Geometrian oppikirjoista ammatillisella perusasteella

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Virpi Mäkinen Geometrian oppikirjoista ammatillisella perusasteella Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Lokakuu 2009

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos MÄKINEN, VIRPI: Geometrian oppikirjoista ammatillisella perusasteella Pro gradu -tutkielma, 24 s., 4 liites. Matematiikka Lokakuu 2009 Tiivistelmä Geometria on yksi matematiikan osa-alue. Itsenäiseksi tieteeksi se kehittyi antiikin Kreikassa. Geometria luokitellaan useisiin osa-alueisiin. Tärkeimmät ja tunnetuimmat osa-alueet ovat euklidinen ja epäeuklidinen geometria. Ammatillisella perusasteella geometria keskittyy taso- ja avaruusgeometrian käytännön tehtäviin. Ammatillisen matematiikan oppikirjoja kustantaa mm. Edita, Otava ja WSOY. Oppikirjoja on sekä koulutusalakohtaisina että yleisopintoihin soveltuvina yleisteoksina. Näiden oppikirjojen välillä on vain pieniä eroavaisuuksia. Oppikirjat esittelevät tärkeimmät taso- ja avaruusgeometrian kuviot ja kappaleet sekä niihin liittyvät tilavuuksien ja pinta-alojen kaavat. 2

Sisältö 1 Johdanto 4 2 Mitä geometria on? 5 2.1 Historiaa.............................. 5 2.2 Käsitteitä............................. 6 2.2.1 Peruskäsitteitä...................... 7 2.2.2 Tasokuvioita........................ 8 2.2.3 Kolmiulotteisia kappaleita................ 12 3 Oppikirjavertailua 14 3.1 Opetussuunnitelmien perusteet................. 16 3.2 Alakohtaista vertailua...................... 17 3.2.1 Yleisteokset........................ 17 3.2.2 Elintarvike- ja ravitsemisalat............... 18 3.2.3 Sosiaali- ja terveysala................... 19 3.2.4 Liiketalous......................... 19 3.2.5 Tekniset alat....................... 20 3.3 Teorian osuus........................... 21 3.3.1 Yleisimpiä käsitteitä................... 21 3.3.2 Tasokuvioita........................ 21 3.3.3 Kolmiulotteisia kappaleita................ 23 3.4 Tehtävien määrä ja laatu..................... 24 4 Yhteenveto 25 Viitteet 27 A Oppikirjat 28 B Ammatilliset perustutkinnot 29 3

1 Johdanto Tässä tutkielmassa tutustutaan ammatillisen perusasteen matematiikan oppikirjojen tarjontaan geometrian osalta. Tarkastelua varten on kolmelta kustantajalta pyydetty toukokuussa 2008 luettelot heidän kustantamistaan oppikirjoista sekä niiden näytekappaleet. Oppikirjoja on yhteensä 14 kappaletta, joista 13 oppikirjaa on otettu lähempään tarkasteluun. Tarkastelun ja keskinäisen vertailun ulkopuolelle on jätetty erityisille oppijoille suunnattu oppikirja Näppärästi numeroilla, sillä kyseinen teos on suunnattu niille opiskelijoille, joille matematiikan opiskelu tavallista matematiikan oppikirjaa käyttäen olisi hankalaa, eikä teoksen sisältöä ole mielekästä verrata muihin käsiteltyihin oppikirjoihin. Tutkielman aluksi käydään läpi pääpiirteitä geometrian historiasta alaluvussa 2.1 sekä geometrian käsitteitä alaluvussa 2.2. Oppikirjoja esitellään luvussa 3. Esittelyä ja keskinäistä vertailua varten oppikirjat on jaettu koulutusaloittain. Oppikirjoista verrataan, kuinka paljon kussakin on käytetty sivuja geometrian esittämiseen suhteessa koko oppikirjan sivumäärään. Lisäksi on tarkemmin jaoteltu, kuinka paljon geometriasivuista on teoriaa, esimerkkejä ja tehtäviä. Tutkielmassa ei pyritä asettamaan tarkasteltuja oppikirjoja paremmuusjärjestykseen, vaan tutkielman tarkoituksena on kartoittaa ammatilliselle perusasteelle suunnattuja oppikirjoja ja niiden sisältöä geometrian osalta. 4

2 Mitä geometria on? 2.1 Historiaa Geometria on käytännön mittaustehtävistä alkunsa saanut matematiikan osa-alue. Geometriaa on tutkittu jo muinaisten babylonialaisten ja egyptiläisten toimesta, mutta itsenäiseksi tieteeksi se kehittyi vasta antiikin Kreikassa. Kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen (n. 325-265 ekr.) kirjoitti teoksen Alkeet, jota pidetään yhtenä länsimaisen sivistyksen tärkeimmistä teoksista. ([3, s. 7]) Alkeet koostuu 13 kirjasta ja 465 propositiosta, sisältäen koko Eukleidesta edeltävän ajan matematiikan yleisesityksen ([2, s. 20]). Eukleideen kokoamien tietojen esitystä kutsutaan euklidiseksi geometriaksi. Eukleides määritteli teoksessaan Alkeet monia käsitteitä (mm. piste, viiva). Myöhemmin määritelmät on kuitenkin havaittu puutteellisiksi ja viimeistelemättömiksi. Koska kaikkea ei voi määritellä, on nykyaikaisessa aksiomaattisessa menetelmässä jätetty peruskäsitteet määrittelemättä ja määritelmien sijaan niiden väliset suhteet esitetään aksioomilla eli tosiksi sovituilla lausumilla. (vrt. [3, s. 7]) Kolme ensimmäistä Eukleideen postulaattia koskevat mahdollisuutta piirtää suora kahden pisteen kautta, mahdollisuutta jatkaa suoraa rajatta kumpaankin suuntaan ja mahdollisuutta piirtää ympyrä, jonka keskipiste ja säde ovat annetut. Neljännen postulaatin mukaan kaikki suorat kulmat ovat yhteneviä. Viides postulaatti on ns. paralleeliaksiooma. ([2, s. 20-21] Viidennestä postulaatista käytetään myös nimitystä yhdensuuntaisuuspostulaatti ([4, s. 96]). Postulaatti 2.1 (Yhdensuuntaisuuspostulaatti). ([4, s. 81]) Yhdensuuntaisuuspostulaatti sanoo, että jos on olemassa piste ja suora, joka ei kulje annetun pisteen kautta, on olemassa täsmälleen yksi sellainen suora, joka kulkee annetun pisteen kautta ja on yhdensuuntainen em. suoran kanssa eli ei leikkaa annettua suoraa. Useat matemaatikot ovat eri aikoina yrittäneet todistaa yhdensuuntaisuuspostulaatin johtamalla sen muista aksioomista, siinä kuitenkaan onnistumatta. 1800-luvulla yritykset on osoitettu mahdottomiksi ja konstruoitu epäeuklidisia geometrioita, joissa yhdensuuntaisuusaksiooma on korvattu jollain muulla suorien yhdensuuntaisuutta koskevalla oletuksella. ([2, s. 21] Vaikka geometria onkin nykyisin laajentunut monille eri osa-alueille ja hyvinkin kauas Eukleideesta, on Eukleideen asema geometrian perustana säilynyt. ([3, s. 8]) 5

René Descartesin (1596-1650) metodina oli antaa symboli jokaiselle tunnetulle ja tuntemattomalle osalle, johtaa symbolien välille riittävä määrä algebrallisia yhtälöitä ja ratkaista tuntematon. Pierre de Fermat (1601-65) keksi analyyttisen geometrian peruskäsitteet. ([2, s. 45-46]) Girard Desargues (1593-1662) aloitti kuvioiden projektioissa säilyvien ominaisuuksien tutkimisen ([2, s. 79]). Projektiivinen geometria tutkii suorien ja tasojen keskinäistä leikkaamista ilman, että kiinnitetään huomiota niiden mitallisiin ominaisuuksiin ([1, s, 224]). Deskriptiivisessä geometriassa tutkitaan kolmiulotteisten kappaleiden ominaisuuksia kuvaamalla niitä kaksiulotteiseen tasoon. Riippuen siitä, mitä käsitteellä suora geometriassa tarkoitetaan, on yhdensuuntaisuusaksiooma joko voimassa tai ei ole. Jos ko. aksiooma ei ole voimassa, on kyseessä epäeuklidinen geometria. Esimerkkinä epäeuklidisesta geometriasta voidaan tutkia suoraa pallon pinnalla, jolloin se ei olekaan intuitiivinen mielikuva suorasta, vaan kyseessä on isoympyrä. ([1, s, 222-223]) David Hilbert (1862-1943) esitti teoksessaan Grundlagen der Geometrie modernin geometrian aksiomatiikan ([1, s, 222]). Hilbert jättää määrittelemättä peruskäsitteet (viiva, piste) ja esittää niiden väliset suhteet aksioomilla. Eukleideen geometria esitetäänkin nykyisin useimmiten juuri Hilbertin järjestelmän mukaisesti. ([3, s. 7-8] 2.2 Käsitteitä Tässä kappaleessa on luettelonomaisesti koottuna keskeisten tasogeometrian käsitteiden määritelmät siinä muodossa kuin Matematiikan käsikirja [4] ne määrittelee. Matematiikan käsikirja on matemaattisten käsitteiden yleisteos, joka esittelee käsitteet sanakirjamaisesti aakkosjärjestyksessä. Esitystapa on hyvä, kun halutaan käyttää käsikirjaa puhtaasti käsitteiden hakuteoksena, eikä oppikirjana. Teos sopii yleisteokseksi matematiikasta kiinnostuneille ja käsitteitä jo tunteville henkilöille. Ammatillisen oppilaitoksen oppilaiden itsenäisessä käytössä Matematiikan käsikirja saattaisi olla liian teoreettinen. Tässä esiteltävät käsitteet on jaoteltu alalukuihin peruskäsitteet, tasokuviot ja kolmiulotteiset kappaleet. Käsitteet esitellään alaluvuissa käsikirjan mallin mukaisesti aakkosjärjestyksessä, eikä tässä työssä oteta kantaa käsitteiden tärkeysjärjestykseen tai niiden keskinäiseen käytön yleisyyteen. Määritelmät saattavat sisältää entuudestaan tuntemattomia käsitteitä. Matematiikan käsikirjassa on lihavoidulla tekstillä merkitty ne käsitteet, joiden määritelmät ovat luettavissa käsikirjasta. Tähän koottujen käsitteiden määritelmiin käsikirjan lihavoinnit on jätetty sellaisenaan. 6

2.2.1 Peruskäsitteitä Peruskäsitteisiin on koottu sellaisia geometrian käsitteitä, joita käytetään sekä taso- että avaruusgeometriassa. Luettelon ulkopuolelle on jätetty ne peruskäsitteet, joita ei nykyaikaisessa aksiomaattisessa geometriassa (ks. luku 2.1) määritellä, esim. piste ja suora (analyyttisessa geometriassa em. käsitteet voidaan määritellä). Halkaisija ([4, s. 127]) Metrisen avaruuden (M, d) osajoukon A halkaisija on luku diam A = sup d(x, y) : x, y A Jos A on suljettu, A:n halkaisija on siis kahden A:n pisteen maksimietäisyys. A on rajoittamaton, jos diam A =, ja rajoitettu, jos diam A <. Klassisessa geometriassa halkaisijalla tarkoitetaan usein myös janaa, joka yhdistää joukon kaksi kauimmaista pistettä (eikä vain sen pituutta). Esim. ympyrän halkaisija on keskipisteen kautta kulkeva jänne ja monikulmion halkaisija sen pisin lävistäjä. Kehäkulma ([4, s. 187]) Kulma, joka kärki on ympyrän kehällä ja kylkinä kaksi saman ympyrän jännettä. - - - Keskuskulma ([4, s. 190]) Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. - - - Kulma ([4, s. 216]) Kulma muodostuu kahdesta puolisuorasta, jotka kulkevat saman pisteen O (kulman kärki) kautta. Puolisuoria kutsutaan kulman sivuiksi eli kyljiksi. Kaksi samasta pisteestä lähtevää puolisuoraa määrittävät kaksi kulmaa; kuvassa ne on merkitty kaarilla. Kaksi kulmaa ovat yhtenevät eli samat, jos toinen saadaan toisesta translaatioiden ja rotaatioiden avulla. Kulmia mitataan asteina ja radiaaneina. Radiaani on tavallaan luonnollinen kulman yksikkö. Piste O keskipisteenä ja yksi pituusyksikkö säteenä piirretty ympyrä leikkaa kulman sivut pisteissä A ja B. Näitä pisteitä yhdistävän ympyränkaaren pituus x on kulman AOB suuruus radiaaneina, kunhan määrätään, kumpi kaari mitataan ja montako kierrosta ympyrää kierretään. - - - Lävistäjä ([4, s. 249-250]) Tasossa olevan monikulmion lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi eivierekkäistä kulmaa. Kolmiossa ei ole lävistäjää, neliössä niitä on kaksi, viisikulmiossa viisi ja n-kulmiossa n(n 3). Avaruudessa olevan monitahokkaan lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi nurkkaa, eikä kuulu 2 mihinkään tahkoon. 7

Piiri ([4, s. 311]) Tasokuvion reunaviivan tai muun suljetun (itseään leikkaamattoman) käyrän pituus. - - - Pinta ([4, s. 312-313]) Pinta on yleisesti avaruuden R n osajoukko, joka on lokaalisti homeomorfinen alempidimensioisen lineaariavaruuden R k kanssa. Tässä pinnalla tarkoitetaan euklidisen avaruuden R 3 2-ulotteista pintaa. Pinta on sileä, jos sen määrittelevät kuvaukset ovat mielivaltaisen monta kertaa jatkuvasti differentioituvia. Pinta voidaan esittää joko tasa-arvojoukkona tai parametrisoituna pintana. - - - Säde ([4, s. 374]) Ympyrän (pallon) säde on jana, joka yhdistää keskipisteen ja pisteen ympyrältä (pallolta). Taso ([4, s. 378-379]) Yksi avaruusgeometrian peruskäsitteistä. Se on kaksiulotteinen kuvio, jolla on seuraava ominaisuus: se sisältää koko suoran, joka yhdistää sen kaksi mielivaltaista pistettä, ja siinä on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole kaikki samalla suoralla. Määritelmästä seuraa, että taso ulottuu äärettömän kauas kaikissa suunnissa. Tasoalue on (avoin ja) yhtenäinen osajoukko. Puolitaso muodostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat toisella puolella tasolla olevaa suoraa (suora voi olla mukana tai ei). - - - Vaippa ([4, s. 402]) Kartion tai sylinterin pinta ilman kantapintoja. 2.2.2 Tasokuvioita Tasokuvioiden käsitteistä on luetteloon poimittu sellaisia yleisimpiä kuvioita, joita käsitellään tämän tutkimuksen kohteena olevissa oppikirjoissa. Ellipsi ([4, s. 79-81]) Ellipsi on suljettu tasokäyrä, joka voidaan määritellä seuraavilla ekvivalenteilla tavoilla: - - - (2) Ellipsi toteuttaa seuraavat ehdot: molemmista polttopisteistä F ja F mitattujen etäisyyksien summa ellipsin mille tahansa pisteelle P on vakio eli P F + P F = vakio. (Tätä pidetään usein ellipsin määritelmänä. Ellipsi on siis täysin määritelty, kun tunnetaan polttopisteet ja 8

yksi piste ellipsin kehältä.) - - - Kolmio ([4, s. 201]) Monikulmio, jossa on kolme kulmaa. Se muodostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole samalla suoralla (kolmion kulmat) sekä kolmesta janasta (sivut), jotka yhdistävät kulmat toisiinsa. Kolmio on monikulmio, jolla on pienin määrä sivuja. Lisäksi jokainen monikulmio voidaan jakaa kolmioiksi. Mikä tahansa sivu voidaan valita kolmion kannaksi. Janaa, joka piirretään kolmion kulmasta vastakkaisen sivun normaalin suuntaisena ko. sivulle tai sen jatkeelle, sanotaan kolmion korkeudeksi. Mediaani on jana, joka yhdistää kulman ja sen vastakkaisen sivun keskipisteen. Ulkokulma on kulma, joka muodostuu sivun ja viereisen sivun jatkeen välille. Kuvassa 1 kulma A ja sivu a ovat vastakkaiset; b ja c ovat kulman A viereiset sivut. B c a mediaani korkeus A b C Euklidisessa geometriassa kolmion kulmien summa on aina 2R, kaksi suoraa kulmaa, π radiaania eli 180 astetta. Ulkokulma on vastakkaisten sisäkulmien summa. Kuvassa siis kulma C on kulmien A ja B summa. Epäeuklidisessa geometriassa tämä ei päde. Jokaisen kolmion ympäri voidaan piirtää ympyrä; keskipiste on sivujen keskipisteisiin piirrettyjen normaalien leikkauspiste. Jokaisen kolmion sisäänkin voidaan piirtää ympyrä; tämän keskipiste on kulmanpuolittajien yhteinen leikkauspiste. Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessä pisteessä, painopisteessä, ja ne jakavat toisensa suhteessa 2:1 kulmasta lukien. Voidaan osoittaa, että ympäri piirretyn ympyrän keskipiste, korkeusjanojen leikkauspiste ja painopiste ovat samalla suoralla, ns. Eulerin suoralla. 1 Kuva on identtinen lähdeteoksen kuvan kanssa, mutta on tämän tutkimuksen tekijän L A TEX:lla laatima. 9

Kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoisia, jos kulmat ovat pareittain samat tai jos vastinsivujen suhteet ovat samat (ks. yhdenmuotoisuuslauseet). Kolmion pinta-ala A on 1 bh, jossa b on kannan pituus ja h korkeus 2 kantaa vastaan. Pinta-ala voidaan lausua myös sivujen a, b ja c avulla Heronin kaavalla: A = p(p a)(p b)(p c), jossa p = 1 (a + b + c). 2 Ympäri piirretyn ympyrän säde on abc ja sisään piirretyn ympyrän säde A. p 4A Tasokolmioon liittyvät tehtävät on selvittää kulmien suuruudet ja sivujen pituudet niin vähillä alkutiedoilla kuin mahdollista. Ratkaisemisessa käytetään trigonometrisia menetelmiä. - - - Nelikulmio ([4, s. 275]) Monikulmio, jossa on neljä sivua. Jos nelikulmion kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset, sitä sanotaan puolisuunnikkaaksi, ja jos molemmat vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, sitä sanotaan suunnikkaaksi. Suorakulmio on suunnikas, jonka kaikki kulmat ovat yhtä suuret, ja neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät. (Ympyrän sisään piirretty nelikulmio, ks. ympäri piirretty ympyrä). Täydellinen nelikulmio on projektiivisessa geometriassa tasokuvio, jonka määrittävät neljä suoraa a, b, c ja d (siten, että kolme ei kulje saman pisteen kautta) sekä suorien kuusi leikkauspistettä. Neliö ([4, s. 275]) Tasogeometriassa sellainen nelikulmio, jonka sekä sivut, että kulmat ovat yhtäsuuret (kongruentit). Yksikköneliössä sivujen pituus on 1. Neliöllä, jonka sivujen pituus on a, on piiri 4a ja pinta-ala a 2. Algebrassa neliö on lauseke, joka on korotettu potenssiin kaksi; esim. kokonaisluku (polynomi), joka on toisen kokonaisluvun (polynomin) toinen potenssi, esim, 5 2 tai (2x + 3) 2. Puolisuunnikas ([4, s. 325]) Nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset. Yhdensuuntaisia sivuja kutsutaan puolisuunnikkaan kannoiksi. Jos toiset kaksi sivua ovat keskenään yhtä pitkät, puolisuunnikasta sanotaan tasakylkiseksi. Puolisuunnikkaan korkeus on sen kantojen välinen etäisyys. Mediaani on suora, joka yhdistää ei-yhdensuuntaisten sivujen keskipisteet. Se on yhdensuuntainen kantojen kanssa, ja sen pituus on kantojen aritmeettinen keskiarvo 1 2 (b 1 + b 2 ), jossa b 1 ja b 2 ovat kantojen pituudet. Puolisuunnikkaan pinta-ala on 1 2 h(b 1 + b 2 ) eli korkeus kertaa mediaani. Suora, joka leikkaa kolmion kahta sivua ja on kolmion kolmannen sivun kanssa yhdensuuntainen, erottaa puolisuunnikkaan. Jos kolmio on tasakylkinen ja leikkaava suora piirretään kannan kanssa yhdensuuntaiseksi, puolisuunnikkaasta tulee tasakylkinen. 10

Suorakulmainen kolmio ([4, s. 362]) Tasossa oleva kolmio, jonka yksi kulma on suora. Sivuja, jotka muodostavat suoran kulman, sanotaan kateeteiksi ja kolmatta sivua hypotenuusaksi. Kuuluisa Pythagoraan lause antaa suorakulmaiselle kolmiolle yhtälön a 2 + b 2 = c 2, jossa a ja b ovat kateettien pituudet ja c on hypotenuusan pituus. Suorakulmaisella kolmiolla on kaksi tärkeää ominaisuutta: (1) jokainen suorakulmainen kolmio voidaan piirtää ympyrän sisään; (2) hypotenuusaa vastaan piirretty korkeus on sen hypotenuusasta jakamien osien geometrinen keskiarvo. Suorakulmio ([4, s. 363]) Nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat suoria. Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Suorakulmio on siis suunnikkaan erikoistapaus. Mikä tahansa sivuista voidaan valita kannaksi (yleensä toinen pitemmistä). Korkeus on kohtisuora etäisyys kannan ja vastakkaisen sivun välillä. Lävistäjä on jana, joka yhdistää vastakkaiset kulmat. Suorakulmion kaksi lävistäjää ovat yhtä pitkät. Jos kaksi vierekkäistä sivua ovat a ja b, suorakulmion pinta-ala on ab, piiri 2(a + b) ja lävistäjä a 2 + b 2. Suunnikas ([4, s. 364]) Nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät. Mikä tahansa sivu voidaan valita kannaksi; korkeus on kahden yhdensuuntaisen kannan välinen kohtisuora etäisyys. Lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi vastakkaista kulmaa. Suunnikkaalla on mm. seuraavat ominaisuudet: (1) lävistäjät puolittavat toisensa; (2) vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät; (3) vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret; (4) vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Kääntäen, jos nelikulmiolla on jokin em. ominaisuus, se on suunnikas. Suunnikkaat luokitellaan seuraavasti. Vinoneliö eli neljäkäs on suunnikas, jossa vierekkäiset sivut ovat yhtä pitkät (ja siten kaikki sivut ovat yhtä pitkät). Suorakulmio on suunnikas, jossa kulmat ovat suoria. Neliö on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kulmat suorat. Suunnikkaan pinta-ala on kanta kertaa korkeus. Jos sivut ovat a ja b, ja niiden välinen kulma θ, pinta-ala on ab sin θ. Säännöllinen monikulmio ([4, s. 374]) Monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat ovat yhtä suuria. Esim. tasasivuinen kolmio, neliö, jne. Jokaisen säännöllisen monikulmion ympäri ja sisään voidaan piirtää ympyrä. Näiden kahden ympyrän keskipistettä sanotaan säännöllisen monikulmion keskipisteeksi. Keskuskulma on keskipisteestä kahteen vierekkäiseen kärkeen piirrettyjen janojen välinen kulma; säännöllisen n-kulmaisen monikulmion keskuskulma on 2π. Kaava r = a cos π antaa yhteyden ympäri n n 11

piirretyn ympyrän säteen a ja sisään piirretyn ympyrän säteen r välille. Yhden sivun pituus on 2r tan π ; piiri on siis n kertaa tämä. Pinta-ala n on puolet piiristä kertaa sisään piirretyn ympyrän säde eli n r 2 tan π. n - - - Tasasivuinen kolmio ([4, s. 377-378]) Kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja jokainen kulma on 60. Seuraavat kaavat pätevät tasasivuiselle kolmiolle, jonka sivu on a: korkeus = a 3 2 pinta-ala = a2 3 4 sisään piirretyn ympyrän säde = a 3 6 ympäri piirretyn ympyrän säde = a 3 3. Ympyrä ([4, s. 424-425]) Tason käyrä, joka muodostuu kaikista niistä pisteistä, joilla on sama etäisyys (säde) annettuun kiintopisteeseen (keskipiste). Jänne on jana, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä toisiinsa. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Halkaisijan pituus on kaksi kertaa säteen pituus. - - - 2.2.3 Kolmiulotteisia kappaleita Kolmiulotteisten kappaleiden luettelossa on sellaisia yleisimpiä avaruusgeometrian kuvioita, joita käsitellään tämän tutkimuksen kohteena olevissa oppikirjoissa. Kartio ([4, s. 183-184]) Geometriassa suljettu avaruuspinta, jonka määrittävät suljettu tasokäyrä C (tukikäyrä) ja avaruuden piste P (kärki), joka ei sijaitse samassa tasossa käyrän C kanssa; kartio muodostuu kaikista suorista, jotka piirretään pisteestä P käyrälle C, sekä kantapinnasta, joka on käyrän C rajoittama tasopinta (ks. pyramidi). Jokaista suoraa pisteestä P käyrälle C sanotaan kartion emäviivaksi (ks. generatis). Kartion korkeus on pisteestä P kohtisuora korkeus tasolle, jonka kantapinta määrittää. Kartiota sanotaan ympyräkartioksi, jos tukikäyrä on ympyrä ja ellipsiseksi, jos tukikäyrä on ellipsi. Kuperassa kartiossa tukikäyrä on kupera eli konveksi. Jos tukikäyrällä on keskipiste, suoraa keskipisteen ja kärkipisteen P välillä sanotaan akseliksi. Jos akseli on kohtisuorassa kantapintaa vastaan, kartiota sanotaan suoraksi, muuten vinoksi. - - - Kuutio ([4, s. 224]) Suorakulmainen suuntaissärmiö, jonka kaikki kuusi rajapintaa ovat ne- 12

liöitä. Siinä on 12 yhtä pitkää särmää ja 8 kulmaa. Sellaisen kuution, jonka särmän pituus on a, tilavuus on a 3 ja kokonaispinta-ala on 6a 2. - - - Pyramidi ([4, s. 325-326]) Monitahokas, jonka määräävät monikulmio ABC... ja piste V (kärki), joka ei ole samassa tasossa kuin monikulmio. Pyramidi on kartio, jonka tukikäyrä on monikulmio. Kolmiot VAB, VBC,... ovat pyramidin tahkot, monikulmio ABC... sen kanta ja janat VA, VB, VC,... sen särmät. Pyramidia sanotaan kuperaksi, jos kannan monikulmio on kupera. Korkeus on kohtisuora etäisyys kannan tason ja kärjen välillä. Pyramidin tilavuus on 1 hb, jossa h on korkeus ja B on kannan pinta-ala. 3 Tetraedrin eli kolmisivuisen pyramidin kanta on kolmio, nelisivuisen pyramidin kanta on nelikulmio jne. Säännöllinen pyramidi on sellainen, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja jonka korkeusjana kulkee kannan keskipisteen O kautta. Tällaisen pyramidin tahkot ovat kongruentteja tasakylkisiä kolmioita. Katkaistu pyramidi on avaruuskappale, joka määräytyy tasosta, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan kanssa ja leikkaa kaikki pyramidin särmät, kannasta sekä niistä alkuperäisen pyramidin sivupintojen osista, jotka ovat kannan ja leikkaavan tason välissä. Katkaistun pyramidin tilavuus on 1h(B 3 1 + B 2 + B 1 B 2 ), jossa B 1 ja B 2 ovat kantojen pintaalat ja h on katkaistun pyramidin korkeus. Jos katkaiseva taso ei ole yhdensuuntainen pyramidin kannan kanssa (mutta leikkaa kaikki pyramidin särmät), lopputulosta sanotaan vinoksi katkaistuksi pyramidiksi. - - - Suora ympyräkartio ([4, s. 362]) Kartio, jonka kanta on ympyrä ja korkeuden kantapiste on ympyrän keskipiste. Suorakulmainen särmiö ([4, s. 363]) Suuntaissärmiö, jonka kannat ovat suorakulmioita ja tahkot kohtisuorassa kantoja vastaan. Jos kolmen samasta nurkasta lähtevän särmän pituudet ovat a, b ja c, tilavuus on abc, kokonaispinta-ala 2(ab+bc+ca) ja lävistäjän pituus a 2 + b 2 + c 2. Säännöllinen pyramidi ([4, s. 375]) Säännöllinen pyramidi on pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja jonka korkeusjana kulkee kannan keskustan kautta. Ympyräkartio ([4, s. 425]) Kartio, jonka kanta on ympyrä. 13

3 Oppikirjavertailua Tässä tutkimuksessa on tarkasteltu ammatillisen perusasteen matematiikan oppikirjoja. Tarkasteltavia oppikirjoja on kolmelta eri kustantajalta, yhteensä 14 kpl. Taulukossa 1 on lueteltu oppikirjat jaoteltuina koulutusaloittain. Tarkemmat tiedot oppikirjoista löytyy liitteestä A. Kirjan nimen perässä sulkeissa oleva tieto viittaa kirjan tunnistetietoihin kyseisessä liitteessä. Oppikirjat on jaoteltu liitteessä kustantajittain siten, että oppikirjat 1a 1d ovat Editan, 2a Otavan ja 3a 3i WSOY:n kustantamia. Koulutusala Oppikirjat Elintarvikeala, Ruokamatematiikkaa (3d) ravitsemisala Catering-alan matematiikka (3e) Sosiaali- ja terveysala Helmitaulu (1c) Matematiikkaa lähihoitajalle (3a) Sosiaali- ja terveysalan matematiikka (3b) Liiketalouden ala Merkonomin matematiikka (1d) Taloutta ja tilastoja (3i) Tekniset alat Pythagoras 1 (1b) Teknisten ammattien matematiikka 1 (3f) Yleisopinnot Ammattilaisen matematiikka (1a) ProbleMatikka (2a) Uusi Origo (3c) Numerotaito (3g) Erilaiset oppijat Näppärästi numeroilla (3h) Taulukko 1: Oppikirjat koulutusaloittain jaoteltuina WSOY:n Näppärästi numeroilla on suunnattu niille opiskelijoille, joille matematiikan opiskelu tavallista matematiikan oppikirjaa käyttäen olisi hankalaa. Kirjan teksti on laadittu selkeäkieliseksi ja käytännönläheiseksi. Kirjassa on 259 sivua, joista 32 sivua (12,4 %) käsittelee geometriaa. Koska kirjan sisältö on kevennetty, sitä ei ole otettu mukaan oppikirjojen keskinäiseen vertailuun. Osassa oppikirjoista yksikkömuunnokset on sijoitettu geometria-alalukuun, joten vertailtavuuden vuoksi kyseisen aihepiirin sivut on laskettu mukaan myös niiden oppikirjojen osalta, joissa ne on sijoitettu erilleen geometriasta. Trigonometriaa käsittelevät sivut ja tehtävät on laskettu mukaan, mutta niihin liittyvää aineistoa ei ole tässä tutkimuksessa sen tarkemmin käsitelty, vaan on keskitytty taso- ja avaruusgeometrian osa-alueisiin. Trigonometriaa on käsitelty tarkasteltavana olevista oppikirjoista vain teknisten alojen oppikirjoissa ja yleisteoksissa. Vektorit on jätetty kokonaan tämän tutkimuksen tarkastelun ulkopuolelle, 14

vaikka ne ovatkin osassa oppikirjoista mukana geometrian osa-alueena. Vektoreita käsittelevät sivut on jätetty huomioimatta geometrian sivumäärissä. Sivumääriä laskettaessa on käytetty kahta laskutapaa. Ensinnäkin on laskettu kokonaisina sivuina geometriaa käsittelevät sivut ja verrattu tätä sivumäärää koko oppikirjan sivumäärään. Lisäksi on tehty silmämääräinen arvio siitä, kuinka suuri osa geometriaa käsittelevistä sivusta on teoriaa ja kuinka suuri osa esimerkkejä tai tehtäviä. Näin on saatu verrattua teorian, esimerkkien ja tehtävien sivumäärien välisiä suhteita (näistä tarkemmin alaluvussa 3.3). Oppikirjojen sivuista keskimäärin 15,7 % käsitteli geometriaa. Tätä selkeästi pienempiin osuuksiin jäivät liiketalouden oppikirjat ja sosiaali- ja terveysalan oppikirjoista muut, paitsi Helmitaulu (1c). Selkeästi suurempi osuus geometriaa puolestaan löytyy teknisten alojen oppikirjoista, yleisopintojen oppikirjoista ja ravitsemisalan oppikirjasta Ruokamatematiikkaa (3d) (vrt. kuva 1). Kuva 1: Geometrian osuus koko oppikirjan sivumäärästä (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A) Osassa oppikirjoista teoriaosuus on käsitelty kokonaan ensin ja esimerkit ja tehtävät tulevat tämän jälkeen, mutta osassa oppikirjoista teoria, esimerkit ja tehtävät vuorottelevat pienempinä asiakokonaisuuksina. Kirjassa Teknisten ammattien matematiikka 1 (3f) kaikki kirjan harjoitustehtävät on sijoitettu kirjan loppuun omaksi kokonaisuudekseen. Eri tavoilla on omat hyvät ja huonot puolensa. Kun teoria käsitellään pienissä osissa, on oppilaiden helppo yhdistää tehtävien ongelmat ja teoriassa esitellyt kaavat toisiinsa. Toisaalta tämä tapa on myös huono, sillä tällöin ei 15

edesauteta oppilaiden oman ongelmanratkaisukyvyn kehittymistä eikä kehitetä taitoa valita oikea kaava oikeaan tilanteeseen. Jos isomman asiakokonaisuuden teoriaosuus on kokonaan ensin ja esimerkit tämän jälkeen ja vasta sitten tulevat tehtävät, saadaan paremmin koottua saman aihealueen asiat kokonaisuudeksi ja oppilaiden ongelmanratkaisutaito ja oikean kaavan valinta pääsevät koetukselle. Toisaalta tällöin joudutaan oppitunnin asiasisällön mukaan käymään asioita läpi sieltä täältä, mikä voi aiheuttaa epäselvyyttä, jos oppilaat eivät osaa yhdistää teoriaa, esimerkkejä ja tehtäviä toisiinsa. Se, että ovatko harjoitustehtävät välittömästi isomman teoriakokonaisuuden perässä, vai vasta kirjan loppuun koottuna, ei sinänsä eroa toisistaan kirjan käytön kannalta. Harjoitusten kokoaminen kirjan loppuun on eduksi siinä mielessä, että tällöin kirjan alkuosa on yhtenäisempi ja tiiviimpi teoriapaketti, jota harjoitustehtäväsivut eivät katkaise. 3.1 Opetussuunnitelmien perusteet Opetushallituksen laatimien opetussuunnitelman perusteiden osalta ei oteta tarkkaan kantaa siihen, mitä asioita geometriasta tulisi kullakin koulutusalalla opiskella. Eri koulutusalojen opetussuunnitelmien perusteita tutkittaessa voidaankin havaita niiden olevan lähes samansisältöisiä. Tähän on esimerkkinä poimittu matkailu-, ravitsemis- ja talousalan Cateringalan perustutkinnon opetussuunnitelman perusteista (valmistunut 17.2.2000, astunut voimaan 1.8.2000 alkaen) [6] yhteisten opintojen tavoitteet, keskeiset sisällöt ja arviointi matematiikan osalta, ja sieltä erityisesti geometrian osuus. Tavoitteet ja keskeiset sisällöt on eritelty kiitettävän tason ja tyydyttävän tason osuuksiin. Kiitettävä taso ([6, s. 29-30]) Opiskelijan tulee osata tulevassa ammatissaan monipuolisesti soveltaa matematiikkaa ja käyttää sitä ongelmanratkaisussa. Opiskelijan on osattava sujuvasti peruslaskutoimitukset, kuten prosenttilaskenta ja yksiköiden muuntaminen, ammattiinsa liittyvissä tehtävissä. - - - Opiskelijan on osattava soveltaa geometriaa catering-alan vaatimassa laajuudessa, esimerkiksi laskea pinta-aloja ja tilavuuksia ja käyttää mittakaavaa. - - - Keskeinen sisältö on ammatissa esiintyvien matemaattisten tehtävien ratkaisu käyttäen hyväksi peruslaskutoimituksia, mallintamista ja geometriaa. 16

Tyydyttävä taso ([6, s. 30]) Opiskelijan tulee osata - - - - - - laskea käyttämiensä yleisimpien kappaleiden pinta-aloja ja tilavuuksia Opetussuunnitelmien perusteiden ollessa näin avoimet, jää oppilaitoksille hyvinkin vapaat kädet laatia tarkempi opetussuunnitelma. Myös oppikirjojen tekijöillä on vapaus käyttää omaa harkintaansa esimerkiksi yllä mainittujen ammattiinsa liittyvissä tehtävissä -tyyppisten asioiden kokoamiseen oppikirjaksi. Avoimuus antaa paljon vapautta, mutta tuo myös vastuuta. Kun valtakunnallisesti ei ole yksiselitteisesti määritelty, mitä asioita oppimäärään sisältyy, saattaa eri oppilaitoksissa tulla pieniä eroja opiskeltavien asioiden sisältöihin. Opetushenkilökunnan ammattitaidon ja työelämätuntemuksen puitteissa voidaan rajata käsiteltävät asiat sellaisiksi, joita kyseisellä alalla käytännön työelämässä tarvitaan. Eikä myöskään ole kiellettyä ottaa oppimäärään mukaan yleishyödyllisiä asioita oman alan ulkopuolelta. Monialaisissa ammattioppilaitoksissa yleisopintojen matematiikan opettaja joutuu työssään kohtaamaan useiden eri alojen oppilaita, jolloin hänellä ei voi olla omakohtaista kokemusta jokaisen alan tarpeista. Tällöin korostuu oppikirjojen tekijöiden ammattitaidon merkitys. Alakohtaisissa oppikirjoissa sisältö lienee hyvinkin loppuun saakka mietittyä, mutta yleisteoksissa on varmasti jouduttu tekemään rajauksia, ainakin harjoitustehtävien aiheiden suhteen. Opettajalle jää aina kuitenkin vapaat kädet karsia tai lisätä oppikirjojen asiasisältöä vastaamaan kunkin oppilasryhmän tarpeita. 3.2 Alakohtaista vertailua Seuraavassa tarkastellaan oppikirjoja koulutusalakohtaisesti jaoteltuna. Jako koulutusaloihin on tutkimuksen tekijän oma näkemys tutkittavana olevista oppikirjoista, kuitenkin huomioiden oppikirjojen tekijöiden kuvaukset kirjojen esipuheissa. Koulutusalat on poimittu opetushallituksen verkkosivuilta (vrt. liite B). 3.2.1 Yleisteokset Ammatillisen peruskoulutuksen yleisopinnoissa käytettäväksi soveltuvat oppikirjat ovat Ammattilaisen matematiikka, ProbleMatikka, Uusi Origo ja Nu- 17

merotaito. Taulukossa 2 on esitetty näiden oppikirjojen kokonaissivumäärät sekä geometriaan käytettyjen sivujen osuus koko kirjasta. Kirja Sivuja Geometriasivuja % Ammattilaisen matematiikka 287 39 18,8 % ProbleMatikka 187 39 21,9 % Uusi Origo 260 44 20,4 % Numerotaito 237 49 23,6 % Taulukko 2: Yleisteosten sivumäärät Kaikissa neljässä oppikirjassa on geometria jaettu alalukuihin (esim. tasogeometria, avaruusgeometria) ja kukin alaluku esittelee ensin teorian, esimerkkejä käyttäen, ja tämän jälkeen seuraa harjoitustehtävät. Numerotaidossa harjoitustehtävät on jaettu kolmeen eri tasoon, joista taso 1 on perustehtäviä ja taso 3 haastavia tehtäviä. Tämä mahdollistaa oppilaiden eriyttämisen ratkaisemaan kunkin omien taitojen mukaisia tehtäviä. Muut oppikirjat jättävät tehtävien vaikeustason arvioinnin opettajan harkinnan varaan. 3.2.2 Elintarvike- ja ravitsemisalat Elintarvike- ja ravitsemisalojen käyttöön on tarjolla kaksi oppikirjaa, Ruokamatematiikkaa ja Catering-alan matematiikka (ks. taulukko 3). Näistä Ruokamatematiikkaa on koko oppikirjajoukon runsaimmin kuvitettu oppikirja. Kuvia on käytetty runsaasti mm. harjoitustehtävien havainnollistamisessa. Kirja Sivuja Geometriasivuja % Ruokamatematiikkaa 153 30 19,6 % Catering-alan matematiikka 133 14 10,5 % Taulukko 3: Elintarvike- ja ravitsemisalojen oppikirjojen sivumäärät Ruokamatematiikkaa -kirjassa on yksikkömuunnosten lisäksi käsitelty tasokuvioita ja kolmiulotteisia kappaleita. Catering-alan matematiikka -kirjan geometriaosuus keskittyy lähinnä yksikkömuunnoksiin pinta-ala- ja tilavuuslaskujen osuuden jäädessä muutaman harjoitustehtävän varaan osiossa Lisätehtäviä nopeille. Esimerkki 3.1 osoittaa kuinka hyvin tehtävissä on osattu huomioida ravitsemusala niin, että geometrisia taitoja voidaan hyödyntää. Esimerkki 3.1. (liite A 3d, s. 88, tehtävä 17) Pyöreäpohjaiseen hyytelökakkuun, jonka halkaisija on 30 cm, tarvitaan täytettä 12 dl. Kuinka paljon täytettä tarvitaan suorakaiteen muotoiseen kakkuun (30 cm x 45 cm), jos hyytelökerroksen halutaan olevan yhtä paksu kuin pyöreäpohjaisessa kakussa? 18

3.2.3 Sosiaali- ja terveysala Sosiaali- ja terveysalan opintoihin soveltuvia oppikirjoja on kolme, Helmitaulu, Matematiikkaa lähihoitajalle ja Sosiaali- ja terveysalan matematiikka. Kirja Sivuja Geometriasivuja % Helmitaulu 326 51 15,6 % Matematiikkaa lähihoitajalle 180 5 2,8 % Sosiaali- ja terveysalan matematiikka 277 26 9,4 % Taulukko 4: Sosiaali- ja terveysalan oppikirjojen sivumäärät Näistä Matematiikkaa lähihoitajalle sisältää vain yksikkömuunnoksia. Helmitaulu ja Sosiaali- ja terveysalan matematiikka sisältävät yksikkömuunnosten lisäksi taso- ja avaruusgeometrian yleisimmät kuviot ja niihin liittyvät laskukaavat (näistä tarkemmin luvussa 3.3). Helmitaulu käsittelee geometriaa muita saman koulutusalan oppikirjoja laajemmin (ks. taulukko 4). Sisällöllisesti se ei kuitenkaan eroa kirjassa Sosiaalija terveysalan matematiikka käsiteltävistä asioista. Kaikkien kirjojen tehtävät ovat sisällöltään hyvin yleisluontoisia (vrt. esimerkki 3.2). Yksi tehtävä on positiivinen poikkeus, koska siinä on ongelmanasettelussa käytetty houkuttimena alakohtaista terminologiaa (vrt. esimerkki 3.3). Esimerkki 3.2. (liite A 1c, s. 237, tehtävä 5) Kellon minuuttiviisari on 8,0 cm pitkä. Kuinka pitkän matkan sen kärki kulkee 15 minuutissa? Esimerkki 3.3. (liite A 3b, s. 137, tehtävä 2) Mikä on sellaisen lääkeruiskun halkaisija, jonka asteikolla 1,0 ml:n tilavuus on 1,0 cm:n korkuinen? 3.2.4 Liiketalous Kaikista tarkastelluista oppikirjoista vähiten geometriaa on liiketalouden oppikirjoissa Merkonomin matematiikka ja Taloutta ja tilastoja (ks. taulukko 5). Kirja Sivuja Geometriasivuja % Merkonomin matematiikka 326 15 4,6 % Taloutta ja tilastoja 349 19 5,4 % Taulukko 5: Liiketalouden oppikirjojen sivumäärät 19

Näistä Taloutta ja tilastoja -kirjassa geometriaa käsittelevä luku on otsikoitu Pinta-aloja ja tilavuuksia, mikä kuvaa hyvin ko. luvun sisältöä. Luvussa käydään läpi tavallisimmat tasokuviot ja kolmiulotteiset kappaleet. Merkonomin matematiikka sisällyttää geometria-alaotsikon alle mittayksiköt, tasokuviot ja kolmiulotteiset kappaleet. Myös tässä kirjassa käydään läpi vain tavallisimpiin kuvioihin ja kappaleisiin liittyvät laskukaavat. Jo oppikirjan nimi Merkonomin matematiikka kertoo, millaisille opiskelijoille kirja on suunnattu. Oppikirjan tehtävistä suurin osa on hyvin yleispäteviä, mutta mukana on myös tehtäviä, joiden voidaan katsoa olevan kaupallisesti suunnattuja (vrt. esimerkki 3.4). Myös Taloutta ja tilastoja -kirjan tehtävistä suurin osa on enemmän yleispäteviä kuin alakohtaisesti suunnattuja. Esimerkki 3.4. (liite A 1d, s. 73, tehtävä 5) Ulkomainostaulu on 460 cm leveä ja 220 cm korkea. Kuinka suuri on mainostaulun pinta-ala neliömetreinä? 3.2.5 Tekniset alat Pythagoras 1 ja Teknisten ammattien matematiikka 1 menevät geometrian sisällöissä muita oppikirjoja syvemmälle. Tämä näkyy myös geometrian osuudessa oppikirjojen sisällössä (ks. taulukko 6). Kirja Sivuja Geometriasivuja % Pythagoras 1 306 61 30,4 % Teknisten ammattien matematiikka 1 277 54 22,4 % Taulukko 6: Teknisten alojen oppikirjojen sivumäärät Teknisten ammattien matematiikka 1 esittelee ainoana oppikirjana pyörähdyskappaleet ja niihin liittyvät pyörähdyspinnan alan ja tilavuuden laskukaavat. Teknisten alojen kirjoissa on eniten alakohtaisesti suunnattuja tehtäviä (vrt. esimerkiksi esimerkki 3.5) verrattuna muiden alojen oppikirjoihin. Tämä houkuttaa tekemään johtopäätöksen, että geometriaa tarvittaisiin teknisillä aloilla enemmän kuin joillain muilla aloilla. Toinen vaihtoehto voi olla myös se, että teknisiin laitteisiin liittyvät tehtäväksiannot vaikuttavat hienommilta, joten niitä käytetään runsaasti, kun muilla aloilla pitäydytään yleisluonteisissa tehtävissä. Esimerkki 3.5. (liite A 1b, s. 233, tehtävä 3117) Halkaisijaltaan 80 mm:n akseliin on porattava reikä, jonka ala on puolet akselin poikkileikkausalasta. Kuinka suuri on reiän halkaisijan oltava? 20

3.3 Teorian osuus Kuvassa 2 on verrattu oppikirjoissa teoriaan, esimerkkeihin ja harjoitustehtäviin käytettyjen sivumäärien suhdetta. Teoriaksi on laskettu kaavojen esittely ja niihin mahdollisesti liittyvät selvennykset. Sivumääristä on pyritty karsimaan pois kuvien käyttö silloin, kun kuvat eivät suoranaisesti ole liittyneet käsiteltyyn aiheeseen. Teorian, esimerkkien ja harjoitustehtävien sivumäärät ovat siis puhtaasti asiaa sisältävä osuus geometrian sivuista. Kuvasta erottuu Catering-alan matematiikka (3e), jossa on selvästi eniten harjoitustehtäväsivuja suhteessa teoriaan ja esimerkkeihin. Vähiten harjoitustehtäväsivuja on oppikirjassa Merkonomin matematiikka (1d). Kuva 2: Teorian, esimerkkien ja tehtävien suhde sivuina (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A) 3.3.1 Yleisimpiä käsitteitä Taulukkoon 7 on koottu yleisimpien käsitteiden käyttöä tarkasteltavana olleissa oppikirjoissa. Kirja Matematiikkaa lähihoitajalle (3a) erottuu, koska siinä käsittely rajoittuu yksikkömuunnoksiin (ks. alaluku 3.2.3). 3.3.2 Tasokuvioita Yleisteoksissa sekä teknisten alojen oppikirjoissa on taulukossa 8 esitettyjen kuvioiden lisäksi esitelty myös säännöllisen monikulmion pinta-alan laskemi- 21

Käsite 3d 3e 1c 3a 3b 1d 3i 1b 3f 1a 2a 3c 3g Pituus x x x x x x x x x x x x Kanta x x x x x x x x x x Korkeus x x x x x x x x x x x Piiri, kehä x x x x x x x x x x x x Pinta-ala x x x x x x x x x x x x x Tilavuus x x x x x x x x x x x x x Säde x x x x x x x x x x x x Halkaisija x x x x x x x x x x x x Lävistäjä x x x x x x Pohja x x x x x x x x x x x Pinta x x x x x x x x Tahko x x x x x x x Särmä x x x x x x x x Vaippa x x x x x x x x x Taulukko 7: Yleisimpiä käsitteitä (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A) nen. Yleisteoksista Uusi Origo (3c) ja Numerotaito (3g) esittelevät lisäksi myös epäsäännöllisen monikulmion pinta-alan laskemisen. Kuvio 3d 3e 1c 3a 3b 1d 3i 1b 3f 1a 2a 3c 3g Suorakulmio x x x x x x x x x x x x Neliö x x x x x x x x x x x x Suunnikas x x x x x x x x x x x x Vinoneliö x x x x x Puolisuunnikas x x x x x x x x x x x Kolmio x x x x x x x x x x x x Ympyrä x x x x x x x x x x x x Ellipsi x Monikulmio x x x x x x x x Taulukko 8: Tasokuviot (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A) Useimmissa oppikirjoista on kolmion kulmien summa kerrottu faktana muiden joukossa. Lauseen paikkansapitävyyttä ei ole näissä oppikirjoissa todistettu. Lause 3.1 (Kolmion kulmien summa). Kolmion kulmien summa on 180. Suurimmassa osassa oppikirjoja on kolmioiden osalta erikseen käyty läpi suorakulmainen kolmio ja tasasivuinen kolmio. Osassa on näiden lisäksi esitelty myös tasakylkinen kolmio. Pythagoraan lause [vrt. lause 3.2 (liite A 1b, s. 177)] on esitelty kaikissa 22

oppikirjoissa lukuun ottamatta kirjoja Catering-alan matematiikka (3e) ja Matematiikkaa lähihoitajalle (3a). Lause 3.2 (Pythagoraan lause). Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on kateettien neliöiden summa eli c 2 = a 2 + b 2. Vaikka Pythagoraan lause on esitelty suurimmassa osassa oppikirjoista, sitä ei ole kaikissa kirjoissa todistettu. Vaikka matemaattinen todistaminen ei sisällykään ammatillisen perusasteen oppimäärään tavoitteisiin, on Pythagoraan lause niin yleiskäyttöinen, että sen todistuksen esittäminen voitaisiin katsoa kuuluvaksi yleissivistävän aineksen piiriin. Todistuksen olisikin voinut sisällyttää kaikkiin Pythagoraan lauseen esitteleviin oppikirjoihin. Muilta osinhan ei ratkaisukaavoja ole edes esitetty matemaattisina lauseina. Kaavojen käyttäminen lauseiksi muotoiltuna ja niiden todistaminen toisikin ammatillisella puolella vain turhaa teoreettisuutta matematiikkaan. Tarkoituksenahan on kuitenkin tuoda matematiikka osaksi käytännön ongelmien ratkaisua, eikä todistaa, mihin ongelmanratkaisussa käytetyt kaavat perustuvat. 3.3.3 Kolmiulotteisia kappaleita Taulukko 9 havainnollistaa oppikirjoissa esiteltyjen kolmiulotteisten kappaleiden käsittelyä. Kappale 3d 3e 1c 3a 3b 1d 3i 1b 3f 1a 2a 3c 3g Suorakulmainen särmiö x x x x x x x x x x x x Kuutio x x x x x x x x x x x x Suora ympyrälieriö x x x x x x x x x x x x Muut lieriöt x x x x x x Kartio x x x x x x x x x x x Pyramidi x x x x x x x x x x x Pallo x x x x x x x x x x x Taulukko 9: Kolmiulotteiset kappaleet (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A) Taulukossa esitettyjen kappaleiden lisäksi on kirjoissa Ruokamatematiikkaa (3d), Pythagoras 1 (1b), Ammattilaisen matematiikka (1a) ja Uusi Origo (3c) erikseen esitetty katkaistu pyramidi, sekä kirjassa Numerotaito (3g) edellisen lisäksi myös katkaistu kartio. 23

3.4 Tehtävien määrä ja laatu Tehtävien määrässä on jokainen alakohta (esimerkiksi 1a, 1b, 1c jne.) laskettu omaksi tehtäväkseen. Laskutehtäväksi on tässä tutkimuksessa luokiteltu sellaiset tehtävät, joissa ratkaisu voidaan laskea suoraan nähtävissä olevilla lukuarvoilla. Sanallisen tehtävän ratkaisemisessa tarvitaan ongelman hahmottamista, mallikuvan piirtämistä, yhden tai useamman kaavan soveltamista jne. (vrt. kuva 3). Kuva 3: Lasku- ja sanallisten tehtävien suhde (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A) Kaikki muut oppikirjat antavat kirjan lopussa harjoitustehtäviin oikeat vastaukset, paitsi Uusi Origo (3c), jossa vastauksia ei ole annettu ollenkaan. Missään oppikirjassa ei ole annettu valmiita ratkaisuja, vaan pelkät vastaukset. Tämä on geometrian osalta ihan hyvä periaate, sillä samaan lopputulokseen voidaan joissain tapauksissa päästä erilaisilla ratkaisuilla, jolloin vain yhden ratkaisutavan esittäminen oikeana ratkaisuna olisi hyvin harhaanjohtavaa. Toisaalta pitää muistaa myös, että matematiikassa ei saa tyytyä pelkkään oikeaan vastaukseen, vaan oppilaita tulisi kannustaa kirjaamaan ylös ratkaisun välivaiheita. Lähes kaikissa oppikirjojen esittämissä esimerkeissä näin on tehtykin, mutta opettajan tulisi edellyttää samaa myös oppilailta. Jos oppilaalla on tehtävästä pelkkä virheellinen lopputulos, hän ei mistään näe, missä kohdassa virhe on syntynyt. 24

4 Yhteenveto Tarkastelluissa oppikirjoissa ei pääsääntöisesti käydä läpi asioita kovin teoreettisesti. Kaavat ovatkin suurimmaksi osaksi tuttuja jo peruskoulun oppimäärästä. Oppikirjoissa on yleisenä metodina ensin palauttaa mieleen kaava ja konkretisoida se jollakin perusesimerkillä, jonka jälkeen sitä voidaan soveltaa alakohtaisiin harjoitustehtäviin. Tämä lähestymistapa vie oppilaan suoraan omaa alaa, ja oletettavasti silloin myös omaa kiinnostuksen kohdetta koskeviin asioihin. Toki kaikille koulutusaloille ei ole tarjolla omia alakohtaisia oppikirjoja ja yleisteoksissa on jouduttu tekemään karsintaa esimerkkien ja harjoitustehtävien aiheiden suhteen, jotta oppikirjojen sivumäärät pysyisivät kohtuullisina. Kuitenkin myös yleisteoksista löytyy aihealueita hyvin laajalti ja niistä voidaan poimia erityisesti oman alan harjoitustehtävät sekä sellaiset harjoitustehtävät, joiden aihealueiden voidaan katsoa liittyvän jokapäiväisiin arjen ongelmanratkaisuihin. Tämä oppikirjakokoelma olisi hyvä olla myös jokaisen peruskoulun ja lukion matematiikan opettajan käytettävissä. Useinhan oppilailla on vaikeuksia asioiden liittämisessä käytännön ongelmiin, mutta näistä ammatillisista oppikirjoista opettaja voisi valita eri alojen tehtäviä lisätehtäviksi. Tällöin myös valitettavan yleinen ajatus siitä, että matematiikkaa ei peruskoulun jälkeen enää tarvita mihinkään, voitaisiin osoittaa vääräksi ja näyttää, mihin konkreettisiin asioihin sitä sovelletaan työelämässä. Ammatillisessa oppilaitoksessa työskentelevän matematiikan opettajan on helppo kerryttää omaakin tehtäväpankkia, sillä hänellä on käytettävissään oman oppilaitoksensa koulutusalojen ammattiaineiden opettajien tietämys kunkin alan tyypillisimmistä matemaattisesti ratkaistavista ongelmista. Yhteistyö opetushenkilökunnan kesken on kaikkia osapuolia hyödyttävää, sillä matematiikan tunneilla teoriassa tehty laskuharjoittelu on varmasti hyödyksi ammattiaineiden tunneilla käytännön tehtävissä. Näin saadaan myös purettua oppituntien välistä rajaa yleisaineiden ja ammattiaineiden välillä, ja tuotua lisää käytännönläheisyyttä myös yleisaineiden oppitunneille. Jos opettajan oma tehtäväpankki on laajempi ja kattavampi kuin oppikirjan tarjoamat tehtävät, herää kysymys oppikirjan tarpeellisuudesta. Ilman oppikirjaa opettajan tulisi tarjota oppilaille materiaali myös teorian ja esimerkkien osalta, joten oppikirjan voidaan katsoa olevan joka tapauksessa kannattava apuväline. Eri kustantajien tarjoamia oppikirjoja kannattaa vertailla kokonaisuuksina ja valita niistä omaa opetustapaa parhaiten tukeva teos. Editan, Otavan ja WSOY:n lisäksi oppikirjoja ammatillisiin opintoihin löytyy muiltakin kustantajilta. Esimerkiksi Pii-Kirjat Ky kustantaa liiketalouden opintoihin suunnattuja oppikirjoja. Tässä tarkasteltujen teosten lisäksi huomionarvoinen teos on Lasketaan lan- 25

gasta [5], joka on yksi TiNA - Tietoteollisuuden naiset -projektin tuotteista ja sisältää tekstiilityöhön liittyviä tehtäviä matematiikan, fysiikan ja kemian alueilta. Teoksessa on omat alaluvut taso- ja avaruusgeometrialle. Lisätietoja projektista sekä teoksen sähköinen versio on saatavilla www-sivuilta: http://tina.tkk.fi/. 26

Viitteet [1] Kivelä, S. K. M niinkuin matematiikka. MFKA-Kustannus Oy, 2000. [2] Lehtinen, M. Matematiikan historia. http://solmu.math.helsinki.fi/ 2000/mathist/ 9.7.2009. [3] Lehtinen, M., Merikoski, J., Tossavainen, T. Johdatus tasogeometriaan. WSOY Oppimateriaalit, 2007. [4] Thompson, J., Martinson, T. Matematiikan käsikirja. Tammi, 1994. [5] Vähävihu, E. Lasketaan langasta. MFKA-Kustannus Oy, 2006. [6] Ammatillisen peruskoulutuksen opetussuunnitelman ja näyttötutkinnon perusteet. Catering-alan perustutkinto. Opetushallitus, 2000. 27

A Oppikirjat 1. Edita (a) Asunta, J., Ilomäki, R., Kämäräinen, K., Pösö, J., Tanila, J. Ammattilaisen matematiikka. Edita, 2008. (b) Aunola, H., Ilomäki, R., Keskinen, R., Nieminen, P., Pösö, J., Salonen, R., Tanila, J. Pythagoras 1. Tekniikan ammattimatematiikka. Edita, 8.-9.painos 2006. (c) Koivula, P., Niemi, J. Helmitaulu. Lähihoitajan matematiikka. Edita, 2007. (d) Saaranen, P., Kolttola, E., Pösö, J. Merkonomin matematiikka. Edita, 1.-3. painos 2007. 2. Otava (a) Karvonen, E., Koskinen, K.M.E., Möller, K., Poskela, T. Proble- Matikka. Matematiikka yhteisiin ammatillisiin opintoihin. Otava, Uudistetun laitoksen 6. painos 2006. 3. WSOY (a) Ernvall, S., Pulli, A., Salonen, A.-M. Matematiikkaa lähihoitajalle. WSOY, 1. painos 2008. (b) Ernvall, S., Pulli, A., Salonen, A.-M. Sosiaali- ja terveysalan matematiikka. WSOY, 4.-6. painos 2005. (c) Helakorpi, S., Ansaharju, T. Uusi Origo. Ammatillinen matematiikka. WSOY, 5.-6. eurotarkistettu painos 2004. (d) Häikiö, I., Ratilainen, A. Ruokamatematiikkaa. WSOY, 1.-3. painos 2007. (e) Jobe, T., Hakala, M. Catering-alan matematiikka. WSOY, 2.-5. painos 2006. (f) Kinnunen, V., Launonen, E., Sorvali, E, Toivonen, P. Teknisten ammattien matematiikka 1. WSOY, 9. painos 2006. (g) Laakkonen, P., Salminen, M., Kettunen, E. Numerotaito. Ammatillinen matematiikka. WSOY, 1. painos 2007. (h) Peltola, M., Vuorenmaa S. Näppärästi numeroilla. Ammatillista matematiikkaa erilaiselle oppijoille. WSOY, 1. painos 2006. (i) Pulkkinen, P. Taloutta ja tilastoja. Liiketalouden matematiikka. WSOY, 1. painos 2005. 28

B Ammatilliset perustutkinnot http://www.oph.fi Opetussuunnitelmien ja tutkintojen perusteet Ammatilliset perustutkinnot Humanistinen ja kasvatusala Viittomakielisen ohjauksen perustutkinto Lapsi- ja perhetyön perustutkinto Nuoriso- ja vapaa-ajanohjauksen perustutkinto Kulttuuriala Käsi- ja taideteollisuusalan perustutkinto Audiovisuaalisen viestinnän perustutkinto Kuvallisen ilmaisun perustutkinto Tanssialan perustutkinto Musiikkialan perustutkinto Sirkusalan perustutkinto Yhteiskuntatieteiden, liiketalouden ja hallinnon ala Liiketalouden perustutkinto Luonnontieteiden ala Tietojenkäsittelyn perustutkinto Tekniikan ja liikenteen ala Jalkinealan perustutkinto Tekstiilialan perustutkinto Vaatetusalan perustutkinto Painoviestinnän perustutkinto Kone- ja metallialan perustutkinto Talotekniikan perustutkinto Autoalan perustutkinto Lentokoneasennuksen perustutkinto Lennonjohdon perustutkinto Logistiikan perustutkinto 29

Sähköalan perustutkinto Rakennusalan perustutkinto Maanmittausalan perustutkinto Puualan perustutkinto Veneenrakennuksen perustutkinto Verhoilu- ja sisustusalan perustutkinto Pintakäsittelyalan perustutkinto Kemiantekniikan perustutkinto Laboratorioalan perustutkinto Paperiteollisuuden perustutkinto Elintarvikealan perustutkinto Merenkulkualan perustutkinto Kello- ja mikromekaniikan perustutkinto Suunnitteluassistentin perustutkinto Turvallisuusalan perustutkinto Luonnonvara- ja ympäristöala Maatalousalan perustutkinto Puutarhatalouden perustutkinto Kalatalouden perustutkinto Metsäalan perustutkinto Luonto- ja ympäristöalan perustutkinto Sosiaali-, terveys- ja liikunta-ala Sosiaali- ja terveysalan perustutkinto Hammastekniikan perustutkinto Lääkealan perustutkinto Hiusalan perustutkinto Kauneudenhoitoalan perustutkinto Liikunnanohjauksen perustutkinto Matkailu-, ravitsemis- ja talousala Matkailualan perustutkinto Catering-alan perustutkinto 30