Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike
KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa Newtonin II laki തF = dpҧ dt Newtonin III laki Jokaista voimaa kohti on vastavoima, joka on yhtä suuri ja vastakkaismerkkinen
Liikemääräperiaate തF = dpҧ dt = d dt γmvҧ =? Suurilla nopeuksilla nopeuden muutos ei ole suoraan verrannollinen voimaan!
Tällä luennolla tavoitteena: Mikä on Newtonin gravitaatiolaki? Miten ratkaistaan liikkeen rata numeerisesti? -> esimerkki dynaamisen ongelman ratkaisusta Miten heittoliike kannattikaan käsitellä?
Gravitaatiolaki
Kysymys Hilla ja Eetu seisovat Maan pinnalla ja kiistelevät mistä lausekkeesta laskea heihin kohdistuva voima. Kumpi on oikeassa? 1) Hilla 2) Eetu 3) Kumpikin 4) Ei kumpikaan 5) En tiedä Hilla ԦF = m Ԧg ԦF = G m 1m 2 r 2 Eetu rƹ
Newtonin gravitaatiolaki m Ԧr ԦF ԦF 2 m 2 1 1 Kahden pistemäisen kappaleen välillä vallitsee gravitaatiovuorovaikutus siten että ԦF 1 = G m 1m 2 r 2 missä G=gravitaatiovakio ja r Ƹ = Ԧr r rƹ ja ԦF 2 = G m 1m 2 r 2 rƹ on siis Ԧr:n suuntainen yksikkövektori! Huom: Voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaismerkkiset! Ԧr 1 Ԧr 2 O (origo)
Paikkavektorista Ԧr ja sen yksikkövektorista rƹ rƹ m Ԧr m rƹ 2 1 Ԧr 1 Ԧr 2 O (origo) Paikkavektori Ԧr osoittaa kahden kappaleen tapauksessa aina kappaleesta 1 kappaleeseen 2 (Ԧr = Ԧr 2 Ԧr 1 ) Yksikkövektori rƹ on saman suuntainen kuin Ԧr ja sen pituus on 1 ( r Ƹ = Ԧr ) r
Kuinka suuren voiman Inkeri kohdistaa tuoliin? Inkerin massa ~10 2 kg Tuolin massa ~10 1 kg G =7 10-11 m 3 kg -1 s -2 (G = 6.67 10-11 m 3 kg -1 s -2 ) ԦF 1 Ԧr Ԧr 1 Ԧr 2 m 2 O (origo)
Kuinka suuren voiman Inkeri kohdistaa maahan? Inkerin massa 1 10 2 kg Maan massa 6 10 24 kg G =7 10-11 m 3 kg -1 s -2 ԦF 1 Ԧr Ԧr 1 Ԧr 2 m 2 O (origo)
Tärkeä ja vähemmän tärkeä pointti, joiden todistukset sivuutetaan Pallosymmetrisen kappaleen gravitaatiovetovoima on identtinen pistemäisen kappaleen kanssa Todistus: http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/mechanics/sp hshell.html Symmetrisen pallokuoren sisällä kappaleeseen ei kohdistu nettovoimaa (gravitaatiosta) Todistus: http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/mechanics/sp hshell2.html
Newtonin gravitaatiolaki Kun kirjoitetaan yksikkövektori auki määritelmänsä mukaan ( r Ƹ = Ԧr ) r gravitaatiolaki esiintyy muodossa: ԦF = Gm 1 m 2 Ԧr r 3
Kysymys Kaksi erimassaista kappaletta (massa on nyt verrannollinen kokoon) pidetään yllä olevan kuvan mukaisesti levossa avaruudessa. Kappaleiden välillä vaikuttaa gravitaatiolain mukainen voima. Kappaleet päästetään vapaiksi. Pienen hetken kuluttua kappaleiden paikkoja vastaa kuva: A B C D
Numeriikkaa Entä jos analyyttinen ratkaisu ei ole mahdollinen? Ԧp(t) Ԧr(t) ԦF(t) Ԧr p(t+ t) Ԧr(t+ t) ԦF(t+ t) Tavoite: Saada ratkaistua suureet hetkellä t+ t suureiden, jotka tiedetään hetkellä t, avulla!
[1] Muuri (kts. kuva) on yli 700 jalkaa (210 m) korkea[2]. Tormund tiputtaa muurilta järkäleen, jonka massa on 50 kg. Miten kauan murikka on ilmassa? (Westerosissa painovoimakiihtyvyys on 9 m/s 2.) [1] http://gameofthrones.wikia.com/wiki/beyond_the_wall [2] Martin, George R.R.: A Game of Thrones, Random House, USA, 1997
Radan määrittäminen numeerisesti Oletetaan, että voima ( ԦF avg ) tunnetaan. Aikavälillä t kappaleen liikemäärän muutos on: Ԧp = ԦF avg t Jos liikemäärä muuttuu, täytyy nopeuden vastaavasti muuttua: Ԧv = Ԧp m keskinopeus aikavälillä on siis: v t +v(t+ t) (epärelativistinen) Ԧv avg = 2 kappaleen paikan muutos on: Ԧr = Ԧv avg t
Radan määrittäminen numeerisesti Joten kappaleen uusi paikka saadaan siis laskettua: Ԧr t + t = Ԧr t + Ԧr = Ԧr t + Ԧv avg t
Huomautus numeerisesta ratkaisusta Saako näin edes tehdä? Jos ԦF avg olisi vakio, edelläoleva olisi tarkkaa. Näin ei kuitenkaan yleisesti ottaen ole, vaan voima muuttuu ajan funktiona Approksimaatio: voima on koko aika-askeleen ajan vakio, eli ԦF avg ԦF(t) Mitä tämä tarkoittaa käytännössä? Mitä pienempi aika-askel, sen paremmin approksimaatio pitää paikkansa
Numeerinen ratkaisu tunnetun voiman avulla järkäleeseen vaikuttava voima ԦF tunnetaan (se on siis m Ԧa) Valitaan koordinaatisto samoin kuin aiemmin: + ylös ja alas Ratkaistaan rata numeerisesti: Aikavälillä t järkäleen liikemäärä muuttuu: Ԧp = ԦF t Joten ajanhetken t kuluttua liikemäärä on: Ԧp t + t Ԧp t + ԦF(t) t
Numeerinen ratkaisu Mikä on järkäleen nopeus aikavälin t kuluttua? Ԧp t+ t Ԧv t + t m Mikä oli aikavälillä siis keskinopeus Ԧv avg? Ԧv avg v t +v(t+ t) 2
Numeerinen ratkaisu Kuinka paljon järkäleen paikka muuttui aikavälillä t? Ԧr = Ԧv avg t Joten ajanhetken t kuluttua paikka on: Ԧr t + t Ԧr t + Ԧv avg t Tähän voi siis nyt sijoittaa edellisen kalvon avulla ratkeavan Ԧv avg :n lausekkeen.
h (m) Numeerinen ratkaisu: kaikki vaiheet reseptinä Tormundin murikan korkeus 250 1. Voima ԦF ja Ԧr t ja Ԧp t tunnetaan. Voidaan siis laskea: Ԧp t + t Ԧp t + ԦF(t) t 2. Ԧv t + t Ԧp t+ t m v t +v(t+ t) 3. Ԧv avg 2 4. Ԧr t + t Ԧr t + Ԧv avg t 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8-50 -100 t (s)
Numeerinen ratkaisu pähkinänkuoressa 0) ԦF tiedetään. Lisäksi tiedetään tietyllä ajanhetkellä Ԧp t ja paikka Ԧr t 1) laske pienen hetken t kuluttua uusi liikemäärä 2-3) laske tämän avulla kappaleen uusi nopeus ja siis myös keskinopeus 4) keskinopeuden avulla voidaan laskea uusi paikka! 5) palataan kohtaan 1 ja toistetaan kaikki askeleet 1-4 kunnes aikaa on kulunut tarpeeksi
ҧ [1] http://gameofthrones.wikia.com/wiki/beyond_the_wall [2] Martin, George R.R.: A Game of Thrones, Random House, USA, 1997 [1] Muuri (kts. kuva) on yli 700 jalkaa (210 m) korkea[2]. Tormund tiputtaa muurilta järkäleen, jonka massa on 50 kg. Miten kauan murikka on ilmassa? Murikkaan vaikuttaa ilmanvastus തF v v = bv 2 jƹ (Westerosissa painovoimakiihtyvyys on 9 m/s 2.)
Millainen on hyvä aika-askel? Vastaus: aika-askel on silloin sopiva, jos sen pienentäminen ei enää muuta tulosta merkittävästi Voiko askel olla liian pieni? Liian pienestä aika-askeleesta seuraa laskenta-ajan piteneminen epäkäytännöllisen suureksi
Newtonin gravitaatiolaki ja planeetan rata numeerisesti Olkoon aurinko origossa. Pikku planeetta etenee nopeudella Ԧv t paikassa Ԧr t. Planeetan radan voi nyt määrittää numeerisesti koska planeettaan vaikuttava voima tunnetaan! Reseptinähän oli: 0. ԦF = Gm 1 m 2 Ԧr r 3 1. Ԧp t + t Ԧp t + ԦF(t) t 2. Ԧv t + t Ԧp t+ t m v t +v(t+ t) 3. Ԧv avg 2 4. Ԧr t + t Ԧr t + Ԧv avg t
Newtonin gravitaatiolaki: tutki itse! Ks. netistä gravitaatio-demoja/simulaattoreita (etsi hakusanoilla gravitation, simulator,..) Esim. http://www.testtubegames.com/gravity.html Lisäksi tutustu Cavendishin kokeeseen! Kokeen avulla määritettiin gravitaatiovakion (G) arvo Oppikirjan luku Youtubesta löytyy videoita koejärjestelystä hakusanoilla Cavendish experiment
Heittoliike Kiihtyvyys on y-suunnassa -g: Ԧa t = (0, g) Tällöin nopeusvektori on: Ԧv t = (v 0x, v 0y gt) Joten paikkavektori on: Ԧr t = ( x 0 +v 0x t, y 0 +v 0y t 1 2 gt2 ) Tasainen liike Tasaisesti kiihtyvä liike
Mistä saadaan alkuarvot v 0x ja v 0y? Miten ilmaistaan y(x)?
Heittoliike: ratakäyrä Sekä x- että y-komponenteissa esiintyy muuttujana aika. Ratakäyrä saadaan ratkaistua, kun lausutaan korkeus y paikkakoordinaatin x funktiona y x = y 0 + v 0y v 0x x x 0 1 2 g(v 0y v 0x ) 2 (x x 0 ) 2 Tämä on siis alaspäin aukeavan paraabelin (2. asteen funktion) kuvaaja
[1] http://gameofthrones.wikia.com/wiki/beyond_the_wall [2] Martin, George R.R.: A Game of Thrones, Random House, USA, 1997 [1] Muuri (kts. kuva) on yli 700 jalkaa (210 m) korkea[2]. Ygritte seisoo 1400 jalan etäisyydellä Muurista ja ampuu nuolen 45 kulmassa. Nuoli päätyy Muurin yläreunan tasolle. Mikä on nuolen lähtönopeus? (Nuoli on poikkeuksellisen aerodynaaminen, eikä ilmanvastusta tarvitse huomioida.)
Kysymys Ygritte haluaa ampua oravan, mutta orava on nokkela ja päästää irti oksasta samalla hetkellä, kun nuoli lähtee liikkeelle. Mihin Ygriten on tähdättävä? A) tietyn verran oksasta riippuvan oravan yläpuolelle B) tietyn verran oksasta riippuvan oravan alapuolelle C) täsmälleen kohti oksasta riippuvaa oravaa D) En osaa sanoa. Ks. HT 2:2 32
HT 2:3 Vinkki: jaa tarkastelu x- ja y-suuntaiseen liikkeeseen: mieti esim. mitkä ovat alkunopeuden komponentit näissä suunnissa; entä mitä voimia näissä suunnissa vaikuttaa? (HUOM: Sähkökentästä tai siihen liittyvistä asioista ei tehtävässä tarvitse tietää lainkaan! e - v 0 + + + + + + + + + _ y f =? d L