p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½

ÃÓÓÖ Ò ØØ Ú ÖÙÙ R n = {x = (x 1, x 2,..., x n ) x i R, i = 1,2,..., n}º Ê Ð ÖÚÓ Ø ÙÒ Ø ÓØ f(x 1, x 2, x 3,..., x n ) Rº n = 2,3 ÑÙÙØØÙ Ò ÓÚ Ø Ø ÓÒ xy¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ø È ÒØ Ø xyz¹ ÓÓÖ Ò Ø Øº Ú ÖÙÙ Ò Ë Ñ ØÙ ÓÓÖ Ò ØØ Ú ÖÙÙ Ò Ô Ø ÓÒ R n Ò Ú ØÓÖ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ Ì ÓÒ [ [ 1 0 i =, j =. 0 1 ] ] j (x,y)=x i+y j Ì ÓÒ Ô Ø p = (x, y) = x i + y j, i ½½

Ú ÖÙÙ Ò ÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ ÒØ Ú ØÓÖ Ø i = 1 0 0, j = 0 1 0, k = 0 0 1 ¹ÙÐÓØØ Ò Ú ÖÙÙ Ò Ô Ø x = (x, y, z) = r = x i + y j + z k, ½½

Ø ÓÒ Ú ØÓÖ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑØ Ú ÖÙÙ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø È Ø Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ Ô Ø Ò p = (x 1, y 1, z 1 ) q = (x 2, y 2, z 2 Ø ÝÝ ) ÚÐ Ò Ò p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. Ë Ð Ö ØÙÐÓ p q = (p, q) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. Î ØÓÖ ØÙÐÓ Ðº Ö Ø ØÙÐÓ p q = i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2. ½½

Ì Ó È Ø Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ Ô Ø Ò p = (x 1, y 1 ) q = (x 2, y 2 ) Ø ÝÝ ÚÐ Ò Ò p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. Ë Ð Ö ØÙÐÓ p q = (p, q) = x 1 x 2 + y 1 y 2. ½½

½½º ½º ÙÒ Ø Ó f(x, y) = e x + y ÓÒ Ø ÙÚ Ø ÓÒ Ô ¹ Ѻ Ø º ÙÒ Ø Ó f : R n R ÓÒ Ø ÙÚ Ô Ø p R n Ó ÐÐ Â Ø ÙÚÙÙ ǫ > ÓÒ ÓÐ Ñ 0 η(ǫ) > Ø Ò ØØ 0 f(p) f(q) < ǫ, ÙÒ p q < η(ǫ). ¾º ÙÒ Ø Ó F(x, y, z) = 1 1+x 2 +y 2 ÓÒ Ø ÙÚ ÐÐ º +z2 ÙÒ Ø Ó f(x, y) = xy x 2 +y2 ÓÐ Ø ÙÚ Ô Ø p = (0,0)º º ½½

Ç ØØ Ö Ú ØØ Ö ÒØØ Ç ØØ Ö Ú Ø Ø f x f y (x) = lim t 0 (a) = lim t 0 f(x + t, y) f(x.y) t f(x, y + t) f(x.y) t Ö f(p) = f(p) = ( f f f (p), (p)) = x y x (p) i + f y (p) j. ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ÒØØ Ô Ø p = (x, y) Æ Ð ¹ÓÔ Ö ØØÓÖ = i x + j y. ½¾¼

Ö ÒØØ Ú ÖÙÙ f(x, y, ÙÒ Ø ÓÒ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø z) f f(x + t, y, z) f(x.y, z) (x, y, z) = lim x t 0 t f f(x, y + t, z) f(x.y, z) (x, y, z)(lim y t 0 t f f(x, y, z + t) f(x.y, z) (x, y, z) = lim z t 0 t ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØØ Ô Ø p = (x, y, z) Ö f(p) = f(p) = ( f f f f (p), (p), (p)) = x y z x (p) i+ f y (p) j+ f z (p) k. ½¾½

ËÙÙÒØ Ö Ú ØØ Ú ØÓÖ v R n v = 1º ËÙÙÒØ Ö Ú ØØ Ú ØÓÖ Ò v ÙÙÒØ Ò Ô Ø p R n ÓÒ D v f(a) = lim t 0 f(a + tv) f(a) t = f(p) v, ½¾¾

ËÙÙÒØ Ö Ú ØØ Ø Ó D v f(p) = f x (p)v 1 + f y (p)v 2 ÙÙÒØ Ö Ú ØØ R 3 D v f(p) = f v = f x (p)v 1 + f y (p)v 2 + f z (p)v 3. ½¾

Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÒ Ú ØÓÖ Ò f v ÓÚ Ø Ñ Ò¹ Ñ ÙÙÒØ Øº ÙÙÒØ Ö Ú ØØ Ö Ú ØØ ÝÐ Ò ÐÑÓ ØØ Ú Ø ÑÙÙØÓ ÒÓÔ Ù¹ ÃÓ Ò Ò ÑÙÙØÓ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ö ÒØ Ò ÙÙÒØ Òº Ò Ö ÒØ Ò ØÙÐ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ö ÒØ Ò ÙÙÒØ Ò Ú ØÓÖ Ò v ÙÙÒØ Ò ÔØ ËÙÙÒØ Ö Ú Ø ÐÐ f v f v, ½¾

½ º ÇÐ ÓÓÒ a ÙÒ Ø ÓÒ f Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ñ µº Ìй Ä Ù ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØØ Ô Ø a Ú Ñ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ø º Ð Ò ÇÐ ØÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ñ Ó Ø µ ÓÒ Ô Ø aº ÙÒ Ø ÓÒ h(t) = f(a + t v) Ñ Ò Ñ Ñ Ñ µ ÙÒ t = 0 = 0 = h (0) = lim t 0 f(a + t v) f(a) t = f v, v R n. f(a) = 0. ½¾

ÙÒ Ø ÓÒ f Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ò Ð ÃÓ ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÖÓØÙ Ó ÑÖ Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ò Ó ØØ ¹ ÚÓ Ò ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö Ú Ø Ø Ö Ú Ø Ø Ñ Ð Ö ¹ ÖÚÓØ ÙÔÔ Ò Ú Øº k = k 1 + k 2 + + k n º k f x k 1 1 xk 2 2 xk n n, Ð Ø ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÒ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ½¾

Ê Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f : R n R Ö f = f ÓÒ Ë Ð Ö ÒØØ Ó Ú ÖÙÙ Ò Ô Ø º ÑÖ Ø ÐØÝ º¾ Ú Ö Ò ÖÓÓØØÓÖ Î ØÓÖ ÒØØ u : R n R n : u(p) = (u 1 (p), u 2 (p),..., u n (p)), ÓÓÖ¹ u Ò ØØ ÙÒ Ø Ó ÐÐ i : R n R, i = 1,... ÓÒ Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ, n u i x Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÓÐ Ñ j Ì ÓÒ Ú ØÓÖ ÒØØ u(x, y) = u 1 (x, y) i + u 2 (x, y) j. Ú ØÓÖ ÒØØ u(x, y, z) = u Ú ÖÙÙ Ò 1 (x, y, z) i + u 2 (x, y, z) j + u 3 (x, y, z) k. ½¾

ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙ Ò Ò Ò Ö ÒØØ ÓÒ Ú ØÓÖ ÒØØ ÓÒ ÐÑÔ Ø Ð ÐÑÔ Ú ÖØ º ÙÙÒØ Ø Î ØÓÖ ÒØØ Ý Ð Ø Æ Ø Ò Ú ÖØ Ù ÒÓÔ Ù Î ØÓÖ ÒØÒ ÖÚÓ Ô Ø ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò Ñ ÐÐ ÒÓÔ Ù ÐÐ Ò Ø Ô ÖØ Ð Ð ÙÙº Ë Ð Ö ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÒØØ ÓÒ Ú ØÓÖ ÒØغ Ñ Ö Ó ½¾

à ÙÐÓØØ Ø Ô Ù Ó ØØ Ö Ú ØØ Þ¹ÑÙÙØØÙ Ò ÀÙÓÑ ÒÒݺ Ù Ø Ò Ô Ú ØÓÖ ÓÒ Ö Ú Ø Ø ÓÚ Óµº Î ØÓÖ ÒØØ γ f ÚÓ Ñ Ò Ò ÓÒ Å Ó Ø ÔÔ Ð Ò Ñº Ç Ó Ø ØØ Ö Ú Ø Ø Ó¹ Ñ ÓÒ Ú Ö Ò Ðº Ð Ø ÝÝ Ú( u) = u = u 1 x + u 2 y + u 3 z. ÌÙÐ ÒØ Ò ØØÓÚ ÖØ Ù Ô Ø º Ѻ ½¾º Ö Ú Ø Ø Ó ÒØØ Æ ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø ÓÐ µ f = γ mm r 3 r, m M ÓÒ ÔÔ Ð Ò Ñ Ø r = x i + y j + z k Ñ Ó Ò ÚÐ ¹ ÒØÒ Ú Ö Ò ÓÒ ÒÓÐÐ Ú( f) = 0. ½¾

Ë Ð Ö ÔÓØ ÒØ Ð Ò f(x) ØÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÇÐ ØÙ Ø ÙÚ º ÓÚ Ø Ä ÔÐ ¹ÓÔ Ö ØØÓÖ Ä ÔÐ ³Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ = f = Ú Ö f = f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2. ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Ò f = f = 0 ½ ¼

Î ØÓÖ ÒØÒ ÖÓÓØØÓÖ ÖÓØ( u) = u = x i j k y z u 1 u 2 u 3 u = ( u 3 y u 2 z ) i ( u 3 x u 1 z ) j + ( u 2 x u 1 y ) k ÓÒ ÔÝ ÖØ Ø Ò Ó Ò ÖÓÓØØÓÖ Ú Ðº Î ØÓÖ ÒØØ ÖÓØ( u) = u = 0. ½ ½

½ º ½º Ë Ð Ö ÒØÒ f : R 3 R Ö ÒØØ f ÓÒ ÔÝ ÖØ Ø Ò Ä Ù Ø º f = 0. Î ØÓÖ ÒØÒ ÖÓÓØØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ú Ø º ¾º u = 0. ½ ¾

ÊÓØ Ø Ó ÒØØ s ÓÐ Ö ÒØØ ÒØØ Ø º ÓÐ ÓÐ Ñ ÀÙÓÑ f(x, y) Ø Ò ØØ s = fº ÙÒ Ø ÓØ Ã ØÖ Ú ØÓÖ ÒØØ ÊÓØ Ø Ó ÒØØ Ðº ËÔ Ò Ð ËÔÖ Ò Ð µ s = y i + x j s r s r2 ÓÚ Ø ÑÝ ÖÓØ Ø Ó ÒØØ Ö ÒØØ ÒØØ u = fº ½

Ö ÒØØ ÒØ Ø ÈÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó f(x, y, z) = Ö ÒØØ ÒØØ u = f Ö ÒØØ ÓÒ Ó Ø ÙÓÖ Ø ¹ ÖÚÓ ÝÖ Ø Ø ¹ ÖÚÓÔ ÒØ µ Ö ÚÓ ÒØ Ø ¹ ÖÚÓ ÝÖ Ô Ø Ò Ú Ø Ò d f dx f(x(t), y(t)) = dt x dt + f dy y dt = 0 Ö ÒØØ ÒØØ ÓÚ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú È Ø Ò ÖØÑ Ò Ø ÖÚ Ø¹ Ø Ú ØÝ Ö ÒØØ ÒØ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ö Ø Øº ½

ÆÓÔ Ù ÒØØ v Ú ÖØ Ù Ò ÙÙÒØ ÒÓÔ Ù Ú ÖØ Ù ÒØØ ρ v Å Ò ÑÙÙØÓ ÒÓÔ Ù Î ÖØ Ù ÝÒØÝÝ ÔÓØ ÒØ Ð ÖÓ Ø ÄÙÓÒØÓ ÔÝÖ Ø Ó ØØ Ñ Ò ÔÓ¹ к Ú ÖØ Ù ÔÝÖ Ø Ô ÒÓØØ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÖÓ º Ø ÒØ Ð ÖÓ ½

Æ Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö = Ó Ò Ú ÖØ Ù ÄÑÔ Ø Ð = ÐÑÑ Ò Ó ØÙÑ Ò Ò Ë ÔÓØ ÒØ Ð = Ú ÖØ À ÒØ ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð = Ì Ú Ö Ú ÖØ Ý ÝÒØ Ø Ö ÓÒØ µ ÌÝ ÚÓ Ñ Ù Ø ÒÒÙ Ø = Ã Ò ¹ ÐÑ ½

Æ Ø Ò Ú ÖØ Ù Ø Ó Ð Ò Ò Ò Ø Ò Ú ÖØ Ù u(x, y) Ú ÖØ Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ø Ò Ø Ò Ú ÖØ Ù ÓÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ º Ò Ø Ù Ò ÒÓÔ Ù Ú ØÓÖ v = v 1 (x, y) i + v 2 (x, y) j = u. ½

ÇÐ ØÙ Ø Î ÖØ Ù ÐÙ ÓÐ Ú ÖØ Ù Ð Ø Ø Ø ¹Ò ÐÙ Ò Ø Ò Ø Ý ÓÒ ÙÒ Ø Ó c(x, y) w = c v = c u. Ä ÑÖ Å Ò ÐÝÑ Ð Ú w = (c u) = 0. Ò Ø Ò Ø Ý Ú Ó Ú Óµ ÃÙÒ u = u = Ä ÔÐ ³Ò Ý ØÐ µ 0. ½

Î ÖØ Ù ÐÙ ÓÒ Ú ÖØ Ù Ð Ø Ø Ø Ò ÐÙ µ u = f. Ã ÒÒ ØØÑÐÐ Ú ÖØ Ù Ò Ö ÙÒ ÓØ = Ä ÔÐ ³Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ùº ÌÝÝÔ ÐÐ Ø Ö ÙÒ ÓØ ÈÓØ ÒØ Ð ØÙÒÒ Ø Ò Ú ÖØ Ù ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ u Γ = g º Î ÖØ Ù ÑÖ Ö ÙÒ Ò ÐÔ ØÙÒÒ Ø Ò w n = c u n = q, Ñ n ÓÒ Ú ÖØ Ù ÐÙ Ò Ö ÙÒ Ò ÙÐ Ó Ò Ò Ý Ú ØÓÖ º ½

à ÒØØÚ Ú Ø ÓÒ ÒØØÚ Ú Ðº Ú ÖØ Ú Ú ÒØ Ö Ð ÝÖµ Ó ÒÓÔ Ù Ú ØÓÖ v Ò Ø Ò ÒØØ ÓÒ Î ÖØ Ú Ú Ø ÓÚ Ø Ó Ø ÙÓÖ Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÝÖ u(x, y) = c Ú Ø Ò Î ÖØ Ú ÚÓ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ dy dx = v 2(x, y) v 1 (x, y) ½ ¼

½ º ÂÓ Ú ÖØ Ù ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ u(x, y) = xy Ò Ò Ñ Ø ÝÖ Ñº Ô Ø Ò Ò Ø Ù Ø Ð ÙÚ Øº Ê Ø º Ì ÔÓØ ÒØ Ð ÝÖØ ÝÔ Ö Ð u(x, y) = Aº Î ÖØ Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÒØØ Ð ÒÓÔ Ù Ú ØÓÖ v(x, y) = y i + x j Î ÖØ Ú Ú Ò Ý ØÐ dy dx = x y ydy = xdx = Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ydy = xdx 1 2 y2 = 1 2 x2 + C Î ÖØ Ú Ú Ø ÓÚ Ø ÝÔ Ö Ð 1 2 x2 1 2 y2 = Cº ½ ½

Ú ÖØ Ù ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó Å ÐÐÓ Ò ½ º Ì ÓÚ ÖØ Ù ÐÐ ÓÒ ÒÓÔ Ù Ú ØÓÖ ÓÒ v ÓÒ Ú ÖØ Ù ÔÓ¹ Ä Ù Ó ÓÒ ÔÝ ÖØ Ø Ò Ø ÒØ Ð ÖÓØ v = v 2 y v 1 x = 0. ½ ¾

Ú ÖØ Ù ÓÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ò ÒÒÓ Ø ÑÙØØ ÔÓØ ÒØ Ð ¹ Ã ÓÐ Ñ ÓÐÓ ÐÔÓØØ ÑÓÒ Ó Ø º ÙÒ Ø ÓÒ ÔÝÖ Ø Ô ÒÓØØÓÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÖÓ º ËÝ Ø Ñ ÙØÙÙ Î ÖØ Ù Ó ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ñ Ò ÑÓ ØÙÙº Ø Ð Ò Ø ÒÚ ØÓ ÈÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó u(x, y) = ÔÓØ ÒØ Ð Ú ÖØ Ù v = u Ú ÖØ Ù ÑÖ ÓÒ w = c v = c u. ½

ÓÒ Ò ÓÑ Ò Ø Ñ Ò ÐÝÑ Ð Ú ÖØ Ù ÑÖÒ Î ÖØ Ù ÐÐ ÐÝÑ Ò Òµ Ú w = 0, ÐÐ ÓÐ Ú ÖØ Ù Ð Ø Øº Ú Ö Ò Ñ ØØ Ò ØØÓÚ ÖØ Ù Ò ÒÒ ØÙ Ô Ø º Î ØÓÖ ÒØÐÐ w ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó Ó Ò ÖÓÓØØÓÖ Ú w = 0º ½

ÖÓÓØØÓÖ w = s ÓÒ Ú ÖØ Ù ÑÖ Ô Ø º ÌÐÐ Ò Ò Î ØÓÖ ÒØÒ ÐÝØØ Ñ Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ú º Ú ÖØ Ù ÓÒ Ú ØÓÖ ÒØØ s(x, y, z) ÐÐ ÓÒ Ò ÚÓ Ñ Î ØÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð ÖÓØ s = 0. Ú ½