Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio hypotenuusa c kulma θ b katee8 Pythagoraan lause: a 2 + b 2 = c 2 (c sin(θ)) 2 + (c cos(θ)) 2 = c 2 c 2 sin 2 (θ) + c 2 cos 2 (θ) = c 2 sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1 a katee8 Huomaa merkintä: sin 2 (θ) = (sin(θ)) 2
Miten sin, cos, tan määritellään muilla kulmilla? Yksikköympyrä (ympyrä jonka säde on 1) (0,1) (cos θ, sin θ) (- 1,0) θ cos θ sin θ (1,0) (0,- 1)
Kehän pituus on 2πR Yksikköympyrä, R = 1 Kehän pituus 2π Radiaanit ja asteet Kulman suuruus radiaaneina vastaa kulman sisään jäävän yksikköympyrän kaaren pituuqa Koko ympyrä = 360 = 2π radiaania
Nega/iviset kulmat cos(- θ) = cos(θ) sin(- θ) = - sin(θ) (0,1) (cos θ, sin θ) (- 1,0) θ - θ sin θ (1,0) (0,- 1) (cos θ, - sin θ)
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa 1. Erikoiskulmien arvot selville?
0
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 sin(0) = 0 selville?
π/2
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 selville?
π
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa 1. Erikoiskulmien arvot selville? cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)=- 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0
3π/2
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa 1. Erikoiskulmien arvot selville? cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)=- 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0 cos(3π/2) = 0 sin(3π/2) = - 1
2π
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa 1. Erikoiskulmien arvot selville? cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)=- 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0 cos(3π/2) = 0 cos(2π) = 1 sin(3π/2) = - 1 sin(2π) = 0
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa 1. Erikoiskulmien arvot selville? cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)=- 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0 cos(3π/2) = 0 cos(2π) = 1 sin(3π/2) = - 1 sin(2π) = 0 2. Trigonometristen funk/oiden jaksollisuus
2π
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)=- 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0 cos(3π/2) = 0 cos(2π) = 1 sin(3π/2) = - 1 sin(2π) = 0 2. Trigonometristen funk/oiden jaksollisuus Sinin ja kosinin arvot toistuvat 2π välein. Sanotaan eqä sinin ja kosinin jakso on 2π. sin(x+2π) = sin(x) cos(x+2π) = cos(x) yleisemmin: sin(x ± N 2π) = sin(x) cos(x ± N 2π) = cos(x)
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 3. π radiaanin (180 asteen) siirron vaikutus
θ
θ + π θ
θ θ + 2π
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 3. π radiaanin (180 asteen) siirron vaikutus cos(x + π) = - cos x sin(x + π) = - sin x 4. Tangen/n jaksollisuus Tangen/n arvot toistuu π:n välein eli tangen/n jakso on π. tan(x+π) = sin(x + π)/cos(x + π) = - sin x /- cos x = sin x/cos x = tan x huom! tan(x) määri0elemätön kun cos(x) = 0, eli x = π/2 + nπ 5. Trigonometristen funk/oiden etumerkit Välillä [0, π/2]? Välillä [π/2, π]? Välillä [π, 3π/2]? Välillä [3π/2, 2π]?
Mitkä funk/ot (sin, cos, tan) ovat posi/ivisia? [0, π/2] kaikki
Mitkä funk/ot (sin, cos, tan) ovat posi/ivisia? [π/2, π] sin
Mitkä funk/ot (sin, cos, tan) ovat posi/ivisia? tan [π, 3π/2]
Mitkä funk/ot (sin, cos, tan) ovat posi/ivisia? cos [3π/2, 2π]
Trigonometriset käänteisfunk/ot Sinin käänteisfunk/o on arkus- sini, merkitään arcsin, laskimissa usein sin - 1 (x) Määritelmä: jos sin(x) = a, x = arcsin(a) Vastaavas/ arkus- kosini, arkus- tange8 Jos cos(x) = a, x =arccos(a) Jos tan(x) = a, x = arctan(a) Geometrinen tulkinta suorakulmaisesta kolmiosta tai yksikköympyrästä: sin, cos, tan - funk/ot oqavat kulman ja antavat kolmion tahkojen suhteita tai yksikköympyrän koordinaaqeja, arkus- funk/ot taas oqavat tahkojen suhteita tai yks. ympyrän koordinaaqeja ja antavat kulman.
Trigonometriset käänteisfunk/ot Arkusfunk/ot voi a) päätellä (ainakin helpoille kulmille kuten π/2, π jne) b) löytää taulukkokirjasta c) laskea laskimella (opetelkaa tämä, ja opetelkaa myös vaihtamaan asteiden & radiaanien välillä!) Arkusfunk/ot yhdessä yksikköympyrän kansssa hyödyllisiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Esim: sin x = 0.5, mikä on x? Vastaus: x = arcsin (0.5) = 0.5236 rad = π/6 rad = 30 asteqa. Mu5a: myös π - arcsin (0.5) = 2.618 rad eli 150 asteqa toteuqaa yhtälön! (tarkemmin o0aen x = π/6 + N 2π rad tai 5π/6 + N 2π rad, eli 30 + N 360 tai 150 + N 360 aste0a, missä N on mikä tahansa kokonaisluku)
Sin(x) = 0.5 Sin(x) = 0.5
Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Sini ja kosini on määritelty kaikilla kulman x arvoilla 2π sin(x)
Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Sini ja kosini on määritelty kaikilla kulman x arvoilla 2π cos(x)
Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Tangen8 määritelty kun cos(x) 0 π tan(x)
Vielä trigonometrisistä yhtälöistä Yleisen ratkaisun etsiminen trigonometrisissä yhtälöissä edellyqää sekä jaksollisuuden eqä ylimääräisten ratkaisujen huomioimista. Jos sin(x)=y, niin myös sin(π- x) = y Jos cos(x) = y, niin myös cos(- x) = cos (2π- x) = y Tämä jäi viime vuonna sin(x) = 0.5 esimerkistä luennoitsijaltakin huomaama0a, kiitos Joonas Mäkiselle virheen löytämisestä!
Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Usein fysikaalisia reunaehtoja voidaan käyqää rajoiqamaan kulma jollekin välille, esim [0,2π], tai ollaan kiinnostuneita pienimmästä yhtälön toteuqavasta kulmasta. Jollei näin ole, arkusfunk/ot tuoqavat ääreqömän määrän mahdollisia ratkaisuja: sin (x) = a x = arcsin(a) ± N 2π tai x = π arcsin(a) ± N 2π cos (x) = a x = arccos(a) ± N 2π tai x = arccos(a) ± N 2π tan (x) = a x = arctan(a) ± N π (N Z) (N Z) (N Z) (N Z) (N Z)
Trigonometrisia kaavoja Näitä löytyy taulukkokirjoista kymmeniä ellei satoja... Joidenkin johto varsin helppo läh/en Pythagoraan lauseesta tai yksikköympyrästä, usein myös Eulerin kaava: e iθ = cos(θ) + isin(θ) EriQäin hyödyllinen ja "voimakas" kaava joka kytkee yhteen eksponen8funk/ot ja trigonometrian. Eulerin kaavalla voi helpos/ johtaa esim. tupla- ja puolikulmien lausekkeet. Tästä lisää kompleksilukujen yhteydessä. Kaavoja tarvitaan trigonometristen yhtälöjen ratkaisemisessa ja etenkin trigonometristen funk/oiden differen/aalilaskennan yhteydessä. Ei tarvitse opetella kaavojen johtoja tai muistaa niitä ulkoa, muqa kaavojen käyqö on osaqava!
Etenkin trigonometriassa (ja myös fysiikassa) esiintyy paljon kreikkalaisia kirjaimia. Näitä ei toki tarvitse osata tai opetella, muqa ohessa lista joqa pysyqe kärryillä mistä koukerosta milloinkin puhutaan!
Trigonometrisia kaavoja: summa & erotus ± = ± cos( a ± b) = cos a cosb sin a sin b tan a ± tan b tan( a ± b) = 1 tan a tan b sin ( a b ) sin a cos b cos a sin b ( a+ b) ( a b) sin a sin b = cos sin 2 2 2 ( a+ b) ( a b) cos a + cosb = cos cos 2 2 2 ( a+ b) ( a b) cosa cosb = sin sin 2 2 2
Trigonometrisia kaavoja: tupla- ja puolikulmat Double angle formulas: 2tan θ tan 2θ = 2 1 tan θ sin2θ = 2sinθcosθ 2 cos2θ = 2cos θ 1 2 2 2 cos 2θ = 1 2sin θ cos2θ = cos θ sin θ Pythagorean Identities: sin 2 θ + cos 2 θ = 1 tan 2 2 θ + 1 = sec θ cot θ + 1 = csc Half angle formulas: 2 1 2 2 2 1 sin θ = ( cos ) 2 1 2θ cos θ = ( cos ) 2 1+ 2θ θ 1 cosθ θ 1+ cosθ sin = ± cos = ± 2 2 2 2 θ 1 cosθ sin θ 1 cosθ tan = ± = = 2 1+ cosθ 1 + cosθ sin θ θ
Trigonometristen funk/oiden arvoja TRIGONOMETRIC VALUES FOR COMMON ANGLES Degrees Radians sin θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ 0 0 0 1 0 Undefined 1 Undefined 30 π/6 1/2 3 / 2 3 / 3 3 2 3 / 3 2 45 π/4 2 / 2 2 / 2 1 1 2 2 60 π/3 3 / 2 1/2 3 3 / 3 2 2 3 / 3 90 π/2 1 0 Undefined 0 Undefined 1 120 2π/3 3 / 2-1/2-3 - 3 / 3-2 2 3 / 3 135 3π/4 2 / 2-2 / 2-1 -1-2 2 150 5π/6 1/2-3 / 2-3 / 3-3 -2 3 / 3 2 180 π 0-1 0 Undefined -1 Undefined 210 7π/6-1/2-3 / 2 3 / 3 3-2 3 / 3-2 225 5π/4-2 / 2-2 / 2 1 1-2 - 2 240 4π/3-3 / 2-1/2 3 3 / 3-2 -2 3 / 3 270 3π/2-1 0 Undefined 0 Undefined -1 300 5π/3-3 / 2 1/2-3 - 3 2-2 3 / 3 315 7π/4-2 / 2 2 / 2-1 -1 2-2 330 11π/6-1/2 3 / 2-3 / 3-3 2 3 / 3-2 360 2π 0 1 0 Undefined 1 Undefined
Polaariset koordinaa/t (napakoordinaa/t) Kuvaavat tasossa olevia pisteitä eli vektoreita y x p(x,y) y x
Polaariset koordinaa/t (napakoordinaa/t) Kuvaavat tasossa olevia pisteitä eli vektoreita y x p(r, θ) R θ y x
Polaariset koordinaa/t (napakoordinaa/t) Napakoordinaateilla yhteys kompleksilukuihin (näistä myöhemmin) y x p(r,θ) KolmiuloQeisessa avaruudessa vastaava asia ovat pallokoordinaa/t. Muunnokset karteesisista (x,y) polaarisiin koordinaaqeihin: R θ y x cos(θ) = x/r è x = Rcos(θ) sin(θ) = y/r è y = Rsin(θ)
Polaariset koordinaa/t (napakoordinaa/t) Muunnos toisinpäin: x 2 + y 2 = R 2 cos 2 (ϑ) + R 2 sin 2 (ϑ) =R 2 (cos 2 (ϑ) + sin 2 (ϑ)) = R 2 (1) =R 2 è R = (x 2 +y 2 ) tan(ϑ)=y/x è ϑ = arctan(y/x) y R θ x p(r,θ) Huom: tangen/n jaksollisuuden (π) takia arctan(y/x) ei määriqele kulmaa ϑ täydellises/ arkustangen/n arvoon saaqaa joutua lisäämään π, kuten esimerkeistä nähdään. y x
Esimerkki Esim: löydä pisteen (R,ϑ) = (2, π/6) karteesiset koordinaa/t. Ratkaisu: x = Rcos(ϑ) = 2cos(π/6) = 3 y = Rsin(ϑ) = 2sin(π/6) = 1 2 π/6
Kuvasta nähdään eqä tämä ei voi olla oikea kulma, Koska piste on kvadran/ssa (90...180 ). Oikea kulma on - 1.107 + π = 2.034 rad = - 63.4 + 180 = 117.4 Esimerkki Esim: löydä pisteen (x,y) = (- 1,2) napakoordinaa8esitys. Ratkaisu: R = (x 2 +y 2 ) = ((- 1) 2 +2 2 ) = 5 arctan(y/x) = arctan (2/- 1) = arctan(- 2) - 1.107 rad - 63.4
Trigonometriset funk/ot kemiassa Ehkä vähän harvinaisempia kuin logaritmi- ja eksponen8funk/ot, muqa kuitenkin hyödyllisiä Tarvitaan minkä tahansa jaksollisen (säännöllises/ toistuvan) ilmiön kuvaamiseen Oskilloivat reak/ot Kaikenlaiset värähtelyt ja aaltoliikkeet Tarvitaan kuvaamaan sähkömagnee8sen säteilyn kulkua ja vuorovaikutusta Lähes kaikki eri spektroskopian muodot... Kvan8kemiassa he/ alusta alkaen, esim. vetyatomin aaltofunk/ossa on myös trigonometrisia funk/oita
Polaaristen koordinaa8en hyöty Joitain funk/oita on huomaqavas/ helpompi esiqää /etyssä koordinaa/stossa Esim 2- säteinen ympyrä Napakoordinaateissa: r = 2 Karteesisissa: y = ± (2- x 2 )
Esimerkki: klassinen harmoninen värähtelijä toteuqaa liikeyhtälön F = ma kx = m d2 x dt 2 jonka ratkaisu on x(t) = Acos(ωt) missä A = maksimipoikkeama tasapainoasemasta ω = (k/m) = kulmataajuus x(t) on jaksollinen funk/o ja sen jakso on τ = 2π/ω, sillä x(t +τ) = x(t + 2π ω ) = Acos(ω(t + 2π )) = Acos(ωt + 2π) ω = Acos(ωt) = x(t)
Esimerkki: sähkömagnee8nen säteily on sähkö- ja magnee8kentän poikiqaista aaltoliikeqä, jota voidaan kuvata sini- tai kosinifunk/oilla. Esim. sähkökentän suuruuqa paikan funk/ona kuvaa aalto ψ 1 (x) = E cos( 2πx λ ) Tehtävä: tämän aallon edellä kulkee toinen aalto ψ 2 (x) = E cos( 2πx λ + ϕ) Tutki vahvistavatko vai kumoavatko aallot toisensa, kun a)φ = 0 b)φ = π
Ratkaisu a)φ = 0 ψ 1 (x) +ψ 2 (x) = E cos( 2πx λ ) + E cos(2πx λ + 0) = 2E cos( 2πx λ ) b) φ = π aallot vahvistavat toisiaan ψ 1 (x) +ψ 2 (x) = E cos( 2πx λ ) + E cos(2πx λ + π) = E cos( 2πx λ ) E cos(2πx λ ) = 0 aallot kumoavat toisensa
Esimerkki: Vetyatomin (protoni + elektroni) aaltofunk/o: ψ n,l,m (r,θ,ϕ) = N n,l,m e r na 0 ( 2r )L 2l+1 n l 1 ( 2r )Y m l (θ,ϕ) na 0 na 0 missä n, m, l ovat kvan8lukuja, N on normitusvakio, a 0 on Bohrin säde, L on Laguerren polynomi ja Y on palloharmoninen funk/o:
palloharmonisia funk/oita