01 01 01 01 01 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 Ympäristötiedon keruu MAA-C2001 luento 5: Korkeudet, korkeusjärjestelmät, geopotentiaali ja geoidi Martin Vermeer 000000 111111 000000 111111 1 / 51
Sisältö: Korkeus ja korkeudenmittaus; vaaitus Painovoima, gravitaatio ja potentiaali Lyhyesti geoidista ja ellipsoidista; "GPS-vaaitus" Eri korkeustyypit: ortometrinen, normaali Suomen korkeusratkaisut ja -järjestelmät: N60, N2000,... 2 / 51
Korkeus, geopotentiaali ja geoidi Korkeudet ilmaisevat pisteiden sijainnit Maan paikallisen painovoiman vektorin (vertikaalin eli luotiviivan) suuntaan, etäisyydet sopivasta vertauspinnasta, keskimerenpinnasta. Maan todellinen muoto on monimutkainen: sopiva vertauspinta on kaareva, jopa kumpuileva. Vertauspintaa kutsutaan geoidiksi: se on Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, sellainen pinta, jolla kaikilla pisteillä on sama geopotentiaali, Maan painovoimakentän potentiaali. Painovoiman suunta eli luotiviiva on kaikkialla kohtisuora sitä vastaan. Pisteen etäisyyttä tästä pinnasta, mitattuna luotiviivaa pitkin, kutsutaan sen ortometriseksi korkeudeksi. Näin ollen ortometrisella korkeudella on yksinkertainen geometrinen tulkinta, ja se on tietysti metrinen suure. 3 / 51
Ortometrinen korkeus Luotiviiva P Kuilu H Topograa Tunneli Merenpinta, geoidi Vertausellipsoidi Ortometriset korkeudet ovat metrisiä etäisyyksiä geoidista, eli siitä vesipinnasta, joka muodostuisi, jos merivesi pääsisi vapaasti liikkumaan topograan alla mielikuvituksellisen tunneliverkoston kautta. Ortometrista korkeutta voitaisiin siinä tapauksessa suoraan mitata luotiviivaa pitkin kuvatunlaisen kuilun kautta. 4 / 51
Eri korkeuden vertauspinnat ja korkeuskäsitteet 5 / 51
Suomen geoidi 20 24 28 32 24 21 20 70 19 70 68 68 21 20 66 19 66 18 17 18 64 64 22 23 29 25 24 31 28 23 22 30 27 26 25 18 60 62 20 19 19 18 15 17 16 62 60 Suomen geoidimalli FIN2000 (data c Geodeettinen laitos). Yksikkö m. 16 20 24 28 32 2010 Oct 20 13:27:28 6 / 51
Vaaituksen geometria, linjavaaitus Vaaituslatat Vaakasuora tähtäys t Vaaituskoje 00 11 01 00 11 00 11 e 00 10 H = t e 20 näkymä t 1 e 1 t2 e2 t n e n 7 / 51
Miten korkeusjärjestelmä luodaan Linjavaaituksen antamat korkeuserot H ei saa (suuremmilla alueilla) summata yhteen sellaisenaan. Ne on ensin muunnettava geopotentiaalieroiksi C : C = g H, missä g on paikallinen painovoima. Sen jälkeen pätee geopotentiaalieroille C = 0, sulj. silm. vaikka raa'oille korkeuseroille sulj. silm. H 0! B Toisin sanoen, kun korkeuserojen summa H riippuu valitusta matkasta A:sta B:hen eikä siis ole yksiselitteinen on taas potentiaalierojen B summa C riippumaton matkan valinnasta. Yksiselitteisenä A geopotentiaali sopii paremmin alueen korkeusjärjestelmän perusteeksi. A 8 / 51
Miten korkeusdatum luodaan Kuvittele hetkeksi ettei Helsinki vaan Turku olisi Suomen pääkaupunki, ja että Suomen korkeusjärjestelmän datum-pisteeksi olisi valittu merkki Tuomiokirkon seinällä. Silloin kaikki Turun lähistöllä olevat korkeuspisteet olisivat hyvin tarkkoja, mutta Helsingin alueen pisteet olisivat saman verran epätarkkoja kuin nykyjärjestelmässä ovat Turun pisteet: onhan vaaitus Turun ja Helsingin välillä jonkin verran epätarkka. Tarkkuus riippuu näkökohdasta, valitusta datumista. Vaihtoehtoisia korkeusdatumeita A ja B. 9 / 51
Datumin esimerkki: korkeusdatumi N60 (1) Graniittipaasi (pääkiintopiste), N60- datumin vertauspiste, Helsingin tähtitornin pihalla Kaivopuistossa. Siihen kaiverrettu korkeusarvo on 30,4652 m. Tämä on korkeus Katajanokan siltaan kiinnitetyn vesiasteikkon nollapisteen yläpuolella, mikä vuosina 1904-1907 oli 109 mm keskimerenpinnan alapuolella. Ensimmäinen Suomen tarkkavaaitus käytti tätä lähtöpisteenään ja tuotti korkeusdatumin nimeltä NN. Toisessa tarkkavaaituksessa luotiin väliaikainen korkeusdatumi N43 samalla lähtöpisteellä. Rakkauden Silta 10 / 51
Korkeusdatumi N60 (2) Kuten kerrotaan julkaisussa [Kääriäinen, 1966] sivulla 49, N60 datumin määrityksessä otettiin tämän pääkiintopisteen korkeudeksi 30,51376 m. Tämä kiintopiste oli Suomen toisen tarkkavaaituksen lähtöpiste, josta levitettiin tämä korkeusjärjestelmä kaikkialle Suomessa sijaitseville kiintopisteille, näin tarjoten tarkkoja korkeuksia infrastruktuuri- ja yhdyskuntarakentamisen käyttöön kaikkialla Suomessa. Korkeuksia laskettaessa otettiin huomioon postglasiaalinen maannousu ja N60-datumin 'epookki' (määrittelyn ajanhetki) on 1960.0. 11 / 51
Korkeusdatumi N2000 (1) Suomen kolmannen tarkavaatuksen valmistuttua perustettiin uusi korkeusdatumi epookilla 2000.0. Vanha epookki 1960.0 oli liian kauas menneesyydessä ja sen järjestelmän korkeudet eivät enää ollut Suomen tilanteessa realistisia: maannousu vaihtelee arvosta 4 mm /yr Helsingin seudulla arvoon 9 mm /yr Oulun lähistöllä. Neljänkymmenen vuoden aikana se tuotti 20 senttimetrin kallistus. Kuvassa ( c FGI) erotukset N2000 - N60. 12 / 51
Korkeusdatumi N2000 (2) N.A.P. Lähtöpiste taas graniittipaasi, nyt Metsähovissa mihin korkeuslukema on kaiverrettu. Nyt nollataso on käsitteellisesti Amsterdamin eli N.A.P. (Normaal Amsterdams Peil) -datumi http://en.wikipedia.org/wiki/amsterdam_ Ordnance_Datum Kuitenkaan Amsterdam ei ole enää merikaupunki N.A.P.:n toteutus erilainen Vaaitusmatka Suomi-Amsterdamhyvin pitkä, tarkkuus kärsi Merenpinta Helsingissä on n. 30 cm yli Amsterdamin merenpinta, johtuen meritopografasta (Liittyy Itämeren suolaisuusgradienttiin). 13 / 51
Vaaituskoje 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 000 111 000 111 0000 1111 000 111 Putkitasain Jalkaruuvit Nostoruuvi Säätöruuvi Pystyakseli Kolmijalka Kaukoputki Mittaus- 14 / 51
Automaattivaaituskoje Kuvataso Kompensaattorin taso Objektiivi 2α α s s 15 / 51
Digitaalinen vaaituskoje (1) Digitaalivaaituskojeiden tuoma mittauksen automatisointi säästää kustannuksia. Mittaukset tallennetaan suoraan kojeen muistiin ja tarvittavat tarkistukset tehdaan heti. Digitaalivaaituskojeen kanssa käytetään viivakoodilatta: luetaan korkeusarvoja CCD-kameran ja prosessorijärjestelmän avulla. Kone varoittaa jos jos eteen ja taakse -etäisyydet eroavat toisistaan liikaa. 16 / 51
Digitaalinen vaaituskoje (2) Toisin kuin perinteinen vaaituslatta missä mittaus aina kohdistuu yhteen tai korkeintaan kahteen jaotuksen reunaan, käytetään digitaalilatasta aina kokonainen alue, 30 cm Zeiss DiGi12 -kojeen tapauksessa. Tästä on sekä etuja että haittoja. 00 10 20 17 / 51
Vaaituslattoja 65 20 04 64 03 63 10 10 cm 10 10 cm 02 62 5 cm 5 cm 00 00 01 Latta-asteikon jaotusvaihtoehtoja: E-jaotus, shakkilautajaotus, tarkkuuslatta, digijaotus (viivakoodi). Oikealla vaaitusmikrometri. 18 / 51
Vaaituslatat käyttötarkoituksen mukaan 19 / 51
Latanalustat (Nuija) Suojakappale Latta Kahva 01 01 01 Vaaituksen eri latanalustat: kilpikonna, kiila, raidekenkä. 20 / 51
Itselaskeva latta eli pintavaaituslatta: jaotus kasvaa ylhäältä alas alapäässä aseteltava jalka, jota voidaan vetää ulos tunnetulla pisteellä, jotta saadaan oikea metrin osa-arvo näkyviin. Sen jälkeen lähdetään maastoon kartoittamaan pisteiden korkeuksia.,75,38 12,75 Tunnettu, taakse (t) 12,38 Uusi piste, eteen (e) 21 / 51
Pintavaaitus Ks. kuva. Pintavaaituksen tuloksia tarvitaan ja käytetään numeerisia korkeusmalleja (DTM, Digital Terrain Model) luotaessa paikallisesti ja korkealla erotuskyvyllä siirrettävien maamassojen laskemiseen. e e e e e e Koje e e e t t e Kiintopiste 22 / 51
Tekninen vaaitus (1) Asennusmittaus teollisuudessa ja rakennustyömailla. Tämä kuuluu insinöörigeodesian alaan. Ääritapaus: CERNin hiukkastörmäytin Genevessä, ympärysmitta 27 km, tarkkuus millimetrien luokkaa [Schrock, 2014] Paperikoneet, telakat Tierakentaminen, sillat, tunnelit jne. jne. 23 / 51
Tekninen vaaitus (2) Muodonmuutosten eli deformaatioiden mittaus Ääritapaus: postglasiaalinen maannousu Kaasun, öljyn tai juomaveden pumppaamisen aiheuttamat seuraukset, antropogeeni maan vajoaminen Patojen, vesialtaiden deformaatiot Vanhoja rakennuksia; Pisan torni jne. jne. 24 / 51
Proilien ja poikkileikkausten vaaitus Kiintopiste Linja, esim. tien linjaus Poikkileikkaus Poikkileikkaus Proili on maan pinnan pitkittäisleikkaus tietyn reitin mukaan, yleensä suunniteltua tietä, rautatietä tai vesiväylää pitkin. Poikkileikkaus on maan pinnan poikittaisleikkaus, kohtisuora linjaa vastaan. Taittokohdissa jaetaan kulma tasan. Tyypillinen pituus 2050 m. Tarkoitus on antaa tukea suunnittelutyölle ja mahdollistaa maansiirtovolyymien laskenta. 25 / 51
Lasertaso Lasertasot ovat kompensaattoristabiloituja laitteita joissa laservaloa heitetään pyörivän prisman kautta ympäristöön vaakatasoa muodostamaan. Kojeet ovat käteviä rakennustyömailla, joilla ne realisoivat vaakatasoa, jota käyttäjä voi saada näkyviin esim. kepin avulla. Mm. hiekan levittäminen tai seinän muuraaminen suoraksi helpottuu olennaisesti. Sopivalla (digitaali-)ilmaisimella varustettu latta antaa suoraan alla olevan pisteen korkeus. 26 / 51
Lisää geopotentiaalista Maaston korkeus h (x, y) korkeuskäyrillä kuvattuna ja korkeusgradientit (nuolet). Oikealla maaston perspektiivikuva. Kuvaan on piirretty nuolina korkeuskentän gradientti, vektorikenttä v (x, y) = h (x, y) i + x h (x, y) j. y Gradientti on aina kohtisuora korkeuskäyrää kohtaan, joka on samaa korkeusarvoa omaavien pisteiden joukko eli ekviarvokäyrä. Korkeuskentän h (x, y) tavalla voidaan kuvata myös geopotentiaalia W (x, y, z) kolmiulotteisessa avaruudessa, korkeuskäyrien eli ekvipotentiaalipintojen ja kolmiulotteisen gradientin avulla. 27 / 51
Geopotentiaalipöytä W (x, y, z) Tällaiset pöydät löytyvät monessa tiedekeskusksessa. Pöydän pinnan korkeus kuvaa Maan painovoimapotentiaalia, tosin vain kahdessa ulottuvuudessa. Nuolet kuvaavat taas geopotentiaalin gradienttia eli pöydän pinnan kaltevuutta. Geopotentiaalipöydällä lasikuulaa voidaan saada kiertämään maapallon ympäri elliptisessä Kepler-radassa, mikäli pinnan muoto on riittävän realistinen eli Newtonin painovoimakaavan mukainen. 28 / 51
Maan normaalipainovoimakenttä Vertausellipsoidi on normaalipainovoimakentän eräs ekvipotentiaalipinta, samalla tavalla kuin geoidi on todellisen painovoimakentän ekvipotentiaalipinta. 29 / 51
Painovoima potentiaalin gradienttina Painovoimavektori on geopotentiaalin W (x, y, z) gradientti 1 : g = W = gradw = W x i + W y j + W z k, jossa i, j, k ovat x,y ja z suuntaiset yksikkövektorit. Samalla tavalla on myös normaalipainovoimavektori γ = U = gradu = U x i + U y j + U z k, normaalipainovoimapotentiaalin U gradientti. 1 Symbolin nimi on nabla. 30 / 51
Häiriöpotentiaali Vähentämällä todellisesta painovoimapotentiaalista normaalipotentiaali saadaan häiriöpotentiaali: T W U. Normaalipainovoiman suuruutta merkitään symbolilla γ γ, samalla tavalla kuin todellisen painovoiman suuruus g g. Koska molemmat vektorit ovat melkein samansuuntaisia suoraan alaspäin voidaan myös kirjoittaa g = dw dh, γ = du dh. Normaalikentän painovoimaa voidaan eksaktisti laskea, jos on tiedossa pisteen P leveysaste ϕ P ja korkeus vertausellipsoidista h P : γ P = γ (ϕ P, h P ). Normaalipainovoima, kuten todellinenkin painovoima, vähenee nopeasti korkeuden mukaan. Vähennys on n. 0,3 mgal jokaista metriä kohti. Riippuvuus leveysasteesta on paljon heikompaa. 31 / 51
Tasopinnat ja luotiviivat Geopotentiaalikenttä Normaalipotentiaali Ekvipotentiaalipinta Voimaviiva (luotiviiva) Vertausellipsoidi Geoidi 32 / 51
Todellisen ja normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat W P = U Q U P U Q W 0 = U 0 U 0 Luotiviiva (Φ P, Λ P ) Geoidi N.. ζ Q Ellipsoidin normaali H (ϕ P, λ P ) h. P Vertausellipsoidi 33 / 51
Brunsin kaava (1) Kuvassa W P = U Q, seuraa (linearisointi korkeuden h mukaan): U P U Q + ζ U h = U Q + ζγ P. P Vähentämällä saadaan häiriöpotentiaali T P W P U P = ζγ P ζ = T P γ P. (1) Kaava (1) on kuuluisa Brunsin kaava. Suure ζ kutsutaan pisteen P korkeusanomaliaksi. 34 / 51
Brunsin kaava (2) Kun piste P sijaitsee merenpinnalla (geoidilla), on W P = W 0 ja Q sijaitsee vertausellipsoidilla, eli U Q = U 0 = W 0. Tässä tapauksessa ζ N, geoidi-undulaatio eli geoidin etäisyys vertausellipsoidista. Brunsin kaava on nyt N = T 0 γ 0, jossa sekä T 0 että γ 0 lasketaan merenpinnan tasolla. Käytännössä N ζ, paitsi vuoristoissa. 35 / 51
Globaali geoidi Maailman geoidimalli EGM08. Geoidikorkeudet GRS80-vertausellipsoidista 107 m (sininen) +86 m (punainen). c {} U.S. National Geospatial-Intelligence Agency. 36 / 51
Painovoima potentiaalin gradienttina Ekvipotentiaalipinnat W = vakio. Piste P.. W = W 0 3 W z W = W 0 2 W W = W 0 W W z W = W 0 k O j i y W y W x x Painovoimavektori g = W x i + W y j + W z k Painovoimavektori on geopotentiaalin gradientti, eli derivaatta kolmen paikkakoordinaatin mukaan. 37 / 51
Painovoiman ominaisuuksia Tästä syystä paikallinen painovoima on 1. vektorina aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan, ja 2. sitä suurempi, miten lähempänä toisiaan eri ekvipotentiaalipinnat ovat. Painovoimakenttä on konservatiivinen kenttä. Tämä merkitsee, että kun kuljetetaan koemassa suljetun polun ympäri, ei tehdä työtä. Konservatiivista voimakenttää voidaan aina kirjoittaa potentiaalin gradienttina kuvassa esitetyllä tavalla. 38 / 51
Työintegraali W = vakio W B B x 4 g 4 x 3 x 2 x1 g 3 g 2 W A g 1 A Työn polku-integraali: W A W B = A B g d x 4 g i=1 i xi. 39 / 51
Geopotentiaalilukuja Käytännössä käytetään usein itse geopotentiaalin W sijasta sen ero C (W W 0 ) keskimerenpinnan potentiaalista W 0. Tämä potentiaaliero, joka kasvaa ylöspäin, kutsutaan geopotentiaaliluvuksi ja yo. integraalikaavasta tulee ˆ B C B C A = g d x. A Suljetun polun tapauksessa meilla on g d x = 0. Geopotentiaalilukuja lasketaan maan yli ulottuvan vaaituksen mittaustuloksista. Kaikki metriset korkeudet, kuten esimerkiksi ortometrinen korkeus, lasketaan geopotentiaaliluvuista. 40 / 51
Geopotentiaaliyksikkö, GPU Geopotentiaalin SI-yksikkö on m2 /s 2 : matka voima / massa = matka kiihtyvyys = m m /s 2. Maan painovoimakentässä Maan pinnan lähellä, missä painovoiman kiihtyvyys on g = 9, 8 m /s 2, vastaa yhden metrin korkeusero n. 9, 8 m2 /s 2 potentiaalieroon. Määritetään geopotentiaaliyksikkö, GPU (GeoPotential Unit): 1 GPU 10 m2 /s 2, niin yhden metrin korkeusero vastaa n. 0, 98 GPU potentiaalieroon; vastaavasti, 1 GPU potentiaaliero vastaa n. 1, 02 m korkeuseroon. Näin voidaan, kiitos siitä, että g sattuu olemaan noin 10 m /s 2, ilmaistaa geopotentiaalierot yksikössä, joka on hieman intuitiivisempi kuin vastaava SI-yksikkö! 41 / 51
Ortometrisia korkeuksia, taas g P W P H 3 g H 2 H H 2 H 1 W 0 Geoidi H 1 Korkeudet ja ekvipotentiaalipinnat. Huomaa, että miten suurempi (vahvempi) painovoima g (aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan), sitä lähempänä toisiaan ovat ekvipotentiaalipinnat. Kuvassa pisteen P ortometrinen korkeus on H = H 1 + H 2 + H 3, Kuitenkin vaaitus antaa korkeuserot H 1, H 2, H 3 maastossa, maanpinnalla pisteen ja rannikon välillä, ja H H 1 + H 2 + H 3! 42 / 51
Geopotentiaaliluku rannikolta Jos pisteessä O on W = W 0, seuraa, että C O = 0. Silloin kuvan esimerkkitapauksessamme 2 pisteen P geopotentiaaliluku on: C = C 1 + C 2 + C 3 = g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3 2 Yleisessä tapauksessa kaava on C = ˆ H 0 g (z) dz. 43 / 51
Geopotentiaaliluku luotiviivaa pitkin Kuitenkin myös: jossa g i C = g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3, painovoima-arvoja kallion sisällä pisteen P luotiviivalla. Lasketaan luotiviivan keskipainovoima 3 : g g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3 H 1 + H 2 + H 3 = g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3. H Nyt C = gh H = C g, klassinen ortometristen korkeuksien määritelmäkaava. 3 Yleinen kaava on taas g = 1 H ˆ H 0 g (z) dx. 44 / 51
Ortometristen korkeuksien ongelma Ongelmaksi tässä jää g:n eli painovoiman keskiarvon määritys luotiviivaa pitkin, kallion sisällä. Tarkassa laskennassa myös maaston muotoja tarvitaan. Eli, vaikka ortometriset korkeudet ovat fysikaalisesti elegantteja, niiden tarkka määritys voi olla käytännössä hankala. Käytännön määritys lähtee maanpinnalla mitatusta arvosta g P, olettamalla, että painovoima kasvaa alaspäin maankuoren sisällä tietyn kaavan mukaisesti, esim. Poincaré'n ja Prey'n kaavan mukaan, ks. [Heiskanen and Moritz, 1967]. Näin saatu likiarvo on Suomen alueella täysin riittävä. 45 / 51
Normaalikorkeuksia Normaalikorkeuksien kaava on H = C γ, jossa γ on normaalipainovoiman keskiarvo, laskettuna taas pisteen luotiviivaa pitkin. Toisin kuin ortometrisillä korkeuksilla, normaalikorkeuksilta puuttuu intuitiivinen, suoraan fysikaalinen tulkintatapa. Ne ovat kuitenkin myös korkeuksia merenpinnalta, ja itse merenpinnan normaalikorkeus on 0. Suomen alueella erot ortometristen ja normaalikorkeuksien välillä on millimetriluokka. Vuoristoissa ne voivat olla useita desimetrejä. 46 / 51
Dynaamisia korkeuksia Käytetään harvemmin. Saadaan yksinkertaisesti jakamalla geopotentiaaliluku C leveysasteen 45 maanpinnan normaalipainovoimalla γ 45, joka on vakio: H dyn = C γ 45. 47 / 51
Korkeustyyppien ominaisuudet Metrinen oikeellisuus: jos on kaksi pistettä P ja Q toistensa suoraan yläpuolella, ja niiden välinen etäisyys on 1 m, niin myös H P H Q on tarkasti 1 m. Vain ortometrisilla korkeuksilla on tämä ominaisuus. Dynaamisten korkeuksien metrinen oikeellisuus on varsin heikko. Metrinen oikeellisuus on sitä parempaa, miten lähempänä kaavan nimittäjässä oleva ilmaisu on todellista keskimääräistä painovoimaa luotiviivaa pitkin. Energeettinen oikeellisuus: vesi virtaa aina alaspäin kyseessä olevassa korkeustyypissä. Kolmesta mainitusta tyypistä vain dynaamiset korkeudet ovat energeettisesti oikeellisia kun ovat suoraan verrannollisia geopotentiaalilukuihin C. Tarkka laskettavuus, riippumattumuus epävarmoista hypoteeseista Normaalikorkeudet ja dynaamiset korkeudet ovat tarkasti laskettavissa teorian perusteella. Normaalikorkeuksien tapauksessa on ilmoitettava mikä normaalikenttä on valittu laskennoissa. Ortometriset korkeudet edellyttävät sekä todellisen painovoimakentän että topograan muodon ja tiheyden tuntemusta. Käytännössä kuitenkin näiden tekijöiden aiheuttama epävarmuus on suhteellisen pieni. 48 / 51
Esimerkki: Päijänne Pohjoinen Päijänne: W = W 0 + 76,9 GPU g E Etelä g P H E Päijänne H P Geoidi: W = W 0 Ortometrisissa korkeuksissa katsottuna vesi voi joskus virrata ylöspäin. Vaikka Päijänteen pohjois- ja eteläpäät ovat samalla geopotentiaalitasolla, 76,9 geopotentiaaliyksikköä keskimerenpinnan potentiaalia korkeammin, on eteläpään ortometrinen korkeus HE suurempi kuin pohjoispään HP, koska paikallinen painovoima g on pohjoisessa vahvempi kuin etelässä. Korkeusero on Päijänteen tapauksessa 8 mm (Jaakko Mäkinen, henkilökohtainen viesti). Normaalipainovoimakentän avulla laskettuna saadaan 6 mm. Loput 2 mm tulee painovoima-anomalioiden erosta järven pohjois- ja eteläpäiden välillä. 49 / 51
Yhteenveto, kysymyksiä Tämän päivän aiheita: Korkeus ja korkeudenmittaus; vaaitus Painovoima, gravitaatio ja potentiaali Lyhyesti geoidista ja ellipsoidista; "GPS-vaaitus" Eri korkeustyypit: ortometrinen, normaali Suomen korkeusratkaisut ja -järjestelmät: N60, N2000,... Kysymyksiä? Kiitos! 50 / 51
Kirjallisuutta Heiskanen, W. A. and Moritz, H. (1967). Physical Geodesy. W.H. Freeman and Company, San Francisco. Kääriäinen, E. (1966). The Second Levelling of Finland in 1935-1955. Publication 61, Finnish Geodetic Institute, Helsinki. Schrock, G. (Kesäkuu 2, 2014). CERN. xyht. http://www.xyht.com/civiltransportation/cern-2/. 51 / 51