Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä a i ja b i ovat vakioita sekä e i virhetermi sijoituskohteelle i. Mallin etuna on, että tarvitaan huomattavasti vähemmän parametreja! Oletetaan, että virhetermien odotusarvot ovat nolla eli E[e i ] = 0 i, koska mikä tahansa nollasta poikkeava arvo voitaisiin sisällyttää vakioon a i. Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen E[(e i ē i )(e j ē j )] = E[e i e j ] = 0 i j E[(f f)(e i ē i )] = E[(f f)e i ] = 0 i Oletetaan, että virhetermien varianssit ovat tiedossa ja niitä merkitään σ 2 e i. Yhden faktorin mallille saadaan yo. oletuksien perusteella seuraavat kaavat: r i = a i + b i f σ 2 i = b 2 i σ 2 f + σ2 e i σ ij = b i b j σ 2 f, i j b i = Cov[r i, f] σ 2 f Olkoon portfoliossa olevien sijoituskohteiden painot w i siten, että tuottoja kuvataan yhden faktorin mallilla saadaan portfolion tuotoksi w i =. Tällöin kun sijoituskohteiden r = w i r i = w i a i + w i b i f + w i e i ja merkitsemällä a = w i a i, b = w i b i ja e = w i e i tämä voidaan kirjoittaa muotoon r = a + bf + e Tässä a ja b ovat vakioita ja e satunnaismuuttuja. Ottamalla huomioon, että E[e i e j ] = 0 saadaan e:n varianssiksi σe 2 = E[e 2 ] = E[( w i e i )( w j e j )] = E[ wi 2 e 2 i ] = wi 2 σe 2 i j=
Portfolion varianssi on σ 2 = b 2 σ 2 f + σ2 e CAPM voidaan ajatella olevan yhden faktorin mallin erikoistapaus, kun sijoituskohteen tuottoa selitetään markkinaportfolion tuotolla r i r f = α i + β i (r M r f ) + e i Arbitrage Pricing Theory, APT on faktorimalliin perustuva teoria sijoituskohteiden hinnoitteluun, jossa oletetaan, että (i) sijoittavat preferoivat korkeampia tuottoja (ii) sijoituskohteiden määrä on suuri APT:n idea on, että kutakin faktoria vastaa kerroin (faktorihinta), josta sijoituskohteen tuotto riippuu lineaarisesti. Faktorihinnat saadaan vaatimuksesta, että markkinoilla ei ole arbitraasimahdollisuuksia. Yhden faktorin malli, kaksi sijoituskohdetta ilman virhetermejä r i = a i + b i f r j = a j + b j f Sijoitetaan kohteeseen i painolla w ja kohteeseen j painolla w. Tällöin portfolion tuotto on r = w(a i + b i f) + ( w)(a j + b j f) = wa i + ( w)a j + (wb i + ( w)b j )f Valitaan paino w siten, että faktorin f kerroin on 0 (eli portfolio on riskitön!) ja saadaan w = b j b j b i Portfolion tuoton täytyy siis olla sama kuin riskitön korko r f = λ 0, koska ei ole arbitraasimahdollisuutta. Tällöin saadaan (katso luentokalvot), että on oltava missä c = a i λ 0 b i = a j λ 0 b j on jokin vakio. a i = λ 0 + b i c, Sijoittamalla a i :n lauseke tuoton odotusarvoon saadaan r i = λ 0 + b i (c + f) = λ 0 + b i λ Vastaava tulos on yleistettävissä useammalle faktorille: r i = a i + m b ij f j r i = λ 0 + j= m b ij λ j Sanotaan, että λ j on faktoriin j liittyvä riskin hinta (faktorihinta) ja, että b ij on kohteen i lataus (faktorikerroin) faktoriin j. j=
. (L8.) Portfolio, joka sisältää osakesarjojen A, B ja C kaikki osakkeet (Taulukko ), korreloi ainoastaan yhden faktorin, markkinaportfolion, kanssa. Markkinaportfolion odotettu tuotto on 2% ja keskihajonta 8%. Riskitön korkokanta on 5%. a) Mikä on portfolion odotettu tuotto? b) Mikä on tuoton keskihajonta? Taulukko : Portfolion muodostavat osakkeet. Osakesarja Beta Virhetermin keskihajonta Paino portfoliossa A,0 7,0% 20% B 0,80 2,3% 50% C,00,0% 30% Ratkaisu: r f = 5% r M = 2% σ M = 8% β σ e w A,0 7,0% 20% B 0,80 2,3% 50% C,00,0% 30% Portfolion β saadaan osakesarjojen betojen painotettuna summana: β portfolio = w A β A + w B β B + w C β C = 0.92 Faktorimallin mukaan yksittäisen sijoituskohteen tuotto muodostuu faktoreista f ja virhetermeistä e seuraavasti: r i = a i + b ij f j + e i i,j Edelleen portfolion tuotto r voidaan lausua faktorien avulla seuraavasti: r = i w i r i = i w i [a i + i,j b ij f j + e i ] = i w i a i + i,j w i b ij f i + i w i e i Kun huomioidaan, että virhetermien odotusarvot ovat nolla saadaan portfolion odotetuksi tuotoksi r = i w i r i = i w i [a i + j b ij fj ] = i w i a i + i,j w i b ij fj Jos faktorit eivät korreloi virhetermin tai toistensa kanssa, portfolion varianssiksi saadaan σ 2 = j ( i w 2 i b 2 ij) 2 σ 2 f j + i σ 2 e i
Faktoripainoja b ij eikä vakiotermejä a i tunneta, mutta tehtävänannosta kuitenkin tiedetään, että on vain yksi faktori (markkinaportfolio), josta sijoituskohteiden tuotto riippuu. Hyödynnetään CAPMia ja selitetään i:nnen kohteen tuottoa markkinaportfoliolla: r i = r f + β i (r M r f ) + e i = ( β i )r f + β i r M + e i Tästä saadaan edelleen odotusarvo: r i = r f + β i ( r M r f ) = ( β i )r f + β i r M Tällöin ja portfolion tuotto on siis a i = ( β i )r f b i = β i r = i w i ( β i )r f + i w i β i r M + i w i e i = r f + (r M r f ) i w i β i + i w i e i a) Odotusarvoksi saadaan r = r f + ( r M r f ) i w i β i =.44% b) Huomioidaan edellä laskettu faktorimallin varianssi korreloimattomille faktoreille ja, että b i = β i. Tällöin saadaan keskihajonnaksi σ = ( w i β i ) 2 σm 2 + σ iwi 2σ2 e i = 5.68% i
2. (L8.2) Kahden osakkeen oletetaan noudattavan kahden faktorin mallia r = a + 2f + f 2 r 2 = a 2 + 3f + 4f 2 Riskitön korkokanta on 0%, r = 5% ja r 2 = 20%. Mitkä ovat λ 0 :n, λ :n ja λ 2 :n arvot (riskin hinnat) tälle mallille? Ratkaisu: Kun sijoituskohteet ovat muodostuneet faktoreista seuraavasti r i = a i + b i f + b i2 f 2, niin kaikille i pätee, että odotettu tuotto on muotoa r i = λ 0 + b i λ + b i2 λ 2. Koska on olemassa riskitön sijoituskohde niin pätee λ 0 = r f, missä r f on riskittömän kohteen tuotto. Koska sijoituskohteiden odotetut tuotot r i ovat tiedossa saadaan yhtälöpari 5% = 0% + 2λ + λ 2 20% = 0% + 3λ + 4λ 2 Ratkaisemalla tämä saadaan λ = 2% λ 2 = % Toisin sanoen riskin hinta faktorille on 2% ja faktorille 2 vastaavasti %.
3. (L8.4) Olkoot r i, i =, 2,..., n, riippumattomia näytteitä tuotosta r, jonka odotusarvo on r ja varianssi σ 2. Estimoidaan tuoton odotusarvo ja tuoton varianssi kaavoilla Näytä, että E[s 2 ] = σ 2. Ratkaisu: ˆ r = n s 2 = n r i (r i ˆ r) 2 Tehtävänä on osoittaa, että s 2 on varianssin harhaton estimaattori. E[s 2 ] = E[ n (r i ˆ r) 2 ] = E[ n (r i n r j ) 2 ] j= Lisätään r:n odotusarvo potenssitermiin: E[ n ((r i r) n (r j r)) 2 ] j= ulos odotusar- Erotetaan r i :t omaksi termiksi ja jätetään muut r j :t summaan sekä otetaan vakiotermi volausekkeesta: n E[ (( n )(r i r) (r j r)) 2 ] n i j= Kirjoitetaan odotusarvolausekkeen sisällä oleva potenssitermi auki: n E[ (( n )2 (r i r) 2 2(r i r)( n ) n (r j r) + ( n i j= n (r j r)) 2 )] i j= Nyt avaamalla viimeinenkin potenssitermi sekä ottamalla jokaisesta summan termistä erikseen odotusarvot saadaan: n [ ( n )2 E[(r i r)] 2( n ) n i j= E[(r i r)(r j r)] + n 2 i j= i k= E[(r j r)(r k r)] ] Koska termien kovarianssit σ ij = 0 ja varianssit σ 2 i = σ2 saadaan lauseke yksinkertaisemmaksi muotoon n [ ( n )2 σ 2 + (n )σ2] n2
Summatermejä on n kpl joten saadaan Tämä lopulta sievenee seuraavasti σ 2 σ 2 n [ ( n n )2 + (n )] n2 n [ 2 n n + n 2 + n ] = σ 2 n n 2 n [ n ] = n σ2 n = σ2 m.o.t. Tässä huomattava, että jos odotusarvo tiedettäisiin tarkasti niin harhattomassa estimaattorissa käytetään jakajana n :n asemesta n:ää.
4. (L8.7) Kalle Virtanen on keksinyt nerokkaan tavan saada 24 näytettä yhden vuoden kuukausittaisista tuotoista tavallisen 2 sijaan: hän ottaa päällekkäisiä näytteitä. Kunkin näytteen pituus on yksi kuukausi, mutta näytteitä otetaan sekä kuukauden alussa että puolivälissä. Tällöin ensimmäinen näyte kattaa ajanjakson tammikuun ensimmäisestä päivästä tammikuun loppuun ja toinen tammikuun 5. päivästä helmikuun 4. päivään jne. (tarkkaan ottaen 24. näyte tulee seuraavan vuoden puolelta) Kalle päättelee, että estimaattorien tarkkuus paranee, kun näytteiden määrä kasvaa. Arvioi Kallen menetelmää. Kuinka Kallen menetelmän antama tuoton odotusarvon estimaattorin (keskiarvon) varianssi V ar[ˆ r] ja tavallisen, 2 erillisen näytteen menetelmän tuottama varianssi suhtautuvat toisiinsa? Ratkaisu: Olkoot ρ i :t puolikuukausittaisia tuottoja, jotka eivät korreloi toistensa kanssa ja joiden varianssi on vakio V ar[ρ i ] = σ 2 ρ Tällöin puolikuukausittain mitattu kuukausituotto on Kuukausituoton odotusarvon estimaattori on r i = ρ i + ρ i+ ˆ r = 24 24 r i = 24 24 (ρ i + ρ i+ ) = 24 (ρ + 2 24 i=2 ρ i + ρ 25 ) Kuukausituoton varianssi on σ 2 = V ar[r i ] = V ar[ρ i + ρ i+ ] = V ar[ρ i ] + V ar[ρ i+ ] = 2σ 2 ρ joten saatiin siis yhteys kuukausittaisen ja puolikuukausittaisen tuoton varianssin välille! Estimaattorin varianssi kuvaa sen antamien estimaattien tarkkuutta. Tutkitaan saadun ja 2 näytettä käyttävien estimaattorien hajontoja. V ar[ˆ r] = V ar[ 24 24 r i ] = V ar[ 24 ρ + 2 24 24 i=2 ρ i + 24 ρ 25] = + 23 4 + 24 2 σ 2 ρ = 94 576 σ2 ρ = 94 52 σ2 2 σ2, koska 96 52 = 2. Tavallisen 2 näytettä ottavan estimaattorin varianssi on vastaavasti V ar[ˆ r] = V ar[ 2 2 r i ] = 2 2 2 σ2 = 2 σ2 Ero johtuu siitä, että ensimmäinen ja viimeinen termi tulee 24:n otoksen estimaattorissa vain yhteen kertaan! Mikäli olisi ρ = ρ 25 olisi estimaattoreilla täsmälleen sama varianssi. Toisin sanoen estimaattien tarkkuus ei parane lainkaan, koska otokset ovat korreloituneita.