Kitkavoimat Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: F (f ) i = k x v i,x ê x k y v i,y ê y k z v i,z ê z Otetaan käyttöön Rayleigh n dissipaatiofunktio N F = 1 2 i=1 ( ) k x vi,x 2 + ky v i,y 2 + kz v i,z 2 F (f ) = i F (f ) i = i vi F = i F v i Yhden hiukkasen tekemä työ kitkaa vastaan on dw i = F (f ) i d r i = F (f ) i v i dt = ( k x v 2 i,x + ky v 2 i,y + kz v 2 i,z Systeemi tekee työtä kitkaa vastaan teholla Ẇ = i Ẇ i = 2F. ) dt Q (f ) j = i F (f ) i r i q j = i F v i r i q j = F q j Liikeyhtälön määräämiseen tarvitaan kaksi skalaarifunktiota L ja F: d L L + F = 0 dt q j q j q j Torstai 11.9.2014 1/20
orstai 11.9.2014 2/20 Esimerkki: Painovoimakentässä putoava kappale Tarkastellaan painovoimakentässä g = gê z putoavaa kappaletta, johon vaikuttaa ilmanvastus F (f ) = k v. Nyt skalaarifunktiot ovat F = 1 2 k r 2 L = 1 2 m r 2 mgz Joten antaa liikeyhtälöiksi d L L + F = 0 dt ṙ j r j ṙ j mẍ mÿ m z = kẋ = kẏ = kż mg
Tiivistelmä Lagrangen formalismista Systeemiä kuvataan n:llä yleistetyllä koordinaatilla q i, jotka määrittävät pisteen n-ulotteisessa konfiguraatioavaruudessa C. Aikakehitys on käyrä C:ssä ja sen määrittelee Lagrangen funktio L = L({q i }, { q i }, t) s.e. q i :t toteuttavat Lagrangen yhtälöt ( ) d L L = 0 dt q i q i Nämä ovat yleisesti n kpl 2. krtl epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Huom! Lagrangen funktio ei ole yksikäsitteinen. Voimme tehdä muunnoksen L = αl, α R tai L = L + df dt missä f on mv funktio ja liikeyhtälöt pysyvät samoina (HT) 1. 1 Kvanttimekaniikassa systeemi on kuitenkin muuttunut. Vakio α on tekemisissä Planckin vakion kanssa, kun taas toinen muunnos on salakalavampi ja on luonteeltaan topologinen. Torstai 11.9.2014 3/20
Torstai 11.9.2014 4/20 Noetherin teoreema ja symmetriat Palataan hetkeksi säilymislakeihin ja tutkimaan miten ne ilmaantuvat Lagrangen formalismissa. Erityisesti, tarkastellaan jo aiemmalla luennolla mainittua tärkeää Noetherin teoreemaa, joka liittää säilyvät suureet symmetrioihin. Aloitetaan määritelmällä: funktio F ({q i }, { q i }, t) on liikevakio tai säilyvä suure, jos sen kokonaisaikaderivaatta häviää: df dt = n i=1 ( F q j + F ) q j + F q j q j t = 0 Jos L ei riipu eksplisiittisesti ajasta t (eli tl = 0), niin silloin H = j q j L q j L on vakio. Todistus: dh dt = j ( L d q j + q j q j dt ( L ) L q j L ) q j = 0 q j q j q j Kun H = H({q i }, {p i }) niin sitä kutsutaan Hamiltonin funktioksi ja se tyypillisesti identifioidaan systeemin kokonaisenergiaksi. Tästä lisää muutaman kalvon jälkeen.
Torstai 11.9.2014 5/20 Oletetaan, että jollekin q j : meillä on liikevakio: Noetherin teoreema ja symmetriat L q j = 0. Silloin q j :tä kutsutaan sykliseksi. Tällöin p j = L q j Todistus: dp ( ) j = d L = L = 0. dt dt q j q j Noetherin teoreema : Tarkastellaan yksiparametrista perhettä kuvauksia: q i (t) Q i (s, t) s R s.e. Q i (0, t) = q i (t). Tämä muunnos on L:n jatkuva symmetria jos s L(Q i (s, t), Q i (s, t), t) = 0 Noetherin teoreeman mukaan jokaista tällaista symmetriaa vastaa säilyvä suure. Todistus: L s = L Q i + L Q i jolloin Q i s Q i s 0 = L = s s=0 i = ( d L dt q i i L Q i + L q i s s=0 i ) Qi + L s s=0 i Q i q i s Q i q i s s=0 = s=0 i ( d L Q i dt q i s ) s=0 ja siis suure i ( L/ q i )( Q i / s), laskettuna pisteessä s = 0, on säilyvä.
Torstai 11.9.2014 6/20 Esimerkki: avaruuden homogeenisuus Tarkastellaan N:n massapisteen systeemiä, jolla on Lagrangen funktio: L = 1 2 i m i r 2 i V ( r i r j ) Tällä Lagrangen funktiolla on translaatiosymmetria: r r i + s n, missä n on mv vektori ja s mv reaaliluku eli: L( r i, r i, t) = L( r i + s n, r i, t) Tämä tarkoittaa sitä, että avaruus on homogeeninen ja että systeemin translaatio s n:llä ei muuta liikeyhtälöjä 2. Noetherin teoreemasta voimme laskea tähän translaatioon liittyvän säilyvän suureen: L i r i n = i p i n Koska tämän pitää olla voimassa mv n, päättelemme, että kokonaisliikemäärä i p i on liikevakio. Avaruuden homogeenisuus L:n translaatioinvarianssi Kokonaisliikemäärän säilyminen 2 Nämä translaatiot ovat Galilei ryhmän elementtejä.
orstai 11.9.2014 7/20 Esimerkki: avaruuden isotrooppisuus Avaruuden isotropia tarkoittaa sitä, että Lagrangen funktiolla kuvailtu suljettu systeemi on invariantti kierroissa vektorin ˆn ympäri. Eli kaikkia vektoreita r i r i kierretään yhtä paljon. Riittää tarkastella infinitesimaalisia (α pieni) rotaatioita: r i r i + δ r i = r i + αˆn r i Tällöin L( r i, r i ) = L( r i + αˆn r i, r i + αˆn r i ) tuottaa säilyvän suureen L i r (ˆn r i ) = ˆn ( r i p i ) = ˆn L i i Tämä on kokonaisliikemäärämomentin ˆn-suuntainen komponentti. Koska ˆn on mv voidaan taas tiivistetysti todeta: Avaruuden isotrooppisuus L:n kiertoinvarianssi Kokonaisliikemäärämomentin säilyminen
Torstai 11.9.2014 8/20 Esimerkki: ajan homogeenisuus Ajan homogeenisuus tarkoittaa sitä, että L on invariantti muunnoksissa t t + s tai toisin sanoen tl = 0. Huomasimme edellä, että tästä seuraa H = i q i ( L/ q i ) L on säilyvä suure. Systeemeissä, joita me tarkastelemme H on yksinkertaisesti kokonaisenergia. Ajan homogeenisuus L:n aikatranslaatioinvarianssi Kokonaisenergian säilyminen Lopuksi pari huomiota: Kaikki luonnon säilymislait liittyvät johonkin symmetriaan Noetherin teoreeman nojalla. Tämä pitää sisällään myös sähkövarausten sekä baryoniluvun säilymisen. Luonnossa on myös diskreettejä symmetrioita, jotka eivät riipu jatkuvasta parametrista. Monet teoriat ovat esimerkiksi peili-invariantteja (pariteetti), joissa r i r i. Nämä eivät tuota säilymislakeja klassisessa fysiikassa (mutta kylläkin kvanttifysiikassa).
orstai 11.9.2014 9/20 Hamiltonin periaate Fermat (1601-1665) optiikan peruslaista: Valo kulkee pisteiden r 0 ja r välisen matkan tietä, jolle integraali r ds r saa miniminsä. 0 λ de Maupertuis (1689-1759): Kaikkien mahdollisten liikkeiden joukosta luonto valitsee sen, joka toteutuu pienimmällä vaikutuksella S : r t t S m v d r = r 0 m v vdt = 2 t 0 Tdt t 0 Konservatiiviselle systeemille E = T + U on säilyvä suure ja: S = t (T + E U) dt = E (t t 0 ) + t 0 t Ldt t 0 Hamilton: Kaikkien pisteiden {q 1 } ja {q 2 } välisten mahdollisten ratojen joukosta valikoituu se, jolle (Hamiltonin) vaikutusintegraali I = t2 saa ääriarvon, joko minimin tai maksimin. t 1 L({q i }, { q i }, t)dt Hamiltonin periaatetta kutsutaan joskus nimellä pienimmän vaikutuksen periaatteeksi, mutta tarkempi termi olisi stationaarisen vaikutuksen periaate.
Torstai 11.9.2014 10/20 Feynmanin tokaisu When I was in high school, my physics teacher called me down one day after class and said, You look bored, I want to tell you something interesting. Then he told me something I have always found fascinating. Every time the subject comes up I work on it. Richard Feynman Feynmanin opettaja kertoi hänelle pienimmän vaikutuksen periaatteesta, joka on yksi syvällisimmästä fysiikan tuloksista.
Torstai 11.9.2014 11/20 Variaatiolaskentaa Merkitään y = dy dx ja olkoon f (y, y, x) määritelty radalla y(x). Tehtävänä on etsiä sellainen rata y(x), jolle J = x2 f (y, y, x)dx saa ääriarvon (eli J on stationaarinen), kun y poikkeaa infinitesimaalisesti oikeasta ratkaisusta. Otetaan käyttöön variaatioparametri α ja olkoon funktio η(x) mielivaltainen, mutta joka häviää päätepisteissä η( ) = η(x 2 ) = 0. Kirjoitetaan y: y(x, α) = y(x, 0) + αη(x) jolloin J = J(α): J(α) = x2 Stationaariselle ratkaisulle y(x) = y(x, 0): f (y(x, α), y (x, α), x)dx dj = 0 dα α=0
orstai 11.9.2014 12/20 Muista Variaatiolaskentaa x2 J(α) = f (y(x, α), y (x, α), x)dx, y(x, α) = y(x, 0) + αη(x) Lasketaan siis derivaatta eksplisiittisesti dj x2 { f dα = y y α + f y } y dx α x2 { f y = y α + f 2 } y y dx x α x2 { f = y η + f } dη y dx dx = f y η(x) x x2 { 2 f + y η d dx }{{} 0 ( ) } f y η dx Haluttiin stationaarinen ratkaisu J (0) = 0, kun y(x) = y(x, 0), joka tuotti yhtälön x2 { f y d ( )} f dx y η(x)dx, missä y = y(x)
Torstai 11.9.2014 13/20 Variaatiolaskentaa Saatiin x2 { f y η d ( ) } f dx y η dx = 0 Tämä yhtälö on yleistä muotoa x2 M(x)η(x)dx = 0, missä η(x) mv Variaatiolaskennan peruslemma sanoo silloin, että M(x) = 0, joka tuottaa Eulerin (1707-1783) yhtälön: f y d ( ) f dx y = 0 ( ) Vertaa Lagrangen yhtälöön sijoittamalla f = L, y = q, x = t: L q d L = 0. Tätä dt q kutsutaankin monesti Eulerin-Lagrangen yhtälöksi.
Torstai 11.9.2014 14/20 Esimerkki: Lyhin tie kahden pisteen välillä Määrätään mikä on lyhin tie kahden pisteen (, y 1 ) ja (x 2, y2) välillä. Viivaelementti: Jolloin J = (x2,y 2 ) (,y 1 ) Sijoitetaan nämä Eulerin yhtälöön: ds = dx 2 + dy 2 = 1 + y 2 dx x2 ds = 1 + y 2 dx, missä siis f = 1 + y 2 0 = d dx c = f y f y = d y d + y 2 y y c = a 1 + y 2 1 c 2 y = ax + b mikä on tietenkin suoran yhtälö.
orstai 11.9.2014 15/20 Esimerkki: Brachistocrone-ongelma Jean Bernoulli (1696): Millaista rataa pitkin kappale liukuu kitkatta pisteestä A pisteeseen B lyhyimmässä ajassa? NJ (2014): Mikä on nopein vesiliukumäki? Minimoitava aika: T = B A Energia säilyy: ds. Valitaan B = (1, 1). v mgy = 1 2 mv 2 v = 2gy T = 1 2g x 0 1 + y (x) 2 dx y
Torstai 11.9.2014 16/20 Esimerkki: Brachistocrone-ongelma T = 1 2g x 0 1 + y (x) 2 dx y Valitaan g = 1. Testataan eri mahdollisuuksia: 2 Suora y(x) = x : T = 1 2 0 x dx = 2 2 2, 8284 Ympyrän kaari y = 1 (x 1) 2 : T = 1 dx 0 (2x x 3 ) 3/4 2, 6221 Paraabeli y = x : T = 1 1 dx 1+4x 2 0 2, 5872 x 3/4 Varioimalla: ( ) d f dt y f y = 0, missä siis f = 1+y (x) 2 y löydetään ratkaisu (HT): x = ay y 2 + a arccos(1 2y/a), 2 a integroimisvakio Parametrimuodossa (HT): { x = 1 a (θ sin θ) 2 y = 1 a (1 cos θ) 2 sykloidi
Torstai 11.9.2014 17/20 Esimerkki: Brachistocrone-ongelma Sykloidi on sellainen yksikäsitteinen käyrä γ, jolla on parametrimuotoinen esitys kuten ed. kalvolla. Voit ajatella, että sen generoi pyörän venttiili renkaan pyöriessä. Voimme nyt laskea mitä saimme, ensin ratkaistaan numeerisesti loppukulma: y x = 1 = 1 cos θ 2 θ 2 sin θ 2 θ 2 2, 4120 ratkaistaan vakio a = 2/(1 cos θ 2 ) 1, 146, lasketaan differentiaalit ja sijoitetaan Kuten pitikin, pienin aika! T = { dy dx θ2 0 = 1 a sin θdθ 2 = 1 a(1 cos θ)dθ 2 adθ = a θ2 2, 5819
Torstai 11.9.2014 18/20 Esimerkki: pyörähdyskappaleen pinta-ala Oletetaan, että pisteet (, y 1, 0) ja (x 2, y 2, 0) yhdistää käyrä (x, y)-tasossa. Kysymys: millainen käyrän on oltava, jotta sen muodostaman pyörähdyskappaleen pinta-ala saa minimiarvon? Käyräelementti ds = 1 + y 2 dx tuotta pyörähtäessään y-akselin ympäri nauhan, jonka pinta-ala on da = 2πxds = 2πx 1 + y 2 dx Kokonaispinta-ala: A = 2π x2 x 1 + y 2 dx
Torstai 11.9.2014 19/20 Esimerkki: pyörähdyskappaleen pinta-ala Sijoitetaan f = x 1 + y 2 Eulerin yhtälöön: 0 = d dx a = f y f y = d xy d + y 2 xy 1 + y 2 a2 = y 2 (x 2 a 2 ) dy dx = a x 2 a 2 y = a dx x 2 a = a arcosh x 2 a + b x = a cosh y b a ketjukäyrä
Lagrangen yhtälöiden johtaminen Hamiltonin periaatteesta t2 I = L({q(t)}, { q(t)}, t)dt t 1 Varioidaan rataa hieman, s.e. δq j (t 1 ) = δq j (t 2 ) = 0 ja { q j (t) = q j (t) + δq j (t) q j (t) = q j (t) + δ q j (t) Lasketaan sitten variaatio δi = I I t2 δi = t 1 t2 = t 1 j = j t2 L({q(t) + δq(t)}, { q(t) + δ q(t)}, t) [ L q j δq j ( L δq j + L ) δ q j dt q j q j ] t2 t 1 j t2 t 1 ( L q j d dt L q j t 1 L({q(t)}, { q(t)}, t) ) δq j dt Ensimmäinen termi häviää sillä δq j (t 1 ) = δq j (t 2 ) = 0. Etsitään I :n ääriarvoa, eli δi = 0. Koska δq j mv, niin saadaan d L L = 0 j dt q j q j Torstai 11.9.2014 20/20