Liikkeet Haarto & Karhunen
Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa suoralla olean pisteen paikkakoordinaatin (esim. x) aulla. Siirtymä on paikan muutos. Tunnus: x, y, r, x x x
Nopeus: tunnus, yksikkö m/s Vektorisuure Keskinopeus k on siirtymä jaettuna siihen käytetyllä ajalla k x t x x t t Keskinopeus EI kerro minkälaista liike on ollut ajan hetkien t ja t älillä. Keskinopeuden etumerkki ilmaisee keskimääräisen kulkusuunnan. Jos, niin negatiiisen x-akselin suuntaan Jos +, niin positiiisen x-akselin suuntaan
Keskiauhti u k on rataa pitkin kuljettu kokonaismatka s jaettuna siihen käytetyllä ajalla t. s u k t Matkan ja siirtymän itseisarot eiät ole yhtä suuret, jos liikkeen suunta aihtelee! Kiihtyyys a on ektorisuure. Suoraiiaisessa liikkeessä suunta ilmoitetaan etumerkin aulla (hidastuuus). Keskikiihtyyys a k on nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä ajalla a k t t t
Esimerkki keskiauhdista Autolla käydään 45 km päässä. Menomatkalla keskiauhti on 75 km/h ja paluumatkalla 9 km/h. Laske edestakaisen matkan keskiauhti. Keskiauhti on koko matka käytetty aika Koko matka on 45 km 9 km eli u k s t Menomatkan aika : Paluumatkan aika : u u s s 45 km 75 km/h k1 t1 t1 uk1 s 45 km 9 km/h k t t uk s 6, h 5, h Keskiauhti : u k t s 9 km 6, h 5, h 81,8 km/h 8 km/h
Tasainen liike Kappaleen liikkeen sanotaan olean tasaista, kun kappaleen siirtymät yhtä pitkinä aikaäleinä oat yhtä suuret. Kappaleen nopeus on akio. Kuaaja tx-koordinaatistossa on suora.
Muuttua liike Muuttuassa liikkeessä kappaleen siirtymä yhtä pitkinä aikaäleinä aihtelee. Kuaaja tx-koordinaatistossa käyrä, EI suora.
Hetkellinen nopeus Keskinopeudesta ei seliä, miten nopeus aihtelee alittuna aikana. Hetkellinen nopeus tai nopeus ilmoittaa kappaleen nopeuden mielialtaisella hetkellä. Nopeus saadaan, kun lasketaan keskinopeus erittäin pienellä aikaälillä. x dx t dt lim t Nopeus on paikan x deriaatta ajan t suhteen (paikan aikaderiaatta).
Nopeuden graafinen tulkinta Nopeus oidaan selittää tx-koordinaatistoon piirretystä kuaajasta. Jos kuaaja on suora, niin nopeus on suoran fysikaalinen kulmakerroin. Jos kuaaja on käyrä, niin nopeus on käyrää siuaan suoran, tangentin, fysikaalinen kulmakerroin x t x x t t
x t 18 m - m 1 s - s, m/s
Virheiden pienentämiseksi pisteet (x, t) ja (x, t ) kannattaa alita riittäältä etäisyydeltä toisistaan. Nopeuden (kulmakertoimen) etumerkki kertoo nopeuden suunnan. Jos +, niin positiiisen x-akselin suuntaan Jos, niin negatiiisen x-akselin suuntaan
Kiihtyyyden graafinen tulkinta Keskikiihtyyys a k oli nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä ajalla a k t t t Hetkellinen kiihtyyys saadaan kuten hetkellinen nopeus d a lim t t dt Kiihtyyys on nopeuden deriaatta ajan t suhteen (nopeuden aikaderiaatta).
Kiihtyyys oidaan selittää t-koordinaatistoon piirretystä kuaajasta. Jos kuaaja on suora, niin kiihtyyys on suoran fysikaalinen kulmakerroin. Jos kuaaja on käyrä, niin kiihtyyys on käyrää siuaan suoran, tangentin, fysikaalinen kulmakerroin a t t t Samalla taalla saatiin nopeus tx-koordinaatistoon piirretystä kuaajasta
Siirtymä ja nopeuden muutos fysikaalisena pintaalana Siirtymä oidaan selittää kuaajasta, jossa on esitetty nopeus ajan funktiona. Kun kappaleen nopeus on akio, niin kuaaja on aakasuora iia. x t x t
Siirtymä oli kuaajan osan alle jäään suorakulmion pinta-ala (fysikaalinen pinta-ala). Yleisemmin: Siirtymä on nopeuskäyrän ja aika-akselin äliin jäää pinta-ala. t x ( t)dt Huomioi! Aika-akselin alapuolinen pinta-ala on negatiiinen. Huomioi! Saadaan ain siirtymä EI paikkaa. t 1
Nopeuden muutos Vastaaalla taalla kuin siirtymä saadaan nopeuden muutos Δ kiihtyyyskäyrän ja aika-akselin äliin jääänä pinta-alana. t a( t)dt t 1 Huomioi! Aika-akselin alapuolinen pinta-ala on negatiiinen. Huomioi! Saadaan ain nopeuden muutos EI nopeutta
Esim. Laske siirtymä ajanhetkien s ja 1 s älillä x m/s 4 m/s s 4 m/s 3s 1 4 m/s s - 1 4 m/s 5 s 1 m
Tasaisesti muuttua liike Kappale on tasaisessa muuttuassa suoraiiaisessa liikkeessä, jos kappaleen kiihtyyys on akio Vapaa putoaminen Varattu hiukkanen tasaisessa sähkökentässä Voimassa yleensä ain lyhyen matkan! Keskikiihtyyys oidaan korata akiolla a a k t t t
Yksinkertaistetaan yhtälöä siten, että kappaleen ohittaessa origoa: t = ; x = ; Silloin edellinen yhtälö oidaan kirjoittaa a t at Yhtälön kuaaja t-koordinaatistossa on suora, jonka kulmakerroin on kiihtyyys
Jos ja VAIN JOS kiihtyyys on akio, niin keskinopeus k Silloin kappaleen paikka mielialtaisella hetkellä x k t t Sijoittamalla nopeuden lauseke at edelliseen saadaan x t at 1
Edellinen yhtälö kuaajan aulla x t at 1
Usein taritaan yhtälöä, jossa ei ole mukana aikaa t Tällainen saadaan yhdistelemällä edellisiä yhtälöitä 1 at x t at ja ax
Esimerkki tasaisesti muuttuasta liikkeestä Auto lähtee liikennealoista akio kiihtyyydellä 1,5 m/s. a) Mikä on auton nopeus 8, s lähdön jälkeen? b) Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut 8, s aikana? a 1,5 m/s, m/s t 8, s a) b) at, m/s 1,5 m/s 8, s 1, m/s 1 s t at, m/s 8, s 1,5 m/s (8, s) 1 48, m
Vapaa putoamisliike Kappale on apaassa putoamisliikkeessä, kun siihen ei aikuta muita oimia kuin painooima Putoamiskiihtyyys g = 9,81 m/s laskutehtäissä mittauksissa Turussa 9,8 m/s Lyhyillä matkoilla oidaan g:n aroa pitää akiona
Tasaisesti kiihtyän liikkeen yhtälöt oat oimassa myös apaassa putoamisliikkeessä Kiihtyyyden suunta on alaspäin: a = -g at gt x t y t x t at 1 y t gt 1 ax gy
Heittoliike Pystytasossa ( akselia) tapahtuaa liikettä Vain Maan etooima aikuttaa kiihtyyydellä g = a y 9,81 m/s Ilmanastusta ei siis huomioida Tasaisen etenemisliikkeen (aakasuoraan) ja apaan putoamisliikkeen (pystysuoraan) yhdistelmä Toisistaan riippumattomia Aika yhdistää
Oletetaan, että kappale lähtee aina origosta (x = ja y = ) Koordinaatiston alinta tarittaessa Yleensä tiedetään alkuauhti ja lähtökulma θ
Alkunopeuden komponentit Nopeuden komponentit ajan t kuluttua Kappaleen asema ajan t kuluttua (lähtöpaikka origo) sin cos y x gt gt y y x x sin cos 1 1 sin cos gt t gt t y t t x y x
Lentoaika on se aika, jonka kuluttua kappale on palannut lähtökorkeudelle sin g t Nousuaika lakikorkeuteen sin t n g on puolet lentoajasta Symmetrinen lento, koska ei ilmanastusta
Kantama R on matka aakasuunnassa, jonka kappale liikkuu lentoajassa R x t cos cos sin g sin g sin( ) g Maksimi saautetaan, kun θ = 45º Vain jos kappale on palannut lähtökorkeudelle!
Huomioi! Kantaman ja lentoajan kaaoja oi käyttää ain poikkeustapauksissa Taallisesti lasketaan ensin aika joko tunnetun korkeuseron tai tunnetun etäisyyden aulla. Korkeuseroa käytettäessä aika joudutaan ratkaisemaan toisen asteen yhtälöllä Kun aika on ratkaistu, oidaan sen aulla ratkaista joko etäisyys tai korkeusero
Esimerkki heittoliikkeestä Samppanjapullon korkkia aatessa se osuu ikkunaan,5 m etäisyydelle aakasuunnassa. Korkin lähtökulma on 55 ja lähtöauhti 6,5 m/s. Laske kuinka korkealla korkki käy ja kuinka korkealle ikkunaan korkki osuu lähtöpisteeseen errattuna. alkuauhti (x) : alkuauhti (y): aika : x x y xt t x x cos 3,73 m/s sin 5,3 m/s,671s 1 korkeus ikkunassa : y yt gt 1,365 m 1,4 m y aika radan huipulle : y y gtn tn,543 s g lakikorkeus : y t gt 1,446 m 1,4 m y n 1 n