2. kierros. Lähipäivä
Viikon aihe Vahvistimet, kohina, lineaarisuus Siirtofunktiot, tilaesitys
Mitoitus Kontaktiopetusta: 8 tuntia Kotitehtäviä: 4 + 4 tuntia
Tavoitteet: tietää Yhden navan vasteen ekvivalentti kohinakaistaleveys Vastuksen terminen kohina Termit input-output -malli, siirtofunktio, tilaesitys
Tavoitteet: ymmärtää Miten kaistanleveys liittyy vahvistimen kohinaan Miksi tarvitaan erikseen jännite- ja virtakohinalähteet Miten siirtofunktiolla ja tilaesityksellä voidaan mallintaa systeemin dynamiikkaa
Tavoitteet: soveltaa Laskea vahvistimen kohina lähdössä tuloon redusoiduista lähteistä ja kaistasta Laskea vahvistimen harmoniset särökomponentit HDn:stä (tai kääntäen) Laskea differentiaaliyhtälöstä siirtofunktio ja tilaesitys Simuloida prosesseja Matlabilla
Mitä tulee mieleen? Laplace
Tietoisku I: Differentiaaliyhtälöt, Laplace ja siirtofunktio Differentiaaliyhtälöitä voidaan ratkaista Laplace-muunnoksen avulla Systeemin dynamiikkaa kuvataan Laplacetasossa siirtofunktiolla G(s)
Differentiaaliyhtälöt ja Laplace Differentiaaliyhtälöitä voidaan ratkaista Laplace-muunnoksen avulla Laplace-muunnetaan systeemiä kuvaavat differentiaaliyhtälöt ja systeemi tulosuureet (aikatasosta Laplace-tasoon) Ratkaistaan saadusta algebrallisesta yhtälöstä lähtösuure (Laplace-tasossa) Laplace-käänteismuunnetaan lähtösuureen lauseke takaisin aikatasoon
Esimerkki A i k a t a s o n o n g e l m a y ( t ) + 2 y ( t ) = e y ( 0 ) = t A i k a t a s o n r a t k a i s u y ( t ) = e t L a p l a c e - t a s o n o n g e l m a L a p l a c e - t a s o n r a t k a i s u { s Y ( s ) y ( 0 ) } + { 2 Y ( s ) } = s + y ( 0 ) = Y ( s ) = s +
Laplace-muunnos Määritelmä s t = { } = { } F ( s ) L f ( t ) f ( t ) e d t Jos raja-arvot ovat olemassa, niille pätee Loppuarvoteoreema Alkuarvoteoreema 0 s t f ( t ) = L F ( s ) = F ( s ) e d s 2 π j Laplace-taulukoita käytetään muunnoksissa apuna b b 0 + j j l i m f ( t ) = l i m s F ( s ) t 0 s l i m f ( t ) = l i m s F ( s ) t s
Muunnostaulukot L a p l a c e - m u u n n o s A j a n f u n k t i o δ ( t ) M s s 2 s n + s + a ( s + a ) 2 n + ( s + a ) n! s ( s + a ) a t e t e M 2 t n t n! a t e a t n a t a t ( e ) M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 L a p l a c e - m u u n n o s A j a n f u n k t i o ( s + a ) ( s + b ) a b 2 2 2 2 b t a t ( e e ) + s ( s + a ) ( s + b ) a b a b ( b a ) a s 2 + a 2 s s 2 + a 2 a ( s + b ) + a s + b ( s + b ) + a s s + + a b b t a t ( a e b e ) M 9 M 0 s i n ( a t ) M c o s ( a t ) M 2 b t e s i n ( a t ) M 3 b t e c o s ( a t ) M 4 b t δ ( t ) + ( a b ) e M 5
Siirtofunktio Säätötekniikassa tutkitaan ohjauksen vaikutusta vasteeseen (alkuarvojen vaikutusta ei tutkita) Vasteen lauseke Laplace-tasossa saa tällöin muodon, jossa vaste on tulo prosessimallin ja ohjauksen Laplace-tason esityksien tulo: Y ( s ) = G ( s ) U ( s ) U ( s ) G ( s ) Y ( s ) h e r ä t e s i i r t o f u n k t i o v a s t e Mallin Laplace-tason esitystä G(s) sanotaan
Differentiaaliyhtälöstä siirtofunktioon Yleinen lineaarinen differentiaaliyhtälö: ( n ) ( n ) ( ) ( n ) ( ) y ( t ) + a y ( t ) + + a y ( t ) + a y ( t ) = b u ( t ) + + b u ( t ) + b u ( t ) Laplace-muunnettuna (alkuarvot nollia): Siirtofunktio: n ( n n ) ( n + ) + + n + n = + + n + n n s a s a s a Y ( s ) b s b s b U ( s ) n n G ( s ) Y ( s ) b s + + b s + b n = = n U ( s ) s + a s + + a s + a n n n n n Voidaan edetä myös siirtofunktiosta differentiaaliyhtälöön
Esimerkki Laske siirtofunktio seuraavalle differentiaaliyhtälölle ÿ(t)+3 ẏ(t)+2 y(t)=3 u (t)
Harjoituksia: Lasketaan tehtävät. a & b 2. a & b
Tietoisku II: Kohina Komponenteissa kohinaa erilaisista fysikaalisista prosesseista johtuen Tehotiheys
Vastuksen kohina Vastuksen läpi kulkeva virta ei täysin seuraa Ohmin lakia johtuen varauksenkuljettajien lämpöliikkeestä Vastuksen terminen kohina voidaan mallintaa joko sarjajännitelähteenä tai rinnakkaisvirtalähteenä e 2 n = 4kTR i 2 n = 4kT R
Vahvistimen kohina Kohina mallinnetaan lisäämällä vahvistimen tuloon kohinalähde, joka aiheuttaisi lähdössä havaittavan kohinan Vahvistimen lähdössä mitattu jännitekohinan tiheys on Vahvistimen jännitevahvistus on 0 (eli 20dB) ja R in >>R s. Redusoidaan kohina tuloon 2µV / Hz e n = 2 µ V / Hz /0 = 200nV / Hz Jos vahvistimen lähtösignaalin kaista rajoitetaan esim. MHz:iin saadaan kohinajännitteeksi lähdössä: o ( ) 2 2 V / Hz = mvrms 6 n = 0 Hz µ 2
Kohinakaistanleveys Kohinateho tai -jännite lähdössä saadaan integroimalla tehotiheys tulossa yli vahvistimen taajuusvasteen Yhden navan taajuusvasteen ekvivalentti kohinakaistanleveys B eq on π/2 f c 0 eq K df = K + j f fc 0 2 B 2 df B eq = π 2 f c K 2 2 e n sama pinta-ala
Jännite- ja virtakohina Yleisessä tapauksessa täytyy lisätä virtakohinalähde, jotta malliin ei sisälly oletusta signaalilähteen ominaisuuksista Jännitekohinan vaikutus voimistuu kun Rin >>R s Virtakohinan vaikutus voimistuu kun Rs >>R in Usein kohinakomponentteja en ja i n käsitellään toisistaan riippumattomina, vaikka näin ei välttämättä ole e no = R s R + in R in e n A vo e no = RsRin R + R s in i n A vo
Harjoituksia: Lasketaan tehtävä 2
Simulaatio Yritä löytää tapoja mallintaa simulaatiossa kohinaa esimerkiksi vahvistimessa Voit mallintaa myös kohinaa yhtä komponenttia kohden
Tietoisku III: kotiprojekti Miettikää ja tutkikaa ryhmässä, miten kaistanleveys liittyy vahvistimen kohinaan ja miksi tarvitaan erikseen jännite- ja virtakohinalähteet Simuloikaa vahvistin erikseen jännite- ja virtakohinalla ja ilman kohinaa, vertailkaa Tehkää lyhyt tiivistelmä erilaisista kohinatyypeistä (muutama lause per kohinatyyppi) Analogisen kotitehtäväpaketti 2 Ryhmien tulosten purkaminen ensi viikolla
Seuraavalla kerralla Jatketaan samasta aiheesta