Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 39 Tuntitehtävät 21-22 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 25-26 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 23-24 tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 27-29 tulee palauttaa seuraavan alkuviikon harjoituksiin paperilla tai pdf-muodossa kurssin MyCourses-sivuille tiistaihin klo 16.00 mennessä. Sama kellonaika on myös viikoittaisten verkkotehtävien dl, joskin verkkotehtävät kannattaa tehdä ennen palautettavia kotitehtäviä. Alkuviikko: funktiot ja mahtavuudet Tuntitehtävä 21: Olkoon f : Z Z Q, f(m, n) a) Määritä perustellen alkukuva f 1 ({0}). b) Onko f injektio? Entä surjektio? Perustele. m n + 1. a) Alkukuva f 1 ({0}) on joukko {(m, n) f(m, n) 0}. Tässä nimittäjä on aina nollasta poikkeava, joten funktio saa arvon nolla jos ja vain jos osoittaja saa arvon nolla. Näin ollen alkukuva on {(m, n) m 0, n Z}. b) Injektio on kuvaus, jossa kuhunkin maalijoukon alkioon kuvautuu korkeintaan yksi määrittelyjoukon alkio. Selvästikään f ei ole injektio, sillä esimerkiksi f(1, 1) f(1, 1) Surjektio on kuvaus, jossa jokaiseen maalijoukon alkioon kuvautuu vähintään yksi määrittelyjoukon alkio. f on surjektio, sillä mikä tahansa maalijoukon alkio p saadaan seuraavasti: q 1) Jos q on positiivinen, valitaan m p, n q 1. 2) Jos q on negatiivinen, valitaan m p, n q 1. (Tämän voinee ratkaista myös jollain vähemmän teknisellä päättelyllä.) Tuntitehtävä 22: a) Jos pitää laskea x n ja lasketaan x 2 x x, x 3 x 2 x jne. niin joudutaan laskemaan n 1 kertolaskua. Tehokkaampi tapa on laskea x 2 x x, x 4 x 2 x 2 jne. ja sitten kertoa tarvittavat x 2j :n potenssit keskenään, jotta saadaan x n. Määritä kohtuullisen yksinkertainen funktio f(n) siten, että kertolaskujen lukumäärä tällä menetelmällä on O(f(n)). 1
b) Lukujonon x [x 1, x 2,... x n ] alkiot voidaan järjestää suuruusjärjestykseen esimerkiksi seuraavalla algoritmilla: function xjarj(x) nmax(size(x)); for i1:n for j1:i if x(i)<x(j) x([i,j])x([j,i]); % eli jonon ko. alkioiden paikat vaihdetaan end end end endfunction Jos nyt x on lukujono, jonka pituus on n, niin olkoon v(n) tämän algoritmin tekemien vertailujen (x(i)<x(j)) lukumäärä kun se laskee Jarj(x). Määritä pienimmät mahdolliset ei-negatiiviset luvut a ja b siten, että v O(n a log(n) b ). a) Oletamme, että n > 1 ja kirjoitamme tämän luvun binäärilukuna : n a k 2 k + a k 1 2 k 1 +... + a 1 2 + a 0, missä a j {0, 1}, j 0, 1,..., k 1 ja a k 1. Silloin k log 2 (n). Lausekkeiden x, x 2, x 4,... x 2k laskemiseksi meidän pitää suorittaa k kertolaskua ja kun kerromme ne potenssit x 2j, j 0, 1,..., k, joilla a j 1, keskenään meidän pitää myös suorittaa korkeintaan k kertolaskua. Kertolaskujen yhteismääräksi tulee näin ollen korkeintaan 2k 2 log 2 (n). Näin ollen voimme sanoa, että kertolaskujen lukumäärä on (tai kuuluu joukkoon) O(log 2 (n)) (tai O(log(n)) jos emme halua välittää logaritmin kantaluvusta). b) Vertailujen lukumääräksi tulee v(n) n i1 Koska lasketaan yhteen ykkösiä saadaan yläraja i 1. j1 v(n) n n 1 i1 j1 n n n n n 2. i1 Näin ollen pätee varmasti v O(n 2 ) eli v O(n a log(n) b )) missä a 2 ja b 0. Jos haluamme varmistua siitä, että lukuja a 2 ja b 0 ei voida vaihtaa pienempiin voimme laskea n v(n) i 1 2 n(n + 1) 1 2 n2 i1 2
ja todeta, että jos a < 2 niin pätee 1 2 n2 > Cn a log(n) b kun n on riittävän iso, olivatpa C ja b mitkä tahansa luvut. Huomaa, että ajatus iso-o:n takana on siis, että 1 n(n + 1) on samaa suuruusluokkaa kun 2 n 2 ja että tavallisesti saadaan helposti pelkästään yläraja, kuten n 2 tässä, mutta harvemmin tarkka lauseke, kuten 1 n(n + 1). 2 Kotitehtävä 23: Osoita, että N < {0, 1} N, missä {0, 1} N on kaikkien funktioiden f : N {0, 1}, joukko seuraavalla tavalla: a) Konstruoi injektio: N {0, 1} N. b) Osoita, ettei löydy surjektiota h : N {0, 1} N. Vihje: a)-kohdassa on monta yksinkertaista (?) vaihtoehtoa. b)-kohdassa kannattaa tehdä vastaoletus, että tällainen surjektio h löytyy, ja sitten johtaa siitä ristiriita konstruoimalla funktio f, joka kuuluu joukkoon {0, 1} N, mutta f h(n) kaikilla n N. Huom: On mahdollista (eikä kovinkaan vaikeata) konstruoida bijektio joukosta N joukkoon A, joka muodostuu kaikista äärellisen pitkistä teksteistä kirjoitettuina äärellisen monella merkillä. Jokainen äärellisen pitkä tietokoneohjelma kuuluu joukkoon A, joten tämä tulos osoittaa, ettei löydy surjektiota äärellisen pitkien tietokoneohjelmien joukosta joukkoon {0, 1} N. Toisin sanoen, on olemassa funktio, jonka arvoja ei voida laskea äärellisen pitkällä tietokoneohjelmalla! a) Konstruoidaan injektio g : N {0, 1} N, merkitään g(n) f n. Eräs yksinkertainen vaihtoehto on määritellä f n siten, että f n (m) { 1, jos m n 0, muulloin Nyt nähdään, että m n g(n) g(m), sillä f n (n) f m (n), joten g on injektio. b) Todistetaan väite vastaoletuksen avulla. Oletetaan siis, että on olemassa surjektio h : N {0, 1} N. Merkitään h(n) f n. Nyt konstruoidaan funktio g siten, että g(m) { 1, jos f m (m) 0 0, jos f m (m) 1 Voidaan nähdä, että kaikilla n N pätee g f n, sillä g(n) f n (n). Löydettiin siis funktio, joka kuuluuu joukkoon {0, 1} N, mutta ei kuulu funktion h kuvajoukkoon. h ei siis voi olla surjektio, mikä on ristiriita alkuoletuksen kanssa. Tällaista surjektiota ei siten voi olla olemassa, joten pätee N < {0, 1} N. 3
Kotitehtävä 24: Todista, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. (Todistuksia löytyy kirjallisuudesta, netistä yms. Ei tarvitse keksi pyörää uudelleen: voit valita jonkin aiemman todistuksen, ymmärtää sen ja valmistautua selittämään sen muillekin.) Katso esim. Wikipedia: "Cantorin diagonaaliargumentti" Loppuviikko: kombinatoriikka Tuntitehtävä 25: Yhdistyksellä on hallitus, johon kuuluu seitsemän jäsentä: A, B, C, D, E, F ja G. Hallituksen jäsenistä on valittava puheenjohtaja, sihteeri ja varainhoitaja siten, että jokaisella valitulla on vain yksi tehtävä. a) Monellako tavalla tämän voi tehdä jos joko D:n tai E:n pitää olla puheenjohtaja? b) Monellako tavalla tämän voi tehdä jos B:n pitää tulla valituksi johonkin tehtävään? Satamaan saapuvalta risteilylaivalta 2000 matkustajaa kuljetetaan linja-autoilla kaupunkiin. Heitä varten on 30 linja-autoa, joihin jokaiseen mahtuu korkeintaan 80 matkustajaa. c) Osoita, että ainakin yhdessä linja-autossa on ainakin 67 matkustajaa. d) Osoita, että ainakin yhdessä linja-autossa on ainakin 14 vapaata paikkaa. 4
a) Ensin valitaan joko D tai E puheenjohtajaksi, jolloin on kaksi vaihtoehtoa. Sen jälkeen jäljellä olevista 6:sta jäsenestä valitaan sihteeri, jonka jälkeen jäljellä olevista 5:stä jäsenestä valitaan varainhoitaja. Tulosäännön nojalla vaihtoehtojen lukumääräksi tulee 2 6 5 60. b) Tässä tapauksessa on kolme vaihtoehtoa valita toimi, johon B valitaan. Tämän jälkeen jäljellä olevista 6:sta jäsenestä kaksi on valittava muihin toimiin, jolloin vaihtoehtojen lukumäärä on 6 5 30. Näin ollen valinnat voidaan tehdä 3 30 90:llä eri tavalla. c) Jos kaikissa linja-autoissa olisi korkeintaan 66 matkustajaa, niin linja-autoissa olisi kaiken kaikkiaan vain korkeintaan 30 6 1980 matkustajaa, mikä on liian vähän, eli ainakin yhdessä linja-autossa täytyy olla vähintään 67 matkustajaa. d) Jos kaikissa linja-autoissa olisi korkeintaan 13 vapaata paikkaa, niin jokaisessa olisi ainakin 67 matkustajaa eli yhteensä vähintään 30 67 2010. Tämä on liian suuri lukumäärä, joten ainakin yhdessä linja-autossa on ainakin 14 vapaata paikkaa. Tuntitehtävä 26: Laatikossa on erivärisiä palloja, värejä on yhteensä n erilaista. Kutakin väriä on paljon. Laatikosta poimitaan k palloa. Miksi erilaisten mahdollisten väriyhdistelmien määrä tälle k:n pallon joukolle on ( ) k+n 1 n 1? Määritellään väreille jokin järjestys. Ajatellaan, että valitut k palloa on asetettu jonoon, samanväriset aina peräkkäin, siten että värit ovat valitussa järjestyksessä. Laitetaan värien väliin aina keppi, jolloin tilanne muistuttaa seuraavaa: ooooo ooo ooo oo o Tässä listan ensimmäistä väriä on 5 kappaletta, toista ei lainkaan, kolmatta 3, neljättä 3, viidettä 2 ja kuudetta 1 ja seitsemättä ei lainkaan. Erilaisia väriyhdistelmiä on yhtä monta kuin mahdollisuuksia laittaa värejä erottavat n 1 keppiä k:n pallon jonoon. Keppejä saa olla myös jonon alussa ja lopussa. Toisin sanoen, on siis asetettava n 1 keppiä ja k palloa jonoon, ja laskettava näin syntyvien jonojen lukumäärä. Vielä uudelleen muotoiltuna: kuinka monella tavalla k + n 1 pitkästä jonosta voidaan valita n 1 paikkaa, joihin asettaa keppi? Eli kuinka monella tavalla k + n 1 alkion joukosta voidaan valita n 1:n alkion osajoukko? Vastaus kysymykseen on ( ) k+n 1 n 1, ja samalla tämä on vastaus alkuperäiseen kysymykseen. Kotitehtävä 27: Tarkastellaan tavallista 52 kortin korttipakkaa (neljä maata, kutakin 13 korttia, numeroarvot 2-13 ja ässä). a) Kuinka monta erilaista viiden kortin kättä (eli järjestämätöntä joukkoa) on olemassa? b) Pokerissa viiden kortin kättä, jossa kaikki kortit ovat samaa maata, kutsutaan väriksi. Montako viiden kortin väriä on olemassa? 5
c) Viiden kortin kättä, jossa korteilla on peräkkäiset numeroarvot, kutsutaan suoraksi. Ässää voi käyttää numeroarvoina 1 ja 14, eli suora saa alkaa ässällä tai päättyä siihen, mutta ässä ei saa olla keskellä suoraa. Montako suoraa on olemassa? d) Montako sellaista viiden kortin suoraa on olemassa, jotka eivät ole värejä? Perustele vastauksesi. a) ( 52 5 ), sillä tämä kuvaa 52 alkion joukkojen viiden alkion kokoisten osajoukkojen lukumäärää. Toisaalta vastauksen voi antaa myös muodossa 52 51 50 49 48/5!, sillä yksi korteista voidaan valita 52 tavalla, toinen 51:llä, jne, ja nämä viisi korttia voivat olla 5! eri järjestyksessä. b) Valitaan väri, 4 mahdollisuutta, ja sitten sen värisistä 13 kortista viisi, eli vaihtoehtoja on 4 (13 5 ). c) Suoran pienin arvo voi olla 1-10, joten valitaan aluksi yksi näistä, ja sitten kukin kortti neljästä vaihtoehdosta, joten vastaus on 10 4 5. d) Värisuoria on 10 4 (valitaan väri ja pienin arvo), joten suoria, jotka eivät ole värejä, on 10 4 5 10 4. Kotitehtävä 28: Laatikossa on 7 sinistä, 6 keltaista, 5 punaista ja 2 vihreää palloa. Montako erilaista 5 pallon joukkoa laatikosta voidaan valita, kun ainoa ero pallojen välillä on niiden väri, eikä palloja järjestetä mitenkään? On olemassa ( ) k+n 1 n 1 eri tapaa valita k palloa laatikosta, jossa palloja on n:ää erilaista väriä, ja jokaista väriä on riittävästi (kts. edellinen tehtävä). Koska vihreitä palloja on vain 2, niin on yksinkertaisinta tarkastella erikseen tapaukset, joissa valitaan 0, 1 ja 2 vihreää palloa (ja nämä tapaukset ovat toisensa poissulkevia). Muita palloja on tällöin riittävästi valittavaksi miten tahansa. Jos valitsemme j vihreätä palloa, niin on lisäksi valittava 5 j palloa, joiden väri on jokin muu kuin vihreä. Tällöin värivaihtoehtoja on 3. Kaikkien vaihtoehtojen lukumääräksi tulee silloin ( ) ( ) ( ) 5 0 + 3 1 5 1 + 3 1 5 2 + 3 1 + + 3 1 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) 7 6 5 + + 42 2 2 2 2 + 30 2 + 20 2 46. Kotitehtävä 29: Teekkari N.N. käy yleensä joka päivä sekä meressä uimassa että juoksulenkillä. Nyt hän päättää kuitenkin keventää loppuvuottaan urheilun osalta. Teekkari valitseekin loka-, marras- ja joulukuusta yhteensä 50 päivää, jolloin hän käy uimassa, mutta ei käy lenkillä, ja 20 päivää jolloin hän ei käy uimassa, mutta juoksee 10 kilometrin lenkin. Muina päivinä hän käy sekä uimassa että lenkillä. Monellako tavalla hän voi tehdä nämä valinnat? 6
a) Esitä vastaus multinomikertoimena. b) Laske vastaus käyttäen tuloperiaatetta: valitse ensin ne 50 päivää, jolloin teekkari käy uimassa mutta ei lenkillä, ja sitten jäljella olevista päivistä ne, jolloin hän ei käy uimassa mutta juoksee lenkin. Esitä vastaus binomikertoimien avulla. c) Osoita, että a)- ja b)-kohtien vastaukset ovat samat. (a) Koska lokakuussa, marraskuussa ja joulukuussa on yhteensä 92 päivää kysymys on siitä, monellako tavalla tämä 92:n päivän joukko voidaan jakaa kolmeen pistevieraaseen osajoukkoon, joissa on 50, 20 ja 22 alkiota. Vastaus tähän saadaan multinomikertoimen avulla ja lukumääräksi tulee ( ) 92 50, 20, 22 92! 50! 20! 22!. (b) Jos ensin valitaan 92:n päivän joukosta 50 päivää, jolloin hän käy uimassa meressä niin vaihtoehtoja on ( 92 50) ja jos jäljellä olevista 92 50 42 päivistä valitaan 20 päivää jolloin hän juoksee 10:n kilometrin lenkin niin vaihtoehtoja on ( 42 20) jolloin kaikkien vaihtoehtojen lukumääräksi tuloperiaatteen nojalla tulee ( ) ( ) 92 42. 50 20 ( ) ( ) 92 92! 42 (c) Koska 50 50! (92 50)! ja 42! 20 20 (42 20)! niin ( ) 92 50 ( ) 42 20 92! 50! (92 50)! 42! 20 (42 20)! 92! 42! 50! 42! 20! 22! 92! 50! 20! 22! ( ) 92 50, 20, 22 Verkkotehtävät 3: Muistathan myös verkkotehtävät! Kolmas tehtäväsarja sulkeutuu ti 3.10. klo 16.00. 7