Kaavakokoelma f[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+,..., x j ] f[x i,..., x j ] x j x i T n+ (x) = 2xT n (x) T n (x), T (x) =, T (x) = x. n I,n = h f(t i + h 2 ), E,n = h2 (b a) f (2) (ξ). 24 i= I,n = h n 2 [f(a) + f(b) + 2 f(t i )], E,n = h2 (b a) f (2) (ξ) 2 I 2,n = h 3 [f(a) + f(b) + 4 m i= i= m f(t 2i ) + 2 f(t 2i )], E 2,n = h4 (b a) f (4) (ζ) 8 R k, = I,2 k, R k,j = 4j R k,j R k,j 4 j, k j 2. i= f (x ) = f(x + h) f(x h) 2h f (x ) = 3f(x ) + 4f(x + h) f(x + 2h) 2h + h2 6 f (3) (η) f (x ) = f(x + h) f(x ) h + h2 3 f (3) (η) f (x ) = f(x + h) 2f(x ) + f(x h) h 2 h2 2 f (4) (η) u n+ = u n + hk 2 u n+ = u n + h 2 [K + K 2 ] K = f(t n, u n ) K = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + 2 h, u n + 2 hk ) K 2 = f(t n + h, u n + hk ) u n+ = u n + h 4 [K + 3K 3 ] u n+ = u n + h 6 [K + 4K 2 + K 3 ] K = f(t n, u n ) K = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + 3 h, u n + 3 hk ) K 2 = f(t n + 2 h, u n + 2 hk ) K 3 = f(t n + 2 3 h, u n + 2 3 hk 2) K 3 = f(t n + h, u n hk + 2hK 2 ) u n+ = u n + h 6 [K + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ] K = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + 2 h, u n + 2 hk ) K 3 = f(t n + 2 h, u n + 2 hk 2) K 4 = f(t n + h, u n + hk 3 )
Matematiikan jaos, teknillinen tiedekunta Numeeriset menetelmät, loppukoe 6.. 29. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x y = 2 x + 4y z = 4 y + 4z = likiratkaisu. Suorita kolme iteraatiokierrosta lähtien arvoista x = y = z =. Arvioi virhettä -normin suhteen. 2. Funktio f(x) saa pisteissä x = 7, x = 5, x 2 = 4, x 3 = arvot f(x ) =, f(x ) = 5, f(x 2 ) = 2, f(x 3 ) =. Määrää funktion interpolaatiopolynomi ja laske sen arvo pisteessä x = 3. 3. Oletetaan, että jäätikön muoto on ympyräsylinteri, jonka säde on R 4 m ja paksuus h. Hyvin karkeassa mallissa stabiilin jäätikön sädettä R voidaan mallintaa yhtälöllä R Määrää jäätikön säteen approksimaatio. cos(r 2 )dr R 2 =. 4. Approksimoi modifioidulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän y (x) = x 2 + y(x) 2 y() = ratkaisua pisteessä x =.2 käyttäen askelpituutta h =. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h =.25. u (x) + u(x) = u() = u() =
Matematiikan jaos, teknillinen tiedekunta Numeeriset menetelmät, loppukoe 2.9 29. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x y = 5 x + 4y z = 5 y + 4z = likiratkaisu. Suorita kolme iteraatiokierrosta lähtien arvoista x = y = z =. 2. Ratkaise epälineaarinen yhtälöryhmä { xy = x 2 y 2 = Newtonin menetelmällä. a) Kirjoita yleinen iteraatioaskel (4 p); b) Ratkaise ensimmäinen iteraatio x ja y, kun alkuarvaus on x = 2 ja y = (2 p). 3. Olkoon P P 3 interpolaatiopolynomi siten, että P (x i ) = f i,missä x : 3 f : 5 6 9 33. Laske interpolaatiopolynomin arvo pisteessä x = 2. 4. Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo tuhannesosan tarkkuudella. ln(x) dx 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h = 4. u (x) + u(x) = u() = u() =
Matematiikan jaos, teknillinen tiedekunta Numeeriset menetelmät, loppukoe 5.8 29. Määrää matriisin 2 2 3 4 7 7 2 4 5 LU-hajotelma. 2. Ratkaise Gauss-Seidelin menetelmällä lineaarinen yhtälöryhmä x 9 2 x 2 = 7. 2 x 3 6 Arvioi neljännen iteraatin virhettä x x (4). Arvioi a priori-arvion nojalla, kuinka monta iteraatiota tarvitaan ko. menetelmällä miljoonasosan tarkkuuteen. 3. Ratkaise epälineaarinen yhtälöryhmä Newtonin menetelmällä. a)kirjoita yleinen iteraatioaskel (4 p); { xy = x y 2 = b)ratkaise ensimmäinen iteraatio x ja y, kun alkuarvaus on x = ja y = (2 p). 4. Laske integraalille x 3 dx likiarvo summatulla Simpsonin kaavalla, kun tukipisteitä on 6. Mikä on approksimaation virhe? 5. Ratkaise alkuarvotehtävän y (x) + y(x) = cos( 8π 3 x), y() =, approksimaatio välillä [, ] käyttämällä toisen kertaluvun Runge-Kutta menetelmää askelpituudella h = 4.
Mathematics division, Faculty of Technology Numerical methods, Exam 5.8 29. Find the LU-decomposition of the matrix 2 2 3 4 7 7 2 4 5 2. Solve by the Gauss-Seidel iterations the system of equations x 9 2 x 2 = 7. 2 x 3 6 Estimate the error x x (4). Using the a priori error estimate find the number of iterations needed for the accuracy of one millionth. 3. Solve the nonlinear system of equations { xy = x y 2 = with Newton method. a)write the general iteration step (4 p); b)solve the first iteration step x ja y, when the initial guess is x = and y = (2 p). 4. Find the approximate value of the integral x 3 dx using the compound Simpson rule, when the number of grid points is 6. What is the approxcimation error? 5. Solve the initial value problem y (x) + y(x) = cos( 8π 3 x), y() =, on the interval [, ] using the second order Runge-Kutta method with the stepsize h = 4.
TTK MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Loppukoe 9..29. Muodosta funktiolle f(x) = 3x kolmannen asteen Taylorin polynomi origossa sekä vastaava virhetermi. 2. Määrää funktion f(x) = x 3 2 cos( πx 4 ) interpolaatiopolynomi pisteistöllä { 2,,,, 2} ja interpoloi polynomin avulla lukua f(.5). 3. Laske integraalin I = cos(2x 2 )dx, summatulla Simpsonin säännöllä, kun osavälien lukumäärä on 8 ja suorita virhearviointi. 4. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x y = 5 x + 4y z = 5 y + 4z = likiratkaisu. Suorita kolme iteraatiokierrosta lähtien arvoista x = y = z =. 5. Ratkaise alkuarvotehtävä y (x) = 4x 2 y(x) + 3x 2, y() =, x toisen kertaluvun Taylorin menetelmällä, kun askelpituus h =.25
MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS EXAM 9..29. Construct a Taylor polynomial of order 3 for the function f(x) = 3x at the origin. and the corresponding error term. 2. Find the interpolation polynomial of the function f(x) = x 3 2 cos( πx 4 ) with respect to the points { 2,,,, 2}. Compute the approximate value f(.5) using the interpolation polynomial. 3. Compute an approximate value for the integral I = cos(2x 2 )dx, using the compound Simpson rule with 8 subintervals. Estimate the error. 4. Solve the system of equations 4x y = 5 x + 4y z = 5 y + 4z = by the Jacobi iteration. Carry out three iterations starting with x = y = z = and discuss the convergence of the method. 5. Solve the initial value problem y (x) = 4x 2 y(x) + 3x 2, y() =, x by applying the Taylor series method of order two and the step size h =.25.
Teknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät Loppukoe, 24..25. Määrää matriisin [ ] 3 5 4 5 QR-hajotelma Householderin menetelmällä. 2. Ratkaise Jacobin iteraatiomenetelmällä yhtälöryhmän [ ] [ ] [ ] 3 x 4 =. 3 4 likiratkaisu x (4), kun alkuarvaus on x () = [ ] T. Arvioi ratkaisun a posteriori -virhettä. 3. Olkoon P P 3 interpolaatiopolynomi siten, että P (x i ) = f i, missä x 2 x i : 2 f i : 2 5. Laske interpolaatiopolynomin arvo pisteessä x =.5. 4. Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo tuhannesosan tarkkuudella. ln(x) dx 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän y (x) + sin(y(x)) = y() = y() =, approksimaatio solmupisteissä, kun hilaparametri h = 3.
FACULTY OF TECHNOLOGY, MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS, EXAM 24..25. Find the QR-decomposition of the matrix [ ] 3 5 4 5 using the Householder method. 2. Find the approximate solution of the matrix equation [ ] [ ] [ ] 3 x 4 =. 3 4 x 2 using the Jacobi iteration. Compute x (4) [, ] and estimate the error using the a posteriori estimate. Start the iteration from x () =. 3. Let P P 3 be the interpolation polynomial such that P (x i ) = f i, where x : 2 f : 2 5. Compute the value of the polynomial at the point x =.5. 4. Approximate the value of the integral ln(x) dx within one thousands of accuracy using the Romberg integration. 5. Find the approximate solution of the boundary value problem y (x) + sin(y(x)) = y() = y() =, by the finite difference method, when the mesh parameter is h = 3.
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, Loppukoe 22..24. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x x 2 = 4 x + 4x 2 x 3 = x 2 + 4x 3 = 4 likiratkaisu käyttäen alkuarvausta x () = [ ] T. Arvioi approksimaation x (2) virhettä L -normin suhteen a posteriori-arvioiden perusteella. 2. Ratkaise kiintopisteiteraatiolla funktion g(x) = 2x kiintopiste joukossa {x R +x 2 2 x 3 2 } kolmen desimaalin tarkkuudella lähtien alkuarvauksesta x = 2. 3. Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo tuhannesosan tarkkuudella. ln(x) dx 4. Olkoon P P 3 interpolaatiopolynomi siten, että P (x i ) = f i,missä x : 3 f : 5 6 9 33. Laske interpolaatiopolynomin arvo pisteessä x = 2. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h = 3. u (x) + e u(x) = u() = u() =
FACULTY OF TECHNOLOGY, MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS, EXAM 22..24. Solve by the Jacobi iteration the system of equations 4x x 2 = 4 x + 4x 2 x 3 = x 2 + 4x 3 = 4 using x () = [ ] T as the initial guess. Estimate a posteriori error of x (2) in L -norm. 2. Find, within three decimals, the fixed point of the function g(x) = 2x +x 2 within the set {x R 2 x 3 2 } using the fixed point iteration starting from x = 2. 3. Approximate the integral ln(x) dx using the Romberg method within three decimals. 4. Let P P 3 be the interpolation polynomial such that P (x i ) = f i,where Compute P (x) at the point x = 2. 5. Solve by the finite difference method x : 3 f : 5 6 9 33. u (x) + e u(x) = u() = u() = the approximate solution when the mesh parameter is h = 3.
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, Loppukoe..24. Muodosta funktiolle f(x) = 3x kolmannen asteen Taylorin polynomi origossa sekä vastaava virhetermi. 4. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x y = 5 x + 4y z = 5 y + 4z = likiratkaisu. Suorita kolme iteraatiokierrosta lähtien arvoista x = y = z =. 3. Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo miljoonasosan tarkkuudella. x ln(x) dx 4. Määrää funktion F (x, x 2 ) = ( 2 4 x 2 5 x 2 2 2 4 x 2 2 x 2 2 kiintopiste joukossa B = {x R 2 x 2 + x2 2 } sadasosan tarkkuudella käyttäen Banachin kiintopisteiteraatiota. Alkuarvauksena käytä pistettä x = [.5.5]. 5. Ratkaise alkuarvotehtävä y (x) = 4x 2 y(x) + 3x 2, y() =, x toisen kertaluvun Taylorin menetelmällä, kun askelpituus h =.25 )
FACULTY OF TECHNOLOGY, MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS, EXAM..24. 2. Solve by the Jacobi iteration the system of equations 4x x 2 = 5 x + 4x 2 x 3 = 5 x 2 + 4x 3 = within the accuracy of 3 using as the initial guess x () = [ ] T. 3. Approximate the integral x ln(x) dx using the Romberg method within the accuracy of 6. 4. Find the fixed point of the function F (x, x 2 ) = ( 2 4 x 2 5 x 2 2 2 4 x 2 2 x 2 2 in the set B = {x R 2 x 2 + x2 2 } within the accuracy of 2 using the Banach fixed point iteration. As the initial guess use the point x = [.5.5]. 5. Solve by the finite difference method u (x) + e u(x) = u() = u() = the approximate solution when the mesh parameter is h = 3. )
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, kesätentti 9.6.24. Määrää matriisin A = ( ) QR-hajotelma Householderin menetelmällä. 2. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 5x x 2 = 9 x + 5x 2 x 3 = 4 x 2 + 5x 3 = 6 likiratkaisu tuhannesosan tarkkuudella käyttäen alkuarvauksena pistettä x () = [ ] T. 3. Määrää integraalin π 2 x cos(x) dx likiarvo Rombergin menetelmällä tuhannesosan tarkkuudella. 4. Ratkaise modifioidulla l. parannetulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän y = y + t, y() = likiratkaisu y(), kun askelpituus h =.2. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h = 3. u (x) + e u(x) = u() = u() =
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, loppukoe 26..24. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 2x x 2 = 3 x + 2x 2 = 3 likiratkaisu sadasosan tarkkuudella a posteriori-arvion perusteella. 2. Määrää yhtälöparin 4x 3 27xy 2 + 25 = 4x 2 3y 2 = ratkaisun approksimaatio Newtonin menetelmällä käyttäen alkuarvauksena pistettä (, ). Laske kaksi iteraatiokierrosta. 3. Muodosta funktion f(x) interpolaatiopolynomi P 3 (x), kun funktio saa pisteissä x =, x = π 2, x 2 = π, x 3 = 3π 2 arvot f =, f =, f 2 =, f 3 =. 4. Laske integraalin e dx likiarvo Rombergin menetelmällä, kun integroitavan funktion x +2 arvo lasketaan korkeintaan 9:ssä pisteessãď. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h =.25. u (x) + u(x) = u() = u() =
FACULTY OF TECHNOLOGY, MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS, EXAM 26..24. Solve the system of equations 2x x 2 = 3 x + 2x 2 = 3 by the Jacobi method within the accuracy of onehundreths according to the a posteriori estimate. 2. Approximate the solution of 4x 3 27xy 2 + 25 = 4x 2 3y 2 = by the Newton method. Use as the starting point for your iterations the point (, ). Compute two iterations. 3. Find the interpolation polynomial P 3 (x) to the function f(x) that attains at the points x =, x = π 2, x 2 = π, x 3 = 3π 2 the values f =, f =, f 2 =, f 3 =. 4. Compute the approximate value of the integral e dx using the Rombergin integration, when the values of the integrand is computed only at most nine x +2 points. 5. Solve by the finite difference method the approximate solution of the boundary value problem when the discretization parameter h =.25. u (x) + u(x) = u() = u() =
MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Loppukoe, 7..23. Ratkaise Jacobin iteraatiomenetelmällä yhtälöryhmän 6 2 x 2 7 2 x 2 = 5 2 5 x 3 likiratkaisu x (4), kun alkuarvaus x () = [ ] T. Arvioi a posteriori-arvion nojalla likiratkaisun virhettä. 2. Määrää funktion ϕ(x) = 2 sin(x)+ 4 kiintopiste välillä I = [ 4, 3 4 ] sadasosan tarkkuudella. Käytä alkuarvauksena x =.5. 3. Määrää summatulla Simpsonin säännöllä integraalin I = likiarvo kolmen desimaalin tarkkuudella. + x 4 dx 4. Ratkaise modifioidulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän y (x) = y(x) sin(x) x y() = ratkaisun likiarvo pisteessä x = 2, kun askelpituutena on h = 3. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän likiratkaisu, kun hilaparametri h =.25. y =, y() = y() =
MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Exam, 7..23. Solve the approximate solution x (4) of the system of equations 6 2 x 2 7 2 x 2 = 5 2 5 x 3 using the Jacobi iteration, when the initial quess is x () = [ ] T. Estimate the a posteriori error. 2. Determine the fixed point of the function ϕ(x) = 2 sin(x) + 4 on the interval I = [ 4, 3 4 ] within the accuracy of.. As the initial quess the value x =.5. 3. Approximate the integral I = with the composite Simpson rule in three digits. + x 4 dx 4. Using the modified Euler method compute the approximation of the initial value problem y (x) = y(x) sin(x) x y() = at the point x = 2, when the step size is h = 3. 5. By the finite difference method approximate the solution of the boundary value problem when the discretization parameter h =.25. y =, y() = y() =,
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, loppukoe 27..23. Määrää funktiolle f(x) = e x toisen asteen interpolaatiopolynomi pisteiden -, ja suhteen. Arvioi virhettä P f = P (x) f(x). max x [,] 2. Laske kahden desimaalin tarkkuudella integraalin I = + x likiarvo summatulla Simpsonin säännöllä. Kuinka monta osaväliä tarvitaan, jotta I saataisiin laskettua tarkkuudella 6 kyseistä kvadratuuria käyttäen. 3. Ratkaise Gauss-Seidelin menetelmällä yhtälöryhmän likiratkaisu kahden desimaalin tarkkuudella. 4. Määrää yhtälöparin 2x x 3 = 2x 2 x 3 = x x 2 + 4x 3 = 2 x 2 e x = x 2 + x 2 2 = ratkaisun approksimaatio Newtonin menetelmällä. Kirjoita yleinen iteraatioaskel. Laske eräs likiarvo lähtien alkuarvosta [.5,.8]. Suorita kaksi iteraatioaskelta. 5. Ratkaise modifioidulla l. parannetulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän likiratkaisu y(), kun askelpituus h =.25. y = + y 2, y() =
MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Loppukoe, 29.9.23. Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b Gauss-Seidelin menetelmällä, kun yhtälöryhmän kerroinmatriisi A on 4 2 4 8 3, 2 4 6 ja oikean puolen vektori 5 b = 7. 8 Laske kolme iteraatiota lähtien alkuarvauksesta x () = [ ]. Arvioi ratkaisun tarkkuutta aposteriorivirheen avulla. 2. Ratkaise Newtonin menetelmällä yhtälön x ln(x) = positiivinen juuri kuuden desimaalin tarkkuudella. 3. Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo miljoonasosan tarkkuudella. x ln(x) dx 4. Ratkaise modifioidulla l. parannetulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän y = y + t, y() = likiratkaisu y(), kun askelpituus h =.2. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän u (x) + e x = u() =, u() = likiratkaisut pisteissä x = 4, x 2 = 2, x 3 = 3 4.
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT (Latidi), loppukoe 2..23. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän likiratkaisu tuhannesosan tarkkuudella. 2. Määrää yhtälöparin 5x x 2 = 9 x + 5x 2 x 3 = 4 x 2 + 5x 3 = 6 x 2 + y 2 = 4 e x + y = ratkaisun approksimaatio Newtonin menetelmällä. Yksi ratkaisu on pisteen (.8,.8) ympäristössä. Laske kaksi iteraatiokierrosta. 3. Muodosta funktion f(x) interpolaatiopolynomi P 3 (x), kun funktio saa pisteissä x =, x = 2, x 2 = 4, x 3 = 5 arvot f =, f = 2, f 2 = 2, f 3 = 2. Laske interpolaatiopolynomin arvo pisteessä x = 3. 4. Ratkaise modifioidulla l. parannetulla Eulerin menetelmãďllãď alkuarvotehtãďvãďn y = y + t, y() = likiratkaisu y(), kun askelpituus h =.2. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h =.25. u (x) + u(x) = u() = u() =