Luento 18: Kertausluento

Luento 18: Kertausluento Värähdysliike Harmoninen värähtely Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Mekaaniset aallot Eteneminen Seisovat aallot Ääniaallot

Luennon sisältö Värähdysliike Harmoninen värähtely Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Mekaaniset aallot Eteneminen Seisovat aallot Ääniaallot

Käsitteet Amplitudi (amplitude) A Siirtymän maksimiarvo Jaksonaika (period) T Yhteen värähdykseen kulunut aika Taajuus (frequency) f Värähdysten lukumäärä aikayksikössä Kulmataajuus (angular frequency) ω f = 1 T ω = 2πf

Lisää käsitteitä Vaimennettu (damped) värähtely Jos kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi häviöllinen voima, värähdysliikkeen energia pienenee ajan funktiona Pakkovärähtely (forced/driven oscillation) Kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi ajan suhteen periodinen voima, joka pakottaa kappaleen värähtelemään omalla taajuudellaan

Vaimentamaton harmoninen värähtely Matemaattisesti yksinkertaisin värähtely Palauttava voima suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta Esim jousi F = kx = ma = m d 2 x dt 2 = d 2 x dt 2 + k m x = 0 Tämän toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on k > 0 = x = A cos ωt + B sin ωt (lisälappu differentiaaliyhtälöistä MyCoursesissa) Ratkaisussa kaksi vakiota A ja B, joiden määräämiseen tarvitaan kaksi alkuehtoa, esim tieto sijainnista ja nopeudesta jollain ajanhetkellä Mitä on ei-harmoninen värähtely?

Harmoninen värähtely Yhtälö voidaan esittää myös muodossa x = A cos(ωt + φ), koska A cos(ωt+φ) = A cos φ cos ωt A sin φ sin ωt = A cos ωt+b sin ωt Värähtelijän nopeus Kiihtyvyys a = dv dt v = dx dt Sijoitetaan liikeyhtälöön = Aω sin(ωt + φ) = Aω 2 cos(ωt + φ) = ω 2 x ω 2 x + k m x = 0 = ω = k m

Harmoninen värähtely Kulmanopeus ω määräytyy massasta ja jousivakiosta Lähtövaihe φ määräytyy kappaleen sijainnista kun t = 0

Matemaattinen heiluri Kappale heilahtelee massattoman langan varassa Maan vetovoiman aiheuttama palauttava voima on F T = mg sin θ mgθ (kulma θ pieni) Kappaleen tangentiaalikiihtyvyys on Liikeyhtälö a T = Lα = L d 2 θ dt 2 ma T = ml d 2 θ dt 2 = F T = mgθ d 2 θ dt 2 + g L θ = 0 θ F t m g F r

Matemaattisen heilurin kulmataajuus Harmonisen värähtelyn yhtälö, jossa värähtelykulmataajuus g ω = L Taajuus riippuu vain langan pituudesta, ei kappaleen massasta Yhtälö approksimaatio, mutta toimii hyvin jopa 15 heilahteluille virhe < 0.5% Yksinkertaista heiluria voidaan käyttää g:n mittaamiseen tai kellona

Fysikaalinen heiluri Fysikaalisella heilurilla (physical pendulum) on äärellinen koko Jäykkä kappale heilahtelee jonkin pisteensä O ympäri Painovoiman vaikutus redusoituu massakeskipisteeseen, jolloin painovoiman aiheuttama vääntömomentti O:n suhteen on τ = d w τ = mgd sin θˆk

Fysikaalisen heilurin liikeyhtälö Kun kulma θ pieni, vääntömomentti on Kappaleen liikeyhtälö on tällöin τ mgdθ dl = diω = I d 2 θ = τ mgdθ = dt dt dt2 d 2 θ dt + mgd θ = 2 0 I mgd ω = I I on hitausmomentti heilahdusakselin suhteen

Lokaalit potentiaalienergiaminimit ja niiden approksimointi paraabelilla Luonnossa monet voimat eivät riipu lineaarisesti siirtymästä Pienet siirtymät voidaan approksimoida harmonisella värähtelyllä Lokaalin minimin ympäristössä kaikki funktiot voidaan kehittää Taylorin kaavan f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) +... = a ± bx ±... Ensimmäinen siirtymästä riippuva termi bx on lineaarinen Joissakin tapauksissa kerroin b = 0 tai b on hyvin pieni Tällöin värähtely ei ole harmonista

Vaimennettu värähtely Jos kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi häviöllinen voima, värähdysliikkeen energia pienenee ajan funktiona Matemaattisesti helpointa analysoida tapausta, jossa kitkavoima suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen F k = bv Kappaleen liikeyhtälö F = kx bv = ma = m d 2 x dt + 2 b dx dt + kx = 0 Merkitään γ = b/2m ja ω 2 = k/m d 2 x dt 2 dx + 2γ dt + ω2 x = 0

Ratkaisu DY:ssä funktio ja sen 1. ja 2. derivaatta lineaaritermeinä, joten ratkaisussa eksponenttifunktio Käytetään yritettä x = e λt Sijoitetaan tämä derivaattoineen liikeyhtälöön, jolloin saadaan karakteristinen yhtälö josta edelleen λ 2 + 2γλ + ω 2 λ = 0, λ 1,2 = γ ± γ 2 ω 2 Ratkaisu periaatteessa muotoa x(t) = e λ 1t + e λ 2t

Kolme ratkaisuvaihtoehtoa Termin (γ 2 ω 2 ) etumerkistä riippuen yhtälöllä on kolme erityyppistä ratkaisua Alivaimennus ω > γ: harmonisen värähtelijän liikeyhtälö x = e λt = ( A cos(ω t) + B sin(ω t) ) e γt = A cos(ω t + φ) e γt, Kriittinen vaimennus γ = ω : x = (A + Bt) e γt Ylivaimennus γ > ω : x = A e ω t +B e ω t missä ω 2 = ω 2 γ 2

Alivaimennetun värähtelyn kulmataajuus A cos(ω t + φ) e γt, missä ω 2 = ω 2 γ 2 kuvaa värähtelijää, jolla kulmataajuus ω ja joka vaimenee eksponentiaalisesti aikavakiolla γ Vaimentamattomalla systeemillä ominais- tai luonnollinen kulmataajuus ω Vaimennetun värähtelijän kulmataajuus siis pienempi kuin vaimentamattoman

Pakkovärähtely Vaimennettu värähtelijä pysähtyy ajan kuluessa Jos värähtelijään kohdistetaan pakkovoima (driving force), se pysyy liikkeessä Liikettä kutsutaan pakkovärähtelyksi (forced/driven oscillation) Yksinkertaisimmassa tilanteessa pakkovoima sinimuotoinen F = F 0 cos ω d t Pakkovoiman taajuus ei tarvitse olla sama kuin systeemin ominaiskulmataajuus Mielivaltainen voima voidaan Fourier-analyysin avulla esittää eritaajuisten ja -amplitudisten sinimuotoisten värähtelyjen summana

Pakkovärähtelijän DY Liikeyhtälö d 2 x dt 2 dx + 2γ dt + ω2 x = F 0 m cos ω Dt = Epähomogeeninen DY Yhtälön ratkaisu on homogeenisen yhtälön d 2 x dx + 2γ dt 2 dt + ω2 x = 0 yleinen ratkaisu + epähomogeenisen yhtälön erityisratkaisu Erityisratkaisun yrite: ratkaisulla sama kulmataajuus kuin pakkovoimalla x = A cos(ω D t + φ)

Erityisratkaisun yhteenveto Pakkovärähtelyn erityisratkaisun amplitudi F 0 /m A = [(ω2 ) ωd 2 2 ( ) ] 2 + 2γωd Pakkovärähtelyn erityisratkaisun vaihe φ = arctan 2γω d ω 2 ωd 2 Pakkovärähtelyn kokonaislauseke siis vaimennetun värähtelyn yleinen lauseke + tämä erityisratkaisu Erityisratkaisu kuvaa systeemiä homogeenisen yhtälön vaimenevien, ns. transienttiratkaisujen sammuttua

Resonanssista Pakkovärähtelijän amplitudi A ja värähtelyn vaihe (vrt. pakkovärähtelyn vaiheeseen) riippuvat voimakkaasti kulmataajuuksista ω ja ω d Resonanssi tarkalleen ottaen kun ω 2 d = ω 2 2γ 2 Jos vaimennus γ pieni, värähtelyn amplitudi suuri Resonanssin leveys määräytyy γ:n arvosta Tehonsiirron puoliarvon leveys (FWHM full width at half maximum) ω = 2γ joten vaimennustermi γ tunnetaan myös nimellä resonanssin puoliarvon leveys Värähtelijän hyvyysarvo eli Q-arvo (quality) on resonanssikulmataajuuden ja kaistanleveyden osamäärä Q = ω 2γ

Pitkittäinen ja poikittainen aaltoliike Mekaaninen aalto syntyy, kun systeemiä poikkeutetaan tasapainoasemastaan Jos häiriö kulkeutuu systeemissä materiaalin eli väliaineen (medium) välityksellä, kyseessä aaltopulssi (wave pulse) Poikittainen aaltoliike (transverse) Väliaineen osaset siirtyvät kohtisuoraan aaltoliikkeen etenemissuuntaan Pitkittäinen aaltoliike (longitudinal) Liike yhdensuuntaista aaltoliikkeen etenemisen kanssa Aaltoliike voi myös olla pitkittäisen ja poikittaisen aaltoliikkeen superpositio

Aallon eteneminen Väliaineessa vaikuttaa voimia, jotka pyrkivät palauttamaan systeemin tasapainotilaan Mekaanisen aallon synnyttämiseksi väliaine on poikkeutettava tasapainoasemastaan Mekaaninen aalto etenee kussakin systeemissä tietyllä nopeudella Väliaine itse ei liiku, vaan sen osaset liikkuvat tasapainoasemansa ympärillä Systeemiin tuotu energia etenee aaltoliikkeen mukana

Periodinen aalto Heilutetaan langan päätä jaksollisesti Jokainen langan piste liikkuu myös jaksollisesti Tietty aallon vaihe toistuu väliaineessa säännöllisin välimatkoin = Aallonpituus λ Periodinen aalto = vakio etenemisnopeus v (mikä liikkuu?) = T = 1 f = λ v = v = λf λ x

Etenemisnopeus ja aallonpituus Useimmiten aallon nopeus riippuu vain systeemin ominaisuuksista Kaikki taajuudet etenevät samalla nopeudella, eli ω = vk (paitsi ns. dispersiivisessa materiaalissa, jossa ω = ω(k)) Jokaista taajuutta vastaa joku aallonpituus λ = v f Jos liike on harmonista värähtelyä, jonka amplitudi on A, niin väliaineen jokainen piste värähtelee samalla taajuudella

Aaltofunktio = Antaa systeemin jokaisen osan paikan kaikkina ajanhetkinä Tarkastellaan langassa eteneviä sinimuotoisia aaltoja Langan yksittäisen osan liike harmonista värähdysliikettä Olkoon aallon etenemissuunta x-akselin suunta Värähdysliike y-akselin suuntaista Kukin langan piste y = y(x, t) Kunkin pisteen liikkeen vaihe eroaa viereisten pisteiden liikkeen vaiheesta

Harmoninen aalto Jos langan toinen pää (x = 0) on harmonisessa liikkeessä y(x = 0, t) = A sin ωt Ajanhetkellä t = 0 : y(0, 0) = 0 Oletus: vaihe etenee nopeudella v +x-suuntaan Ajanhetkellä t = x/v pisteen x täytyy olla samassa vaiheessa Tällöin aaltofunktio on [ ( )] y(x, t) = A sin ω t x v! Tämä aaltofunktio toteutuu vain alkuehdolla y(0, 0) = 0 λ x

Aallon vaihetekijä Muiden alkuehtojen tapauksessa aaltofunktioon tarvitsee lisätä vaihetekijä φ Yksinkertaisuuden vuoksi, oletetaan φ = 0 aina ei voi näin tehdä! Käyttäen hyväksi etenemisnopeuden yhteyttä taajuuteen saadaan [ y(x, t) = A sin 2π (ft fv )] [ ( t x = A sin 2π T x )] λ

Aaltoluku Määritellään suure aaltoluku (wave number) k = 2π λ = v = f λ = ω 2π Nyt aaltofunktio voidaan kirjoittaa muotoon 2π k = ω k y(x, t) = A sin(ωt kx)

Vaihenopeus Jos aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan [ ( t y(x, t) = A sin 2π T x )] = A sin (ωt + kx) λ ωt kx kuvaa aallon vaihetta Seurataan erästä vaihetta φ = ωt kx = vakio, joka kuvaa positiivisen x-akselin suuntaan etenevää tiettyä aallon osaa (esim. maksimi) Vaiheen etenemisnopeus v p = dφ/dt = ω k dx dt = 0 = v = dx dt = ω k = Vaihenopeus (phase velocity) tai aallon etenemisnopeus Kun aalto koostuu useista eri taajuuksista, on mielekkäämpää puhua ryhmänopeudesta (group velocity) v = dω/dk

Aaltofunktion osittaisderivaatat aaltoyhtälö Osittaisderivoitaessa aaltofunktiota paikan suhteen saadaan y(x, t) x = ka cos(ωt kx) Aaltofunktion toinen derivaatta paikan suhteen 2 y(x, t) x 2 = k 2 A sin(ωt kx) = k 2 y(x, t)

Aaltoyhtälö Yhdistetään edelliset tulokset 2 y(x, t) = x 2 k 2 y(x, t) = k 2 2 y(x, t) ω 2 t 2 Aikaisemmin saatiin tulos v = ω/k = 2 y(x, t) = 1 2 y(x, t) x 2 v 2 t 2 AALTOYHTÄLÖ Toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö (partial differential equation) Aaltofunktion toteutettava aaltoyhtälö riippumatta aaltoliikkeen suunnasta Myös muutkin etenevät aallot kuin sinimuotoiset toteuttavat aaltoyhtälön

Aaltoliikkeeseen liittyvä teho Esimerkiksi sinimuotoinen aalto Hetkellinen teho y(x, t) = A sin(ωt kx) y(x, t) = ka cos(ωt kx) x y(x, t) = ωa cos(ωt kx) t P(x, t) = Fv Yhtälöillä k = ω/v ja v = F/µ saadaan teho muotoon P(x, t) = µfω 2 A 2 cos 2 (ωt kx)

Keskimääräinen teho Tehon maksimiarvo P max = µfω 2 A 2 cos 2 -funktion keskiarvo yli yhden jakson on tasan 1 2 P ave = 1 µfω 2 A 2 2 Keskiarvo saadaan integroimalla: t 2 f T = 1 f (t)dt, T = t 2 t 1 t 2 t 1 t 1

Seisova aaltoliike Aalto ja sen heijastuksen superpositio muodostavat jouseen kohtia jotka värähtelevät (kupu, antinode) ja kohtia jotka eivät liiku ollenkaan (solmu, node) Superpositioperiaatteen avulla voidaan analysoida kuinka kuvut ja solmut muodostuvat Solmujen kohdalla tapahtuu destruktiivinen interferenssi Kupujen kohdalla konstruktiivinen interferenssi

Poikittainen seisova aalto Olkoot alkuperäinen ja heijastunut aalto y 1 (x, t) = A sin(ωt + kx) y 2 (x, t) = A sin(ωt kx) ( k kuvaa suunnanvaihdosta) Superpositioperiaatteen mukaan 1 y(x, t) = A [sin(ωt + kx) sin(ωt kx)] = [ ] A sin ωt cos kx + cos ωt sin kx sin ωt cos kx + cos ωt sin kx = (A sw sin kx) cos ωt Jokainen piste värähtelee kuten harmoninen oskillaattori Kerroin A sw sin kx ilmaisee harmonisen värähtelyn amplitudin paikan funktiona 1 sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

Seisovan aallon taajuudet Solmukohtien paikat sin kx = 0 = kx = nπ, n = 0, 1, 2,... x = nπ k = n λ 2 Jousella (pituus L), kiinnitetty molemmista päistään, pitää olla päissä solmukohta Koska v = f λ = L = n λ 2 = λ n = 2L n = f n = v λ n = n v 2L = nf 1

Ääniaallot Tähän asti pitkittäisen aallot esitettiin hiukkasten siirtyminä Ääniaallot ilmassa (tai muussa väliaineessa) eteneviä pitkittäisiä aaltoja Ääniaaltoja kätevämpi esittää paineen vaihteluina Infraäänet Alle 20 Hz taajuudet Ultraäänet Yli 20 khz taajuudet Kuuloalue Ihmiskorvan aistima taajuusalue: 20-20 000 Hz Tarkastellaan sinimuotoista ääniaaltoa, joka etenee x-akselin suuntaan. Kuvataan hiukkasen y-suuntaista poikkeamaa aaltofunktiolla y(x, t) = A sin(ωt kx)

Pitkittäinen aalto kiinteässä aineessa Tarkastellaan pientä tangon osaa (pituus dx) Osan liikeyhtälö F(x + dx) F(x) dx = F x = y(x, t) ρa 2 t 2 Kiinteän aineen muodonmuutos l. deformaatio F = σa = YAɛ = YA l l 0 l 0 ( YA ) = ρa 2 y x x t 2 = YA y x = 2 y x = ρ 2 y = 2 Y t 2 v = Y ρ! Pitkittäinen aaltoliike poikkeama x-akselin suuntainen Intensiteetti I = 1 ρy ω 2 A 2 2

Pitkittäinen aalto kaasussa Aallon nopeus riippuu väliaineesta ja sen ympäristöstä Tarkastellaan väliaineella täytettyä sylinteriä Toisessa päässä on liikkuva mäntä Väliaine on levossa (paine p) t = 0: mäntä lähtee liikkumaan nopeudella v y Häiriö (painetihentymä) etenee väliaineessa vakionopeudella v

Pitkittäinen aalto väliaineessa Mäntä etenee nopeudella v y Piste P kohdassa x = vt ajanhetkellä t: Vasemmalla puolella väliaine liikkuu nopeudella v y Oikealla puolella on levossa Liikkuvan väliaineen massa m = ρavt

Väliaineen liikemäärä Liikkuvaan väliaineosaan vaikuttaa voimat (p + p)a männän puolelta pa levossa olevan väliaineen puolelta Nettovoima pa aiheuttaa ajanhetkeen t mennessä impulssin J y = pa t Väliaineella ei alussa liikemäärää p y = p f p i = p f = mv y = ρavt v y

Paine-ero p Tilavuuskimmokertoimen määritelmästä Impulssi on siis B = p = V /V 0 p = B V V 0 V 0 = B Av yt Avt J y = B v y v At Koska J y = p y (p y liikemäärä!) niin = B v y v J y = B v y v At = p y = ρavt v y = v 2 = B ρ = v = B ρ

Painefluktuaatiot Merkitään painevaihtelua p(x, t):llä = paikallisen ja ulkoisen keskiarvopaineen erotus Väliainesylinterin lepopituus dx, poikkipinta-ala S Sylinterin tilavuus muuttuu paikallisesti aallon edetessä dv (x, t) = Sy 2 Sy 1 = S [ y(x + dx, t) y(x, t) ] Tilavuuden suhteellinen muutos dv V S [y(x + dx, t) y(x, t)] y(x, t) = = Sdx x

Painefluktuaatiofunktio Tilavuuskimmokertoimen määritelmästä p(x, t) B = dv /V Ratkaistaan painefluktuaatiofunktio p(x, t) p(x, t) = B dv V = B y(x, t) x

Paineamplitudi Sijoitetaan sinimuotoinen aaltofunktio paineen lausekkeeseen y(x, t) p(x, t) = B = BkA cos(ωt kx) x Suurin paineen fluktuaatio paineamplitudi (pressure amplitude) p max = BkA

Ääniaallon intensiteetti Etenevän aallon intensiteetti = aallon kuljettaman energian aikakeskiarvo pinta-ala- ja aikayksikköä kohden W (x, t) P(x, t) I = = = St S F(x, t)vy (x, t) = p(x, t)v y (x, t) S Hiukkasten siirtymänopeus v y (x, t) = y(x,t) t, yhdistetään painefunktioon p(x, t) p(x, t)v y (x, t) = BkωA 2 cos 2 (ωt kx) = I = BkωA 2 cos 2 (ωt kx) = 1 2 BkωA2 koska cos 2 1 2

Intensiteetti ja paineamplitudi Käytetään yhtälöitä v = B/ρ ja ω = vk (ρ tiheys, v aallon nopeus, k aaltoluku) I = 1 2 BkωA2 = 1 2 ω2 ρv 2 v A2 = 1 2 ρvω2 A 2 = 1 ρbω 2 A 2 2 Paineamplitudin p max avulla I = 1 2 BkωA2 = p2 max 2 ρb