DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA Timo Mäkelä Tässä tekstissä esitellään yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskentaa sekä sarjoja. Raja-arvot Raja-arvoja voidaan laskea käyttämällä Expression-paletiston raja-arvopainiketta. Tässä on kolme paikanvaraajaa, joille annetaan arvot. Paikanvaraajasta toiseen pääsee käteväsi tabulaattorilla. Symboli löytyy Common Symbols-paletistosta tai voidaan muodostaa käyttämällä komennon täydennystä: kirjoitetaan infi ja painetaan näppäimiä [Ctrl] [Space]. Komennon tulos saadaan samalle riville päättämällä komento näppäimillä [Ctrl] [Shift] []. Jos painetaan Enteriä, komennon tulos tulee seuraavalle riville. 1 2 5 2 Raja-arvo undefined ei ole olemassa, mutta toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa. 2 Raja-arvo voidaan myös laskea limit-komennolla tai käyttäen putkahdusvalikkokomentoa Limit käyttäen. Putkahdusvalikkokomentoa käytettäessä aukeaa ikkuna, johon arvot on syötettävä Maplesyntaksia käyttäen, esim. merkitään. Lasketaan raja-arvo limit-komennolla: Kokeile myös putkahdusvalikkokomentoa! 3 5 (1)
Tehtäviä Laske raja-arvot 2. Derivointi Derivaatta voidaan laskea käyttämällä Expression-paletiston derivointi- tai osittaisderivointipainiketta. putkahdusvalikkokomentoa Differentiate ja valitsemalla muuttuja, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Lasketaan derivaatta painiketta käyttäen ja putkahdusvalikkoa käyttäen. differentiate w.r.t. x Muuttujassa, jonka suhteen derivoidaan ei saa olla arvoa: Error, invalid input: diff received 7, which is not valid for its 2nd argument Muuttuja vapautetaan arvosta rekursiivisella sijoituksella (Yksinkertaiset lainausmerkit ' ovat näppäimistöllä näppäimen * ensimmäinen toiminto) Derivoinnin tulosta on usein sievennettävä esim. simplify-komennolla. Tässä voidaan käyttää putkahdusvalikkoa.
simplify tai alusta alkaen putkahdusvalikkoja käyttäen: differentiate w.r.t. a simplify Korkeampia derivaattoja ja osittaisderivaattoja saadaan muodostettua editoimalla derivaattaoperaattoria. Potenssi muodostetaan painikkeella ^, toinen kopioimalla. Derivaatta voidaan laskea myös käyttäen diff-komentoa: Korkeampia derivaattoja saadaan tällöin muodostettua käyttämällä $-merkkiä: 2. derivaatta: derivaatta: Edellä operaattori $ muodostaa lausekejonon: Osittaisderivaatta lasketaan seuraavasti: alias-komento Käyttämällä yhdistetyn funktion muodostamisoperaattoria @ ja alias-komentoa, voidaan muodostaa operaattori der, joka suorittaa sekä derivoinnin että sieventämisen. Lasketaan 2. derivaatta:
Tehtäviä Derivoi funktiot. Sievennä tulos tarpeen vaatiessa! 2. Laske seuraavien funktioiden derivaatta. 4. 5. Integrointi Integraalifunktio Integraalifunktio voidaan laskea käyttämällä Expression-paletiston integrointipainiketta. putkahdusvalikkokomentoa Integrate ja valitsemalla muuttuja, jonka suhteen integrointi suoritetaan. Lasketaan integraalifunktio Tarkistus (% viittaa edellisen laskun tulokseen) Putkahdusvalikkoa käyttäen saadaan seuraavaa: integrate w.r.t. x Integraalifunktio voidaan laskea myös käyttäen int-komentoa:
Määrätty integraali Määrätty integraali voidaan laskea Expression-paletiston painiketta käyttäen. 20 Seuraavassa numeerinen arvo on laskettu putkahdusvalikkoa Approximate käyttäen. at 5 digits 1320 Määrätty itegraali voidaan laskea myös käyttäen int-komentoa. Lasketaan. Huomaa integroimisvälin annossa kaksi pistettä Numeerinen integrointi suoritetaan komennolla evalf(int(...)). Tällöin Maple suorittaa numeerisen integroinnin suoraan ilman symbolisen integroinnin yritystä. Lasketaan : 851937052 Tasointegraali Tasointegraali lasketaan normaaliin tapaan: tai int-komentoa käyttäen: Tehtäviä Laske integraalit 2.
4. 5. 6. 7. 8. 9. Summat ja sarjat Summien ja sarjojen laskenta Painiketta käyttäen voidaan laskea äärellisiä summia ja sarjojen summia. Lasketaan simplify Summa voidaan laskea myös käyttäen sum-komentoa. Lasketaan summa : simplify Tehtäviä Laske
2. 4. 5. 6. Taylorin polynomit Funktion f(x) kertalukua n oleva Taylorin polynomi pisteessa a määritetään komennolla taylor (funktio, xa, n). Komennon muoto taylor(funktio, x, n) määrittää Taylorin polynomin pisteessä 0. Komento tulostaa myös termin, joka ilmoittaa, että loppuosa Taylorin sarjasta on kertalukua. O-termi saadaan poistettua komennolla. Seuraavassa % viittaa edellisen laskun tulokseen. Esimerkki: Taylorin polynomiapproksimaatio Tutkitaan funktion Taylorin polynomiapproksimaation tarkkuutta pisteen ympäristössä. Muodostetaan ja 7. kertaluvun Taylorin polynomit. Poistetaan niistä O-termi.
Piirretään kuva. 2 y 1 0 2 4 6 x Havaitaan, että approksimaatio paranee, kun kertaluku kasvaa. Kokeile vielä isompia kertalukuja. Komennon taylor sijasta voidaan myös käyttää monipuolisempaa komentoa series. Tehtäviä Määritä seuraavien funktioiden Taylorin polynomit 0:n ympäristössä. Valitse kertaluku sopivasti. 2. 4. 5.