tilavuuden aivan oikein. Suoran kulman egyptiläiset virittivät maastoon pingottamalla

Lassi Kurittu, Veli-Matti Hokkanen ja Lauri Kahanpää GOMTRI Sisällys I Historiaa II Hilbertin aksioomajärjestelmä 8.. ksiomaattisesta menetelmästä 8.. Hilbertin aksioomat (H) (H3) 9.3. Hilbertin aksioomat (H4) (H7).4. Hilbertin aksioomat (H8) (H3) 5.5. rkhimedeen aksiooma 43 Janamitan konstruktio 44 Kulmamitan konstruktio 5.6. edekindin aksiooma 67 III aralleeliaksiooma 84 3.. lkeellista euklidista geometriaa 84 ukleideen viides aksiooma 84 Vuorokulmat ja kolmion kulmasumma 86 Yhdensuuntaiset ja samanmuotoiset 88 ythagoras ja trigonometria 94 Kolmioon liittyvät perusympyrät 98 Kehäkulmat 00 Kolmion ala 04 evan lause 05 3.. Vähän kehittyneempää euklidista geometriaa IV Liikkeet ja oincarén malli 4.. eilaukset eilaus suoran suhteen Inversio ympyrän suhteen 5 isteen potenssi ympyrän suhteen 35 Ortogonaalisista ympyröistä 37 4.. oincarén malli 46 4.3. Hyperbolista geometriaa 46 4.4. Lopuksi 77 Hilbertin tasogeometrioiden aksioomat 78 Hakemisto 79 c Lassi Kurittu ja Jyväskylän yliopisto. Typeset by MS-TX GOMTRI I Historiaa Sana geometria on peräisin kreikasta, geo = maa, metrein = mitata. Yksi ensimmäisistä geometrisista ongelmista oli ympyrän kehän pituuden (πr) määrittäminen, siis π:n likiarvon arviointi. abylonialaiset käyttivät kaavaa kehä = 3 halkaisija eli π 3. Myös muinaiset juutalaiset käyttivät samaa π:n arvoa; se mainitaan jopa Raamatussa (. Kuningasten kirja 7:8), millä perusteella Rabbi Nehemiahin myöhempi π:n likiarvo 7 3.459 hylättiin. Muinaiset egyptiäiset käyttivät π:lle arviota ( 6 9 ) 3.604. Matematiikan kannalta näissä eri likiarvoissa ei ole oleellista arvion tarkkuus vaan se oivallus, että kaiken kokoisissa ympyröissä kehän ja halkaisijan suhde on täsmälleen sama. (Vasta vuonna 768 Lambert osoitti, että π ei ole rationaaliluku, ja 88 Lindemann 3 osoitti sen olevan transkendenttiluku.) gyptiläisten geometria ei ollut varsinaista matematiikkaa, vaan pikemminkin kokoelma perustelemattomia kaavoja ja laskulakeja. Joskus he arvasivat oikein: he osasivat esimerkiksi laskea puolisuunnikkaan alan ja jopa katkaistun pyramidin tilavuuden aivan oikein. Suoran kulman egyptiläiset virittivät maastoon pingottamalla kolmioksi narulenkin, johon oli merkitty kolmen, neljän ja viiden yksikön pituiset sivut. Kaksoisvirran maan asukkaat olivat egyptiläisiä aikalaisiaan etevämpiä laskijota, mikä osittain johtui heidän käyttämästään erinomaisesta numerojärjestelmästä. abylonialaiset tunsivat paremmin matematiikkaa, jopa ythagoraan teoreeman (c = a + b ) yleisessä muodossa. Kuitenkin vasta kreikkalaiset astuivat ratkaisevan askelen kohti nykyaikaista matematiikkaa vaatiessaan, että laskulait on jotenkin yleispätevästi todistettava sen sijaan, että edettäisiin yrityksen ja erehdyksen tietä. nsimmäinen tuntemamme tämän perinteen matemaatikko oli myös kreikkalaisen filosofian perustajana pidetty Thales 4, josta tuli kuuluisa ennustettuaan oikein auringonpimennyksen ajankohdan 585 e.a.a. arin seuraavan vuosisadan johtavia matemaatikkoja oli ythagoras 5 oppilaineen. Hän oli lähinnä uskonnollinen profeetta, jolle luvun osoittautuminen irrationaaliseksi oli suuri järkytys (tätä vaarallista tulosta yritettiin aluksi jopa salata). ythagoralaisen koulukunnan tuottama systemaattinen tasogeometrian esitys julkaistiin n. 400 e.a.a. Neljäs vuosisata e.a.a. oli latonin 6 aikaa. Hän korosti epäsuoran todistuksen merkitystä; itse asiassa Sokrateen dialogit ovat epäsuoraa todistamista: osoitetaan väite oikeaksi lähtemällä liikkeelle päinvastaisesta väitteestä ja päätymällä siitä mahdottomiin tai kelvottomiin johtopäätöksiin. Geometrian kannalta tärkein latonin oppilas oli ukleides 7, joka noin 300 e.a.a. julkaisi mahtavan 3-osaisen teoksen Stoikheia (lkeet), jossa hän käsitteli kreikkalaista geometriaa ja lukuteoriaa. ukleideen aksiomaattinen esitystapa on nykyaikaisen matematiikan prototyyppi: siinä ei väitteitä perustella millään mittauksilla tai piirroksilla, vaan ne todistetaan oikeiksi loogisella päättelyllä tietyistä perusolettamuksista lähtien. ukleides perusti geometriansa viiteen perusolettamukseen eli aksioomaan. sitämme Johann Heinrich Lambert 78 777. Saksa. 3 arl Louis Ferdinand von Lindemann 85 939. Saksa. 4 Mileton Thales n.640-546 eaa. Kreikka. 5 Samoksen ythagoras n. 569 n. 475 eaa. Kreikka. 6 laton n. 47 347 eaa. Kreikka. 7 ukleides leksandrialainen n. 35 65 eaa. gypti.

I HISTORI 3 seuraavaksi niistä neljä ensimmäistä sellaisinaan ja viidennen hieman muutetussa muodossa, ()-(4), (). () Jos ja ovat eri pisteitä, niin niiden kautta kulkee yksi ja vain yksi suora. Merkitään pisteiden ja kautta kulkevaa suoraa symbolilla : tuollaisen suoran olemassaolon ja yksikäsitteisyyden takaa (). Määritellään jana niiden suoran pisteiden joukkona, jotka ovat pisteiden ja välissä pisteet ja mukaan lukien. Kuva : Suora ja jana () Jos ja ovat kaksi janaa, niin on olemassa yksi ja vain yksi piste siten, että ja ovat saman pituisia ja on janalla. Kuva : Janan jatkaminen Havainnollisesti () sanoo, että janaa voidaan jatkaa janan pituisella janalla. Olkoot O ja kaksi eri pistettä. Kaikkien niiden pisteiden joukkoa, joille O ja O ovat saman pituisia, sanotaan ympyräksi, jonka keskipiste on O ja säde on janan O pituus. O Kuva 3: Ympyrä (3) Jos O ja ovat eri pisteitä, niin on olemassa ympyrä, jonka keskipiste on O ja säde on janan O pituus. Muita ukleideen aksioomia varten tarvitaan lisää määritelmiä. uolisuora ( = ) on niiden suoran pisteiden joukko, jotka kuuluvat janaan tai joille on pisteiden ja välissä. Kuva 4: uolisuora 4 GOMTRI uolisuoria ja sanotaan vastakkaisiksi, jos ne eivät ole samoja ja =. F ja ovat vastakkaisia ja F eivät ole vastakkaisia Kuva 5: Vastakkaiset puolisuorat Seuraavaksi määrittelemme kulman: Kulma koostuu kahdesta puolisuorasta ja, jotka eivät ole samoja eivätkä vastakkaisia. Kulmaa merkitään myös tai lyhyesti. istettä sanotaan kulman kärjeksi ja puolisuoria ja sen kyljiksi. Jos kahdella kulmalla ja on yhteinen kylki ja puolisuorat ja ovat vastakkaisia, niin sanotaan, että ja ovat toistensa täydennyskulmia: Kuva 6: Täydennyskulmat Kulmaa sanotaan suoraksi kulmaksi, jos sillä on täydennyskulma, joka on yhtä suuri kuin se itse: Kuva 7: Suora kulma Huomaa, että suoran kulman täydennyskulma on sekin suora kulma. (4) Kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria. Matemaatikot hyväksyivät kahden vuosituhannen ajan nämä neljä ukleideen aksioomaa ()-(4) välttämättöminä tosiasioina, joita ei voi eikä tarvitse todistaa oikeiksi muiden aksioomien ja loogisten päättelysääntöjen avulla. Sen sijaan viidennestä ukleideen aksioomasta keskusteltiin vilkkaasti aina 800-luvulle asti. mme vielä esitä sitä ukleideen alkeiden käyttämässä sanamuodossa, koska silloin tarvitsisimme runsaasti lisää määritelmiä, vaan esitämme sen kanssa yhtäpitävän paralleeliaksiooman (yhtäpitävyyden todistamme myöhemmin). ukleides ei itse

I HISTORI 5 mainitse paralleeliaksioomaa, vaan sen esitti ensimmäisenä vasta roclus 8. Sanomme, että suorat ja m ovat yhdensuuntaisia, jos ne eivät leikkaa toisiaan eli niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Merkitsemme silloin m, muulloin m. m m m m Kuva 8: Yhdensuuntaisuus Huomaa, että tämän määritelmän mukaan suora ei ole yhdensuuntainen itsensä kanssa. Tämä oudolta tuntuva seikka voitaisiin korjata muuttamalla hieman yhdensuuntaisuuden määritelmää, mutta osoittautuu, että se monimutkaistaisi joitakin muita asioita. Siksi pidämme kiinni tästä historiallisesta määritelmästä. () aralleeliaksiooma. Olkoon suora ja piste, joka ei ole suoralla. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi suora m, joka kulkee pisteen kautta ja joka on yhdensuuntainen suoran kanssa. m' m Kuva 9: aralleeliaksiooma aralleeliaksiooma siis takaa, että pisteen kautta kulkee suora m siten, että m ja ennen kaikkea myös sen, että toista tällaista suoraa ei ole. Kuvan tilanteessa on siis välttämättä m. aralleeliaksiooma tuntuu luonnolliselta, mutta se ei ole aivan samassa mielessä ilmeinen kuin muut ukleideen aksioomat: ()-(3) voidaan intuitiivisesti nähdä oikeiksi vaikkapa harpilla ja viivottimella; (4) on ilmeinen, jos hyväksytään kulman mittaaminen vaikkapa astelevyllä. aralleeliaksiooma on toista maata: toki voidaan piirtää suora, joka näyttää yhdensuuntaiselta suoran kanssa, mutta miten todistetaan, että se todella on sellainen? Määritelmän mukaan olisi nähtävä, että ja m eivät leikkaa toisiaan lainkaan, mutta sitä voidaan tutkia vain paperin laitaan asti. hkä ne leikkaavat jossakin kauempana. Toinen ongelma on suoran m yksikäsitteisyys: entäpä, jos kuvan 9 ja m eivät sittenkään leikkaa toisiaan, kunhan niiden välinen kulma vain on tarpeeksi pieni. Nämä seikat lienevät olleet syynä siihen, että monet merkittävät matemaatikot asettivat paralleeliaksiooman kyseenalaiseksi: uskottiin, että se pitäisi ja voitaisiin todistaa oikeaksi muiden neljän ukleideen aksiooman avulla. Monia todistusyrityksiä tehtiin. Käymme läpi niistä yhden, jonka on 700- luvun lopulla esittänyt drien-marie Legendre 9. Olkoon piste suoran ulkopuolella. iirretään :n kautta suoralle normaali, jonka nimi on n ja joka leikkaa suoran pisteessä. iirretään edelleen n:lle :n 8 roclus iadochus 4 485. Kreikka 9 drien-marie Legendre 75 833. Ranska. 6 GOMTRI kautta normali m. Tällöin m ja ovat yhdensuuntaisia, koska niillä on yhteinen normaali n. On vielä todistettava m:n yksikäsitteisyys. s ' '' m R n R' Kuva 0: aralleelliaksiooman todistusko? Olkoon siis s suora, joka kulkee :n kautta mutta ei ole m. On siis osoitettava, että s eli että s ja leikkaavat toisensa. Valitaan pisteet ja suoralta m siten, että on niiden välissä. Valitaan vielä piste R suoralta s siten, että se on joko kulman tai sisällä (kuvassamme siis R valitaan suoran m alapuolelta). Valitaan lopuksi piste R siten, että R ja R ovat eri puolilla suoraa n ja lisäksi kulmat R ja R ovat yhtäsuuria, jolloin piste on kulman R R sisällä. Toisaalta kuuluu suoralle, joten on osittain kulman R R sisällä ja leikkaa siis ainakin toisen kulman R R kyljistä R tai Jos leikkaa kyljen R, niin se leikkaa myös suoran s, sillä s = R ():n nojalla, ja asia on tällöin selvä. Voimme siten olettaa, että leikkaa kyljen R R. jossakin pisteessä. Valitaan puolisuoralta R piste siten, että janat ja ovat yhtä pitkiä. Osoitetaan nyt, että kuuluu suoralle, mistä väite seuraa jälleen ():n nojalla kuten yllä. Tarkastellaan kolmioita ja. Niillä on yhteinen sivu ja sivut ja ovat yhtä pitkiä. Lisäksi näiden sivujen väliset kulmat ja ovat yhtä suuria. Silloin kolmioiden muutkin vastinsivut ja -kulmat ovat yhtäsuuria ( sivu-kulma-sivu -sääntö ). rityisesti tällöin kulmat ja ovat yhtä suuria. Koska n on :n normaali, niin kulma on suora. Tällöin myös on suora. (Huomaa, että tämä ei suoraan seuraa (4):stä). Koska nyt ja ovat molemmat suoria, niin puolisuorat ja ovat vastakkaisia, joten =. Koska kuuluu suoralle, niin = ja siten = ja erityisesti piste kuuluu suoralle. M.O.T. Mikä vikaa tässä todistuksessa on? Siinä on joukko määrittelemättömiä käsitteitä: normaali, kulman sisällä, eri puolilla suoraa ; toki ne voidaan määritellä täsmällisesti. erustelematta jäi: () Onko suoralla aina normaali, joka kulkee annetun pisteen kautta? () Ovatko suorat yhdensuuntaisia, jos niillä on yhteinen normaali? (3) Voidaanko ja valita aina yllä mainitulla tavalla? (4) Voidaanko R valita aina yllä mainitulla tavalla? (5) Voidaanko R valita aina yllä mainitulla tavalla? (6) Leikkaako välttämättä ainakin toista R R :n kyljistä? (7) Voidaanko aina valita yllä mainitulla tavalla? (8) äteekö aina sivu-kulma-sivu -sääntö?

I HISTORI 7 (9) Onko välttämättä suora? (0) Ovatko ja välttämättä vastakkaisia? Kehitämme geometrista käsitteistöä niin, että voimme vastata näihin kysymyksiin ja siten tarkastaa, onko Legendre in todistus pätevä. Osoittautuu, että yhdeksään kysymykseen voidaan vastata myöntävästi, yhteen ei. Se yksi kaataa koko todistuksen. arhaiden salapoliisitarinoiden perinteiden mukaisesti murhaaja paljastuu vasta lopussa syyttömiä löytyy pikkuhiljaa tarinan edetessä. Kommentteja ukleideen aksioomista. () Mikä on piste, suora, jana? Mitä tarkoittaa, että suora kulkee jonkin pisteen kautta tai että yksi piste on kahden muun välissä? () Mitä tarkoittaa, että janat ovat saman pituisia? (4) Mitä tarkoittaa kulmien yhtäsuuruus? Mikä on suora kulma? Nämä asiat kaipaavat lähempää tarkastelua. Todistaessaan teoreemojaan (joita yhteensä on 465 kpl.) ukleides harhautui toisinaan kuvien johdattelemana pitämään joitakin asioita itsestäänselvinä huomaamatta sitä itse. Kuviohan on usein oikein hyvä apu todistuksen keksimiselle, mutta todistuksessa siihen vetoaminen ei ole matemaattisesti oikea tapa, ja piirretty kuva on sitä paitsi toisinaan harhaanjohtava, sillä se ei aina kata kaikkia mahdollisia tapauksia. Itse asiassa ukleideen lauseet eivät tarkkaan ottaen seuraa hänen aksioomistaan, vaan ukleides pitää itsestäänselvinä eräitä muitakin asioita nimeämättä niitä erikseen. Jotta nykyaikaisessa mielessä tiukan matemaattiset todistukset voitaisiin tehdä, täytyy ukleideen sinänsä tervettä aksioomajärjestelmää laajentaa ja tarkentaa. arannusesityksiä on lukuisia; seuraavassa tutustumme Hilbertin aksioomajärjestelmään. Hilbert 0 esitti aksioomansa laajassa teoksessaan Grundlagen der Geometrie vuonna 90. 0 avid Hilbert 86 943. Saksa 8 GOMTRI II Hilbertin aksioomajärjestelmä.. ksiomaattisesta menetelmästä. Mikä on matemaattinen todistus? Kuinka todistetaan, että jokin lause T on tosi? Sovimme, että T on todistettu oikeaksi, jos on löydetty yksi tai useampi lause T, jotka tiedetään todeksi, ja jos näistä lauseista T yhdessä seuraa lause T äärellisellä määrällä loogisia päättelyjä. Kuten matemaatikot yleensäkin (joskaan eivät aina) tyydymme tässä kirjassa intuitioomme siitä, mitkä ovat loogisia päättelyjä eli oikeiden päättelysääntöjen oikein soveltamista. Jotta tosiksi tiedettyjen lauseiden joukko olisi muutakin kuin kokoelma tautologioita (esim. sataa tai ei sada ) seurauksineen, on oletettava joitakin lauseita tosiksi. Niitä sanotaan aksioomiksi eli selviöiksi. ukleideelle selviöt olivat itsestäänselvästi tosia, niitä ei tarvinnut perustella. Niiden koettiin myös kuvaavan todellisuutta. Nyttemmin selviöt eivät olekaan aina itsestäänselviä, vaan saattavat abstraktisuudessaan vaikuttaa intuitiostamme ja kokemuksestamme irrallisilta tai jopa niiden vastaisilta. Hyperbolisen geometrian paralleeliaksiooma on sellainen ( suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee ainakin kaksi sen kanssa yhdensuuntaista suoraa ). ksioomien pitäminen tosina on myös yhä useammin vain metodologista: halutaan rakentaa teoria, joka perustuu joillekin aksioomille, minkä jälkeen sitten arvioidaan valittujen aksioomien hyväksyttävyyttä, hedelmällisyyttä tai totuutta rakennetun teorian perusteella. Jonkin fysiikan teorian muodostaminen ja testaaminen on yksi esimerkki tällaisesta ajattelutavasta: jos jokin seurauslause on vastoin havaintoja, on syytä epäillä ainakin jonkin aksiooman olevan havainnoitavassa maailmassa epätoden. jatus aksioomien metodologisesta totuudesta vie vielä pidemmälle: aksioomilla ei tarvitse olla totuusarvoa (tosi, epätosi) lainkaan, on vain joukko lauseita, joista tiettyjen päättelysääntöjen avulla johdetaan toisia lauseita. Jos moraalikäsityksiä esitetään aksiomaattisesti, ollaan tällaisessa tilanteessa, sillä vallitsevan käsityksen mukaan moraaliarvostelmilla ei ole totuusarvoa. Yksittäisiin aksioomiin ei sinänsä kohdistu mitään erityisvaatimuksia, kunhan peruskäsitteet ( piste, suora,...) kirjataan niihin selvästi. Kelvollisia aksioomia ovat esim. jokaisella suoralla on tasan kaksi pistettä, on olemassa suora tai jokaisella suoralla on äärettömän monta pistettä, mutta näitä kolmea lausetta ei saa ottaa aksioomiksi yhtä aikaa, sillä ne ovat ristiriidassa keskenään ja silloin niistä voitaisiin päätellä loogisesti mikä hyvänsä lause. Teorian kehittely olisi mieletöntä. ksioomajärjestelmän tulee siis olla ristiriidaton. Ristiriidattomuuden osoittaminen ei ole useinkaan kovin helppoa, mutta esittelemme siihen keinon mallien käyttämisen. ksioomiksi ei yleensä valita tautologioita, vaan sellaisia lauseita, jotka logiikan kannalta voivat olla joko tosia tai epätosia. Leibniz käytti nimitystä mahdollinen maailma. Lause nyt sataa on tosi tai epätosi riippuen siitä, olemmeko sellaisessa maailmassa, jossa parhaillaan sataa; jos olisimme hieman toisenlaisessa maailmassa, jossa olisi juuri nyt tarpeeksi enemmän tai vähemmän vesihöyryä ilmassa, olisi lauseen nyt sataa totuusarvo toinen. Nykyään ja erityisesti matematiikassa käytetään arkisempaa nimitystä malli mahtipontisen mahdollisen maailman sijasta. Jos aksioomajärjestelmällä on edes yksi malli, jossa kaikki sen aksioomat ovat tosia, on järjestelmä ristiriidaton. Tämän huomion Gottfried Wilhelm von Leibniz 646 76. Saksa

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ 9 perusteella näytämme pian, että neljä ensimmäistä ukleideen aksioomaa ovat ristiriidattomia konstruoimalla yhden konkreettisen mallin, jossa ne kaikki ovat tosia. Myöhemmin rakennamme mallin, jossa muutkin aksioomat ovat tosia lauseita. Loogisessa päättelyssä tosista oletuksista ei voida päätyä epätosiin johtopäätöksiin, joten teorian jokainen todistettu teoreema on tosi jokaisessa mallissa, jossa teorian aksioomat ovat tosia. Tämä huomio auttaa toisen aksiomaattisiin järjestelmiin liittyvän kysymyksen ratkaisemisessa: Onko aksioomajärjestelmä kyllin laaja, jotta tietty teoreema T voitaisiin siitä todistaa? Jos onnistutaan muodostamaan malli, jossa T on epätosi, vaikka kaikki järjestelmän aksioomat ovat tosia, ei T :tä tässä järjestelmässä voida todistaa oikeaksi. ksioomajärjestelmien tulisi mielellään olla minimaalisia eli niissä ei yleensä haluta olevan (ainakaan monia) turhia aksioomia: jos jokin aksiooma voidaan päätellä muista aksioomista, on tyylikkäämpää nimetä se teoreemaksi kuin aksioomaksi. aralleeliaksioomasta käydyssä keskustelussa oli kyse ukleideen aksioomajärjestelmän minimaalisuudesta ja siis epäeuklidisen, tarkemmin sanoen hyperbolisen, geometrian ristiriidattomuudesta. ksioomat sisältävät peruskäsitteitä (kuten suora, piste,...), joita ei eksplisiittisesti määritellä. Toisinaan sanotaan, että aksioomajärjestelmä määrittelee ne implisiittisesti. Näiden peruskäsitteiden avulla määritellään kaikki muut tarvittavat käsitteet (esim. suorakulmainen kolmio), jotka loogiselta kannalta ovat vain näppäriä lyhennysmerkintöjä peruskäsitteiden komplekseille... Hilbertin aksioomat (H) (H3). Tässä luvussa tarkastelemme kolmea ensimmäistä Hilbertin aksioomajärjestelmän selviötä. eruskäsitteet ovat piste, suora ja suora kulkee pisteen kautta. Ilmaisulla piste sisältyy suoraan tarkoitamme samaa kuin sanoessamme, että suora kulkee pisteen kautta. äinvastaisen ilmaisemme sanomalla, että on suoran ulkopuolella. isteen ja suoran välisen relaation ei tarvitse olla sama kuin joukko-opin l. Riittää, että se toteuttaa Hilbertin aksioomat. Kolme ensimmäistä Hilbertin aksioomaa ovat: (H) Jos ja ovat eri pisteitä, niin on olemassa yksi ja vain yksi suora, joka kulkee sekä :n että :n kautta. (H) Jokaiseen suoraan sisältyy ainakin kaksi pistettä. (H3) On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta. nsimmäinen Hilbertin aksiooma on siis aivan sama kuin (). Jos ja ovat eri pisteitä, niin (H):n nojalla voidaan antaa nimi sille yhdelle ja ainoalle suoralle, joka kulkee niiden kautta. Olkoon se. Sovitaan lisäksi, että jos kirjoitamme, niin oletamme silloin samalla että =. Kolmannesta Hilbertin aksioomasta seuraa, että on olemassa pisteitä. Tästä seuraa (H):n nojalla, että on olemassa myös suoria. Tätä päättelyä ei ukleideen aksioomista voi tehdä. ksioomat eivät ollenkaan liity siihen, mitä suorat ja pisteet ovat. ksioomasysteemimme mallissa voivat pisteet kyllä olla alkioita ja suorat niiden joukkoja ja usein malli näin tehdäänkin. simerkkejä tulee tuonnempana. 0 HILRTIN KSIOOMT (H) (H3) Nyt on aika kysyä, ovatko kolme ensimmäistä Hilbertin aksioomaa keskenään ristiriidattomia. Käytämme malleja. Haemme siis edes yhtä mahdollista maailmaa, jossa (H) (H3) ovat tosia. Oletamme tunnetuiksi joukko-opin perusteet ja lukujoukkojen R ja R n ominaisuudet. Malli. Tarkastellaan kolmen eri alkion joukkoa {,, }. Sovitaan, että pisteitä ovat = {, }, = {, } ja 3 = {, } sekä suoria = {}, = {} ja 3 = {}. Sanomme, että suora kulkee pisteen kautta, jos. Tällöin (H) pätee: pisteiden ja kautta kulkee suora ja se on ainoa tällainen suora. Muille pistepareille voidaan tehdä vastaava havainto. Myös (H) pätee: pisteet ja ovat suoralla ja vastaavasti myös suorilla ja 3 on kaksi pistettä. Lopuksi (H3) pätee: mikään suorista, ja 3 ei kulje kaikkien kolmen pisteen, ja 3 kautta. Näin kaikki kolme Hilbertin aksioomaa toteutuvat, joten olemme onnistuneet konstruoimaan mallin aksioomajärjestelmälle (H) (H3). Täten aksioomat (H) (H3) ovat ristiriidattomia. Malli. Tarkastellaan yhä mallin joukkoa, mutta sovitaan ehkä vähän edellistä esimerkkiä tutummalla tavalla että pisteitä ovat {}, {} ja {}, että suoria ovat {, }, {, } ja {, } ja että suora kulkee pisteen kautta, jos l. Tällöinkin kolme ensimmäistä Hilbertin aksioomaa toteutuvat (Totea!). Tästä mallista voidaan piirtää kuvakin: Kuva : Malli Malli 3. Tarkastellaan neljän eri pisteen joukkoa {,,, }. Sovitaan, että pisteitä ovat {}, {}, {} ja {} sekä suoria joukot {, }, {, }, {, }, {, }, {, } ja {, } sekä että suoran kulkeminen pisteen kautta tarkoittaa samaa kuin mallissa. Tällöinkin kolme ensimmäistä Hilbertin aksioomaa pätevät (Totea!). Malli 4. Kuten malli 3 mutta 5 pisteelle. Malli 5. (escartesin koordinaattigeometria) Olkoot (koordinaattigeometrian) pisteet (x, y) R ja (koordinaattigeometrian) suorat {(x, y) R (x, y) = (x0, y0) + λ(α, β), λ R},, missä (α, β), (x0, y0) R, (α, β) = (0, 0). Suora kulkee pisteen kautta, jos l. Lineaarialgebran tiedoin osoittautuu, että (H) (H3) pätevät (Totea!). Määritelmä.. Olkoot ja m suoria. Niitä sanotaan yhdensuuntaisiksi, jos ei ole pistettä, jonka kautta ne molemmat kulkevat. Merkitsemme tällöin m, muulloin m.

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ Huomaa, että kun kirjoitamme m, niin silloin ilmaisemme myös että = m. Tämä johtuu aksioomasta (H). Tarkastellaan malleissa -4 suorien yhdensuuntaisuutta ja edellisessä luvussa mainittua paralleeliaksioomaa (R). Mallissa suoran = {} ulkopuolella on vain piste 3 = {, }. Sen kautta kulkevat vain suorat = {} ja 3 = {}. kulkee suoran pisteen kautta; kulkee suoran pisteen kautta. Siten ei ole yhdensuuntainen :n eikä 3:n kanssa. aralleeliaksiooma on mallissa epätosi mallissa ei ole ollenkaan yhdensuuntaisia suoria. Mallissa käy samoin, siinäkään ei ole yhdensuuntaisia suoria lainkaan (Totea!). Mallissa 3 paralleeliaksiooma pätee (Totea!). Mallissa 4 suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee peräti kaksi sen kanssa yhdensuuntaista suoraa (Totea!). Huomautus. Löysimme mallin, jossa paralleeliaksiooma ei päde ja toisen, jossa se pätee. Siten aksioomajärjestelmä (H) (H3) on liian suppea, jotta parallelliaksiooma tai sen pätemättömyys voitaisiin siinä todistaa. Määritelmä.. Sanomme, että mallilla on () elliptinen paralleeliominaisuus, jos siinä ei ole yhdensuuntaisia suoria, () euklidinen paralleeliominaisuus, jos siinä paralleeliaksiooma pätee, (3) hyperbolinen paralleeliominaisuus, jos jokaista suoraa ja sen ulkopuolista pistettä kohti on olemassa ainakin kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia suoran kanssa ja kulkevat :n kautta. Seuraavat lauseet saadaan välittömästi kolmesta ensimmäisestä Hilbertin aksioomasta. Jätämme niiden todistamisen harjoitustehtäväksi. LUS... Olkoot ja m eri suoria, jotka eivät ole yhdensuuntaisia. Silloin on olemassa täsmälleen yksi piste, jonka kautta sekä että m kulkevat. Suorat eivät siis voi olla tämän näköisiä: m Kuva : Oudot suorat LUS... Jokaisen suoran ulkopuolella on ainakin yksi piste. LUS..3. Jos on mielivaltainen piste, niin on olemassa ainakin yksi suora, johon ei sisälly. LUS..4. Jokaisen pisteen kautta kulkee ainakin kaksi eri suoraa..3. Hilbertin aksioomat (H4) (H7). Tarkastellaan seuraavaa todistusta, jolla yritetään näyttää, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Olkoon kolmio siten, että janat ja ovat yhtäsuuret eli =. Väite. =. HILRTIN KSIOOMT (H4) (H7) Todistus. Valitaan suora, joka puolittaa kulman. Leikatkoon se suoraa pisteessä. Tällöin kolmioilla ja on yhteinen sivu, = (kulman puolittajan ominaisuus) ja = (oletus), joten sivu-kulmasivu -säännön nojalla kolmioissa kaikki vastinsivut ja -kulmat ovat yhtä suuria, erityisesti =. Kuva 3: Tasakylkinen kolmio Kommentteja. Mikä on kolmio, mikä kulman puolittaja? Nämä voidaan toki määritellä. Onko kulman puolittaja sitten olemassa? Leikkaako se välttämättä suoraa. Onko sivu-kulma-sivu -sääntö voimassa? Näihin kysymyksiin voidaan vastata myönteisesti, kuten myöhemmin teemme, mutta todistuksessa on vielä yksi aukko, joka johtuu kuviosta katsomisesta: mistä tiedämme, että piste on pisteiden ja välissä? ihän ole mitään tietoa, minkä näköisiä suorat ovat; tilannehan voisi näyttää vaikkapa seuraavalta: Kuva 4: Tasakylkinen kolmioko? Mikä on nyt kolmio? Tässä joudutaan vaikeuksiin! ksioomat (H) (H3) eivät riitä estämään tämän tapaisten tilanteiden syntymistä, joten tarvitsemme lisää aksioomia ja uuden peruskäsitteen välissäolo. Merkitään ja luetaan se piste on pisteiden ja välissä. Tämän käsitteen, yhdessä jo käyttöön otettujen käsitteiden (suora, piste, kulkee kautta) kanssa, tulee toteuttaa (H) (H3) ja seuraavat välissäoloaksioomat (H4) (H7): (H4) Jos, niin, ja ovat eri pisteitä, joiden kaikkien kautta kulkee sama suora ja. simerkki. Tarkastellaan vielä mallia 5 eli koordinaattitason pisteitä ja suoria. Sovitaan, että pisteille = (a, a), = (b, b) ja = (c, c) R pätee, jos on olemassa (x0, y0) R, (α, β) R {(0, 0)} ja λ, µ, ν R siten, että λ < µ < ν tai λ > µ > ν ja (a, a) = (x0, y0) + λ(α, β), (b, b) = (x0, y0) + µ(α, β), (c, c) = (x0, y0) + ν(α, β).

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ 3 Tällöin (H4) on voimassa (Totea!). (x o,y o ) (, ) Kuva 5: Suora koordinaattitasossa sitämme seuraavaksi kaksi Hilbertin aksioomaa lisää: (H5) Jos ja ovat eri pisteitä, niin suoralla on pisteet, ja siten, että, ja. Huomautus. ksiooma (H5) takaa, ettei suora pääty pisteeseen tai eikä ole tyhjä niiden välillä: Kuva 6: Välissäoloaksiooma (H5) ksioomasta (H3) seuraa, että kaikenkaikkiaan on olemassa vähintään kolme pistettä. ksioomat (H4) ja (H5) takaavat, että jokaisella suoralla on ainakin kolme pistettä (ja yhteensä siis ainakin seitsemän). Siksi mallit -4 eivät toteuta aksioomaa (H5), sovittiin välissä oleminen miten tahansa. Toisaalta aksioomat (H) (H5) eivät vielä takaa, että millään suoralla olisi enemmän kuin nuo kolme pistettä. ksioomassa (H5) pisteet, ja voivat nimittäin olla keskenään samoja. Suoraan aksioomaa (H5) vastaan rikkomatta voi määritellä välissäolon vaikka siten, että aina, kun, ja ovat eri pisteitä mallin samalla suoralla. Vasta seuraavana esiteltävä aksiooma (H6) estää suoria olemasta kuvan 7 mukaisia lenkkuja, kun kuvassa välissäolo tulkitaan niin, että kukin piste on kahden muun välissä. Välissäoloaksiooma (H6) tekee siten selvän eron esimerkiksi pallogeometriaan, jossa suorien roolissa ovat isoympyrät. Kuva 7: i suora (H6) Jos, ja ovat eri pisteitä, jotka kuuluvat samalle suoralle, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa:, tai. 4 HILRTIN KSIOOMT (H4) (H7) simerkin 5 malli, tavallinen koordinaattigeometria, toteuttaa aksioomat (H5) ja (H6). (Totea!) ksioomista (H) (H6) seuraa, että jokaisella suoralla on ainakin viisi pistettä, mutta niistäkään ei vielä seuraa, että millään suoralla tai edes koko mallissa tarvitsisi olla äärettömän monta pistettä. On mielenkiintoinen harjoitustehtävä muodostaa äärellinen malli aksioomille (H) (H6). Määritelmä.3. Olkoot ja eri pisteitä. () Joukkoa : = { on piste tai = tai = } sanotaan pisteiden ja väliseksi janaksi eli janaksi. () uolisuoraksi pisteestä pisteen suuntaan sanotaan joukkoa = { on piste }. Kuva 8: Jana ja puolisuora Huomautus 3. ksiooman (H4) nojalla =. Kun kirjoitamme tai, sanomme samalla, että ja ovat eri pisteitä. LUS.3.. Olkoot ja eri pisteitä. Silloin (a) = (b) = { kulkee pisteen kautta}. Huomautus 4. Kohdassa (b) ei voitu kirjoittaa lyhyesti =, sillä edellinen on aina pisteiden joukko, mitä suora ei Hilbertin järjestelmän mukaisessa aksiomaattisessa geometriassa ole; vertaa esimerkkiin. Todistus. (a). uolisuoran määritelmän ja huomautuksen 3 nojalla = { } { } = = { } { } = = { ja } ( ) = =. Tässä muut yhtälöt ovat helppoa joukko-oppia paitsi yhtälö ( ), joka seuraa siitä, etä (H6):n nojalla ei voi olla sekä että. (b),. (H):n nojalla :n ja :n kautta kulkee vain suora, jolloin (H4):n ja puolisuoran määritelman mukaan { kulkee :n kautta}. Samoin

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ 5 { kulkee :n kautta}. Siten { kulkee :n kautta}. (b) Olkoon piste, jonka kautta suora kulkee. On osoitettava, että. Jos = tai =, on asia selvä. Jos = ja =, niin (H6):n nojalla joko, tai. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa janan ja puolisuoran määritelmän mukaan. Viimeisessä tapauksessa puolisuoran määritelmän mukaan. Määritelmä.4. uolisuoria ja sanotaan vastakkaisiksi, jos. Kuva 9: Vastakkaiset puolisuorat ja Kuvasta katsoen näyttäisi ilmeiseltä, että jokainen suoran piste kuuluisi joko puolisuoraan tai. Näin ei kuitenkaan vielä aksioomien (H) (H6) nojalla tarvitse olla, vaan on olemassa malli, joka toteuttaa aksioomat (H) (H6), mutta jossa suoralla on muitakin pisteitä, kuin puolisuorien ja pisteet. Mallin konstruoiminen jätetään harjoitustehtäväksi. Tällaisten ihmeellisyyksien välttämiseksi tarvitsemme uuden aksiooman, jonka pitäisi väittää suunnilleen, että jokainen suoran piste jakaa sen kahteen puolisuoraan. setamme tulevia tarpeitamme varten hieman vahvemman aksiooman, joka olennaisesti sanoo, että jokainen suora jakaa tason kahteen puolitasoon. Määritelmä.5. Olkoon suora ja ja pisteitä, joiden kautta ei kulje. Sanomme, että ja ovat samalla puolella suoraa ja merkitsemme tai, jos = tai suora ei sisällä janan pisteitä. Muussa tapauksessa sanomme, että ja ovat eri puolilla suoraa ja merkitsemme tai. Kuva 0: ja Huomautus 5. Siis, jos ja vain jos leikkaa janaa, mutta ei sen päätepisteissä. (H7) Olkoot suora sekä, ja pisteitä, joiden kautta suora ei kulje. Tällöin on voimassa: (i) jos ja, niin (ii) jos ja, niin. 6 HILRTIN KSIOOMT (H4) (H7) Kuva : ksiooma (H7) simerkki. simerkin malli (koordinaattitason suorat ja pisteet) toteuttaa aksiooman (H7). Sen toteaminen suoraan laskemalla on kuitenkin hankalaa, mutta lineaarialgebran tiedoilla tason siirroista ja kierroista voidaan mielivaltainen tilanne palauttaa sellaiseksi, että tarkasteltava suora on x-akseli. Toki tässä mallissa (H7) on intuitiivisesti aivan selvä. simerkki 3. Merkitään S = { a a Z, n N} R. n Joukon S alkiot ovat siis luvut, joiden esittämiseen -järjestelmässä tarvitaan vain äärellinen määrä ykkösiä, nollia sekä pilkku. Sovitaan, että pisteet ovat tulojoukon S = S S alkiot, suorat ovat ne joukot (S S), joissa on vähintään pistettä ja missä on koordinaattitason R tavallinen suora (ks. esimerkki ). isteen olo suoralla ja välissäolo määritellään samoin kuin koordinaattitasossa. Nyt (H) (H4) ja (H6) ovat ilmeisesti voimassa kuten esimerkin mallissakin. Myös (H5) pätee (Totea!). Mutta (H7) ei päde! Jos nimittäin valitaan = (S S) (R {0}), = (, ), = (, ) ja = (, ), Kuva : simerkki 3 niin selvästi, sillä suora ei leikkaa suoraa eikä siis myöskään janaa. Hämmästyttävästi myös : janan ja suoran ainoa mahdollinen leikkauspiste on ( 3, 0), mutta se ei ole tämän mallin piste, sillä 3 S. Toisaalta, sillä (, 0) on sekä suoran että janan piste. Siten,, mutta silti, mikä on vastoin aksioomaa (H7). Huomautus 6. ksiooma (H7) estää sen, että suorissa olisi reikiä, joiden kautta ne voisivat kulkea toistensa läpi toisiaan leikkaamatta; vrt. esimerkki 3. Jääköön harjoitustehtäväksi todistaa, että aksiooman (H7) ansiosta suorilla on äärettömän monta pistettä. Huomautus 7. Suoran ulkopuolisten pisteiden oleminen samalla puolella suoraa eli on ekvivalenssirelaatio, ts. () Jos, niin (relaatio on symmetrinen). () ina (relaatio on refleksiivinen). (3) Jos ja, niin (relaatio on transitiivinen).

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ 7 LUS.3.. Olkoon suora sekä, ja eri pisteitä, jotka eivät sisälly suoraan. Jos nyt ja, niin Todistus. erustelu on sopiva harjoitustehtävä. Määritelmä.6. Olkoon suora ja piste, jonka kautta ei kulje. Joukkoa { } sanotaan suoran rajoittamaksi pisteen määräämäksi puolitasoksi. Kuva 3: uolitaso { } LUS.3.3. Jokainen suora rajoittaa täsmälleen kahta eri puolitasoa H ja H. Niille pätee H H =. Todistus. Olkoon suora. On olemassa piste, jonka kautta ei kulje (lause..), ja toisaalta piste, jonka kautta kulkee (H). delleen (H5):n nojalla on olemassa piste siten, että. Tällöin sisältyy janaan, joten. rityisesti ei kulje :n kautta, joten voidaan määritellä puolitasot H =: { } ja H : = { }, jotka ovat määritelmän mukaan suoran rajoittamia. Koska H H, niin H = H. Siten rajoittaa ainakin kahta eri puolitasoa. Olkoon H3 kolmas :n rajoittama puolitaso. Siis H3 = { }, missä on jokin piste, jonka kautta ei kulje. Nyt joko tai. nsimmäisessä tapauksessa aksiooman (H7) kohdasta (i) seuraa, että H3 = H. Jälkimmäisessä tapauksessa aksioomasta (H7) kohdasta (ii) seuraa, että, josta kohdan (i) nojalla saamme, että H3 = H. Näin :n rajoittamia puolitasoja on enintään kaksi. Jos olisi olemassa H H, niin pitäisi päteä ja, jolloin suoran samalla puolella olemisen transitiivisuudesta seuraisi, että. Niin ei ole, joten H H =. LUS.3.4. (i) Jos ja, niin ja. (ii) Jos ja, niin ja. Kuvioina lauseen.3.4 sisältö on: Kuva 4: (i) Kuva 5: (ii) 8 HILRTIN KSIOOMT (H4) (H7) Todistus. Osoitetaan kohdasta (i) johtopäätös. Olkoon siis ja. Välissäolon määritelmän nojalla pisteet, ja ovat eri pisteitä ja myös eroaa :sta ja :stä sekä kaikki neljä ovat samalla suoralla s =. (H3):n nojalla suoran s ulkopuolella on jokin piste. Merkitään =. Lauseen.. nojalla suorat s ja leikkaavat vain yhdessä pisteessä. on leikkauspiste, joten mikään muu suoran s piste ei ole suoralla, erityisesti siis yksikään pisteistä,, ei ole suoralla. Siis. s Kuva 6: Lause.3.4 Jos olisi, niin jana leikkaisi suoraa. inoa mahdollinen leikkauspiste on. Koska = =, niin olisi, mikä on vastoin aksioomaa (H6), sillä oletuksen mukaan on. Täten. Lauseen.3. nojalla. Siten ja leikkaavat. inoa mahdollinen leikkauspiste on. Koska = =, niin. Johtopäätös todistetaan samoin; jätetään se harjoitustehtäväksi samoin kuin väitteen (ii) todistaminen. Huomautus 8. Välissäolon käsite vastaa siis intuitiivista käsitystämme pisteiden järjestyksestä suoralla. Todistuksessa käytimme lauseen.3. kautta aksioomaa (H7). Seuraava lause väittää, että jokainen suora voidaan jakaa kahdeksi puolisuoraksi. LUS.3.5. Olkoot, ja pisteitä siten, että, jolloin ne erityisesti ovat eri pisteitä ja samalla suoralla m. Tällöin on olemassa toinen suora, joka kulkee pisteen kautta ja joka jakaa suoran m kahteen osaan seuraavasti: (i) = = {}, (ii) { m kulkee :n kautta } =. (iii) Jos ja =, niin, (iv) Jos ja =, niin. m Kuva 7: Suoran jakaminen Todistus. Koska, niin (H4):n nojalla pisteet,, ovat eri pisteitä ja samalla suoralla m =. (H3):n nojalla on m:n ulkopuolella jokin piste. Siten (H):n nojalla on olemassa suora =. Lauseen.. nojalla se leikkaa suoran

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ 9 m vain yhdessä pisteessä. Se on. Täten. Osoitetaan (iii). Olkoon siten, että =. Niinpä =, tai. Jos olisi, niin jana leikkaisi suoraa. inoa mahdollinen leikkauspiste on, joten pätisi. Niin ei (H6):n ja (H4):n mukaan ole. Siten. Kohta (iv) osoitetaan samoin. Selvästi {}. Olkoon siten, että =. Nyt kohtien (iii) ja (iv) nojalla ja, jolloin (H7):n mukaan. Niin ei ole, joten {}. Kohta (i) on todistettu. Olkoon sellainen suoran m piste, että ja. Silloin puolisuoran määritelmän mukaan mikään seuraavista ei päde: {, },,, {, },,. (H6):n ja (H4):n nojalla ja. Siten ja. ksiooman (H7) kohdan (ii) nojalla. Niin ei ole, joten { m kulkee :n kautta}. Toisaalta suoran puolisuorat ovat ovat aina suoran pisteiden joukkoja, joten yllä pätee inkluusio myös toiseen suuntaan ja siten yhtäsuuruus. Kohta (ii) on todistettu. On aika määritellä geometrian keskeiset käsitteet, kolmio ja kulma. Määritelmä.7. () Järjestettyä pistekolmikkoa (,, ), joka ei sisälly mihinkään suoraan, sanotaan kolmioksi. Jos on kolmio, niin sanomme janoja, ja sen sivuiksi ja pisteitä, ja sen kärjiksi. () Jos on kolmio, niin kulma muodostuu puolisuorista ja, joita sanotaan kulman kyljiksi. Kylkien yhteistä päätepistettä sanotaan kulman kärjeksi. Kuva 8: Kolmion sivut ja kärjet ja kulman kyljet ja kärki Huomautus 9. Kun sanomme, että on kolmio tarkoitamme, että pisteet, ja eivät ole samalla suoralla. Kolmiot ja F ovat samat, jos ja vain jos =, = ja = F. Yleensä siis =. Toisaalta =. mme itse asiassa määritelleet kolmiota emmekä kulmaa konkreettisina kuvioina. Niiden kärjet, sivut ja kyljet ovat pisteitä tai pistejoukkoja. ukleides käytti ilman todistusta ilmeiseltä näyttävää tulosta, jonka mukaan suora, joka leikkaa jotakin kolmion sivua muualla kuin kärjessä, leikkaa myös jotakin muuta sivua. Tämä voidaan nyt muotoilla ja todistaa täsmällisesti. Tulos on nimeltään aschin lause 3. 3 Moritz asch 843 930. Saksa. sitti aschin lauseen aksioomana 88. 0 HILRTIN KSIOOMT (H4) (H7) Kuva 9: aschin lauseen tilanne LUS.3.6 (asch). Olkoon kolmio ja = suora, joka leikkaa sivua pisteessä, = =. Silloin leikkaa myös sivua tai. Jos suora ei kulje kärjen kautta, leikkaa vain toista sivuista tai. Kuva 30: aschin lause Todistus. Jos kulkee :n kautta, niin lause pätee. Älköön siis kulkeko :n kautta. Koska ja kulkee :n kautta, niin. Nyt joko tai. nsimmäisessä tapauksessa leikkaa janaa. Silloin aksiooman (H7) kohdan (ii) nojalla, joten ei leikkaa janaa ja lause pätee. Jälkimmäisessä tapauksessa ei leikkaa janaa. Lauseen.3. nojalla eli leikkaa janaa. Nytkin lause pätee. LUS.3.7. Olkoot, ja pisteitä siten, että. Silloin (i) = (ii) = {}. Todistus. Kohta (ii) on osa lausetta.3.5. Todistetaan kohta (i). Näytetään aluksi. Olkoon janalla. Jos {,, }, on asia selvä. Olkoot siis,, ja eri pisteitä, jolloin. (H6):n nojalla joko, tai. nsimmäinen ei käy, sillä muutoin lauseen.3.4 kohdan (ii) ja oletuksen nojalla olisi, mikä on vastoin tietoa. Jos, niin ja asia on selvä. Jos, niin lauseen.3.4 kohdan (i) ja tiedon nojalla, joten ja asia on selvä. Näytetään, että. Olkoon. Jos = tai =, on asia selvä. Jos taas =, niin oletuksen mukaan. Olkoon siis {,, }, jolloin tai. nsimmäisessä tapauksessa oletuksen ja lauseen.3.4 kohdan (i) nojalla, joten. Toisessa tapauksessa (H4):n ja oletuksen perusteella ja. Lauseen.3.4 kohdan (i) mukaan nyt eli =. LUS.3.8. Olkoot, ja eri pisteitä siten, että. Tällöin =.

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ Todistus. Näytetään ensin, että. Olkoon. Nyt joko tai. Jos, niin edellisen lauseen mukaan. Olkoon siis. Jos =, on asia selvä. Niinpä oletamme, että =. (H6):n nojalla joko, tai. nsimmäinen näistä ei käy, sillä muutoin olisi, mistä tiedon ja lauseen.3.4 kohdan (i) nojalla seuraa, mikä on vastoin oletusta. Jos taas, niin. Jos, niin suoraan. Näytetään, että. Olkoon. Jos {,, }, on asia selvä suoraan tai oletuksen nojalla. Olkoon siis {,, }. Jälleen on vain kolme mahdollisuutta:, tai. Kaksi ensimmäistä antavat suoraan. Jos viimeinen toteutuisi, niin oletuksen ja lauseen.3.4 kohdan (ii) nojalla, jolloin. Se ei käy. Määritelmä.8. Olkoot, ja eri pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla. Sanomme, että piste on kulman sisäpuolella, jos ja. Kuva 3: Kulman sisäpuoli LUS.3.9. Olkoot, ja pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla ja kulkekoon suora pisteen kautta. Tällöin on kulman sisäpuolella, jos ja vain jos. Kuva 3: Lause.3.9 Todistus.. Olkoon kulman sisäpuolella, jolloin heti {, }. Määritelmän mukaan ei leikkaa janaa eikä leikkaa janaa. Siten ei voi olla eikä. (H6):n nojalla on tällöin.. Olkoon. isteet, ja eivät ole samalla suoralla, joten =. Näiden suorien ainoa leikkauspiste on lauseen.. nojalla. Toisaalta (H):n nojalla =, joten suorien ja ainoa leikkauspiste on. Jos nyt janalla olisi jokin suoran piste, niin se olisi ja silloin olisi. Se on vastoin oletusta, joten janalla ei ole suoran pisteitä. Siten. Samoin päätellään, että. LUS.3.0. Olkoon kulma ja piste sen sisäpuolella. Tällöin: (i) jos ja =, niin on kulman sisäpuolella; HILRTIN KSIOOMT (H4) (H7) (ii) jos, niin ei ole kulman sisäpuolella; (iii) jos, niin on kulman sisäpuolella. (i) (ii) (iii) Kuva 33: Lause.3.0 Todistus. erustelu on sopiva harjoitustehtävä. Määritelmä.9. Olkoon kulma ja piste, =. Sanomme, että puolisuora on puolisuorien ja välissä, jos on kulman sisäpuolella. Huomautus 0. Määritelmä on järkevä: Jos olisi = jollekin toiselle pisteelle, niin edellisen lauseen.3.0 kohdan (i) nojalla ja olisivat yhtäaikaa kulman sisäpuolella. Määrittely ei siis riipu puolisuoran pisteen valinnasta. ' Kuva 34: uolisuora toisten välissä LUS.3. (uomilause). Olkoon puolisuora puolisuorien ja välissä. Tällöin puolisuora leikkaa janaa. Todistus. Tehdään vastaoletus: ei leikkaa janaa. Tällöin ei edes suora leikkaa janaa, sillä mahdollinen leikkauspiste ei voisi olla eikä, vaan olisi niiden välissä. Lauseen.3.9 mukaan olisi siis kulman sisäpuolella. Mutta vastaoletuksen mukaan ei voisi olla puolisuoralla, vaan lauseen.3.5 nojalla, jolloin lauseen.3.0 kohdan (ii) mukaan ei olisikaan kulman sisäpuolella. Se on vastoin oletusta. Olemme todistaneet, että suora ei leikkaa janaa, vaan. ksiooman (H5) nojalla valitsemme pisteen siten, että.?? Kuva 35: uomilauseen.3. todistus

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ 3 Tällöin lauseen.3.0 kohdan (iii) nojalla piste on kulman sisäpuolella. Määritelmän mukaan nyt. Koska suoran samalla puolella olo on transitiivinen relaatio, niin. Tämä on mahdotonta, sillä ja leikkaa siten janaa pisteessä. Vastaoletus on siis epätosi. Määritelmä.0. Olkoon kolmio. Merkitsemme sen kulmia lyhyesti =, = ja =. Sanomme, että piste on kolmion sisäpuolella, jos on jokaisen kulman, ja sisäpuolella. Jos piste ei ole kolmion sisäpuolella eikä ole minkään sen sivun piste, niin sanomme, että on kolmion ulkopuolella. Kuva 36: Kolmion sisäpuoli Huomautus. Seuraava lause sanoo, että kolmion sisäpuolella olevasta pisteestä alkaavat, kärkipisteisiin suuntautuvat puolisuorat jakavat kaikkien pisteiden joukon tyhjentävästi seitsemään erilliseen osaan: kulmien sisäpuolella olevien pisteiden joukkoihin sekä puolisuoriin, joista päätepiste on poistettu ja päätepisteeseen. Otetaan käyttöön merkinnät näille: Jos on suora ja, ja ovat eri pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla eikä kulje pisteen kautta, niin merkitsemme (huomaa sulkeet): T = { on piste}, H(, ) = { T ei kulje :n kautta ja }, () = { T on kulman sisäpuolella}, () = { T on kolmion sisäpuolella}. Huomaamme lauseen.3.3 avulla: (i) () = H(, ) H(, ). (ii) Jos, niin H(, ) = H(, ). (iii) Jos, niin H(, ) H(, ) = ja H(, ) H(, ) = T { T kulkee :n kautta}. (iv) () = () () (). LUS.3.. Olkoon kolmio ja piste sen sisäpuolella. Tällöin joukot T = ( ), T = ( ), T3 = ( ), T4 = { }, T5 = { }, T6 = { } ja T7 = { } toteuttavat T = 7 i=ti ja Ti Tj = kaikilla i, j =,,..., 7, joilla i = j. 4 HILRTIN KSIOOMT (H4) (H7) Todistus. T T = H(, ) H(, ) H(, ) H(, ) =, sillä ja silloin H(, ) H(, ) =. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan. (Huomaa muuten, että lauseen väite ei päde, jos on kolmion ulkopuolella.) Lause.3.3. Olkoon kolmio. (i) Jos on piste kolmion ulkopuolella, on sivun piste ja = =, niin puolisuora leikkaa myös sivua tai. (ii) Jos piste on kolmion sisäpuolella ja on jokin toinen piste, niin puolisuora leikkaa jotakin kolmion sivua. Jos ei kulje kolmion minkään kärjen kautta, niin leikkaa vain yhtä kolmion sivua. (i) (ii) Kuva 37: Lause.3.3 Todistus. Todistetaan ensin väite (i): aschin lauseen nojalla suora leikkaa toista sivuista tai jossakin pisteessä R. Osoitetaan, että R on puolisuoralla. inakin R sisältyy suoraan. Lisäksi, ja R ovat eri pisteitä, sillä jos olisi = R, niin olisi = mikä on mahdotonta, koska on kolmio. Niinpä tasan yksi seuraavista pätee: R, R tai R. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa lauseen.3.8 nojalla = R, ja asia on selvä. Osoitetaan, että tapaus R ei ole mahdollinen. Jo kuvasta arvataan, että tapauksessa R täytyy pisteen olla kolmion sisäpuolella vastoin oletusta! Osoitetaan se. R S R Kuva 38: Jos R, niin on kulman sisäpuolella

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ 5 R ei ainakaan ole kumpikaan kärjistä ja. Jos olisi R =, niin olisi lauseen.3.9 nojalla kulman sisäpuolella. Oletetaan siksi, että R ei ole mikään kärjistä,,. On siis tutkittava enää vain kaksi tapausta: R on sivulla tai päätepisteet pois lukien, eli R tai R. Olkoon R. Tällöin = R. Koska lisäksi = ja R, niin lauseen.3.9 nojalla on kulmien, ja R sisäpuolella. Määritelmän 7 nojalla on puolisuorien ja R välissä, jolloin puomilauseen.3. mukaan leikkaa janaa R jossakin pisteessä S =. Koska R, on nyt S. Lauseen.3.9 nojalla S on kulman sisäpuolella, jolloin lauseen.3.0 kohdan (i) nojalla myös S on kulman sisäpuolella. Samoin on puolisuorien ja välissä, jolloin leikkaa sivua jossakin pisteessä T =. Siten T, joten T on kulman sisäpuolella, josta lopulta T on kulman sisäpuolella. Näin on kolmion sisäpuolella vastoin oletusta. Tapaus R suljetaan pois aivan samoin; sen jälkeen (i) on todistettu. Todistetaan väite (ii): Lauseen.3. mukaan ei voi olla missään muualla kuin suorilla, tai tai kulmien, tai sisäpuolella. Olkoon aluksi kulman sisäpuolella. Määritelmän 7 nojalla on puolisuorien ja välissä, jolloin lauseen.3. mukaan leikkaa sivua. Jos on kulman sisäpuolella, niin leikkaa vastaavasta syystä sivua. Jos taas on kulman sisäpuolella, niin leikkaa sivua. Olkoon jokin suoran piste. Koska on kulman sisäpuolella, niin leikkaa sivua jossakin pisteessä S =. Koska on kulman sisäpuolella, niin lauseen.3.9 nojalla S. Jos, niin = leikkaa sivuja ja. Jos S, niin = S leikkaa sivua. Lauseen.3.5 nojalla ei suoralla ole muita pisteitä. Samoin näytetään, että leikkaa jotakin sivua, jos on suoran tai suoran piste. Todistetaan lopuksi väitteen yksikäsitteisyysosa. nsinnäkin aschin lauseen ja lauseen.. nojalla suora leikkaa kolmion sivuja korkeintaan kahdessa eri pisteessä U ja V. Niille pätee U V, sillä on kolmion sisäpuolella. Lauseen.3.8 nojalla pisteistä U ja V vain toinen on puolisuoralla. Jos tämä ei ole kolmion kärki, leikkaa siten vain yhtä kolmion sivua..4. Hilbertin aksioomat (H8) (H3). Tähän mennessä olemme käyttäneet peruskäsitteitä piste, suora, kulkee pisteen kautta ja pisteiden välissä. Nyt on aika ottaa käyttöön vielä kaksi peruskäsitettä. Käytämme niistä samaa nimitystä yhtenevyys; ensimmäinen on relaatio kahden janan välillä, jälkimmäinen on relaatio kahden kulman välillä. Merkitsemme ensimmäistä = ja luemme janat ja ovat yhteneviä. Jälkimmäistä merkitsemme = F ja luemme kulmat ja F ovat yh- 6 HILRTIN KSIOOMT (H8) (H3) teneviä. Nämä peruskäsitteet vastaavat joissakin konkreettisissa malleissa juuri janojen pituuksien ja niiden välisten kulmien yhtäsuuruuksia. (H8) Jos ja ovat eri pisteitä ja on mielivaltainen puolisuora, niin on olemassa yksi ja vain yksi piste R siten, että = R. R Kuva 39: Hilbertin kahdeksas aksiooma simerkki 4. alataan luvun.3 esimerkkiin (tason tavalliset pisteet ja suorat). Olkoot,, ja pisteitä siten, että = ja =. Sovimme, että =, jos =, missä on tavallinen tason R normi eli (x, y) = x + y. Tällöin (H8) pätee (Totea!). simerkki 5. Muutetaan edellisen esimerkin mallia siten, että lukusuora R korvataan rationaalilukujen joukolla. isteet ovat siis tulojoukon alkioita, suorat joukkoja {(x0, y0) + λ(α, β) λ }, missä x0, y0, α ja β ovat rationaalisia ja (α, β) = (0, 0). Relaatiot määritellään kuten koordinaattigeometriassa. Tällöin aksioomat (H) (H7) toteutuvat. (Todista tämä harjoituksena. Vertaa myös luvun.3 esimerkkiin 3.) ksiooma (H8) ei tässä mallissa päde: Jos = = (0, 0), = (, ), = (, 0), niin = ja niin ei ole pistettä R siten, että R =. = Kuva 40: H8-vastaesimerkki (H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio eli: (i) = (relaatio on refleksiivinen). (ii) Jos =, niin = (relaatio on symmetrinen). (iii) Jos = ja = F, niin = F (relaatio on transitiivinen). (H0) Jos,, = ja =, niin =. ' ' ' Kuva 4: Hilbertin 0. aksiooma

II HILRTIN KSIOOMJÄRJSTLMÄ 7 simerkki 6. simerkin 4 malli eli escartesin koordinaattigeometria toteuttaa Hilbertin aksioomat (H9) (H0). Huomautus. ksiooma (H0) sanoo, että jos yhteneviä janoja sijoitetaan peräkkäin jollekin suoralle, niin näin saadut summajanat ovat yhteneviä. Tämä antaa aiheen seuraavaan määritelmään. Määritelmä.. Olkoon jana ja n N = {,,... }. Janan monikerta (suuntaan ) on jana n = n, missä = ja n+ on se yksikäsitteinen piste puolisuoralta n, jolle n n+ ja nn+ =. = 3 4 n n+ Kuva 4: Janan monikerrat Induktioperiaatteen ja (H0):n nojalla n = n, jos = ja n N. (Todista!) Seuraavat aksioomat sanovat kulmien yhtenevyydestä suunnilleen samat asiat, jotka aksioomat sanoivat janojen yhtenevyydestä. (H) Olkoon kulma, puolisuora ja piste, joka ei sisälly suoraan. Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora F siten, että F ja = F. F Kuva 43: ksiooma (H) (H) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. simerkki 7. simerkin 5 malli eli koordinaattigeometria toteuttaa aksioomat (H9) ja (H0). Täydennetään sitä määrittelemällä mallissa kulmien yhtenevyys siten, että = F, jos ( ) = ( F ) F, missä ( ) on tavallinen tason R sisätulo ja on normi, siis ((x, y) (u, v)) = xu + yv ja (x, y) = x + y. Tällöin myös aksioomat (H) ja (H) toteutuvat (Totea!). Huomautus 3. (H) vastaa aksioomaa (H8), samoin (H9) ja (H) vastaavat toisiaan. Kulmille voitaisiin asettaa vielä janoja koskevaa aksioomaa (H0) vastaava aksiooma, mutta osoittautuu, että vastaava väite seuraa muuhun tarkoitukseen 8 HILRTIN KSIOOMT (H8) (H3) vaadittavasta vahvemmasta aksioomasta (H3), jota varten tarvitsemme käsitteen kolmioiden samanlaisuudesta, kolmioiden yhtenevyyden. Määritelmä.. Olkoot ja F kolmioita. Sanomme, että ne ovat yhteneviä kolmioita ja merkitsemme = F, jos niiden vastaavat sivut ja kulmat ovat yhteneviä eli =, = F, = F, =, = ja = F. Muissa tapauksissa merkitsemme = F. Huomautus 4. Toisin kuin janojen ja kulmien yhtenevyyden yhteydessä on nyt pisteiden järjestyksellä väliä: voi olla = F ja = F, vaikka vastaavat pistejoukot ovatkin samat. (Samat kärjet, mutta mahdollisesti eri järjestyksessä; samat sisäpuolet.) F = F ja = F Kuva 44: Kolmioiden yhtenevyys riippuu järjestyksestä (H3) (Sivu-kulma-sivu -sääntö, SKS) Olkoot ja F kolmioita siten, että =, = ja = F. Tällöin = F. simerkki 8. Koordinaattigeometria toteuttaa myös aksiooman (H3). (Totea!) Huomautus 5. ukleides esitti sivu-kulma-sivu -säännön lauseena ja yritti todistaa sen aksioomien avulla. Se ei kuitenkaan onnistu, vaan SKS on otettava aksioomaksi. Sen avulla todistetaan helposti appuksen 4 mukaan nimetty tulos, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat ovat yhtenevät. Käänteinen implikaatio, jonka mukaan kantakulmien yhtenevyys myös takaa tasakylkisyyden, on myös voimassa samoin ehdoin, mutta käytännössä hankalampi todistaa. Jätämme sen harjoitustehtäväksi, joka on helppo, kunhan käytössä on lause.4.9 eli KSK -sääntö. LUS.4.. (appus) Olkoon kolmio siten, että =. Tällöin =. Kuva 45: Tasakylkinen kolmio 4 appus leksandrialainen 90 n. 350 gypti.