Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen derivaatta Newton-Raphson metodi funktion nollakohdan likiarvon laskemiseksi 0 0 8 6 0 6 8 0 f(x) CDH: luvut (ääriarvot+newton), 8.. (approksimointi), 7-7. (vektorit) Prujut06: luvut.6 ja -. Prujut008: sivut 7-78, vektorit s. -8 Funktion ääriarvot Funktion ääriarvot voivat sijaita Derivaatan nollakohdissa Määrittelyalueen reunoissa g(x)/h(x) tapauksissa h(x):n nollakohdissa Funktion lineaarinen approksimointi Derivaatan nollakohdassa f (x 0 ) = 0 funktiolla on maksimi, jos f (x 0 ) < 0 on minimi, jos f (x 0 ) > 0 Derivaatan määritelmästä f (x) = lim x 0 f (x + x) f (x) x Jos toinen derivaatta häviää, täytyy tarkastella korkeampia derivaattoja. Mikäli alimman nollasta poikkeavan derivaatan f (n) (x 0 ) kertaluku n on parillinen, homma menee kuin toisen derivaatan tapauksessa. Kun n on pariton, pisteessä ei ole ääriarvoa. voidaan ratkaista f (x + x) lim f (x + x) = lim f (x) + f (x) x x 0 x 0 Kun x ei ole infinitesimaalinen, mutta pieni on voimassa Ääriarvo on globaali, jos se on funktion suurin/pienin arvo. Muuten se on lokaali (paikallinen) ääriarvo. f (x + x) f (x) + f (x) x Approksimaatio on sitä parempi, mitä pienempi x on.
Väliarvolause Funktion lineaarinen approksimointi f Funktion f (x) arvo pisteen a ympäristössä voidaan siis approksimatiivisesti laskea f (x) f (a) + f (a)(x a), kun x a on pieni x w x + x Approksimaatio on lineaarinen, ts. lausekkeessa esiintyy vain x, eikä sen korkeampia potensseja. Esim: Origon ympäristössä Väliarvolause kertoo, että derivoituvalle funktiolle f (x) pisteiden x ja x + x välissä löytyy piste w, jossa laskettua derivaatan arvoa käyttämällä edellä mainittu approksimaatio on tarkka, ts. f (x + x) = f (x) + f (w) x sin x sin(0) + cos(0)(x 0) = x mikä pätee sitä paremmin mitä lähempänä x on nollaa. (Piirrä!) Implisiittinen derivaatta 5 Newton-Raphson menetelmä 6 Joskus x:n ja y(x):n välinen riippuvuus on implisiittisessä muodossa F ( x, y(x) ) = C, missä C on vakio. Näissä tapauksissa derivaatta dy/dx voidaan saada derivoimalla yo. implisiittistä funktiota. Esim. F(x, y) = x + y = df dx = d ( x + y(x) ) dx = x + y(x) dy dx = 0 dy dx = x y 0 0.0 0.5.0.5.0 x = 0., x =.705, x =.66, x =., x 5 =.0 7 8
Newton-Raphson menetelmä Newton-Raphson menetelmä iteratiivinen funktion nollakohdan ratkaisemisalgoritmi. Uusi (parempi) arvio nollakohdalle saadaan edellisen pisteen avulla: x n+ = x n f (x n) f (x n ) Vektori on olio jolla on suuruus ja suunta. Vektorien merkintätapoja on esim. a, a, a Luvuilla on vain suuruus. Lukuja kutsutaan myös skalaariksi. Vektorien summa eli resultantti on myös vektori: C = A + B Vektorin ja sen vastavektorin summa on nolla (=nollan pituinen vektori) A + ( A ) = A A = 0 = 0 9 0 Kolmiulotteisen avaruuden (R ) vektorit voidaan esittää komponenttimuodossa kolmen luvun avulla A = (A, A, A ). Vektorilaskutoimituksille pätee Vaihdannaisuus: A + B = B + A Vektorien summa määritellään komponenttimuodossa A + B = (A, A, A ) + (B, B, B ) = (A + B, A + B, A + B ) Liitännäisyys: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Skalaarilla kerrottaessa osittelulaki: Skalaarilla n kertominen muuttaa vain vektorin pituutta n ( A + B ) = n A + n B n A = n(a, A, A ) = (na, na, na )
Edellisten perusteella voidaan vektori esittää A = (A, A, A ) = A (, 0, 0) + A (0,, 0) + A (0, 0, ) Vektori A voidaan esittää kolmen kantavektorin summana. Tyypillisesti valitaan kantavektorit x, y ja z-akselin suuntaisiksi ja niiden pituudeksi. Näitä merkitään (, 0, 0) = ê = î x-suunta (0,, 0) = ê = ĵ y-suunta (0, 0, ) = ê = ˆk z-suunta Tätä kutsutaan monesti karteesisen koordinaatiston standardikannaksi. Hattumerkintä tarkoittaa yksikkövektoria, eli vektoria, jonka pituus on. Vektorien derivointi Kannan {ê i } virittävät kantavektorit. Eli muut vektorit voidaan aina esittää näiden kantavektoreiden lineaarikombinaationa: A = A ê + A ê + A ê = A i ê i i Standardikannassa esitetyn vektorin pituus saadaan Pythagoraan lauseen avulla A = A = A + A + A Vektorista A voidaan tehdä yksikkövektori jakamalla vektori pituudellaan  = A A Kanta Koska derivointi on lineaarinen operaatio on voimassa: d A dt = d ( ) da A ê + A ê + A ê = dt dt ê + da dt ê + da dt ê = d dt ( ) (da A, A, A = dt, da dt, da ) dt Vektoreita derivoitaessa siis derivoidaan kutakin komponenttia erikseen. A = î + ĵ 5 6
Kanta Kannan muutos Vektorin esitystavan muutos kannasta toiseen onnistuu lausumalla kantavektorit {â, â } kantavektoreiden {î, ĵ} avulla: [ â = î + ĵ â = î + ĵ [ î = (â â )/5 ĵ = (â â )/5 Tällöin A = î + ĵ = (â â )/5 + (â â )/5 = â + â A = â + â Erityisen näppärästi tämä voidaan laskea matriisien avulla (MAPU II). 7 8 Kaksi vektoria A = (A, A, A ) ja B = (B, B, B ) ovat yhtä suuret, jos vektorien komponentit ovat yhtä suuret: A = B A = B A = B A = B Huom! Tällöin molemmat vektorit pitää olla esitettynä samassa kannassa! 9