ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017
Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Ajankohtaista
Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat tämän kurssin Ihan positiivisilla, mekaniikka on yksi vahvuuksistani Fysiikan kertausta ja hieman syventävää Helppoa ja kivaa Jännittävin odotuksin. Tulen IB:ltä, joten opetussuunnitelmani on ollut hyvin erilainen. Olen kuitenkin innokas oppimaan niitä asioita, jotka minulta on ehkä tämän takia jäännyt oppimatta Hyvillä fiiliksillä, varmaan kohtalaisesti kertausta..? mielenkiinnolla Hyvillä mielin :) Mielenkiintoinen fysiikan peruskurssi edessä! Toivottavasti hajottaa paljo, niin oppii omqn paikkansa :DD Helppoo ja kivaa Ihan hyvillä mielin, toivottavasti menee hyvin ja osaan jotain :DD Kiva päästä näin intin jälkeen näkemään vaihteeksi loogisia syy-seuraus -tapahtumia Toivottavasti vähän kerrataan aiempaa mutta myös uutta asiaa! Innostuneena Toivottavasti omaksun asiat nopeasti ja pääsen hyvään rytmiin. Pelottaa matematiikan osaamisen puolesta Jännittää Kuumottaa helvetisti. Lukiosta kuitenkin kaksi vuotta aikaa eikä muista mitään. Ei tiedä yhtään mitä odottaa. Edellisistä laskuista pitkän aikaa. Innokkailla mutta pelokkailla odotuksilla! Kuumottaa Jännittää, pärjäämien ja uudet jutut Jännittää/pelottaa, kuinka aika tulee riittämään minua pelottaa Pelottaa saatana Pelottaa Jännittää, koska lukion fysiikasta on jo aikaa, eikä se silloinkaan ollut hyvin hallussa. Kuumottaa semisti Pelottaa että kuinka vaikea kurssi on Tarvittaisiin perusteita - en ole lukenut mekaniikkaa lukiossa, ja kaikki termit osaan ruotsiksi (matematiikan termit ja mitä pientä tiedän fysiikasta).
Mistä tulet Aaltoon? 75 count 50 25 0 Ammattikorkeakoulusta Muusta toisen asteen koulusta Suoraan lukiosta Response Toisesta yliopistosta Valtion palveluksesta tai välivuoden jälkeen
Montako fysiikan kurssia opiskelit lukiossa? 100 75 count 50 25 0 1 kurssi 2 7 kurssia 8 kurssia Muu opetussuunnitelma Response yli 8 kurssia
Montako matematiikan kurssia opiskelit lukiossa? 150 count 100 50 0 10 kurssia (ent. pitkä oppimäärä / A kurssit) 6 kurssia (ent. lyhyt oppimäärä / B kurssit) Response Jotain näiden välistä / Muu opetussuunnitelma Yli 10 kurssia
Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Henkilö on aluksi pisteessä P. Hetken kuluttua hän siirtyy akselia pitkin pisteeseen Q ja viipyy siellä hetken. Tämän jälkeen hän juoksee nopeasti pisteeseen R, odottaa hetken ja kävelee hitaasti takaisin pisteeseen P. Mikä alla olevista kuvaajista kuvaa henkilön liikettä? 0 Q R P 1 2 3 4
Luennon sisältö Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Käsitteet Mekaniikka (mechanics) Voiman, voiman, aineen ja liikkeen väliset yhteydet Kinematiikka (kinematics) Liikkeen kuvaus Dynamiikka (dynamics) Liikkeen ja sen syiden väliset suhteet Suureet Siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys Seuraavaksi Käsitellään suoraviivaisen liikkeen kinematiikkaa ilman vektorisuureita Määritellään suureet siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Hiukkasen suoraviivainen liike P 1 x 1 P 2 x2 x Hiukkanen liikkuu pitkin suoraa t = t 1 : hiukkanen pisteessä P 1 (koordinaatti x 1 ); t = t 2 : pisteessä P 2, (koordinaatti x 2 ) Hiukkasen paikan muutos l. siirtymä (displacement) x = x 2 x 1 aikavälillä t = t 2 t 1 Siirtymää vastaa keskimääräinen nopeus (average velocity) aikavälillä t v ave = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t x 2 x x v ave P 1 x 1 t 1 P 2 t x(t) t 2 t
Hetkellinen nopeus v ave riippuu alkupisteestä P 1 ja aikavälin Nopeus pisteessä P 1? Pienennetään t kohti nollaa x 2 x 1 x v = lim = lim t2!t 1 t 2 t 1 t!0 t = Erotusosamäärän raja-arvo eli derivaatta t pituudesta = lim t!0 x(t + t) x(t) t ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Hetkellinen nopeus Hetkellinen nopeus (instantaneous velocity) v = dx dt tx-koordinaatistossa hetkellinen nopeus on liikekäyrän tangentin kulmakerroin Hetkellinen vauhti (speed) on hetkellisen nopeuden itseisarvo x 1 x x(t) P 1 v1 = dx dt t=t 1 t 1 t ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Keskimääräinen kiihtyvyys Hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä jos sen nopeus muuttuu ajan funktiona Pisteessä P 1 ajan hetkellä t = t 1 hiukkasella nopeus v 1 ja pisteessä P 2 (t = t 2 ) nopeus v 2 Hiukkasen keskimääräinen kiihtyvyys (average acceleration) aikavälillä t = t 2 t 1 a ave = v t = v 2 v 1 t 2 t 1 v 2 v v a ave P 1 v 1 t 1 P 2 t v(t) t 2 t ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Hetkellinen kiihtyvyys Hetkellinen kiihtyvyys (instantaneous acceleration) saadaan keskimääräisen kiihtyvyyden raja-arvosta analogisesti nopeuden kanssa v v(t) a = lim t!0 v t = dv dt tv-koordinaatistossa hetkellinen kiihtyvyys liikekäyrän tangentin kulmakerroin v 1 P 1 dv a = dt t 1 t ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Kiihtyvyys paikan funktiona x Nopeus siirtymän aikaderivaatta, joten a = dv dt = d dt dx = d 2 x dt dt 2 tx-koordinaatistossa liikekäyrän kaarevuus kertoo kiihtyvyyden suuruuden ja suunnan Kulmakerroin nopeuden t ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Liike tasaisella kiihtyvyydellä Kertausta lukiosta Tasaisen kiihtyvyyden (uniform acceleration) liike yksinkertainen, mutta usein esiintyvä tapaus Ajan hetkellä t = 0 kiihtyvyys vakio a = a 0 6= 0 ja nopeus v 0! Nopeus saadaan keskimääräisen kiihtyvyyden avulla (tällä kertaa sama kuin derivaatta, miksi?) a 0 = v v 0 t t 0 =) v(t) =v 0 + a ave t. Vastaavasti paikalle (vakionopeus v 0, alkupaikka x 0 ja t 0 = 0) v 0 = x x 0 t t 0 =) x(t) =x 0 + v 0 t.
Liike tasaisella kiihtyvyydellä: paikka ajan funktiona Vakiokiihtyvyydestä seuraa v ave = v(t)+v(0) 2 = v 0 + a 0 t + v 0 2 = v 0 + 1 2 a 0t. a a 0 v v ave at v 0 t 0 t t 0 t
Liike tasaisella kiihtyvyydellä: paikka ajan funktiona Vakiokiihtyvyydestä seuraa Yhdistetään tulokset v ave = v(t)+v(0) 2 x = x 0 + v av t = x 0 + = v 0 + a 0 t + v 0 2 = v 0 + 1 2 a 0t. v 0 + 1 2 a 0t t = x 0 + v 0 t + 1 2 a 0t 2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Liike tasaisella kiihtyvyys: vapaa pudotus Vapaasti putoava kappale Maan pinnan läheisyydessä putoamiskiihtyvyys vakio g Putoamiskiihtyvyyden lukuarvo riippuu hieman sijainnista maapallolla Suomessa g = 9.81 m s 2 Jos ilmanvastus voidaan jättää huomiotta, vapaasti putoavaan kappaleeseen pätevät tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt Kuva (c) Barcroft Media http://bit.ly/mw8bjd ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Tärkeät termit/käsitteet Mekaniikka Kinematiikka vs. dynamiikka Hetkellinen vs. keskimääräinen suure Tasainen vs. muuttuva liike Derivaatta vs. erotusosamäärä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Luennon sisältö Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Jumppaa Tehtävänanto Olkoon E ~ = 3ĵ + 4ˆk, F ~ = 4î ĵ + 5ˆk ja G ~ = aî 6ĵ + 2ˆk. Laske 1. ~ E ~ F 2. F E (E:n projektion F :lle pituus) 3. Millä a:n arvolla ~ F ja ~ G ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?
Jumppaa Tehtävänanto Olkoon E ~ = 3ĵ + 4ˆk, F ~ = 4î ĵ + 5ˆk ja G ~ = aî 6ĵ + 2ˆk. Laske 1. ~ E ~ F 2. F E (E:n projektion F :lle pituus) 3. Millä a:n arvolla ~ F ja ~ G ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan? Ratkaisu 1. ~ E ~ F = 0 4 + 3 ( 1)+4 5 = 17 2. ~ E = p 32 + 4 2 = 5, ~ E ~ F = ~ E FE =) F E = ~ E ~ F ~ E = 3.4 3. ~ F ~ G = 4a + 6 + 10 = 0 =) a = 4
Lisää jumppaa Tehtävänanto Olkoon E ~ = 3ĵ + 4ˆk, F ~ = 4î tĵ + 5ˆk ja G ~ = 4tî + 2t ˆk. Laske a) Ê ˆF ja b) d dt (~ G F). ~ ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Lisää jumppaa Tehtävänanto Olkoon E ~ = 3ĵ + 4ˆk, F ~ = 4î tĵ + 5ˆk ja G ~ = 4tî + 2t ˆk. Laske a) Ê ˆF ja b) d dt (~ G F). ~ Ratkaisu 1. (15 + 4t)î + 16ĵ 12ˆk 2. 26 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Luennon sisältö Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Pientä askartelua Pohdi vierustoverin kanssa Tehtävänanto Mikä on nopeuden ja paikan välinen ajasta riippumaton yhteys jos kiihtyvyys on vakio? Lähtökohta: eliminoi aika t nopeuden lausekkeesta v = v 0 + a 0 t ja sijoita se paikan lausekkeeseen. Laske parin kanssa välivaiheet. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2017 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE)
Ratkaisu v v 0 x = x 0 + v 0 + 1 h v a 0 2 a 0 v0 i 2 a 0 =) x x 0 = 2vv 0 2v 2 0 + v 2 2vv 0 + v 2 0 2a 0 =) 2a 0 (x x 0 )=v 2 v 2 0
Vektorit ovat parasta mitä teekkarille voi tapahtua Pohdi vierustoverin kanssa y ~r k (t) Koira ~r j (t) ~v k Jänis ~v j x Tehtävänanto Eräs automaation ohjausprobleema on kohteen seuraaminen. Tässä tilanteessa koira pyrkii saavuttamaan pakoon pinkovan jäniksen. Tehtäväsi on johtaa lauseke koiran nopeusvektorille ~v k, siten että Koiran nopeusvektori osoittaa aina kohti jäniksen senhetkistä sijaintia Koiran nopeusvektorin suuruus on vakio v k
Ratkaisu
Mikä se derivaatta olikaan? Tehtävänanto Vektorit ~ A ja ~ B muodostavat kolmion. Määritä 1. Kolmion pinta-ala 2. Kolmion pinta-alan muutosnopeus, kun ~ B muuttuu nopeudella d ~ B/dt.
Ratkaisu
Viimeinen ja helppo Tehtävänanto Pallo heitetään 50 m korkean talon katolta suoraan ylöspäin nopeudella 15 m s 1. Ilmanvastusta ei huomioida. Mikä on pallon a) saavuttama maksimikorkeus ja b) nopeus maassa?
Ratkaisu