Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit Kurssin jatkon kannalta on tärkeää, että suorien piirtäminen koordinaatistoon tulee palautettua mieleen kunnolla
Suoran yhtälö Suoran yhtälön ratkaistu muoto y = kx + b Ratkaistu muoto, kun pelkkä y on yksin toisella puolella yhtälöä ja muut termit ovat toisella puolella. Mitkä seuraavista ovat suoran yhtälön ratkaistuja muotoja? 1. y= 2x + 1 2. x= y + 1 3. 2y = 2 4. y = 3 - x 5. 2x + y - 4 = 0 6. y = 0 7. y = x 2-4 Vastaus: 1, 4, 6 Suoran yhtälön tunnistus: sisältää ainakin toisen muuttujia x ja y, sekä voi sisältää vakion (paljaan luvun). Muuttujilla ei saa olla eksponenttia.
Suoran yhtälön ratkaistusta muodosta y = kx + b saadaan selville 1. suoran ja y-akselin leikkauspiste (0,b) 2. Suoran kulmakertoimen k = (0,b) k y= y= 2x 2x + 1 + 1 x= y x= + y 1 + 1 y = y 3 = - 3 x - x 2x + y - 4 = 0 2y = 2y 2 = 2 y = 0 y = 0 (0,1) (0,-1) (0,3) (0,4) (0,1) (0,0) 2 1-1 -2 0 0 y:n muutos = y 2 y 1 x:n muutos x 2 x 1 (muuttujan x kerroin) Mitkä ovat seuraavien suorien leikkauspisteet y-akselilla ja kulmakertoimet Muista ratkaistu muoto: y= x-1 Muista ratkaistu muoto: y= -2x+4 Muista ratkaistu muoto: y=0x + 1 Muista ratkaistu muoto: y=0x + 0
Suoran piirtäminen TÄRKEÄ vaaka-akseli x, pystyakseli y, pisteet (x,y) 1. Muokkaa suoran yhtälö ratkaistuun muotoon 2. Selvitä b ja k 3. Piirrä koordinaatistoon suoran ja y-akselin leikkauspiste (0,b) y:n muutos 4. Siirry piirretystä pisteestä kulmakertoimen = = y 2 y 1 avulla x:n muutos x 2 x 1 seuraavaan pisteeseen geogebra 1. y= 2x + 1 k= 2 1 2. y= 1 x + 2 2 3. y=1 k=1 2 4. y = 3 - x k= 1 1 = y:n muutos x:n muutos (x kasvaa 1, y pienenee 1) Suorien leikkauspiste on vastaavan yhtälöparin ratkaisu.
Lineaarisen (kuvaajana suorat) yhtälöparin ratkaisut Lineaarisen yhtälöparin ratkaisu on lukupari, joka toteuttaa yhtälöparin molempien suorien yhtälöt. Yhtälöparin voi ratkaista graafisesti piirtämällä suorat ja etsimällä niiden leikkauspisteen koordinaatit. Ratkaisuja voi olla yksi ei yhtään äärettömän monta Yhtälöparin graafinen ratkaisu on aina likimääräinen.
esimerkki 15 Ratkaise yhtälöpari graafisesti. (tehtävän anto voisi olla myös ratkaise suorien leikkauspiste) 2x y 5 0 9x 3y 6 0 a) b) 4x 2y 6 0 6x 2y 4 0 Ratkaisu a) Muokataan molempien suorien yhtälöt muotoon y = kx + b. 2x y + 5 = 0 y = 2x 5 : ( 1) y = 2x + 5 4x 2y + 6 = 0 2y = 4x 6 : ( 2) y = 2x + 3 Siirretään 2x ja 5 yhtälön oikealle puolelle. Samalla niiden merkit vaihtuvat. Siirretään 4x ja 6 yhtälön oikealle puolelle. Samalla niiden merkit vaihtuvat Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä
Piirretään suorat samaan koordinaatistoon. Koska suorat ovat yhdensuuntaiset, niillä ei ole leikkauspistettä, eikä yhtälöparilla ole ratkaisua. Yhdensuuntaisilla suorilla on sama kulmakerroin. Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä
Ratkaisu b) Muokataan molempien suorien yhtälöt muotoon y = kx + b. 9x 3y + 6 = 0 6x + 2y 4 = 0 3y = 9x 6 : ( 3) y = 3x + 2 2y = 6x + 4 : 2 y = 3x + 2 Siirretään 9x ja 6 yhtälön oikealle puolelle. Samalla niiden merkit vaihtuvat. Siirretään 6x ja 4 yhtälön oikealle puolelle. Samalla niiden merkit vaihtuvat Suorien yhtälöt ovat samat ja piirtämättäkin havaitaan, että kyseessä on yksi ja sama suora: ratkaisuja on ääretön määrä. vastaus: a) Yhtälöparilla ei ole ratkaisua. b) Yhtälöparin ratkaisuja ovat kaikki lukuparit, jotka toteuttavat suoran yhtälön y = 3x + 2. Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä
Yhtälöparin ratkaiseminen algebrallisesti (tarkasti laskemalla) Piste (x,y) on yhtälöparin ratkaisu, jos se toteuttaa molemmat yhtälöt. (Sijoita x:n ja y:n arvot yhtälöihin ja sievennä.) Kaksi tapaa: 1. Sijoitusmenetelmä 21-27 2. yhteenlaskumenetelmä
Sijoitusmenetelmä: Ratkaise yhtälöpari y 2x = 2 2x + y = 6 1. Ratkaistaan toisesta yhtälöstä toinen sen muuttujista, (muokataan tämä yhtälö sellaiseen muotoon, että muuttuja on yksin yhtäsuuruusmerkin toisella puolella.) 2. Sijoita ratkaistun muuttujan lauseke toiseen yhtälöön muuttujan tilalle. 3. Ratkaise saatu yhden muuttujan yhtälö. 4. Sijoita kohdassa 3 ratkaistu muuttuja kohdan 1. yhtälöön ja ratkaise toinen muuttuja. Ylemmästä yhtälöstä: y = 2x +2 Sijoitetaan y:n lauseke 2x+2 y:n paikalle alempaan yhtälöön: 2x + y = 6 2x + 2x+2 = 6 4x = 4 x = 1 Sijoitetaan ratkaistu x:n arvo 1: y = 2x +2 y = 2 1 +2=4 Vastaus: x=1, y=4 (1,4)
Yhteenlaskumenetelmä: 1. Laita samat muuttujat allekkain 2. Tarkista, onko toisen muuttujan kertoimet vastaluvut. 3. Jos ei ole, kerro yhtälöitä sopivasti puolittain, että saat vastaluvut kertoimiksi 4. Summaa yhtälöt puolittain yhteen. Saat yhden muuttujan yhtälön. 5. Ratkaise yhtälö. 6. Sijoita edellisen kohdan ratkaisu jompaankumpaan yhtälöistä. Ratkaise saatu yhtälö Ratkaise yhtälöpari 2x + y = 2 2x + y = 6 0x + 2y = 8 y = 4 2x + y = 6 2x + 4 = 6 2x = 2 x = 1 Vastaus: x=1, y=4 (1,4) y 2x = 2 2x + y = 6
Tee tehtävät 22-30