4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion muutosnopeuden eli derivaatan merkki on yhteydessä kasvavuuteen. Positiivinen derivaatta tarkoittaa nousevaa kuvaajaa ja negatiivinen derivaatta laskevaa kuvaajaa. Muodostetaan derivaattafunktio f ja tutkitaan, milloin se saa positiivisia arvoja. f ( x) D( 4 x x 5 x ) 4 4 x 4x 5 4 4x 4x 5 4 Ratkaistaan derivaattafunktion f nollakohdat. 4x 4x 5 0 4 4 6x 6x 5 0 x 5 tai x 4 4 Derivaatan lauseke on toisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatan arvot ovat siis positiivisia nollakohtien välissä. Näin ollen funktion arvo kasvaa kohdasta 5 Funktio f on siis kasvava välillä x. 4 4 x 5 kohtaan 4 x. 4
Funktion f sekä sen derivaattafunktion f kuvaajat samassa koordinaatistossa havainnollistavat funktion kasvamisen ja derivaatan merkin välistä yhteyttä.. Kysytty suurin virtaus on funktion f suurin arvo. Piirretään funktion f kuvaaja. Kuvaajasta huomataan, että funktion arvo on suurin kohdassa, jossa tangentti on vaakasuora. Tässä kohdassa derivaatta on nolla. Derivoidaan funktio f. f ( x) 480 x 4880 4960x 4880
Ratkaistaan derivaattafunktion f nollakohta. 4960x 4880 0 4960x 4880 : ( 4960) 4880 x 4960 x Funktio f saa siis suurimman arvonsa kohdassa x =. Kyseinen suurin arvo on f() = 480 + 4 880 700 = 60. Vastaus: Uloshengityksen suurin virtaus on 60 litraa minuutissa.
4. Polynomifunktion kulun tutkiminen 40. 40. A-II Kuvassa II oleva derivaattafunktio on negatiivinen välillä < x <, joten funktio f on tällä välillä ja välin päätepisteissä, joissa derivaatta saa arvon nolla, vähenevä. Kun x < ja x >, derivaattafunktio on positiivinen, joten funktio on kasvava tällä välillä ja välin päätepisteissä. B-I Kuvassa I oleva derivaattafunktio saa negatiivisia arvoja lukuun ottamatta yksittäistä kohtaa x =, jossa derivaattafunktion arvo on nolla. Funktio on tällä perusteella vähenevä. C-II Funktion muutosnopeuden ilmoittaa derivaattafunktion arvo. Kuvassa II derivaattafunktiolla on pienin arvo kohdassa x =. D-III Kuvassa III oleva derivaattafunktio saa negatiivisia arvoja, kun x < ja positiivisia arvoja, kun x >. Kohdassa x = 0 derivaattafunktio saa arvon nolla. Tällöin funktio on vähenevä, kun x ja kasvava, kun x.
40. a) Derivaattafunktion arvo on positiivinen, kun derivaattafunktion kuvaaja on x-akselin yläpuolella eli väleillä ], [ ja ], [. Derivaattafunktion arvo on negatiivinen, kun kuvaaja on x-akselin alapuolella eli välillä ], [. b) Funktio f on kasvava, kun derivaattafunktio saa positiivisen arvon tai arvon nolla välin yksittäisessä kohdassa eli nyt väleillä ], ] ja [, [. Vastaavasti funktio f on vähenevä kun sen derivaattafunktio saa negatiivisen arvon tai arvon nolla yksittäisessä kohdassa, eli välillä [, ]. c) f + + f d)
404. a) f (x) = x b) Nollakohdat: f (x) = 0 x = 0 x = : x = 4 x = tai x =. Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on nollakohdat x = ja x =. c) f (x) = x + + f(x) = x x d) Funktio f on kasvava väleillä x ja x ja vähenevä välillä x.
405. a) Esimerkiksi: b) Esimerkiksi: VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 406. a) Määritetään funktion f (x) = x 4 4x derivaatan merkki kulkukaaviota varten laskemalla derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = x x f (x) = 0 x x = 0 x (x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 x = Selvitetään derivaatan merkki tekijöiden x ja x + avulla. 0 x x + + + f (x) = x x + f(x) = x 4 4x b) Funktio f on kasvava, kun x ja vähenevä, kun x. c) Funktio on vähenevä, kun x, joten funktion arvot pienenevät, kun muuttujan arvo kasvaa. Tämän vuoksi f ( ) > f (0) > f ().
407. Funktion f(x) = x + x + x + derivaattafunktio on f (x) = x + 6x +. Derivaattafunktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaattafunktion nollakohdat: x + 6x + = 0 (x + x + ) = 0 (x + ) = 0 x + = 0 x =. Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka ainoa nollakohta on x =. Derivaattafunktio saa pienimmän arvonsa 0 kohdassa x =, joten derivaattafunktio saa positiivisia arvoja, kun x ja arvon nolla yksittäisessä kohdassa x =. Tällä perusteella f (x) 0 kaikilla muuttujan x arvoilla ja funktio f on kasvava koko määrittelyjoukossaan. 408. Tutkitaan lämpötilaa kuvaavaa funktiota f(x) = 0,0x + 0,7x 4,5x + derivaattafunktion f avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 0,069x +,46x 4,5. Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 0,069x +,46x 4,5 = 0 x =,745 tai x = 7,44 x,7 tai x 7,4 Tehdään funktion f kulkukaavio. 0,7 7,4 4 f (x) + f(x)
0,745 60 min = 44,7 min, joten kellonaika,7 on noin :45. 0,44 60 min = 4,8 min, joten kellonaika 7,4 on noin 7:5. Kulkukaavion perusteella lämpötila laski klo :45 saakka. Lämpötila nousi klo :45 alkaen ja lämpötila nousi klo 7:5 saakka. Klo 7:5 alkaen lämpötila laski. 409. Tutkitaan funktion h(x) = x 6 x 5 x 4 kulkua kulkukaavion avulla. h (x) = 6x 5 0x 4 4x Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 6x 5 0x 4 4x = 0 x (x 5x ) = 0 x = 0 tai x 5x = 0 x = 0 x = tai x = Tekijä x on negatiivinen, kun x on negatiivinen ja positiivinen, kun x on positiivinen. 0 x + + x 5x + + h (x) + + h(x) Funktio h kasvaa, kun kun 0 x. x 0 ja kun x ja vähenee, kun x ja
40. a) Funktion f(x) = x x + derivaattafunktio on f (x) = 6x = (6x + ). Koska parillinen potenssifunktio x 0 ja siten myös 6x + > 0 kaikilla x:n arvoilla, on (6x + ) < 0 kaikilla x:n arvoilla. Siten derivaattafunktion f (x) = 6x arvot ovat aina negatiivisia ja funktio f on vähenevä eli monotoninen kaikkialla. Funktion muutosnopeus eli derivaatan arvo ei ole nolla missään yksittäisessä kohdassa. b) Funktion f(x) = x + 9x + 7x derivaattafunktio on f (x) = x + 8x + 7 = (x + 6x + 9) = (x + ). Koska (x + ) 0 derivaattafunktio f saa positiivisia arvoja, kun x ja arvon nolla, kun x =. Koska f (x) 0 kaikilla muuttujan x arvoilla ja f (x) = 0 vain yksittäisessä kohdassa x =, on funktio f on kasvava eli monotoninen kaikkialla. Funktion muutosnopeus on nolla kohdassa x =. 4. a) Funktio f(x) = x 5 x x + on polynomifunktiona jatkuva funktio koko reaalilukujoukossa. Nyt f(0) = 0 5 0 0 + = > 0 ja f() = < 0. Bolzanon lauseen perusteella jatkuvalla funktiolla f on ainakin yksi nollakohta välillä ]0, [. b) Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 5x 4 x = (5x 4 + x + ). Koska parillisille potenssifunktioille on voimassa x 4 0 ja x 0 kaikilla x:n arvoilla, on 5x 4 + x + > 0 kaikilla x:n arvoilla. Tällöin 5x 4 x < 0 kaikilla x:n arvoilla. Funktio f on tällöin vähenevä ja siten monotoninen.
c) Koska a-kohdan mukaan funktiolla on ainakin yksi nollakohta ja b- kohdan mukaan funktio on vähenevä funktio, jolla voi olla enintään yksi nollakohta, on funktiolla f täsmälleen yksi nollakohta. Tällä perusteella yhtälöllä x 5 x x + = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu. 4. Kirjoitetaan yhtälö 4x 6x + x = muotoon 4x 6x + x = 0. Merkitään yhtälön vasen puoli funktioksi f(x) = 4x 6x + x. Tutkitaan funktion f kulkua sen derivaattafunktion avulla. f (x) = x x + Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x x + = 0 x Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa x- akselia kohdassa x. Derivaattafunktio saa positiivisia arvoja ja arvon nolla vain yksittäisessä kohdassa x. Funktio f on siis kasvava, joten funktiolla f(x) = 4x 6x + x on enintään yksi nollakohta. Koska jatkuvalla funktiolla f on f() = 4 6 + = < 0 ja f() = > 0, on funktiolla f Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä ], [. Edellä olleen perusteella funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta ja se on välillä ], [. Yhtälöllä 4x 6x + x = 0 ja alkuperäisellä yhtälöllä 4x 6x + x = on täsmälleen yksi ratkaisu, joka on sama kuin funktion f nollakohta. Funktion f ainoan nollakohdan likiarvo on kahden desimaalin tarkkuudella x,. Tämä likiarvo on myös yhtälön 4x 6x + x = ainoan ratkaisun kaksidesimaalinen likiarvo.
4. On osoitettava, että yhtälö x 7 = 5x x 7 toteutuu, kun x =. ( ) 7 = 5 ( ) ( ) 7 = 5 + 7 = Yhtälö on tosi, kun x =, joten luku on yhtälön x 7 = 5x x 7 ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö x 7 = 5x x 7 muotoon x 7 + 5x + x + 7 = 0. Merkitään f(x) = x 7 + 5x + x + 7, jolloin tehtävänä on selvittää jatkuvan funktion f nollakohtien lukumäärää. Nollakohtien lukumäärä ilmoittaa samalla alkuperäisen yhtälön ratkaisujen lukumäärään. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 7x 6 + 5x +. Parillisille potenssifunktioille on voimassa x 6 0 ja x 0, joten f (x) = 7x 6 + 5x + > 0 kaikilla x:n arvoilla. Koska f (x) > 0, funktio f on kasvava ja sillä on enintään yksi nollakohta. Alkuperäisen yhtälön ratkaisu x = on funktion f ainut nollakohta, joten x = on myös yhtälön x 7 = 5x x 7 ainoa ratkaisu. 44. Funktioiden f(x) = x 7 + x ja g(x) = x 4 + 7 kuvaajien leikkauspiste saadaan yhtälön x 7 + x = x 4 + 7 ratkaisuna. Kirjoitetaan yhtälö muotoon x 7 x 4 + x 7 = 0. Merkitään f(x) = x 7 x 4 + x 7. Osoitetaan, että funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta ja tällä perusteella yhtälöllä x 7 x 4 + x 7 = 0 ja sille yhtäpitävällä yhtälöllä x 7 x 4 + x = 7 täsmälleen yksi ratkaisu. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 4x 6 4x +. Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. 4x 6 4x + = 0, merkitään x = u 4u 4u + = 0 Yhtälöllä ei ole ratkaisua.
Koska yhtälöllä 4u 4u + = 0 ei ole ratkaisuja, ei ratkaisuja ole myöskään yhtälöllä 4x 6 4x + = 0 eikä siten derivaattafunktiolla 4x 6 4x + ole nollakohtia. Koska derivaattafunktio on polynomifunktiona jatkuva ja sillä ei ole nollakohtia, se saa vain joko positiivisia tai negatiivisia arvoja. Lasketaan derivaattafunktion f (x) = 4x 6 4x + arvo testipisteessä x =. f () = 4 6 4 + = > 0. Koska derivaattafunktio f saa vain positiivisia arvoja, on jatkuva polynomifunktio f(x) = x 7 x 4 + x 7 kasvava kaikilla muuttujan x arvoilla. Kasvavalla funktiolla f on enintään yksi nollakohta. Koska f() = 7 4 + 7 = 5 < 0 ja f() = 5 > 0, niin funktiolla f on Bolzanon lauseen perusteella ainakin yksi nollakohta ja tämä ainoa nollakohta on välillä ], [. 45. Tutkitaan yhtälön x 6 48x + = 0 ratkaisujen lukumäärää tutkimalla funktion f(x) = x 6 48x + nollakohtien lukumäärää. Selvitetään funktion f kulku kulkukaavion avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 6x 5 96x = 6x(x 4 6). Derivaattafunktion f nollakohdat: f (x) = 0 6x(x 4 6) = 0 6x = 0 tai x 4 6 = 0 x = 0 x 4 = 6 x = ± Selvitetään testipisteiden x =, x = 0 ja x = avulla lausekkeen x 4 6 merkki. x = : ( ) 4 6 = 65 > 0 x = 0: 0 4 6 = 6 < 0 x = : 4 6 = 65 > 0
0 6x + + x 4 6 + + f (x) + + f(x) Kulkukaavion perusteella funktio f on kasvava, kun x 0 ja x. Funktio f on vähenevä, kun x ja 0 x. Funktiolla f voi olla korkeintaan yksi nollakohta jokaisella näistä väleistä. Lasketaan funktion f(x) = x 6 48x + arvot derivaatan nollakohdissa, eli kohdissa, joissa funktion kulkusuunta muuttuu. Väli x 0: f( ) = 7 < 0 f(0) = > 0 Funktion f merkki vaihtuu välillä [, 0], joten tällä välillä on yksi nollakohta. Väli 0 x : f(0) = > 0 f() = 7 < 0 Funktion f merkki vaihtuu välillä [0, ], joten tällä välillä on yksi nollakohta. Lasketaan lisäksi väli x : f( ) = 98 > 0 f( ) = 7 < 0 Funktion f merkki vaihtuu välillä [, ], joten tällä välillä on yksi nollakohta. Väli x : f() = 98 > 0 f() = 7 < 0 Funktion f merkki vaihtuu välillä [, ], joten tällä välillä on yksi nollakohta. Koska funktion f merkki vaihtuu jokaisella välillä x, x 0, 0 x ja x, on sillä neljä nollakohtaa. Tällöin yhtälöllä x 6 48x + = 0 on neljä ratkaisua.
46. Koska funktio f on kasvava, kun x, niin f (0) < f (). Funktio on vähenevä kun x, joten f() < f (). Funktio on kasvava kun x, joten f() < f (). Funktio on kasvava kun x, joten f() < f (4). Arvojen f(0) ja f() sekä f() ja f() keskinäisestä suuruusjärjestyksestä ei voida sanoa mitään. Vastaus: f (0) < f (), f() < f () ja f() < f () < f(4). 0 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 47. Funktion f (x) x4 x x derivaattafunktio on f (x) = x 6x, joka on polynomifunktiona jatkuva funktio. Derivaattafunktion nollakohtien lukumäärä selviää funktion f kulkukaavion perusteella. Df (x) = D( x 6x ) = 6x 6, joka saa aina negatiivisia arvoja. Tällä perusteella f on vähenevä funktio, jolla voi olla enintään yksi nollakohta. Koska f ( ) = ( ) 6 ( ) = + 6 = 6 > 0 ja f (0) = (0) 6 0 = < 0. on jatkuvalla funktiolla f Bolzanon lauseen perusteella ainakin yksi nollakohta välillä ], 0[. Edellä olleiden perusteella funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta ja se on välillä ], 0[. Merkitään tätä nollakohta kirjaimella a. f (x) f(x) a + Kulkukaavion perusteella funktio f on kasvava, kun x a ja vähenevä, kun x a. Funktiolla f voi olla nollakohta sekä välillä x a että välillä x a.
Koska 4 f ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 ja f( ) = 0,5 > 0, niin jatkuvalla ja kasvavalla funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä ], [. Koska f(0) = > 0 ja f() =,5 < 0, niin vähenevällä jatkuvalla funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä ]0, [. Funktiolla f on siis täsmälleen kaksi nollakohtaa. Derivaattafunktiolla f on yksi nollakohta. Funktiolla f on kaksi nollakohtaa. 48. Funktio f(x) = x + ax x on vähenevä, kun f on negatiivinen tai yksittäiskohdassa nolla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = x + ax. Derivaattafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaattafunktio saa vain negatiivisia arvoja tai arvon nolla jos sitä vastaavalla toisen asteen yhtälöllä x + ax = 0 enintään yksi ratkaisu. Yhtälöllä x + ax = 0 on enintään yksi ratkaisu, kun diskriminantin arvo on negatiivinen tai nolla. Diskriminantti on (a) 4 ( ) ( ) = 4a 6, joten saadaan epäyhtälö 4a 6 0. Lausekkeen 4a 6 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat saadaan yhtälöstä 4a 6 =0, jonka ratkaisut ovat a = ja a =. Tällöin 4a 6 0, kun a. Kun a, niin derivaattafunktio f saa negatiivisia arvoja tai arvon nolla yksittäisessä kohdassa ja funktio f on tällöin vähenevä.
49. Funktio f(x) = x ax +6a x on monotoninen kaikilla parametrin a arvoilla, jos sen derivaattafunktio saa vain negatiivisia tai vain positiivisia arvoja ja arvon nolla vain yksittäisissä kohdissa. f (x) = 6x 6ax +6a Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka saa vain positiivisia arvoja tai arvon nolla, kun vastaavalla yhtälöllä 6x 6ax +6a = 0 on korkeintaan yksi ratkaisu. Toisen asteen yhtälöllä on korkeintaan yksi nollakohta, kun diskriminantti on nolla tai negatiivinen. Diskriminantti on (6a) 4 6 6a = 6a 44a = 08a. Diskriminantti on negatiivinen tai nolla kaikilla a:n arvoilla. Derivaattafunktio saa vain positiivisia arvoja tai arvon nolla yksittäisessä kohdassa (a = 0). Funktio f on kasvava ja siten monotoninen.
40. Funktion f(x) = x + bx + c derivaattafunktio on f (x) = x + b. Koska x 0 kaikilla x:n arvoilla, riippuu lausekkeen x + b merkki vakion b arvosta. Tarkastellaan kolmea tapausta b > 0, b = 0 ja b < 0. b > 0 f (x) = x + b > 0 ja tällä perusteella funktio f on kasvava. b = 0 f (x) = x 0 ja f (x) = 0 vain yksittäisessä kohdassa x = 0, joten funktio f on kasvava. b < 0 Derivaattafunktiolla f on kaksi nollakohtaa: x + b = 0 x b tai x b. Koska derivaattafunktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli on f (x) 0, kun x b tai x b. Funktio f on näillä väleillä kasvava. Kun b x b, on f (x) 0 ja funktio f on vähenevä.
4. Polynomifunktion ääriarvot YDINTEHTÄVÄT 4. a) b) 4. a) Funktio f voi saada suurimman arvonsa kohdassa x = tai x = 7. Funktio f voi saada pienimmän arvonsa kohdassa x =, x = tai x = 0. b) Funktio f voi saada suurimman arvonsa kohdassa x = 0 tai x = 5. Funktio f voi saada pienimmän arvonsa kohdassa x = 7 tai x =.
4. Hahmotellaan funktion kuvaaja sijoittamalla kaikki lasketut pisteet koordinaatistoon, ja hahmottelemalla kuvaaja kulkemaan niiden kautta kulkukaavion mukaisesti. Huomaa, että derivaatan nollakohta x = on terassikohta. 44. a) Funktion f ( x) x x Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x + x = 0 x( x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = Laaditaan kulkukaavio. derivaattafunktio on f (x) = x + x. 0 f (x) + f(x) b) Rajataan kulkukaavio välille [, 4]. 0 4 f (x) + f(x)
Kulkukaavion perusteella funktio f saa suurimman arvonsa joko kohdassa x = tai x =. f ( ) ( ) ( ) f () Suurin arvo on. Pienin arvo saadaan joko kohdassa x = 0 tai x = 4. f (0) 0 f (4) 4 4 5 Pienin arvo on 5. c) Lasketaan funktion f nollakohdat. f ( x) 0 x x 0 x ( x ) 0 x 0 tai x 0 x 0 x Hahmotellaan funktion f kuvaaja välillä [, 4].
45. a) Funktion f (x) = x + x derivaattafunktio on f (x) = x + 6x. Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x + 6x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 x = Laaditaan funktion f kulkukaavio. 0 f (x) + + f(x) Funktiolla on paikallinen maksimikohta x =. Paikallinen maksimiarvo on f( ) = ( ) + ( ) = 8 + = 4. Funktiolla on paikallinen minimikohta x = 0 ja paikallinen minimiarvo on f(0) = 0. b) Lasketaan funktion f nollakohdat. f (x) = 0 x + x = 0 x (x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 x = c) Hahmotellaan kuvaaja. Kuvaaja on laskeva, kun < x < 0 ja nouseva, kun x < ja x > 0. Funktiolla on maksimipiste (, 4) ja minimipiste (0, 0) sekä nollakohdat x = ja x = 0.
46. a) Funktion f(x) = x 5x 4x + derivaattafunktio on f (x) = 6x 0x 4. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 6x 0x 4 = 0 x = tai Laaditaan kulkukaavio. x f (x) + + f(x) Funktiolla on paikallinen maksimikohta, kun x =. Paikallinen maksimiarvo on f( ) = = 7 7. Funktiolla on paikallinen minimikohta x = ja paikallinen minimiarvo on f() = = 0.
b) Rajataan tarkastelu välille [, ]. f (x) + + f(x) Kulkukaavion perusteella funktio f saa suurimman arvonsa joko kohdassa x tai x =. f ( )... 7 9,70 7 7 f() = Suurin arvo on 9. 7 Pienin arvo saadaan joko kohdassa x = tai x =. f( ) = = 6 f() = = 0 Pienin arvo on 6. c) Kuvaajista vain A ja C sopivat kulkukaavioon. Näistä vain C sopii yllä laskettuihin funktion arvoihin, siis funktion f kuvaaja on C.
47. a) b) Alue aidataan kolmelta sivulta. Merkitään sivuja kirjaimilla x ja y, missä muuttuja y on joen suuntainen sivu. Molempien muuttujien tulee olla sivun pituuksina positiivisia, joten x > 0 ja y > 0. Koska aitaa on käytössä 00 m, saadaan muuttujille myös ylärajat. Muuttujan x suuntaisia sivuja aidataan aina kaksi, joten näiden kahden sivun (x) täytyy yhteensä olla alle 00 m. Muuttujan y suuntaisia sivuja aidataan vain yksi, joten sen tulee olla alle 00 m. x < 00 ja y < 00 x < 50 Määrittelyehdoksi saadaan 0 < x < 50 ja 0 < y < 00.
Alueen pinta-alaa kuvaa lauseke A = xy. Tätä lauseketta ei voida käsitellä sellaisenaan, sillä siinä on mukana molemmat muuttujat x ja y. Käytetään tietoa käytettävissä olevan aidan määrästä ja ratkaistaan sen avulla toinen muuttujista. Aitaa tulee yhteensä kolmelle sivulle, ja aidan pituus on yhteensä 00 m. x + y = 00 ratkaistaan muuttuja y y = 00 x. Sijoitetaan y = 00 x pinta-alan lausekkeeseen: A = xy = x(00 x) = 00x x. Pinta-alan lauseke voidaan nyt kirjoittaa yhden muuttujan funktiona A(x) = 00x x, missä 0 < x < 50. c) Alue on mahdollisimman suuri silloin kun sen pinta-ala on suurin mahdollinen. Aitauksen pinta-ala on suurin, kun funktio A saa suurimman arvonsa. Tutkitaan pinta-alafunktiota A kulkukaavion avulla. Funktion A derivaattafunktio on A (x) = 00 4x. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. A (x) = 0 00 4x = 0 x = 5 Laaditaan kulkukaavio. 0 5 50 A (x) + A(x) Kulkukaavion perusteella funktio A saa suurimman arvonsa kun x = 5, jolloin y = 00 5 = 50. Aidan mitat pitää valita niin, että joen suuntainen sivu on 50 m pitkä ja kaksi muuta sivua ovat 5 m pitkiä.
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 48. Veden tiheyttä kuvaa funktio f(x) = 0,0074x + 0,059x + 999,86 (g/dm ), missä 0 x 0 ( C). Tiheys on suurin, kun funktio f saa suurimman arvonsa. Etsitään siis funktion f suurin arvo välillä [0, 0]. Jatkuvan funktion suurin ja pienin arvo saavutetaan suljetulla välillä joko välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 0,048x + 0,059. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 0,048x + 0,059 = 0 x =,986 Nollakohta on välillä [0, 0]. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaattafunktion nollakohdassa. f(0) = 999,86 f(0) = 998,08. f(,986 ) = 999,98 suurin Veden suurin tiheys on noin 000,0 g/dm. Veden tiheys on suurin, kun lämpötila on noin 4,0 C.
49. Jatkuvan funktion suurin ja pienin arvo saavutetaan suljetulla välillä joko välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Funktion f(x) = x 4 + 4x + x derivaattafunktio on f (x) = x + x + 4x. Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x + x + 4x = 0 x( x + x + ) = 0 x = 0 tai x + x + = 0 x = tai x = a) Lasketaan funktion f arvot välin [, ] päätepisteissä. f( ) = ( ) 4 + 4 ( ) + ( ) = 4 + = 5 f() = + 4 + = Derivaattafunktion nollakohdista x =, x = 0 ja x = on välillä ], [ vain kohta x = 0. f(0) = 0 Funktion f pienin arvo välillä [, ] on f(0) = 0. b) Lasketaan funktion f arvot välin [, ] päätepisteissä. f( ) = f() = 7 Kaikki derivaattafunktion nollakohdat x =, x = 0 ja x = ovat välillä ], [, joten ne kaikki on otettava mukaan tarkasteluun. f( ) = 5 f(0) = 0 f() = Funktion f pienin arvo välillä [, ] on f( ) =.
40. a) Pallon korkeutta ajanhetkellä x kuvaa funktio f(x) = 4,9x + 0x + (metriä). Koska muuttuja x kuvaa aikaa heittohetkestä, tulee sen olla positiivinen. Pallon korkeus on suurin, kun funktio f saa suurimman arvonsa. Koska funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, se saa suurimman arvonsa huipussaan. Paraabelin huippu on derivaattafunktion nollakohdassa. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 9,8x + 0. Lasketaan derivaattafunktion nollakohta. f (x) = 0 9,8x + 0 = 0 x =,004 Derivaattafunktion nollakohta on positiivinen, joten se käy ajan arvoksi. Lasketaan funktion f arvo derivaattafunktion nollakohdassa. f(,004 ) = 6,004 6, Pallo käy siis korkeimmillaan noin 6, metrin korkeudessa. b) Pallo osuu maahan silloin, kun sen korkeus on nolla. Ratkaistaan pallon korkeutta kuvaavan funktion f nollakohta. f(x) = 0 4,9x + 0x + = 0 x 0,0 tai x,. Näistä vain positiivinen arvo on mahdollinen ratkaisu. Pallo osuu maahan ajanhetkellä noin, s.
4. Tutkitaan funktiota f(x) = x 0x + 6x kulkukaavion avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 6x 0x + 6. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 6x 0x + 6 = 0 x tai x = Tehdään kulkukaavio. f (x) + + f(x) a) Kulkukaavion perusteella funktiolla f on paikallinen maksimiarvo kohdassa x. f ( ) ( ) 0 ( ) 6 ( ) 7 Vastaavasti funktiolla on paikallinen minimiarvo kohdassa x =, joka on f() = 9. b) Kun tarkastellaan väliä ], 4], niin kulkukaavion perusteella funktion suurin arvo saavutetaan joko kohdassa x tai x = 4. f ( ) 7 f(4) = 9 Funktion f suurin arvo välillä ], 4] on. 7 Välillä [, [ kulkukaavion perusteella funktion pienin arvo saavutetaan joko kohdassa x = tai x =. f( ) = 9 f() = 9 Funktion f pienin arvo välillä [, [ on 9.
4. a) Esimerkiksi b) Esimerkiksi 4. Laaditaan funktion g kulkukaavio. Funktion g(x) 5 x5 x 4 4x derivaattafunktio on g (x) = x 4 + x x. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. g (x) = 0 x 4 + x x = 0 x ( x + x ) = 0 x = 0 tai x + x = 0 x = 0 x = x x + x 0 + + + g (x) g(x) Kulkukaavion perusteella funktio on vähenevä kaikkialla, joten funktiolla ei ole paikallisia ääriarvoja.
44. a) Nollakohtia voi olla enintään kolme ja vähintään yksi. b) Tutkitaan funktion f ( x) x x Derivaatan nollakohdat: f( x) x x kulkua kulkukaavion avulla. x f ( x) 0 0 x x Derivaattafunktio kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa. f (x) 0 + + f(x) Lasketaan muutamia funktion arvoja, jotta saadaan selville funktion merkki eri kohdissa. 8 f ( ) 4 4 < 0 f(0) = > 0 8 f () 4 > 0
Funktio f on polynomifunktio ja siten jatkuva koko reaalilukujoukossa. Funktio on kasvava, kun x 0, ja f( ) < 0 ja f(0) > 0, joten tällä välillä on yksi nollakohta. Koska funktion f arvo kohdassa x = 0 ja paikallisessa minimikohdassa x = on positiivinen, ei funktiolla voi olla välillä [0, ] nollakohtia. Nollakohtia ei voi myöskään olla, kun x >, koska tällöin funktio on kasvava ja arvo f() > 0. Täten funktiolla f on vain yksi nollakohta. b) Tutkitaan funktion f( x) x x kulkua kulkukaavion avulla. f ( x) x x Derivaatan nollakohdat: x Derivaattafunktio kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa. f (x) + + 0 f(x) Lasketaan muutamia funktion arvoja, jotta saadaan selville funktion merkki eri kohdissa. 8 f ( ) 4 5 < 0 f(0) = > 0 8 f () 4 < 0 f () 9 9 > 0 Funktio f on polynomifunktio ja siten jatkuva koko reaalilukujoukossa. Bolzanon lauseen mukaan funktiolla on nollakohdat väleillä ], 0[, ]0, [ ja ], [. Funktiolla on siten kolme nollakohtaa.
45. Funktion f(x) = x 4 6x + 8x + 8 derivaattafunktio on f (x) = x 48x + 6x. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x 48x + 6x = 0 x(x 4x + ) = 0 x = 0 tai x 4x + = 0 x = 0 x = tai x = x x 4x + 0 + + + + + + f (x) + + f(x) Funktiolla on paikallinen minimiarvo kohdissa x = 0 ja x =. Minimiarvot ovat f(0) = 0 4 6 0 + 8 0 + 8 = 8 ja f() =. Kohdassa x = funktio f saa pienimmän arvonsa, joka on. Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa x =, joka on f() =. Funktiolla f ei ole suurinta arvoa, koska funktio on esimerkiksi välillä x > kasvava. Koska esimerkiksi f(4) = 60 >, funktio saa paikallista maksimiarvoaan suurempia arvoja. Kun muuttujan x arvot kasvavat loputtomasti, kasvaa myös funktion arvo kulkukaavion perusteella koko ajan. Suurinta arvoa ei tällä perusteella voida määrittää. Funktiolla ei ole nollakohtia, koska sen pienin arvo on positiivinen.
46. Tutkitaan funktion h(x) = x 6 + x kulkua kulkukaavion avulla. Funktion h derivaattafunktio on h (x) = 6x 5 +. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. h (x) = 0 6x 5 + = 0 x 5 6 x 0,7 5 6 Määritetään derivaattafunktion merkki testipisteiden avulla. h (0) = > 0 h () = 5 < 0 Laaditaan kulkukaavio. 5 6 h (x) + h(x) Funktio h saa suurimman arvonsa kohdassa x = 5. 6 6 h( ) ( ) 0,4... 0 5 5 5 6 6 6 Koska funktion h suurin arvo on negatiivinen, ovat funktion h kaikki arvot negatiivisia.
47. Kirjoitetaan epäyhtälö 4 + x 4 > 4x muodossa epäyhtälö x 4 4x + 4 > 0. Tutkitaan vastaavaa funktiota f(x) = x 4 4x + 4. Funktio f(x) = x 4 4x + 4 saa vain positiivisia arvoja, jos sen pienin arvo on positiivinen. Tällöin epäyhtälö x 4 4x + 4 > 0 ja sitä vastaava alkuperäinen epäyhtälö 4 + x 4 > 4x tosi kaikilla muuttujan x arvoilla. Tutkitaan funktion f kulkua kulkukaavion avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 4x 4. Lasketaan derivaattafunktion nollakohta. f (x) = 0 4x 4 = 0 4x = 4 : 4 x = x = Määritetään derivaattafunktion f merkki testipisteissä ja muodostetaan funktion f kulkukaavio. f (0) = 4 < 0 f () = 8 > 0 f (x) + f(x) Kulkukaavion perusteella funktion f pienin arvo saavutetaan kohdassa x =. Lasketaan funktion f arvo kohdassa x =. f() = 4 4 + 4 = > 0. Koska funktion f(x) = x 4 4x + 4 pienin arvo on positiivinen, on epäyhtälö x 4 4x + 4 > 0 ja myös alkuperäinen epäyhtälö 4 + x 4 > 4x aina tosi.
48. Valmistettavan laatikon korkeus on x, pohjan leveys on,0 x ja pituus,0 x. Laatikon tilavuutta kuvaa lauseke x(,0 x)(,0 x) = 4x 6x + x. V(x) = 4x 6x + x Funktion V määrittelyehto on x > 0 ja,0 x > 0 eli x <,0 ja,0 x > 0 eli x < 0,5. Ehdot yhdistettyinä saadaan määrittelyväli 0 < x < 0,5. Laatikon tilavuus on suurin mahdollinen, kun funktio V saa suurimman arvon. Tutkitaan funktion V kulkua kulkukaavion avulla. Funktion V derivaattafunktio on V (x) = x x +. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. V (x) = 0 x x + = 0 x 0, tai x 0,79 Nollakohta x 0,79 ei kuulu tarkasteluvälille. 0 0, 0,5 V (x) + V(x) Funktio V saa suurimman arvon, kun x 0,, jolloin laatikon tilavuus on suurin. Nurkasta leikattavan neliön sivun pituus on siis cm. Laatikon tilavuus on tällöin V(0,) 0,90 (m ). Tilavuus litroina on 90 litraa.
49. a) Merkitään suorakulmion pituutta muuttujalla x ja leveyttä muuttujalla y. Pituuksina x ja y > 0. y Suorakulmion piirin lauseke on x + y + x + y = x + y. Köyden pituus on m, joten saadaan yhtälö x + y =, josta saadaan y = 6 x. Koska kummankin muuttujan arvo on positiivinen, saadaan muuttujille ehdot 0 < x < 6 ja 0 < y < 6. Suorakulmion pinta-alaa kuvaava lauseke xy on kahden muuttujan lauseke. Lauseke voidaan esittää yhden muuttujan, esimerkiksi muuttujan x, avulla, koska muuttuja y voidaan esittää muuttujan x avulla lausekkeena y = 6 x. A = xy = x(6 x) = x + 6x. Merkitään pinta-alaa kuvaavaa lauseketta funktiona A(x) = x + 6x, jossa 0 < x < 6. Pinta-ala saa suurimman arvon, kun funktio A saa suurimman arvon. Koska funktion A kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, saa funktio A suurimman arvonsa paraabelin huipussa, eli derivaattafunktion A nollakohdassa. A (x) = x + 6 Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohta. A (x) = 0 x + 6 = 0 x = x
Pinta-ala on suurin, kun x = ja y = 6 =. Koska x = y =, on suorakulmio neliö, jonka sivut ovat m silloin, kun suorakulmion pinta-ala on suurin. b) Olkoon suorakulmion piiri a ja toinen sivu x. Suorakulmion toisen sivun pituus y saadaan yhtälöstä x + y + x + y = a x + y = a y = a x a x a y x. Suorakulmion pinta-ala A = xy voidaan nyt esittää muuttujan x avulla funktiona a a A( x) x( x) x x. Pinta-alaa kuvaavan funktion A suurin arvo saavutetaan alaspäin aukeavan kuvaajaparaabelin huipussa, joka on funktion A derivaattafunktion nollakohta. a a Nyt A ( x) x, joten A (x) = 0, kun x =. 4 a a a Toisen sivun pituus y. 4 4 Suurin pinta-ala on suorakulmiolla, jonka sivut ovat yhtä pitkät. Suorakulmio, jossa kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, on neliö.
440. Piirretään tilanteesta mallikuva. Suorakulmion kanta on x ja korkeus on kuvaajalla olevan pisteen y-koordinaatin arvo 6 x. Suorakulmion pinta-ala on A(x) = x(6 x ) = x + x. Muuttuja x voi olla korkeintaan paraabelin 6 x nollakohdan arvon suuruinen. Paraabelin nollakohdat ovat x 6. Saadaan muuttujalle x rajat 0 x 6. Tutkitaan funktion A arvoja kulkukaavion avulla. A (x) = 6x + = 0 x = x = 0 6 A (x) + A(x) Funktio A saa suurimman arvonsa, kun x =. Pinta-ala on tällöin A( ) = ( ) + = 4 + = 8.
44. Myytyjen tuotteiden lukumäärä alussa on 60 kpl. Jokainen kymmenen euron hinnanalennus lisää myyntiä 5 kappaletta. Merkitään hinnanalennusten lukumäärää kirjaimella x. Hintaa alennuksen jälkeen kuvaa lauseke 00 0x ja myynnin määrää lauseke 60 + 5x. Laskettaessa myyntivoittoa, myyntihinnasta vähennetään kaupan tuotteesta maksama hinta. Myyntivoitto on (00 0x 0) (60 + 5x) Myyntivoittoa kuvaava funktio on f(x) = (00 0x 0) (60 + 5x) = 50x 00x + 4800. Myyntivoiton kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka saa suurimman arvonsa huipussa, eli derivaattafunktion nollakohdassa. f (x) = 00x 00 = 0 x = Myyntivoitto on suurin, kun x =, eli hintaa korotetaan 0 euroa. Myyntihinta on 0. Myyntivoitto on tällöin f( ) = 00 50 = 5000. Euromääräinen myynti saadaan hinnan ja määrän tulona. Myyntiä kuvaava funktio on g(x) = (00 0x) (60 + 5x) = 50x + 400x + 00 Myynnin kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka saa suurimman arvonsa huipussa, eli derivaattafunktion nollakohdassa. g (x) = 00x + 400 = 0 x = 4 Myynti on suurin, kun hintaa alennetaan 40 euroa. Myyntihinta on tällöin 60. Tällöin laitteita myydään 60 + 0 = 80 kappaletta, jolloin myynti on 60 80 = 800 ( ). Myyntivoittoa jää 80 maksetun laitteen jälkeen kuitenkin vain 800 80 0 = 00.
44. Piirretään tilanteesta mallikuva. Merkitään puoliympyrän sädettä kirjaimella r, jolloin suorakulmion kanta on r ja korkeutta kirjaimella h. Nyt r > 0 ja h > 0. r h r Ympärysmitan ehdosta saadaan yhtälö. π r h r 6,0 h = 6,0 πr r 6,0 πr r h Koko ikkunan pinta-alaa kuvaa lauseke A suorakulmio + A puoliympyrä = rh + π. r Kirjoitetaan pinta-ala muuttujan r funktiona. 6,0 πr r Ar ( ) r( ) πr r(6,0 πr ) r πr 6,0r πr r πr ( π π) r 6,0r π ( ) r 6,0r Funktion A kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktion A suurin arvo saavutetaan derivaattafunktion A nollakohdassa
π A () r ( ) r 6,0 (4 π) r 6,0 0 6,0 r 4 π 6,0 r 4 π r 0,84 (m) Ikkunan leveys r on noin,68 (m), kun r 0,84 (m). 6,0 πr r Suorakulmion korkeus on h 0,84 (m). SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 44. Piirretään tilanteesta mallikuva. Merkitään ison neliön sivun pituutta kirjaimella a. Olkoon pienemmän neliön sivun pituus z. Kuvan merkinnöin saadaan yhtälöt x + y = a ja x + y = z. z a x y Pienen neliön pinta-ala on z = x + y. Muuttuja y voidaan ratkaista yhtälöstä x + y = a y = a x. Sijoitetaan yhtälöön z = x + y muuttujan y paikalle lauseke a x. z = x + (a x) = x + a ax + x = x ax + a
Olkoon nyt pinta-alaa kuvaava funktio: A(x) = x ax + a, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktio A saa pienimmän arvonsa kuvaajaparaabelin huipussa, eli derivaattafunktion A nollakohdassa. A (x) = 4x a Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. A (x) = 0 4x a = 0 4x = a a x 4 a x a a a Kun x, on myös y a. Tämä tarkoittaa, että uuden neliön pinta-ala on pienin mahdollinen, kun jokainen muodostuneen pienen neliön kärkipiste on alkuperäisen neliön sivun keskipisteessä eli pienen neliön kärkipiste puolittaa alkuperäisen neliön sivut. 444. a) Olkoon ympyräsektorin säde r ja kaaren pituus b. r b Pituusmittoina on oltava r > 0 ja b > 0. Ympärysmitan ehdosta saadaan yhtälö r + b + r = 0 eli r + b = 0, josta b = 0 r. Koska b > 0, niin saadaan 0 r > 0, josta r < 5. Määrittelyehto on siten 0 < r < 5. br Ympyräsektorin pinta-ala saadaan kaavalla A. br Pinta-alalauseke voidaan esittää muuttujan r avulla:
br (0 rr ) (5 rr ) A r r 5. Pinta-alafunktion A(r) = 5r r kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli- Funktio A saa suurimman arvon paraabelin huipussa eli derivaattafunktion A nollakohdassa. A (r) = 5 r 5 r = 0 r = 5 Ympyräsektorin pinta-ala on suurin, kun r = 5, jolloin 5 b = 0 0 5 5. Sektorin keskuskulma radiaaneina on b 5 5. r 5 5 Koska radiaani on asteina noin 57,, on vastauksena saatava kulma noin 57, = 4,6. b) Olkoon ympyräsektorin säde r, kaaren pituus b ja ympärysmitta a, a. Ympärysmitan ehdosta saadaan yhtälö r + b + r = a eli r + b = a, josta br b = a r. Ympyräsektorin pinta-ala saadaan kaavalla A. br Pinta-alalauseke voidaan esittää muuttujan r avulla: br ( a r) r ar r ar r A ar r. Pinta-alafunktion A(r) = ar r kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio A saa suurimman arvon derivaattafunktion A nollakohdassa. Nyt A (r) =. a r
Derivaattafunktion A nollakohdat: a r 0 a r : a r 4 r a 4 a Ympyräsektorin pinta-ala on suurin, kun r =, 4 b = a a a a a. 4 Sektorin keskuskulma radiaaneina on a a 4 a 4. a a a 4 jolloin Koska radiaani on asteina noin 57,, on vastauksena saatava kulma noin 57, = 4,6. Saatu tulos siis koskee kaikkia ympyräsektoreita, joiden ympärysmitta on rajattu. 445. Funktion f(x) = x +bx + cx + d paikalliset ääriarvokohdat x = ja x = ovat derivaattafunktion nollakohtia. f (x) = x + bx + c f ( ) = 0 ja f () = 0 b + c = 0 ja + b + c = 0 b + c = + b + c 4b = 0 b = 0 c = b = 0 = Derivaattafunktio on f (x) = x + 0 x + ( ) = x ja funktio on f(x) = x +bx + cx + d = x + 0 x + d = x x + d.
Tutkitaan funktion kulkua derivaattafunktion avulla. Derivaattafunktion nollakohdat: x = 0 (x ) = 0 x = 0 x = x = ± f (x) + + f(x) Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa x =. Ratkaistaan kerroin d ehdosta f( ) = 7. f( ) = = ( ) ( ) + d = + + d = + d + d = 7 d = 5 Kertoimet ovat b = 0, c = ja d = 5. Funktio on tällöin f(x) = x x + 5. Funktion paikallinen minimiarvo on kulkukaavion perusteella f() = + 5 =. 446. Tarkastellaan funktiota f(x) = x x + c. Yhtälön x x + c = 0 ratkaisujen lukumäärä on sama kuin funktion f(x) = x x + c nollakohtien lukumäärä. Tutkitaan funktion f kulkua kulkukaavion avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = x x. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 tai x
0 f (x) + + f(x) Yksi nollakohta: Funktiolla f(x) = x x + c on yksi nollakohta, jos: funktion maksimiarvo f(0) = c on negatiivinen, eli c < 0 tai jos funktion kaksimiarvo f(0) = c ja minimiarvo 4 f( ) ( ) ( ) c c ovat molemmat 7 positiivisia, eli c > 4 7. Kaksi nollakohtaa: Funktiolla on kaksi nollakohtaa, jos: f(0) = c = 0 tai jos 4 4 f( ) ( ) ( ) c c 0, eli c 7 7
Kolme nollakohtaa: 447. a) Funktiolla on kolme nollakohtaa, jos: 4 4 f(0) = c > 0 ja f( ) ( ) ( ) c c 0, eli 0 c. 7 7 Jos c < 0 tai c > 4, on yhtälöllä yksi ratkaisu. Jos c = 0 tai c = 4 7 7, on yhtälöllä kaksi ratkaisua. Jos 0 < c < 4, on yhtälöllä kolme ratkaisua. 7 Geogebra:. Luodaan pistelista: lista={(0,00),(5,900),,(0,000)}.. Sovitetaan polynomifunktio: SovitaPolynomi[lista, 4]. Myynnin kannalta paras lämpötila olisi n. C. b) Myynti vaikuttaisi kasvavan, kun lämpötila kylmenee 0 C alaspäin ja kun lämpötila ylittää 40 C, mikä ei vaikuta järkevältä.
448. Piirretään poikkileikkauksesta tasokuvio. Merkitään ympyrälieriön sädettä kirjaimella r ja korkeutta kirjaimella h. Ympyrälieriön tilavuuden lausekkeessa (V = πr h) on kaksi muuttujaa. Kolmioiden yhdenmuotoisuuden nojalla (kk) vastinsivujen suhteista r h saadaan verranto, josta h = r. a) Ympyrälieriön tilavuuden lauseke voidaan ilmoittaa yhden muuttujan r avulla. V(r) = π r ( r) = πr πr Ympyrälieriön tilavuus on suurin, kun funktio V saa suurimman arvon. Funktion V derivaattafunktio on V (r) = 6πr 9πr. Lasketaan derivaattafunktion V nollakohdat. V (r) = 0 6πr 9πr = 0 πr( r) = 0 πr = 0 tai r = 0 r = 0 r 0 V (r) + V(r)
Kulkukaavion perusteella funktio V saa suurimman arvonsa, kun r. Tällöin ympyrälieriön tilavuus on myös suurin. Ympyrälieriön halkaisija d saadaan lausekkeesta r ja korkeus h saadaan lausekkeesta r, kun r : 4 d = h =. Ympyrälieriön tilavuus on suurin, kun lieriön halkaisija on 4 ja korkeus. Ympyrälieriön tilavuus V on tällöin 4π π. 9 b) Ympyrälieriön vaipan pinta-ala on A = rh. Lauseke muuttujan r avulla ilmaistuna: A(r) = π r ( r) = 6πr 6πr. Ympyrälieriön vaipan pinta-ala on suurin, kun funktio A saa suurimman arvon. Funktion A(r) = 6πr 6πr kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka saa suurimman arvon derivaatan nollakohdassa. Funktion A derivaattafunktio on A (r) = 6π πr. Lasketaan derivaattafunktion A nollakohdat. 6π πr = 0 6π( r) = 0 r = 0 r
Funktio A saa suurimman arvon, kun r. Tällöin ympyrälieriön vaipan pinta-ala on myös suurin. Ympyrälieriön halkaisija d saadaan lausekkeesta r ja korkeus h saadaan lausekkeesta r, kun r : d = h =. Ympyrälieriön vaipan pinta-ala on siis suurin, kun lieriön pohjan halkaisija on ja korkeus. 449. Funktio f ilmaisee lämpötilaa ja sen derivaattafunktio f lämpötilan muutosnopeutta. Lämpötila kasvaa nopeimmin kun lämpötilan derivaattafunktio saa suurimman arvonsa. Funktion f(x) = 0,006x + 0,x,5x + derivaattafunktio on f (x) = 0,08x + 0,4x,5. Derivaattafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa, joka on derivaattafunktion derivaattafunktion f nollakohdassa. Nyt f (x) = 0,06x + 0,4, jonka nollakohta on x,. Tämä vastaa kellonaikaa, joka 0 minuutin tarkkuudella on klo.0. Lämpötilan muutosnopeus on tällöin f (,) = 0,08, + 0,4,,5 0,7 ( C/h).
450. Yhtälön x 4 + x + x + x = ratkaisujen lukumäärä selvittäminen vastaa funktion f(x) = x 4 + x + x + x nollakohtien lukumäärän selvittämistä. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 4x + x + x +, jonka nollakohtia ei osata laskea. Tarkastellaan funktion f kulkua sen derivaattafunktion f avulla. Funktio f (x) = x + 6x + saa vain positiivisia arvoja, koska yhtälöllä x + 6x + = 0 ei ole ratkaisuja ja funktion x + 6x + kuvaaja y = x + 6x + on ylöspäin aukeava paraabeli. Tällä perusteella derivaattafunktio f on kasvava. Koska f ( ) = 4 ( ) + ( ) + ( ) + = < 0 ja f (0) = > 0, on jatkuvalla ja kasvavalla derivaattafunktiolla f täsmälleen yksi nollakohta, joka on Bolzanon lauseen mukaan välillä ], 0[. Merkitään tätä nollakohtaa x = a. Derivaattafunktio f on negatiivinen nollakohtaansa x = a asti, koska f ( ) < 0 ja positiivinen nollakohtansa jälkeen, koska f (0) > 0. Tällä perusteella funktiolla f on paikallinen minimi derivaatan nollakohdassa, eli välillä ], 0[ ja funktio f on vähenevä tähän kohtaan saakka. Koska f( ) = ( ) 4 + ( ) + ( ) + ( ) = 9 > 0 ja f( ) = < 0, on funktiolla f täsmälleen yksi nollakohta, kun x a. Tämä nollakohta on välillä [, ] Funktio f on kasvava derivaattafunktion f nollakohdasta x = a alkaen ja koska f(0) = < 0 ja f() = > 0, on funktiolla f täsmälleen yksi nollakohta, kun x > a. Tämä nollakohta on välillä [0, ].
Funktiolla f ei voi olla muualla nollakohtia, joten funktiolla f(x) = x 4 + x + x + x on täsmälleen kaksi nollakohtaa ja tehtävän yhtälöllä x 4 + x + x + x = täsmälleen kaksi ratkaisua. x, kun x 0 45. a) Funktion f( x) kuvaaja on paraabelin x, kun x 0 kuvaaja, paitsi kohdassa x = 0 funktio saa arvon. Funktiolla ei ole suurinta arvoa. Pienin arvo on. b) Funktio f ei ole jatkuva välillä [, ] kohdassa x = 0.