hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty/Section Laitos Institution Department Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tietojenkäsittelytieteenlaitos Tekijä Författare Author Mikko Alakunnas Työn nimi Arbetets titel Title Elliptisen käyrän salauksen perusteita Oppiaine Läroämne Subject Monenosapuolen protokollat Työn laji Arbetets art Level Seminaariartikkeli Aika Datum Month and year 12.4.2007 Sivumäärä Sidoantal Number of pages 19 Tiivistelmä Referat Abstract Tämä artikkeli käsittelee elliptisen käyrän salauksen perusteita. Elliptiset käyrät ovat eräs vaihtoehto, joiden avulla voidaan rakentaa julkisen avaimen kryptosysteemi. Artikkelissa tutustutaan ensin esimerkkien avulla tarvittaviin algebran perusteisiin (kongruenssi, ryhmät, kunnat) ja esitellään yleisesti elliptiset käyrät ryhmäoperaatioineen. Sen jälkeen määritellään elliptisten käyrien diskreetin logaritmin ongelma ja esitetään kuinka selväteksti koodataan elliptisen käyrän pisteeksi. Lopuksi käydään läpi kaksi esimerkkiä elliptisen käyrän kryptosysteemistä, elliptisen käyrän analogia El Gamalin kryptosysteemille ja Menez Vanzone variantti El Gamalista. ACM Computing Classification System (CCS): E.3 [Data encryption] Avainsanat Nyckelord Keywords Elliptisen käyrän salaus, tietoturva, algebra Säilytyspaikka Förvaringställe Where deposited Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø ¾ ¾º½ ÃÓÒ ÖÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÊÝ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ ÊÝ ÑÒ Ô ÖÙ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ ÊÝ ÑÒ Ô ÖÙ Ø Ò Ð ØØÝÚ Ñ Ö º º º º º º º º º ¾º ÃÙÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÃÙÒÒ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÒÖ ÙÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÃÙÒØ Ò ØÝ ÒÖ ÑÙÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ½¼ º½ Ï Ö ØÖ Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÅÙ Ø ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÊÝ ÑÓÔ Ö Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ Ö ÐÐ ÙÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ½ º½ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ë ÐÚØ Ø Ò ØØÑ Ò Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º ½ º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ ¾¼ Î ØØ Ø ¾¾ ½
½ ÂÓ ÒØÓ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÝØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò ÔÓ Ò ÓÒ Ø ÐØÝ Ó ÚÙÓÒÒ ½ º ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÝØØ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÝÐ ØÝ Ò Ô ÖÙ ¹ ØÙÚ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò ØÝ Ò ÑÝ Øº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ø ÔÓ ¹ ÙØÙÚ Ø Ð Ö ÐÐ Ò Ø ÓÖ Ó Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò ÝÑÑÖØÑ ¹ Ò Ò Ú Ø ÝÚ Ò ÝÚÐÐ Ø Ô Ö ØÝÑ Ø Ð Ö Òº ÃÙ Ø Ò Ò ÝÐ ÙÚ Ò ¹ Ø Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ Ø ÚÓ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ó ÐÐ Òº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ÓÒ ÒÓÙ ÙØ Ú ÖØ Ò ÓØ ØØ Ú Ú ØÓ Ó ÙÐ Ò Ú Ñ Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ º Ë Ò ØÙÒ ÓÒ ÐÝ ÝØ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ñ Ó ØÙÙ Ø ØØ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ò ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò ÑÙÖØ Ñ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ º Ì ÖØ Ð ÒÒ Ø Ò ÝÐ ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÝØ Ø ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù º Ò Ý Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ ÐÔ ÑÙÙØ Ñ Ð¹ Ö ÐÐ Ô ÖÙ Ó Ø ÓÒ ÖÙ Ò ÖÝ ÑØ ÙÒÒ Øµ ÓÒ Ð Ò Ø ÐÐÒ ÝÐ ÙÒÒ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖغ Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö Ø Ò ÐÓ ¹ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÒÒ ÐØ Ô Ö ÝØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÝØØ Òº ÖØ Ð ÓÒ Ñ Ö ÐÚ Ð Ò Ø Ø Ò ÓÓ¹ Ñ Ø ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø Ð Ñ Ð Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Òº ¾ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý Ø Ð Ö ÐÐ ØØ Ø ÓØ ÙØØ Ú Ø Ýѹ ÑÖØÑÒ Ø Ó Ø ÐØÚ Ó Ø º à ØØ Ò ØØ ÐÝ ÚÙÙØ Ø Ò Ò ¹ Ò Ð ØØÝÚØ ØÓ ØÙ Ø ÑÙØØ Ò ÓÒ ÐÙ ØØ Ú Ð Ö ÐÐ ÙÙ Ø º Šؼ ¾º½ ÃÓÒ ÖÙ Ò ÅÖ Ø ÐѺ ÇÐ ÓÓÒ Ñ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÂÓ a, b Z ¹ ÓÒ Óй Ð Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ Ñ Ñ Ö ØÒ m (a b)µ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØØ Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ Ñ Ñ Ö ØÒ ÑÓ Ñµº ¾
ÌØ Ò Ñ Ø ØÒ ÓÙ ÓÒ Z ÓÒ ÖÙ Ò ÐÙ Ù Ñ ÓÒ Ò ÑÓ ÙÐ º Ñ Ö ½º 6 1 (mod 5) 12 13 (mod 5)º ÄÙÚÙÒ Ü Ú Ø ÐÙ Ù ÑÓ ÙÐÓ Ñ ÓÒ ÐÙ Ù Ý ÓÐÐ ÔØ x y 1 ÑÓ Ñµº à ÖØÓ¹ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ö Ó ØØ Ñ ØØ ÓÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ x y = xyº ÄÙÚÙÐÐ Ü ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ø ÐÙ Ù ÑÓ ÙÐÓ Ñ Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ü Ò Ñ Ò ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ½ Ø º syt(x, m) = 1º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò a b (mod m) Ó Ú Ò Ó Ñ Ö º Ó µ ÓÒ Ñ Ò ÑÓÒ Ò ÖØ Ú ÐÐ Ý Ø Ù Ò Ø º a b (mod m) a = b + mq, q Zº ÃÓÒ ÖÙ Ò ÑÓ Ñ ÚÓ Ò Ó ØØ Z Ò Ô Ø Ú Ö Ò ÓÙ Ó Ò ÓÙ ¹ Ó Ò Ó ÓÐ ÑÓ Ð Ó Ø µ ā = {a + mk k Z} ÂÓÙ Ó ā ÓÒ ÐÙÚÙÒ ÒÒ ÐÙÓ ÑÓ ÙÐÓ Ñº Ë Ñ Ò ÒÒ ÐÙÓ Ò ÙÙÐÙ¹ Ú Ø ÐÙÚÙØ ØØÙÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ú Ø Ñ Ò Ó ÒÒ Òº Ã Ò ÒÒ ÐÙÓ ¹ Ò ÑÓ Ñ ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Z m ÐÐ Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÖ Ú Ø Z m = { 0, 1,..., m 1} ÂÒÒ ÐÙÓ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙÒ ÚÙÐÐ x + ȳ = x + y x ȳ = xyº Šؼ ½
Ñ Ö ¾ Šؼ ½ Z 3 = { 0, 1, 2} Ñ 0 = 0 + 3Z = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} 1 = 1 + 3Z = {..., 5, 2, 1, 4, 7,...} 2 = 2 + 3Z = {..., 4, 1, 2, 5, 8,...} ¾º¾ ÊÝ Ñ ¾º¾º½ ÊÝ ÑÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÒÒ Ò ÖÝ ÑÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ý Ò ÐÔ ÓÙ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÑÖ Ø ÐѺ ÅÖ Ø ÐѺ ÂÓÙ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ð ØØ Ó Ò Ö Ø ØØÝÝÒ Ô Ö Ò Ò Ð Ó Ø s, Ý ØØ Ò Ò Ð ÓÒ s,, º ÌØ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø Ñº ÙÖ Ú Ø s s, = s,, º ÂÓÙ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÙÚ Ù : G G Gº ÅÖ Ø ÐѺ ÇÐ ÓÓÒ ÔØÝ ÓÙ Óº È Ö µ ÒÓØ Ò ÖÝ Ñ Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ¼º ÓÒ ÓÙ ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø º a b G a, b Gº ½º (a b) c = a (b c) a, b, c G Ð ØÒÒ ÝÝ µº ¾º ÂÓÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ø Ò ØØ e a = a e = a a Gº º ÂÓ Ø Ò Ð ÓØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ò Ð Ó a 1 Ò ÒØ Ð Óµ ØØ a a 1 = a 1 a = eº
ÂÓ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ð Ú ÒÒ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ Ô Ö µ ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñ ÓÐÐÓ Ò ØÝØØ Ð ÓÒ º a b = b a a, b G Ú ÒÒ ÙÙ µº Ð Ò ÖÝ Ñ Ò Ñ Ó ØÙÙ ÒÓÖ Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Æ Ð À ÒÖ Ð Ø º ÂÓ Ô Ö µ ÓÒ ÖÝ Ñ Ò Ò ÒÓØ Ò ÐÝ Ý Ø ØØ ÓÒ ÖÝ Ñ Ð ÙØÓ Ñ ¹ ØÙ Ò Ù Ø Òµº ÊÝ Ñ ÒÓØ Ò Ø Ú ÖÝ Ñ Ó Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ý Ø Ò¹ Ð Ùµº Î Ø Ú Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò ÖÝ ÑÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÖØÓÐ Ùµº ÊÝ ÑÒ Ð ÓÒ ÒØ Ð ÓØ Ñ Ö ØÒ Ø Ú ÖÝ Ñ ¹ ÑÙй Ø ÔÐ Ø Ú ÖÝ Ñ a 1 º ÊÝ Ñ (G, ) ÒÓØ Ò Ö ÐÐ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ð Ó ¹ Ø º Ö ÐÐ Ò ÖÝ ÑÒ Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÒÓØ Ò Ò ÖØ ÐÙÚÙ Ñ Ö ØÒ ÓÖ µº Ö ÐÐ Ò ÖÝ ÑÒ Ð ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù Ñ Ö ØÒ µ ÓÒ Ô Ò Ò ÐÐ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ÓÐÐ ÔØ g d = eº ÂÓ ÖÝ ÑÐÐ (G, ) ÓÒ Ó ÓÙ Ó À Ô Ö (H, ) ÓÒ ÖÝ Ñ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ À ÓÒ ÖÝ ÑÒ Ð ÖÝ Ñº ÊÝ Ñ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó A G ØØ ÖÝ ÑÒ Ð ÓØ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó a 1 a 2... a n Ñ a i Aº ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó ÒÓØ Ò ÖÝ ÑÒ Ò ÖÓ Ú ÓÙ Ó Ñ Ö¹ ØÒ A = Gº ÂÓ ÖÝ Ñ A ÓÒ Ú Ò Ý Ð Ó Ò Ò ÓÒ ÖÝ ÑÒ Ò Ö ØØÓÖ º ÌÐÐ Ò Ó Ø Ð ÓØ x G Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ØØ g i = x ÓÒ Ý Ð Ò Ò ÖÝ Ñº Šؼ ¾º¾º¾ ÊÝ ÑÒ Ô ÖÙ Ø Ò Ð ØØÝÚ Ñ Ö Ñ Ö º È Ö (Z 3, +) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÖÝ Ñ Ñ Ð ÙØÓ Ñ ¹ ØÙ ÓÒ Ý Ø ÒÐ Ù µ ÑÓ ÙÐÓ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ 0º ÊÝ ÑÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ
º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ø ÙÐÙ Ø Ò Ò ØØ ÖÝ Ñ ÓØ ¼ ¾ ØÝØØÝÚغ ½ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ð ØÒÒ ÝÝ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ó ÓÙ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ú ÒÒ Ò Ò Ò Ò ÖÝ Ñ Z 3 ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñº + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Ì ÙÐÙ Ó ¾ Z 3 Ò Ý Ø ÒÐ ÙØ ÙÐÙ Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ö (Z \ {0}, ) Ó Ò ÙØÖ Ð Ð ÓÒ ½º È Ö (Z \ {0}, ) ÓÐ ÖÝ Ñ ÐÐ ØÓ ØÝØݺ Ñ Ö x Z º º 3 x = 1º Ñ Ö º Z 5 = { 1, 2, 3, 4} ÓÒ Ý Ð Ò Ò ÖÝ Ñ ÐÐ 2 ÓÒ Ò Ò Ö ØØÓÖ º 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8 = 3º ¾º ÃÙÒØ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ý Ø Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÓÔ Ú Ò Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ º Ë ÓÒ ØÖ ØØ Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÚÓ ¹ Ò ØÓØ ÙØØ Ø Ó Ø º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ý Ø Ñ ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ø Ó ¹ Ø Ð ÙÐÙ Ù ÙÒØ Ò ÒÖ ÙÒØ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ò ÙÒØ Ð ÒÒÓ Ø Ò ÚÙй Ð º Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÙÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÐÐÒ Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ø ÒÖ ÙÒÒ Ø Ñ Ò Ø Ò ÙÒØ Ð ÒÒÓ Øº ÄÓÔÙ ÒÝØ ØÒ Ù Ò ÙÒØ Ø ØÒ ÒÖ ÑÙÓ Ó º ÃÙÒØ Ò Ö ØÑ Ø Ò Ð Ø¹ ØÝÚ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ý ÐÔ ÑÙØØ Ò ÓÒ ÐÙ ØØ Ú Ð Ø Øº À Ò¼ ¾ ¾º º½ ÃÙÒÒ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐѺ ÃÙÒØ ÓÒ ÓÐÑ Ó K, +, µ Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ Ã½º È Ö (K, +) Ð Ò ÖÝ Ñº
þº È Ö (K \ {0}, ) ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñ Ã º a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc a, b, c K Ñ Ö Å Ø¼ ½½ º R ÓÒ ÙÒØ º Ë Ò Ò Z ÓÐ ÙÒØ Ó ØÓ Ã¾ ØÝØÝ Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ º ÃÙÒÒ Ò Ã Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ùº ÃÙÒÒ Ò Ð Ó Ò Ú ÒÒÝ Ð Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÙØØ a, b K, a b = a + ( b) Ñ ¹ ÓÒ Ò Ú Ø ¹ Ð Ó ÙÒÒ Ãº Î Ø Ú Ø ÙÒÒ Ò Ð Ó Ò ÓÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ÖØÓÐ ÙÒ ÙØØ a, b K b 0, a b = a b 1 Ñ b 1 ÓÒ Ò Ú Ø ¹ Ð Ó ÙÒÒ Ãº ÅÖ Ø ÐѺ ÃÙÒÒ Ò (K, +, ) Ó ÓÙ Ó F ÙØ ÙØ Ò K Ò Ð ÙÒÒ Ó F ÓÒ ÙÒØ ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ù Ø Òº Ì Ø ÙÖ ØØ (F, +) ÓÒ (K, +) Ò Ð ÖÝ Ñ (F \{0}, ) ÓÒ (K \{0}, ) Ò Ð ÖÝ Ñº Ä Ó F ÓÒ K Ò Ð ÙÒØ Ò Ò K ÓÒ F Ò ÙÒØ Ð ÒÒÙ º ÃÙÒÒ Ò ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ ÙÒÒ Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒØ Ã ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ Õ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó q = p m, p P m Z º Ð ÙÐÙ Ù Ô ÓÒ ÙÒ¹ Ò Ò Ã Ö Ø Ö Ø Ñ Ö º char(k) = pµº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ØÝ ÑÙÓØÓ ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ð ØØÝÚØ Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ÝØ ØØÚÒ ÙÒÒ Ò Ö ¹ Ø Ö Ø Ø Ø º ÔÔ Ð º¾µº ÂÓ m = 1 Ò Ò ÙÒØ Ã ÙØ ÙØ Ò Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ º ÂÓ m 2 Ò Ò ÙÒØ Ã ÓÒ ÙÒØ Ð ÒÒÙ º ÇÐ ÓÓÒ Õ Ñ Ò Ø Ò Ð ÙÐÙÚÙÒ Ô ÔÓØ Ò ØÐÐ Ò Õ Ø Ó Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ò Ý ÖØ ÐÙ Ù Õ ÓÐ Ú ÙÒØ º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ó ÙÒØ Ã Ã³ ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÖØ ÐÙ Ù Õ Ò Ò Ò ÓÚ Ø Ð Ó Ò Ò Ñ Ñ Ø Ú ÐÐ Ñ ÙÒØ Ð Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò ÒÒ ÐØ µº ÚÓ Ò Ú Ø Ñ Ö Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÙÒÒ ÐÐ Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ ÙØ ÙÐÙغ Šؼ À Ò¼ ¾ ¾º º¾ Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ø ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ùº Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒØ K p ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ø Ø ÑÐÐ ÑÑ Ò ÒÒ ÐÙÓ Ø µ {0, 1, 2,..., p 1} Ñ Ý Ø Ò ¹ ÖØÓÐ ¹ ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÙÓÖ Ø Ø Ò ÑÓ ÙÐÓÓÒ Ôº Ñ Ö À Ò¼ ¾ º ÃÙÒÒ Ò K 29 Ð ÓØ ÓÚ Ø ß¼ ½ ¾ ººº ¾ к Ñ Ö Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø
½º Ø ÒÐ Ù 17 + 20 = 8 ÐÐ 37 8 (mod 29)º ¾º Î ÒÒÝ Ð Ù 17 20 = 26 ÐÐ 3 26 (mod 29). º à ÖØÓÐ Ù 17 20 = 21 ÐÐ 340 21 (mod 29)º º Î Ø ¹ Ð Ó 17 1 = 12 ÐÐ 17 12 1 (mod 29)º ¾º º ÒÖ ÙÒÒ Ø ÒÖ ÙÒÒ ÙØ ÙØ Ò Ö ÐÐ Ø ÙÒØ Ã ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ 2 m º ÃÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÒ ¾º ÃÙÒØ K 2 m ÚÓ Ò ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ º ÌÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ð Ó Ø ÓÚ Ø ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ó Ò Ø ÐÙ Ù ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò m 1º ÈÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó Ò ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø ÙÒÒ Ø K 2 = {0, 1} K 2 m = {a m 1 z m 1 +a m 2 z m 2 +...+a 2 z 2 +a 1 z+a 0 : a 1 {0, 1}}º ÒÖ ÙÒÒ Ò ÐÙÓÑ Ú Ð Ø Ò ÓØÓÒ ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Þµ ÓÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ñº ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÓØØÓÑÙÙ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÚÓ ØØ Ø Ð ÑÔ Ø Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÙÐÓÒ º ÌÐÐ Ò ÒÖ ÙÒÒ Ò Ð Ó Ò Ý ¹ Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ Ó ÖØÓ Ñ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò ÑÓ ÙÐÓÓÒ ¾º ÒÖ ÙÒÒ Ò Ð Ó Ò ÖØÓÐ Ù ÙÓÖ ¹ Ø Ø Ò ÑÓ ÙÐÓÓÒ Þµº Å ÐÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Þµ g(z) (mod f(z)) ØÙÓØØ Ý ØØ Ò Ó ÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö Þµ ÓÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ñº ÂÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Þµ Ò Ñ ÐÐ Þµ Þµ ÐÐ º À Ò¼ ¾ Ñ Ö Ã Ö¼ º ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò ÙÒØ K 2 2º Î Ð Ø Ò Ò Ò Ø ØØ ¾ ÓÐ Ú ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Üµ Ñ Ö f(x) = x 2 + x + 1º Î Ð ØØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ÓØÓÒ Ó ÐÐ ÓÐ ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÒ x {0, 1} = Z 2 º ÌØ Ò ÐÐ ÑÝ Ò ÓÐ ÙÙÖ ÓØ Ò ÚÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÙÐÓº ÃÙÒØ K 2 2 ÓÓ ØÙÙ Ð Ó Ø {0, 1, x, x+1}º Ð ÓØ ÓÚ Ø Ó ÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÓ ÙÐÓÓÒ Üµº ÃÙÒÒ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù Ø ÙÐÙ Ó Ø Ò Ò ÙÒÒ Ò Ð ÙØÓ Ñ Ø٠غ
+ ¼ ½ Ü Ü ½ ¼ ¼ ½ Ü Ü ½ ½ ½ ¼ Ü ½ Ü Ü Ü Ü ½ ¼ ½ Ü ½ Ü ½ Ü ½ ¼ ½ Ü Ü ½ ½ ½ Ü Ü ½ Ü Ü Ü ½ ½ Ü ½ Ü ½ ½ Ü Ì ÙÐÙ Ó ÃÙÒÒ Ò K 2 2 Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ ÙØ ÙÐÙØ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÙÒØ Ò ØÝ Ø Ô ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ò ÙÒØ Ð ¹ ÒÒÙ Òº ÇÐ ÓÓÒ p P m 2º Å Ö ØÒ K p [z] Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÙ Ó ÑÙÙØØÙ Ò Þ Ù Ø Ò Ó Ò ÖØÓ Ñ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÙÒØ Ò K p º ÇÐ ÓÓÒ Þµ ¹ Ø ØØ Ñ ÓÐ Ú ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ f(z) K p [z]º ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Þµ ÓØØÓÑÙÙ ÐÐ Ø Ö¹ Ó Ø Ø Ò Ø ØØ Þµ ÚÓ ØØ ÓÙ ÓÓÒ K p [z] ÙÙÐÙÚ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÙÐÓÒ Ó Ò Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ñº Î ØØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Þµ ÓÒ Ò ÓÐ Ñ Ó ÐÐ Ô Ñº Ä ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ð ÝØÑ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ó Ð ÓÖ ØÑ º ÃÙÒÒ Ò K p m Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÙ Ó K p [z] Ó Ò Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ñ K p m = {a m 1 z m 1 + a m 2 z m 2 +... + a 2 z 2 + a 1 z + a 0 : a i K p }º À Ò¼ ¾ ¾º º ÃÙÒØ Ò ØÝ ÒÖ ÑÙÓ Ó Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ø ÚÓ Ò ØØ ÒÖ ÑÙÓ Ó Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ ÚÙÐÐ º ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ ÝØ ÓÒ Ï ¹ ØØ Ò Ò Ö Ø ØÙÙÖ Ñ Ï ÓÒ ÐÐ Óй Ð Ò Ò ÐÙ Ùº ÃÓØ ÓÒ Ø ÓÚ Ø Ø Ú ÐÐ Ø ¾ Ø ¹ ØØ ÙÒ Ø ÙÐ ÙØ ØÙØ Ö Ø ÐÑØ ÐÝ ÓÖØ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ½ Ø ØØ º Ï ¹ ØØ Ò Ò Ò Ø Ø ÒÙÑ ÖÓ Ò ÒÓÐÐ Ø (W 1) Ò Ñ Ó ÒÔÙÓÐ Ò ØØ Ñ Ö ØÒ ÒÓÐÐ ¹ Ø º
Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ò K p Ð ÓØ ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÒÓÐÐ Ø (p 1) Òº ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ô Ò Ô ØÙÙ ØØ Ò t = m W Ø ÙÐÙ ÓÒ Ô ØÙÙ º Ð Ó a K p ÚÓ Ò ØØ Ï W {}}{ ¹ ØØ Ø Ò ÒÓ Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ A = ( A[t 1],..., A[2], A[1], A[0] ) Ñ A[0] Ò }{{} Ó ÒÔÙÓÐ Ò ØØ ÓÒ Ú Ø Ò Ñ Ö Ø Úº Ð ÓÒ a ÑÙÙÒÒÓ ÒÖ ØÝ ¹ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙ Ø Ô ØÙÙ ÙÖ Ú Ø m a = 2 (t 1)W A[t 1] +... + 2 2W A[2] + 2 W A[1] + A[0]º ÒÖ ÙÒØ K 2 m ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ º ÇÐ ÓÓÒ f(z) Ø ØØ m ÓÐ Ú ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ Ö ØÒ f(z) = z m + r(z)º ÃÙÒÒ Ò K 2 m Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó Ò Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò mº ÒÖ ÙÒÒ Ò Ð Ó a(z) = a m 1 z m 1 +... + a 1 z + a 0 ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÒÖ Ú ØÓÖ Ò a = (a m 1,..., a 2, a 1, a 0 ) Ó ÓÒ m ÔÐ Ð Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ t = m W s = Wt mº й Ó a(z) ÚÓ Ò ØØ Ï¹ ØØ Ø Ò ÒÓ Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ A = (A[t 1],..., A[0]) Ñ A[0] Ò Ó ÒÔÙÓÐ Ò ØØ ÓÒ a 0 A[t 1] Ú ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Ø s ØØ Ø Ø Ò Ò ÒÓÐÐ º À Ò¼ ¾ s {}}{... a m 1 a (t 1)W }{{} A[t 1],..., a 2W 1 a W+1 a W }{{} A[1], a W 1 a 0 }{{} A[0] ÃÙÚ ½ Ð ÓÒ a(z) K 2 m ØÝ ÒÖ ÑÙÓ Ó º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ö ÐÐ Ø Ò ÝÖ Ò Ó ÓÙ ÓÒº ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ÓÒ Ð Ð Ô Ò ÙÐ Ö Ò Ò Ñ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÝÖÒ ÙÚ ÓÐ Ø Ö¹ Ú Ó Ø Ð Ø Òº ÐÐ ÔØ Ø ÝÖ ÝÐ ÙÒÒ Ò Ã Ñ Ö ØÒ Ãµº Ò Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ñ Ö ØÒ º ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖ ÐÐ ÓÐ ÝØÒÒ Ñ ØÒ Ø Ñ Ø ÐÐ Ô Ò Ò º ËÝÝ Ò ¹ Ñ ØÝ Ò Ó ØÙÙ ØÓÖ Ø ÐÐ Ñ Ò ÑÙÓØÓ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓ¹ Ñ ØÙØ ØØ Ò Ò ÑÑ Ò ÖÖ Ò ÐÐ Ô Ò Ö ÒÔ ØÙÙØØ Ð ØØ º Ä Ò¼ ½ ½¼
Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ö Ð ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ØÝ ÑÙÓØÓ Ð¹ Ð ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝ ÑÓÔ Ö Ø Óغ º½ Ï Ö ØÖ Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓØÓ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ÝÐ ÙÒÒ Ò Ã ÑÖ Ø ÐÐÒ Ï Ö ØÖ Ò Ý ØÐ ÐÐ y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 ½µ Å ÖØÓ Ñ Ø a 1, a 2, a 3, a 4, a 6 K Ò Ö Ñ Ò ÒØØ 0º ØÐ ½µ ÙØ ÙØ Ò Ï Ö ØÖ Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓ Ó º ÂÓ L ÓÒ Ñ Ø Ò ÙÒÒ Ò K ÙÒØ Ð ÒÒÙ Ò Ò L ¹Ö Ø ÓÒ Ð Ô Ø Ò ÓÙ Ó ÝÖ E ÓÒ Ò Ò Ô Ø ¹ Ò (x, y) ÓÙ Ó ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò ½µ E(L) = {(x, y) L L : y 2 + a 1 xy + a 3 y x 3 a 2 x 2 a 4 x a 6 = 0} { }, Ñ ÓÒ Ô Ø Ö ØØ ÑÝÝ º ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø ÓÒ Ð Ô Ø Ó ÐÐ ÙÒÒ Ò K ÙÒØ Ð ÒÒÙ ÐÐ Lº À Ò¼ º¾ ÅÙ Ø ÑÙÓØÓ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÚÓ Ò ØØ Ñ Ø Ò ÙÒÒ Ãº Ï Ö ØÖ Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÑÙÓØÓ ÚÓ Ò Ý Ò ÖØ Ø ÓÔ Ú ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ Ó Ö ÔÔÙ٠ݹ Ø ØØÚÒ ÖÖÓ Ò ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø Ø º ÂÓ ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÐ ¾ Ø ÚÓ Ò ÝÖ ÙÚ Ú Ý ØÐ ½µ ØØ ÑÙÓ Ó y 2 = x 3 + ax + b ¾µ ÇÐ ÓÓÒ f(x) = x 3 + ax + bº ÂÓØØ Ý ØÐ Ò ¾µ ÙÚ Ñ ÝÖ ÓÐ Ô Ò ÙÐ ¹ Ö Ò Ò ØÙÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Üµ Ö Ñ Ò ÒØ Ò ÓÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º à ÖÖÓ ÒØ Ò ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú Ý ØÐ 16(4a 3 + 27b 2 ) 0º ½½
ÂÓ ÖÖÓ Ò ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÒ ÚÓ Ò ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ØØ ÑÙÓ¹ Ó y 2 = x 3 + ax 2 + bx + cº ÂÓ ÖÖÓ Ò ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÒ ¾ ÚÓ Ò ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ØØ ¹ ÑÙÓ Ó ÝÐ Ò ÙÐ Ö Ò Ò ¹ÝÐ Ò ÙÐ Ö Ò Òº ÂÓ ÝÖÒ ÖÖÓ Ò a 1 0 Ò Ò ÝÖ ÚÓ Ò ØØ ÝÐ Ò ÙÐ Ö ÑÙÓ Ó y 2 + xy = x 3 + ax 2 + b, a, b Kº Ð Ò ÙÐ Ö Ò ÝÖÒ Ö Ñ Ò ÒØØ ÓÒ = bº Ð Ò ÙÐ Ö Ò ÝÖÒ Ò Ñ ¹ ØÝ Ó ØÙÙ ÝÖÒ Ö Ó ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÆÑ ÝÖØ ÓÒ ØÓ ØØÙ ÖÝÔØÓ Ö ¹ Ø Ó ÐÐ Ò Ö ØØ ÐÓ Ö ØÑ ÓÒ ÒÓÔ Ø Ö Ø Ø Ú º ÂÓ a 1 = 0 ÝÖ ÒÓØ Ò ¹ÝÐ Ò ÙÐ Ö ÚÓ Ò ÑÙÙØØ ÑÙÓØÓÓÒ y 2 + cy = x 3 + ax + b, a, b, c K = c 4 º ÃÙÚ ¾ ÓÒ Ø ÐØÝ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖ E(R)º ÂÓ ÙÒØ Ò ÓÐ ÑÙÙ Ù Ò R Ò Ò ÝÖÒ ØØÑ Ò Ò Ú Ù Ð Ø ÓÐ Ú º ÃÙÚ Ò ÝÖØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ y 2 = f(x)º ÈÓÐÝÒÓÑ ÐРܵ ÓÒ Ó Ó Ý Ø ÓÐÑ Ö Ð ÙÙÖØ º ÂÓ ÙÙÖ ÓÒ ÓÐÑ Ò Ò ØÙÐ ÓÐÐ Ö ÙÙÖ º ÅÙÙØ Ò ÝÖ ÓÐ Ô Ò ÙÐ Ö Ò Ò ÐÐ ÝÖ ÚÓ ÓÐÐ Ø ÖÚ Ó Ø Ø Ð Ø Ò Ø º ÙÚ µº ÌÝ ÒÒ ØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ö Ð Ô Ø Ø Ô Ø ÐÐ Ö ØØ ÑÝÝ µº È Ø ØØ Ñ Ö ØÒ ÑÝ ÝÑ ÓÐ ÐРǺ Ø ÐÐ Ò Ô Ø Ø Ò ØØ Ý¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖ Ø Ð Ú Ø ÝÖ Ø Ô Ø º ÌÑ Ô Ø ÓÒ ØÖ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ý Ò ÖØ Ø Ò ÖÝ ÑÓÔ Ö Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø ÐÐ º À Ò¼ Ä Ò¼ ½¾
ÃÙÚ ¾ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ E(R)º ÃÙÚ Ð Ø ÝÖغ º ÊÝ ÑÓÔ Ö Ø ÓØ ÇÐ ÓÓÒ E ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ÝÐ ÙÒÒ Ò Kº à ÐÐ Ô Ø ÐÐ E(K) ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ý Ø ÒÐ ÙØÓ Ñ ØÙ +µº Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ØÙÓØØ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ô Ø Ò Ó¹ ÙÙÐÙÙ ÝÖÐÐ E(K)º È Ö (E(K), +) ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ò ÖÝ ÑÒ Ñ ½
Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ Ô Ø Ö ØØ ÑÝÝ ( )º ÊÝ Ñ (E(K), +) ÝØØÑÐÐ ÚÓ Ò ÐÙÓ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ º ÃÙÚ ÙÚ Ø Ò Ý Ø ÒÐ ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÑ ØÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ P = (x 1, y 1 ) Q = (x 2, y 2 ) Ö Ô Ø Ø E(K) º ÌÐÐ Ò P Ò Q Ò ÙÑÑ R ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÙÖ Ú Ø º Ò Ò Ú ØÒ ÙÓÖ Ô Ø Ò P Q ÙØØ º ËÙÓÖ Ð ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÓÐÑ ÒÒ Ô Ø º È Ø R Ò ÙÒ ÙÓÖ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ô Ø Ô Ð Ø Ò Ü ¹ Ð Ò Ù Ø Òº È Ø R = 2P (2P = P + P) Ò ÙÖ Ú Ø º È ÖÖ ØÒ Ô Ø Ò P ÙØØ Ø Ò ØØ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖÐÐ º È Ø R Ò ÙÒ Ø Ò ÒØ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ô Ø Ô Ð Ø Ò Ü¹ Ð Ò Ù Ø Òº ÃÙÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÚ Ù Ô Ø Ò È É Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ º Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ø ÖÝ ÑÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ Ö ÔÔÙÚ Ø ÝØ ØØÚ Ø ÙÒÒ Ø º Çй ÓÓÒ E(K) : y 2 = x 3 + ax + b, char(k) 2, 3º ÌÐÐ Ò ÖÝ ÑÓÔ Ö Ø ÓØ Ñ¹ Ö Ø ÐÐÒ Ò ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ ÙÖ Ú Ø ½º Æ ÙØÖ Ð Ð Óº P + = + P = P P E(K)º ¾º ÃÒØ Ð Óغ ÂÓ P = (x, y) E(K) Ò Ò (x, y) + (x, y) = º È Ø ØØ (x, y) Ñ Ö ØÒ P Ø ÙØ ÙØ Ò P Ò ÒØ Ð Ó º È Ø P ÓÒ Ò ÝÖÐÐ E(K)º ÈØ ÑÝ ØØ = º ½
º È Ø Ò Ý Ø ÒÐ Ùº ÇÐ ÓÓÒ P = (x 1, y 1 ) E(K) Q = (x 2, y 2 ) E(K) Ñ P ±Qº ÌÐÐ Ò P + Q = (x 3, y 3 ) Ñ x 3 = ( y2 y 1 x 2 x 1 ) 2 x1 x 2 y 3 = ( y2 y 1 x 2 x 1 )(x 1 x 3 ) y 1 º º È Ø Ò ÖØÓÑ Ò Ò ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ P = (x 1, y 1 ) E(K) Ñ P ( ) P º ÌÐÐ Ò 2P = (x 3, y 3 ) Ñ 3x 2 2 ( ) 1 x 3 = +a 2y 2x1 1 3x 2 1 y 3 = +a 2y 1 (x 1 x 3 ) y 1 º ÂÓ ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÒ ¾ Ø Ò Ò Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø Ú ÐÐ º Ë ÑÓ Ò ÝÐ Ò ÙÐ Ö ÐÐ ¹ÝÐ Ò ÙÐ Ö ÐÐ ÝÖ ÐÐ º ÆÑ ØÝ ¹ ÑÙÓ ÓØ Ñ Ö Ò Ò Ð ÝØÝÝ Ð Ö ÐÐ ÙÙ Ø º À Ò¼ Ø ØÝØ Ú Ø ÝØØÚØ ÙÒÒ Ò K ÖØÓÐ ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÒØ Ð ÓÒ Ø¹ Ñ Ø ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÂÓ ÒØ Ð ÓÒ Ø Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ø Ú ÑÔ Ù Ò ÖØÓÐ ÙØÓ Ñ ØÙ ÚÓ Ò Ô Ø Ò ØÝ ÝØØ ÔÖÓ Ø Ú ÓÓÖ ¹ Ò ØØ º È Ø Ò ØÝ ÔÖÓ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚ Ð Ó¹ Ö ØÑ Ø Ý ÐÔ ÑÙØØ Ò ÓÒ ÐÙ ØØ Ú Ð Ö ÐÐ ÙÙ Ø º À Ò¼ º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ Ö ÐÐ ÙÒÒ ÐÐ ÔÔ Ð Ø ØÝØ Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ø ÚÓ Ò Ó Ø ÑÝ Ú ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÓÓÖ Ò ØØ ÙÒØ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÈÓ Ù Ò ÓÚ Ø Ö Ø ¹ Ö Ø Ò ¾ ÙÒÒ Ø Ó Ú Ø ÓÚ Ø Ñ Ò Ö Ð Øº Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ E ÝÐ ÙÒÒ Ò K 5 ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÖ E : y 2 x 3 + 4x + 4 (mod 5) ÃÝÖ ÓÒ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ Ó ÐÐ ÓÐ ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÒÒ K 5 º Ä ÝÖÒ Ö Ñ Ò ÒØØ = 16(4 4 3 + 27 4 2 ) = 11008 0º ÌÐÐ Ò Ô Ø Ø E ÓÚ Ø Ô Ö Ø (x, y) mod 5 ÓØ ØÝØØÚØ ÐÐ Ò Ý ØÐ Òº ½
x 0 y 2 4 y 2, 3 (mod 5) x 1 y 2 9 4 y 2, 3 (mod 5) x 2 y 2 20 0 y 0 (mod 5) x 3 y 2 43 3 Ö Ø Ù ÐÐ y / K 5 x 4 y 2 84 4 y 2, 3 (mod 5) x y º E Ò Ô Ø Ø ÓÚ Ø (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (4, 2), (4, 3), (, )º È Ø Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò ÙÒÒ Ò K 5 Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ÑÓ ÙÐÓÓÒ º Ñ Ö ½¼º Ä Ø Ò P + Q Ñ P = (1, 2), Q = (4, 3)º ( 3 2 2 x 3 4 1) 1 4 4 1 4 1 4 (mod 5) ( ) y 3 (1 4) 2 2(1 4) 2 2 (mod 5) 3 2 4 1 (1, 2) + (4, 3) = (4, 2)º ÌÓ Ø Ò Ö ØÖ ØÙÐÓ Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò ÝÐ ÑÖ Ø ÐÐÝ Ø ÐÐ ÔØ Ø Ý¹ Ö Øº À Ò Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ E Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò K p ÝÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖº ÌÐÐ Ò ÖÝ ÑÒ E(K p ) Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ N ØÓØ ÙØØ ÓÒ q + 1 2 q N q + 1 + 2 qº ÌÙÐÓ Ø ÝØØÚØ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓØ Ð Ú Ø ØÙÒÒ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø ¹ Ò ÐÙ ÙÑÖº Æ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÝØ ØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÔÝ ØÝØØÑ ÙÒ Ø ØÒ ÓÔ Ú ÐÐ ÔØ Ø ÝÖº Ä Ò¼ ¾ ½
ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÎÙÓÒÒ ½ Æ Ð ÃÓ Ð ØÞ Î ØÓÖ Å ÐÐ Ö ØØ ÚØ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ¹ ÓØÙ Ø Ù Ò ÐÐ ÔØ ÝÖ ÝØØÑÐÐ ÚÓ Ò ÐÙÓ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò ¹ Ð Ù Ö Ø ÐÑ º ½ ¼ ÚÙÓ ÝÑÑ Ò Ò ÐÓÔÙÐÐ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ø Ú Ø Ð Ò ÙÔ ÐÐ Ñ Ö ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ò Ö Ó ÒØ ÓÖ Ò Ø ÓØ Ñ¹ Ö ØØ Ð ÚØ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ ÝÖ ØÝ Ø ÓÚ Ð Ú Ø Ò Ø ØÙÓØØ Ò º À Ò¼ ¾ Ì ÔÔ Ð Ø ØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ECDPLµ Ù Ò ÐÚØ Ø Ø ØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø Ò Ù Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ø Ô ØÙÙ Ð Ñ Ð Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÑÙ Ø º º½ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÅÖ Ø ÐѺ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÙÖ Ú º Çй ÓÓÒ E(K q ) ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ Ô Ø P E(K q ) ord(k q ) = n Ô Ø Q P º ÇÒ¹ ÐÑ Ò ÓÒ Ð ÝØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù l [0, n 1] º º Q = lp º ÄÙ Ù l ÙØ ÙØ Ò Q Ò Ö Ø ÐÓ Ö ØÑ ÒÒ P º Å Ö ØÒ l = log P Qº ÄÈ Ò Ö Ø Ñ Ò Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ Ö ØÝ Ò ØÖ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ¹ º Ë Ò Ù ÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÓÐ ÒÒ Ø Ú ÑÔ Ù Ò Ð Ò Ò Ö Ø Ò ÐÓ¹ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÔØ ÓÒ ÐÑ Ò Ø ØÒ ÙÙÐÙÚ Ò Ú Ø ÚÙÙ ÐØ Ò ÐÙÓ Ò NP co NP º ÌÑÒ ÚÙÓ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ÝØ Øع ÚØ Ú Ñ ÒÔ ØÙÙ Ø ÓÚ Ø ÐÝ Ý ÑÔ Ù Ò Ñº ÊË º ÄÈ Ò Ö Ø ÙÐÐ ØÙÒÒ Ø Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÆÓÔ ÑÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ ¹ Ò ÓÚ Ø Ú Ø ÚÙÙ ÐØ Ò Ó Ø ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ð ÐÙÚÙÒ #E ÙÙÖ Ò Ø ÓÒ Ö ØØÚÒ Óº ÇÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ ÓÐ ØÝØØÝ Ú Ñ Ò ¼ ÚÙÓ Ò Ò º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ Ó Ø Ú ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ØÓ ØÙ Ø ÐÐ ØØ ÄÈ ÓÐ Ú Ø Ö Ø Ø Ú º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ú Ð Ø Ø ÓÒ Ó ÄÈ ÐÐ ÓÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ö Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º ÂÓ ÓÐ ÓÐ Ñ ØÓ ØÙ Ó Ó Ó ØØ ØØ ÄÈ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ Ñ Ú Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ð ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ¹ Ò Ø ÓÖ Ò Ô ÖÙ ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ P NP º ÄÈ Ù Ø Ò Ò Ø Ø ÓÐ Ú Ò NP ¹ØÝ ÐÐ Ò Òº Ä Ò¼ À Ò¼ ½ ½
º¾ Ë ÐÚØ Ø Ò ØØÑ Ò Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÅÓÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÐÚØ Ø Ô Ø ÓÓ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÖÚÓ ÓØØ ÚÓ Ò Ð Ø ÝØØ Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ø º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ÐÚØ Ø ØÝØÝÝ ÓÓ Ø Ú Ð ØÙÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø º Ì Ø Ò ÓÓ Ñ Ø Ú ÙØØ ØØ Ø Ø Ñ ØÒ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó ÔÝ ØÝ Ð Ñ Ò ÒÓÔ Ø Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò ÝÐ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ØÙÒÒ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø Øº ÃÙ Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÔ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò Ô ¹ ÖÙ ØÙÚ Ð ÓÖ Ñ Ô Ø Ò Ð ÝØÑ Òº ÆÑ Ð ÓÖ ØÑ Ø ØÓ Ò ÚÓ Ú Ø Ô Ò Ð¹ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÔÓÒÒ ØÙ Ð ÝØÑÒ Ô Ø º ÃÓ Ð ØÞ ÓÒ ØØÒÝØ Ù Ø Ö Ø ÔÓ Ø Ø Ò ÓÓ Ñ Ò ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖÐÐ E Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÐ ÙÒÒ Ò K q Ñ q = p n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ ÐÙ Ùº Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö ÓÓ Ù Ø Ô º ÃÓ ÇÐ ÓÓÒ n = 1 ØÐÐ Ò q = p 3 (mod 4) Ú Ð Ø Ò p º º char(k p ) 2, 3º ÌÐÐ Ò E ÓÒ ÑÙÓØÓ E : y 2 x 3 + bx + c (mod p)º ÌÙÐ Ø Ò ÐÚØ Ø ÐÓ ÓØ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ m ÚÐ ÐØ 0 m < p 1000 1 Ø ¹ Ø Ò Ü Ò Ô ÐÐ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ø Ò Ýº ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙ y K p ÓÒ Ú Ò 1 2 º ÌÑÒ ÚÙÓ ÓÒ Ø ØÚ ÙÖ Ú ÓÖ Ù ÓÔ Ö Ø Óº Â Ø ¹ Ø Ò ÐÙ Ù m ÓÐÑ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ ¼¹ µ Ñ Ö ÐÙÚÙ ÐÐ ¼ ¼ ¼º ÌÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù x ÓÐÐ ÔØ 1000m x < 1000(m + 1)º Ë Ó Ø Ø Ò x E Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ø Ò yº ÂÓ y / K p Ò Ò Ø Ò Ñ ÙÙ ÐÐ Ò ÓÐÑ ÐÐ ÑÙÙÐÐ ÐÙ¹ ÚÙÐÐ º ÃÙÒÒ ½¼¼¼ Ú ØÓ ØÓ ÓÒ ÝØÝ ÐÔ Ø Ð Ý ØÒ y ÓÐÐ ÔØ y K p º È Ø Ò ÓÓ Ù Ò ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1 2 1000 º ÂÓ y Ð Ý ØÒ Ò Ò P m = (x, y)º ÃÓÓÖ Ò Ø Ò x ÔÙÖ Ñ Ò Ò Ø Ò ÐÚØ Ø m Ø Ô ØÙÙ Ý Ò ÖØ Ø ÔÙ ÓØØ Ñ ÐÐ Ü Ò ÓÐÑ Ú Ñ Ø ÒÙÑ ÖÓ ÔÓ º º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ø ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ò Ó ÔÙÓÐØ Ò ØÙÒØ Ñ ¹ Z p Ú Ð ØØÙ ÙÒØ E(Z p ) Ú Ð ØØÙ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ α E(Z p ) Ô ÖÙ Ô Ø Ó Ò ÖÓ Ø ÖÔ ÙÙÖ Ò Ð ÖÝ ÑÒ Ò Ô Ø Øº ½
ÂÓ Ò Ò Ó ÔÙÓÐ Ú Ð Ø ØÙÒÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ a X Ó ÓÒ Ò Ò ¹ Ð Ò Ò Ú Ñ Ò º Ä Ð Ú Ø ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ó ÓÒ Ô Ø a X α = α +... + αº }{{} a X kpl ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÙ Ð ØØ Ú Ø Ò m ØÙÐ ØØÙ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ µ ÐÐ º ÓÓ ÐÙÚÙÒ Ñ ÝÖÒ E Ô Ø ε Ñ Ö ÑÑ Ò Ø ØÝÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ð Ô Ø Ò εº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò ÓÒ a B αº Ú Ð Ø ØÙÒÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ð ØØ ÐÐ Ô Ö Ò C 1, C 2 µ ÓØ ÓÚ Ø ÝÖÒ E Ô Ø Ø Ñ (C 1, C 2 ) = (kα, ε + k(a B α))º ÔÙÖ Ð ØÙÒ Ú Ø Ò Ð Ñ ÐÐ C 2 a B (C 1 ) = ε + k(a B α) a B (kα) = ε + ka B α ka B α = εº ÐÐ ÙÚ ØØÙ Ø Ô ÓÒ Ö ÒÒ Ø ØØ Ú Ð Ñ Ð Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Òº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ø ÓÒ Ø ØÝ ÑÝ ÑÙ Ø Ð Ñ Ð Ò Ú Ö ÒØØ º Ìй Ð Ò Ò ÓÒ ÑѺ Å Ò Þ¹Î Ò ØÓÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ º ÖÓÒ ÐÐ Ø ØØÝÝÒ Ø Ô Ò ÓÒ ÐÚØ Ø Ò ÓÓ Ñ Ò Ò ÝÖÒ E Ô Ø º Ì Ý Ø Ñ ÙÐ Ò Ú ¹ Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò ÐÐ Ñ Ö º Ë Ð ØØ Ú Ú Ø ÐÓ Ó ØÙÐ Ø Ò ÙÒÒ Ò Z p Ô Ö (w 1, w 2 ). ÃÖÝÔØ Ù ÙÒ Ø ÓØ Ú ÖØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ñ Ó Ò ØÙÒÒ ÐÙ Ù c 1 : Ô Ø Ò m(a B α) ܹ ÓÓÖ Ò ØØ c 2 : Ô Ø Ò m(a B α) ݹ ÓÓÖ Ò ØØ y 0 : Ô Ø mα y 1 : c 1 w 1 (mod p) y 2 : c 2 w 2 (mod p)º ½
ÄÙÚÙÐÐ Ñ ÖÖÓØØ Ú Ô Ø a B α ÓÒ Ú Ø ÒÓØØ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Òº Ë Ð ØØ Ú Ú Ø ÐÓ Ó ÖÖÓØ Ò Ú Ð ØÙÒ Ô Ø Ò mα Ü Ý ¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ º ÌÑ ÓÒ ÒÓÔ ÑÔ Ø Ô Ô Ø Ò ÓÓ Ù Ò Ù Ò ÑÑ Ò Ø ØØÝ ÃÓ Ð ØÞ Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÐ ØÓ ØØÙ ÓÐ Ú Ò Ý ØÒ ØÙÖÚ ØØÓÑ ÑÔ Ñ Ò Ø ÐѺ Ë Ð Ù ÔÙÖ Ù¹ ÙÒ Ø ÓØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø S((w 1, w 2 ), m) = (y 0, y 1, y 2 ) P(y 0, y 1, y 2 ) = (y 1 c 1 1 (mod p), y 2 c 1 2 (mod p))º ÈÙÖ Ù ÙÒ Ø ÓÒ c 1 c 2 Ò Ú Ø ÒÓØØ Ò Ð Ò Ú Ñ Ò Ð ÐÙÚÙÒ a B ÚÙÐÐ Ô Ø Ø y 0 ÙÖ Ú Ø a B y 0 = a B (mα) = m(a B α) = (c 1, c 2 )º ÈÙÖ Ù ÙÒ Ø Ó ØÙÓØØ Ô Ö Ò (w 1, w 2 ) ÙÒ y 1 ÖÖÓØ Ò c 1 Ò Ú Ø ¹ Ð ÓÐÐ Ú Ø Ú Ø y 2 c 2 Ò Ú Ø ¹ Ð ÓÐÐ º Ä Ò¼ Ë Ø ÒÚ ØÓ Æ Ð ÃÓ Ð ØÞ Î ØÓÖ Å ÐÐ Ö ØØ ÚØ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÝØØ Ö ØØ Ò ÐÓ¹ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò ÖÙÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÔÓ Ò Ó ÚÙÓÒÒ ½ º ÃÝ ÝÑÝ ÓÐÐÙØ Ð Ù Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÙÙ Ø Ñ Ò Ò Ú Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ ØÙÒÒ Ø¹ ØÙ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÚÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÙÙ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÖÝ Ñ Ò Ú Ö Òº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÝÚ Ò Ú Ú Ø Ð Ö ÐÐ Ò ØÖÙ ¹ ØÙÙÖ Ò ÖÝ ÑØ Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Øµ Ò Ò Ð ØØÝÚ Ò Ø ÓÖ Ó Òº Ë Ò ØÝ Ð¹ Ð Ò Ò ÝÑÑÖØÑ Ò Ò Ú Ø ÝÚ Ò ÝÚÐÐ Ø Ø ØÑÝ Ø Ð Ö Ø ÑÙØØ ÝÐ ÙÚ Ò Ý Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ñ ÚÙÙ Ø ÚÓ Ô ÖÙ Ø ÓÒ Ð Ö Ò Ø ¹ Ó ÐÐ Òº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ÒÓ Ò Ù ÓÑÙ Ò ØØ Ö ¹ Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ Ø ÝÑÔÖ Ø ÓÒ Ú Ø Ö Ø Ø Ú º ÃÙ Ø Ò¹ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ñ ØÒ ØÓ ØÙ Ø ÐÐ ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º ÌÐÐ Ò ØÓ ØÙ Ò Ð ÝØÝÑ Ò Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ð ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ò Ø ÓÖ Ò ÖÒ Ô ÖÙ Ý ÝÑÝ Ò Ó Ó Ø¹ Ø Ñ ÐÐ ØØ P NP º ÃÓ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖÒ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ ¾¼
ÓÐ ÓÐ Ñ Ý Ø Ø Ó Ø Ö Ø Ù Ù Ò Ð ÐÐ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø ÐÝ ÑÔ Ù Ò Ñ Ö ÊË º ÃÙ Ø Ò Ò ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÚØ ÓÚ ÐÐÙ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÔÓ º Ð ¹ Ò ÙÐ Ö ÐÐ ÔØ ÝÖ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÐÔÓ Ø Ö Ø¹ Ø Ú º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÝØØ ÓÒ Ø ÐÐ ÓÔ Ú Ò ÝÖÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ú Ø Ú ÓÔ Ö Ø Óº ËÓÔ Ú Ò ÝÖ Ò Ø ¹ Ñ Ò ÓÐ ØØÝ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÄÝ Ý Ò Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ò ÚÙÓ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÓÙ ÙØØ Ð Ú Ú ØÓ ØÓ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ö ¹ Ø ÐÑ Ñ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ ÐÐ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ñ Ö ØÝ Ù Ò Ð Ù ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒÓÔ Ù ÐÐ º ¾½
Î ØØ Ø À Ò¼ Å Ò Þ º Î Ò ØÓÒ Ëº À Ò Ö ÓÒ º Ù ØÓ ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ÖÝÔ¹ ØÓ Ö Ô Ýº ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ¾¼¼ º à ּ ̺ à ÖÚ º Ì ØÓØÙÖÚ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º Ì ØÓØÙÖÚ ÙÖ Ò Ð ØØÝÚ ÐÙ Ò¹ ØÓÑÓÒ Ø À Ð Ò Ò Ð ÓÔ ØÓ Ø ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À Ð Ò ¾¼¼ º ÃÓ Æº ÃÓ Ð ØÞº ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ýº Å Ø Ñ Ø Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ½½ µ ¾¼ ¾¼ ½ º Ä Ò¼ º Ä ÒÒ º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Øº ÈÖ Ñ ¹ Ø Ö Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼ º Šؼ ÆØÒ Ò Åº Å Ø Ò ÝР̺ Ð Ö º Ä Ñ ÖÝ À Ð Ò ¾¼¼ º Ë Åº Ë º ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ º ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÅÓÒØÖ Ð ½ º ¾¾