ja V saa positiivisia arvoja välillä (0, R), niin Lauseen.. perusteella V saa suurimman arvonsa derivaatan nollakodassa välillä (0, R). Nyt V ()=πr 6π = 0 = R 3, jolloin r= ( ) R R = R = R 3 3. Tilavuus on siis suurin, kun ympyrälieriön säde on r=r, jolloin tilavuus on 3 V R 3 = 4 3πR 9 3.
(b) Vaippapinnan pinta-ala on A(r)=πr =4πr R r = 4π R r r 4, r [0, R]. Funktio A: [0, R] on jatkuva välillä [0, R] ja derivoituva välillä (0, R). Se saavuttaa suurimman arvonsa samassa kodassa kuin funktio f : [0, R], f (r)=r r r 4, r [0, R], joka on myös jatkuva välillä [0, R] ja derivoituva välillä (0, R). Kun r (0, R), niin f (r)=r r 4r 3 = 0 r= R. Koska f (0)=0= f (R), niin vaippapinta-ala on suurin, kun ympyrälieriön säde on r= R, jolloin vaippapinta-ala on ) R A( = πr. (c) Kokonaispinta-ala on K(r)=πr +πr = π ( R r r 4 + r ), r [0, R]. Funktio K : [0, R] on jatkuva välillä [0, R] ja derivoituva välillä (0, R). Näin ollen se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa välillä (0, R). Nyt K(0)=0 ja K(R)=πR. Kun r (0, R), niin 1 K (r)=π R r r 4 (R r 4r 3 )+r =4π R r = R r r 4, jolloin siis r R eli r 1 R. Nyt josta R 4 4R r + 4r 4 = R r r 4, r = 1 R ( 1± 1 ). R r r 3 + r R r r 4 R r r 4 = 0 Koska r 1 R, niin r = 1 R ( 1+ 1 ), ja näin ollen r=r 1 (1+ 1 ). Tällä r:n arvolla saadaan suurin ympyrälieriön kokonaispinta-ala, sillä ( K R 1 1+ 1 ) = (1+ )πr > πr = K(R).
6 9. Olkoon f : [, ], x 3, x 0, f (x)= x, 0< x. Määritä väliarvolauseessa esiintyvä pisteξ (, ). Ratkaisu. Huomataan, että f on jatkuva välillä [, ] ja derivoituva välillä (, ). Väliarvolauseen mukaan on olemassa (ainakin) yksi sellainen pisteξ (, ), että Nyt joten jos ja vain jos f (ξ)= f () f ( ) ( ) = ( ) 3 4 3x, < x<0, f (x)= 0, x=0, x, 0< x<, 3ξ, <ξ<0, 3= f (ξ)= 0, ξ=0, ξ, 0<ξ<, ξ= 1 tai ξ= 3. = 1 4 = 3. e x 1 x e x + e x 10. Laske raja-arvot (a) lim ja (b) lim x 0 x x e x e. x Ratkaisu. (a) Huomataan, että lim e x x x=0 ja lim x = 0, x 0 x 0 joten sovelletaan l Hôpitalin sääntöä (Lause 6..) muotoa 0/0 olevaan raja-arvoon: e x 1 x e x 1 e x lim = lim = lim x 0 x x 0 x x 0 = 1. (b) Huomataan, että raja-arvo on tyyppiä /, mutta suoraan l Hôpitalin säännön (Lause 6..) soveltaminen ei tuota tulosta. Tedään sijoitus y=e x, jolloin y, kun x. Nyt saadaan lim x e x + e x e x e x= lim y y+y 1 1 y y y 1= lim y 1+y =1 1 = 1.