Kappale 3: Symbolinen manipulointi

Transkriptio

1 Kappale 3: Symbolinen manipulointi 3 Johdanto: Symbolinen manipulointi Määrittämättömien ja määritettyjen muuttujien käyttö Exact-, Approximate- ja Auto-tilojen käyttö Automaattinen sievennys Eräiden sisäänrakennettujen funktioiden hidastettu sievennys Arvojen korvaaminen ja rajoitusten asettaminen Algebra-valikko Tavallisimmat algebralliset toiminnot Calc-valikko Tavallisimmat differentiaali- ja integraalitoiminnot Käyttäjäkohtaiset funktiot ja symbolinen manipulointi Out-of-Memory -virheilmoitus Erikoisvakiot symbolisessa manipuloinnissa Tässä kappaleessa kerrotaan yleisesti, kuinka symbolista manipulointia voi käyttää algebralaskuissa sekä differentiaali- ja integraalilaskuissa. Voit suorittaa symbolisia laskutoimituksia Home-näytössä. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 45

2 Johdanto: Symbolinen manipulointi Ratkaise yhtälöryhmä 2x ì 3y = 4 ja ë x + 7y = ë 12. Ratkaise ensimmäinen yhtälö niin, että muuttujaa x tulkitaan muuttujan y avulla. Korvaa x saadulla lausekkeella toisessa yhtälössä, ja ratkaise y:n arvo. Sijoita sitten y:n arvo ensimmäiseen yhtälöön ja ratkaise x:n arvo. Vaihe Näppäimet Näyttö 1. Ota esiin Home-näyttö ja tyhjennä komentorivi. Ratkaise yhtälö 2x ì 3y = 4 x:n suhteen. Näppäilemällä 1 valitset solve(algebravalikosta. Voit myös kirjoittaa solve( suoraan näppäimistöltä tai painaa ½ ja valita sen. 2. Aloita yhtälön ë x + 7y = ë 12 ratkaisu muuttujan y suhteen, mutta älä paina vielä -näppäintä. " MM 1 2X 3YÁ4 bxd 1 X «7YÁ 12bYd 3. Korvaa x ensimmäisessä yhtälössä ratkaistulla lausekkeella with - operaattorin avulla (Í). Näin saat muuttujan y arvon. with -operaattori näkyy ruudulla merkkinä. Korosta historia-alueen viimeisin ratkaisu automaattisella liittämistoiminnolla ja liitä ratkaisu komentoriville. Í C 4. Korosta historia-alueelta x:n yhtälö. CCC 5. Liitä korostettu lauseke automaattisesti komentoriville. Korvaa sitten toisesta yhtälöstä saatu y:n arvo. Ratkaisu on: x = ë 8/11 ja y = ë 20/11 Í C Tämä on esimerkki symbolisesta manipuloinnista. Yhtälöryhmiä voi myös ratkaista yksivaiheisella funktiolla. (Lisätietoja sivulla 61.) 46 Kappale 3: Symbolinen manipulointi

3 Määrittämättömien ja määritettyjen funktioiden käyttö Kun lasket algebralaskuja tai differentiaali- ja integraalilaskuja, on tärkeää, että ymmärrät miten määrittämättömien tai määritettyjen muuttujien käyttö vaikuttaa laskutoimituksiin. Muutoin saatat esimerkiksi saada ratkaisuksi luvun odottamasi algebralausekkeen sijasta. Määrittämättömät ja määritetyt muuttujat Vihje: Käytä muuttujanimiä, joissa on enemmän kuin yksi merkki. Jätä yksimerkkiset nimet määrittämättä, niin voit käyttää niitä symbolilaskuissa. Muuttujatyypin määrittäminen Kun syötät lausekkeen, joka siältää muuttujan, TI-89 käsittelee muuttujaa seuraavasti. Jos muuttuja on määrittämätön, sitä käsitellään algebrasymbolina. Jos muuttuja on määritetty (vaikka sen arvoksi olisi määritetty 0), sen arvo korvaa muuttujan. Muuttujatyypin tunnistaminen on tärkeää. Jos esimerkiksi haluat löytää xò :n ensimmäisen derivaatan suhteessa x:ään. Jos x on määrittämätön, ratkaisu on odotetun muotoinen. Jos x on määritetty, ratkaisu voi olla odottamattoman muotoinen. Menetelmä: Syötä muuttujanimi. Ellet tiedä, että muuttujaan x oli jo aiemmin tallennettu arvo 5, on ratkaisu 75 harhaanjohtava. Esimerkki: Jos muuttuja on määritetty, arvo esitetään. Huom! Näppäimillä 2 saat esiin luettelon määritetyistä muuttujista. Lisätietoja Kappaleessa 21. Käytä gettype -funktiota. Jos muuttuja on määrittämätön, muuttujanimi esitetään. Jos muuttujan tyyppi on määritetty, se näkyy näytössä. Jos tyyppiä ei ole määritetty, näytössä lukee "NONE". Kappale 3: Symbolinen manipulointi 47

4 Määritetyn muuttujan nollaaminen Voit poistaa muuttujan määrittelyn nollaamalla sen. Kun haluat nollata: Yhden tai useamman määritetyn muuttujan Tee näin: Käytä DelVar-funktiota. Huom! Tietoja kansioista Kappaleessa 5. Kaikki yksikirjaimiset muuttujat (a z) nykyisestä kansiosta Voit nollata muuttujia myös VAR-LINKnäytössä ( 2 ) Kappaleen 21 mukaisesti. Paina Home-näytössä 2ˆ Clear a-z. Sinua kehotetaan vahvistamaan nollaaminen. Paina. Muuttujan väliaikainen ohittaminen Jos näppäilet with-operaattorin ( ) painamalla Í-näppäintä, voit: Ohittaa väliaikaisesti muuttujan määritetyn arvon. Huom! Lisätietoja -operaattorista sivulla 55. Määrittää väliaikaisen arvon määrittämättömälle muuttujalle. 48 Kappale 3: Symbolinen manipulointi

5 Exact-, Approximate- ja Auto-tilojen käyttö Exact/Approx-tilojen asetukset, joita käsitellään lyhyesti Kappaleessa 2, vaikuttavat suoraan laskutoimitusten ratkaisujen tarkkuuteen. Tässä osassa kuvataan tila-asetusten ja symbolisen manipuloinnin suhdetta. EXACT-asetus Kun Exact/Approx = EXACT, TI-89 käyttää tarkkaa rationaalista aritmetiikkaa, jossa sekä osoittaja että nimittäjä voivat sisältää 614 numeroa. EXACT-asetus. Muuntaa irrationaaliluvut perusmuotoon niin pitkälle kuin mahdollista ilman pyöristystä. Esimerkiksi 12 muuntuu muotoon 2 3 ja ln(1000) muotoon 3 ln(10). Muuntaa liukuluvut rationaaliluvuiksi. Esimerkiksi 0.25 muuntuu muotoon 1/4. Funktiot solve, csolve, zeros, czeros, factor,, fmin ja fmax käyttävät vain tarkkoja symbolisia algoritmeja. Nämä funktiot eivät laske likimääräisiä ratkaisuja EXACT-asetuksessa. Eräillä yhtälöillä, kuten 2 x = x, on ratkaisuja, joita TI-89:n funktioilla ja operaattoreilla ei pystytä eksplisiitisesti tulkitsemaan. Sellaisille yhtälöille EXACT ei laske likimääräisiä ratkaisuja. Esimerkiksi yhtälöllä 2 x = x on likimääräinen ratkaisu x , mutta EXACT-asetuksella sitä ei esitetä. Edut Ratkaisut ovat tarkkoja. Haitat Kun käytät monimutkaisia rationaalilukuja ja irrationaalisia vakioita: Laskutoimituksissa kuluu enemmän muistia. Muisti saattaa loppua ennen ratkaisun saamista. Laskeminen vie aikaa. Ratkaisut voivat olla massiivisia. Niitä on hankalampi ymmärtää kuin liukulukuja. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 49

6 APPROXIMATE-asetus Kun Exact/Approx = APPROXIMATE, TI-89 muuntaa rationaaliluvut ja irrationaaliset vakiot liukuluvuiksi. Sääntöön on muutamia poikkeuksia: Eräät sisäänrakennetut funktiot, jotka edellyttävät yhden argumenteistaan olevan kokonaisluvun muuttavat argumentin kokonaisluvuksi, jos se on mahdollista. Esimerkiksi: d(y(x), x, 2.0) muuntuu muotoon d(y(x), x, 2). Kokonaisina lukuina olevat liukulukujen eksponentit muunnetaan kokonaisluvuiksi. Esimerkiksi: x 2.0 muuntuu muotoon x 2 myös APPROXIMATE-asetuksella. Funktiot kuten solve ja (integrate) voivat käyttää sekä tarkkaa symbolitekniikkaa että likimääräistä numeerista tekniikkaa. Nämä funktiot ohittavat kaikki tai osan tarkoista symbolitekniikoistaan, jos asetuksena on APPROXIMATE. Edut Jos tarkkoja ratkaisuja ei tarvita, tämä asetus säästää aikaa ja/tai muistia EXACTasetukseen verrattuna. Likimääräiset ratkaisut ovat joskus tiiviimpiä ja ymmärrettävämpiä kuin tarkat ratkaisut. Jos et aio laskea symbolisia laskutoimituksia, likimääräiset ratkaisut ovat samankaltaisia kuin perinteisissä numeerisissa laskimissa. Haitat Ratkaisuissa, jotka sisältävät määrittämättömiä muuttujia tai funktioita, esiintyy usein epätäydellistä purkautumista. Esimerkiksi kerroin, jonka pitäisi olla 0, saatetaan esittää pienenä arvona kuten E-11. Symboliset laskutoimitukset, kuten rajaarvot ja integrointi eivät välttämättä tuota tyydyttäviä ratkaisuja APPROXIMATE-asetuksella. Likimääräiset ratkaisut ovat joskus vähemmän tiiviitä ja ymmärrettäviä kuin tarkat ratkaisut. Haluat esimerkiksi ehkä mieluummin nähdä ratkaisun 1/7 kuin Kappale 3: Symbolinen manipulointi

7 AUTO-asetus Kun Exact/Approx = AUTO, TI-89 tarkkaa rationaalista aritmetiikkaa siellä, missä kaikki operandit ovat rationaalilukuja. Muussa tapauksessa käytetään liukulukuaritmetiikkaa sen jälkeen, kun rationaalisia operandeja on muutettu liukuluvuiksi. Liukuluvut ovat ns. "tarttuvia". Esimerkiksi: 1/2 1/3 muuntuu muotoon 1/6 mutta 0.5 1/3 muuntuu muotoon Liukuluvut eivät kuitenkaan tartu rajojen, kuten määrittämättömien muuttujien, yli eikä listan tai matriisin alkioiden välillä. Esimerkiksi: (1/2-1/3) x + (0.5 1/3) y muuntuu muotoon x/ y ja {1/2-1/3, 0.5 1/3} muuntuu muotoon {1/6, } AUTO-asetuksessa funktiot, kuten solve, määrittävät mahdollisimman monta tarkkaa ratkaisua, ja käyttävät sen jälkeen tarvittaessa likimääräisiä numeerisia menetelmiä lisäratkaisujen etsinnässä. Myös (integrate) käyttää tarvittaessa likimääräisiä numeerisia menetelmiä, jos tarkat symbolit menetelmät eivät pysty määrittämään ratkaisua. Edut Saat tarkkoja ratkaisuja, jos ne ovat käytännöllisiä, ja likimääräisiä numeerisia tuloksia, jos tarkat tulokset ovat epäkäytännöllisiä. Voit usein myös määrätä ratkaisun esitysmuodon, jos syötät joitakin kertoimia joko rationaalitai liukulukuina. Haitat Jos haluat vain tarkkoja ratkaisuja, likimääräisten ratkaisujen hakemiseen saattaa kuulua turhaan aikaa. Jos haluat vain likimääräisiä ratkaisuja, tarkkojen ratkaisujen hakemiseen saattaa kulua turhaan aikaa. Myös muisti saattaa loppua kesken tarkkoja ratkaisuja haettaessa. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 51

8 Automaattinen sievennys Kun kirjoitat lausekkeen komentoriville ja painat, TI-89 sieventää lausekkeen automaattisesti sievennyksen oletussääntöjen mukaisesti. Sievennyksen oletussäännöt Kaikkia seuraavia sääntöjä sovelletaan automaattisesti. Väliaikaisia ratkaisuja ei esitetä näytössä. Jos muuttujalle on määritelty arvo, se korvaa muuttujan. Jos muuttuja on määritelty toisen muuttujan suhteen, muuttuja korvautuu alimman tason arvolla (ääretön haku). Huom! Lisätietoja kansioista kappaleessa 5. Huom! Lisätietoja kappaleessa Hidastettu sievennys eräissä sisäänrakennetuissa funktioissa, sivu 54. Oletussievennys ei muuta muuttujia, jotka käyttävät polun nimia kansion määrittelyyn. Esimerkiksi x+class\x ei sievenny muotoon 2x. Funktiot: Argumentit sievennetään. (Jotkut sisäänrakennetut funktiot hidastavat joidenkin argumenttiensa sievennystä.) Jos kyseessä on sisäänrakennettu tai käyttäjäkohtainen funktio, funktion määritelmää sovelletaan sievennettyihin argumentteihin. Sen jälkeen funktionaalinen muoto korvautuu saadulla ratkaisulla. Numeeriset alilausekkeet yhdistetään. Tulot ja summat lajitellaan järjestykseen. Tulot ja summat, jotka sisältävät määrittämättömiä muuttujia, lajitellaan muuttujanimen ensimmäisen kirjaimen mukaan. Määrittämättömät muuttujat r - z oletetaan todellisiksi muuttujiksi, ja ne sijoitetaan aakkosjärjestykseen summan alkuun. Määrittämättömät muuttujat a - q oletetaan vakioiksi, ja ne sijoitetaan aakkosjärjestykseen summan loppuun (mutta ennen lukuja). Samankaltaiset tekijät ja termit yhdistetään. 52 Kappale 3: Symbolinen manipulointi

9 Nollia ja ykkösiä sisältäviä identiteettejä hyödynnetään. Tämä liukuluku aiheuttaa, sen, että numeeriset tulokset esitetään liukulukuina. Jos kokonaisliukuluku syötetääm eksponenttina, sitä käsitellään kokonaislukuna (eikä se tuota liukulukuratkaisua). Polynomiset suurimmat yhteiset jakajat sievennetään. Polynomit lavennetaan, jos näppäinperuutus ei ole mahdollinen. Yhteiset nimittäjät muodostetaan, jos näppäinperuutus ei ole mahdollinen. Funktionaalisia identiteettejä hyödynnetään. Esimerkiksi: ln(2x) = ln(2) + ln(x) ja sin(x)ñ + cos(x)ñ = 1 Ei näppäinperuutusta Ei näppäinperuutusta Sievennyksen kesto Syötteen, ratkaisun tai väliaikaisen lausekkeen rakenteesta riippuen lausekkeen laventaminen ja yhteisten nimittäjien sievennys saattaa kestää kauankin. Voit keskeyttää pitkän sievennyksen painamalla. Sen jälkeen voit yrittää lauseketta osa kerrallaan. (Liitä koko lauseke automaattisesti komentoriville ja poista tarpeettomat osat.) Kappale 3: Symbolinen manipulointi 53

10 Hidastettu sievennys eräissä sisäänrakennetuissa funktioissa Yleensä muuttujat sievennetään automaattisesti alimpaan mahdolliseen tasoonsa, ennen kuin ne siirretään funktioon. Joissakin funktioissa sievennys suoritetaan loppuun vasta funktion suorittamisen jälkeen. Hidastettua sievennystä käyttävät funktiot Hidastettua sievennystä käyttävissä funktioissa on käytettävä varargumenttia, joka suorittaa funktion muuttujan suhteen. Nämä funktiot sisältävät vähintään kaksi argumenttia, joiden yleinen muoto on: function(expression, var [,... ]) Huom! Kaikki varargumenttia käyttävät funktiot eivät käytä hidastettua sievennystä. Esimerkiksi: solve(x^2ì xì 2=0,x) d(x^2ìxì2,x) (x^2ì xì 2,x) limit(xñ ì xì 2,x,5) Huom! Tilanteesta riippuen voi olla tarpeen määrittää var-muuttujalle arvo. Funktiot, jotka käyttävät hidastettua sievennystä: 1. var-muuttuja sievennetään alimpaan tasoonsa, jossa se säilyy muuttujana (vaikka sitä voitaisiinkin sieventää vielä eimuuttujamuotoon). 2. Funktio suoritetaan muuttujaa käyttäen. 3. Jos var-muuttujaa voidaan edelleen sieventää, sen arvo korvautuu ratkaisussa. Esimerkiksi: x ei sievenny. Huom! Oikealla oleva esimerkki määrittää derivaatan lausekkeelle xò arvolla x=5. Jos xò olisi alun perin sievennetty arvoon 75, saisit ratkaisuksi derivaatan luvusta 75, mikä ei kuitenkaan ole tarkoitus. x ei sievenny. Funktio käyttää merkintää xò, ja korvaa x :n arvolla 5. x sievennetään t:ksi. Funktio käyttää merkintää tò. x sievennetään t:ksi. Funktio käyttää merkintää tò, ja korvaa t :n arvolla Kappale 3: Symbolinen manipulointi

11 Arvojen korvaaminen ja rajoitteiden asettaminen with -operaattorilla ( ) voit korvata väliaikaisesti arvoja lausekkeessa ja määritellä rajoitteita. With -operaattorin kirjoittaminen Muuttujan korvaaminen Kun haluat kirjoittaa with -operaattorin ( ), paina Í. Määritetyn muuttujan voi korvata numeroarvolla tai lausekkeella. Lausekkeen xìò derivaatta arvolla x = 5 Jos haluat korvata useampia muuttujia amanaikaisesti, käytä Boolen operaattoria and. Yksinkertaisen lausekkeen korvaaminen Huom! acos(x) ei ole sama kuin a*cos(x). Yksinkertaisen lausekkeen voi korvata muuttujalla, numeroarvolla tai toisella lausekkeella. Jos korvaat usein käytettävän (tai pitkän) termin, myös ratkaisut esitetään tiiviimmässä muodossa. Lausekkeen sin(x) korvaaminen s:llä osoittaa, että lauseke on polynominen sin(x):n suhteen. Kompleksiarvojen korvaaminen Voit korvata kompleksisia arvoja samoin kuin muitakin arvoja. Huom! Yhteenveto kompleksiluvuista Liitteessä B. Vihje: Kun haluat kompleksien i:n, näppäile 2). Älä kirjoita j [I] näppäimistöllä. Kaikkia määrittämättömiä muuttujia käsitellään reaalilukuina symbolisissa laskutoimituksissa. Monimutkaisia kompleksisia laskutoimituksia varten on määritettävä kompleksimuuttuja. Esimerkiksi: x+yi! z Tämän jälkeen voit käyttää muuttujaa z kompleksimuuttujana. Voit myös käyttää muuttujaa z_. Lisätietoja alaviivan _ käytöstä Liitteessä A. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 55

12 Korvaamisen rajoitukset Korvaaminen suoritetaan vain siellä, missä vastaavuus on tarkka. Vain x 2 korvautui, ei x 4. Jos määrität korvausmuuttujan sen omilla ehdoilla, voi seurauksena olla loputon toisto. sin(x) x=x+1 Määritä korvaus yksinkertaisilla ehdoilla, niin saat täydellisemmän korvaamisen Korvaa lausekkeet sin(x+1), sin(x+1+1), sin(x+1+1+1) jne. Kun syötät korvauksen, josta seuraa päättymätön toisto: Näyttöön tulee virheilmoitus. Kun painat N, virhe esitetään historia-alueella. Sisäisesti lauseke lajitellaan automaatisen sievennyksen sääntöjen mukaan. Siksi tulot ja summat eivät ehkä vastaa syöttöjärjestystä. Vihje: Käytä solve-funktiota avuksesi yhden muuttujan korvaamisen määrittelyssä. Yleensä tulisi korvata vain yksi muuttuja kerrallaan. Yleisempien lausekkeiden korvaaminen (joko mø cñ =e tai cñøm=e) ei ehkä toimi odotetulla tavalla. Ei korvausvastaavuutta 56 Kappale 3: Symbolinen manipulointi

13 Määrittelyjoukkorajoitukset Monet identiteetit ja muunnokset ovat voimassa vain tietyissä määrittelyjoukoissa. Esimerkiksi: ln(xù y) = ln(x) + ln(y) sinê (sin(q)) = q vain jos x ja/tai y ei ole negatiivinen vain jos q ë p/2 ja q p/2 radiaaneja with -operaattorilla voit rajata määrittelyjoukon. Vihje: Syötä ln(xù y) syötteen ln(xy) sijaan; muuten xy käsitellään yksittäisenä muuttujana nimeltä xy. Vihje: Kun haluat merkin tai, paina à tai Â. Voit myös valita ne valikosta näppäimillä 2I8 tai 2 2. Q Koska ln(xùy) = ln(x) + ln(y) ei aina ole käypä, logaritmejä ei yhdistetä. Kun rajoitus on määritetty, identiteetti on käypä ja lauseke sievennetään. Koska sinê(sin(q)) = q ei ole aina käypä, lauseketta ei sievennetä. Kun rajoitus on määritetty, lauseke voidaan sieventää. Korvaaminen/ Muuttujan määrittäminen Monissa tapauksissa muuttujan määrittäminen tuo samat tulokset kuin korvaaminen. Korvaaminen on kuitenkin yleensä suositeltavaa, koska muuttuja määritetään vain senhetkistä laskutoimitusta varten, eikä siksi vaikuta myöhempiin laskutoimituksiin. Korvaaminen x=1 ei vaikuta seuraavaan laskutoimitukseen. Varoitus: Kun x on määritetty, se voi vaikuttaa kaikkiin laskutoimituksiin, jotka sisältävät x:n (kunnes poistat x:n). Tallentaminen x=1 vaikuttaa seuraaviin laskutoimituksiin. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 57

14 Algebra-valikko Algebra -työkalupalkkivalikosta voit valita yleisimmät algebrafunktiot. Algebra-valikko Paina Home-näytössä. Esiin tulee: Huom! Täydellinen kuvaus funktioista ja niiden syntaksista Liitteessä A. Tämän valikon saat esiin myös MATH-valikosta. Paina 2I ja valitse 9:Algebra. Valikkotoiminto solve factor expand zeros approx comdenom propfrac nsolve Kuvaus Ratkaisee lausekkeen määritetyn muuttujan suhteen. Palauttaa vain reaaliratkaisut riippumatta Complex Format -tila-asetuksesta. Esittää ratkaisut and- ja oryhdistelminä. (Valitse kompleksiratkaisuille Algebravalikon asetus A:Complex.) Jakaa lausekkeen tekijöihin kaikkien muuttujien tai vain määrätyn muuttujan suhteen. Laventaa lausekkeen kaikkien muuttujien tai vain määrätyn muuttujan suhteen. Määrittää määrätyn muuttujan ne arvot, joilla lausekkeen arvo on nolla. Arvot esitetään listana. Ratkaisee lausekkeen liukulukuaritmetiikkaa käyttäen, mikäli mahdollista.. Vastaa 3 - näppäimen käyttöä Exact/Approx = APPROXIMATE - asetuksen valinnassa (tai -näppäinten käyttöä lausekkeen ratkaisemiseksi). Laskee yhteisen nimittäjän lausekkeen kaikille termeille ja muuntaa lausekkeen osoittajan ja nimittäjän supistetuksi suhteeksi. Palauttaa lausekkeen varsinaisena osamääränä. Laskee yhtälölle yksittäisen ratkaisun liukulukuna (toisin kuin solve, joka voi tuottaa useita rationaalitai symbolimuotoisia ratkaisuja). 58 Kappale 3: Symbolinen manipulointi

15 Valikkotoiminto Trig Kuvaus Tuo esiin alivalikon: Complex texpand tcollect Laventaa trigonometriset lausekkeet kulmasummilla ja moninkertaisilla kulmilla. Kerää trigonometristen funktioiden kokonaislukupotenssien tulot kulmasummiksi ja moninkertaisiksi kulmiksi. tcollect ja texpand ovat toistensa vastakohtia. Tuo esiin alivalikon: Extract Nämä ovat samat kuin solve, factor ja zeros; mutta ne laskevat myös kompleksiratkaisuja. Tuo esiin alivalikon: Huom! Funktioita left ja right käytetään palauttamaan tietty määrä alkioita tai numeroita luettelon tai merkkijonon vasemmasta tai oikeasta puoliskosta. getnum Käyttää comdenom-funktiota ja palauttaa ratkaistun osoittajan. getdenom Käyttää comdenom-funktiota ja palauttaa ratkaistun nimittäjän. left right Palauttaa yhtälön tai epäyhtälön vasemman puoliskon. Palauttaa yhtälön tai epäyhtälön oikean puoliskon. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 59

16 Tavalliset algebra-toiminnot Tässä osiossa annetaan esimerkkejä joidenkin Algebra - työkalupalkkivalikon funktioista. Täydelliset tiedot jokaisesta funktiosta saat Liitteestä A. Jotkut algebra-toiminnot eivät tarvitse erityisfunktiota. Polynomien lisääminen tai jakaminen Voit lisätä tai jakaa polynomeja suoraan käyttämättä erityisfunktiota. Polynomien tekijöihin jakaminen ja laventaminen Käytä funktioita factor ( 2) ja expand ( 3). factor(expression [,var]) tekijöihin jakaminen suhteessa muuttujaan expand(expression [,var]) osittainen tekijöihin jako suhteessa muuttujaan Jaa x 5 ì 1 tekijöihinsä ja lavenna ratkaisu. Huomaa, että factor ja expand suorittavat vastakkaiset toiminnot. Luvun alkutekijöiden etsiminen factor ( 2) -funktiolla voit tehdä muutakin kuin jakaa abgebrallisen polynomin tekijöihinsä. Voit etsiä rationaaliluvun alkutekijät (kokonaisluku tai kokonaislukujen suhde). Osittaisten lavennusten etsiminen expand ( 3) -funktion valinnaisella var-arvolla voit suorittaa osittaisen lavennuksen ja kerätä yhteen muuttujan samat potenssit. Tee täydellinen kehitelmä (xñìx) (yñìy) suhteessa kaikkiin muuttujiin. Tee osittainen lavennus suhteessa x:ään. 60 Kappale 3: Symbolinen manipulointi

17 Yhtälön ratkaiseminen Ratkaise yhtälöstä määrätty muuttuja funktiolla solve ( 1). solve(equation, var) Ratkaise x yhtälöstä x + y ì 5 = 2x ì 5y. solve esittää vain lopullisen ratkaisun. Jos haluat nähdä myös väliratkaisut, voit ratkaista yhtälön vaihe kerrallaan. Huom! Komento 2x vähentää 2x:n molemmilta puolilta. x «y 5 Á 2x 5y 2 x y «5 p 1 Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen Otetaan kaksi yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta: 2x ì 3y = 4 ë x + 7y = ë 12 Tämän yhtälöryhmän voit ratkaista millä tahansa seuraavista menetelmistä. Huom! Matriisifunktiot simult ja rref eivät löydy Algebra-valikosta. Käytä näppäimiä 2I4 tai ½. Menetelmä solve-funktiolla saat heti lopullisen ratkaisun. Jos käytät solvefunktion kanssa korvausta ( ), voit manipuloida vaiheittain. Käytä matriisissa simult-funktiota. Esimerkki solve(2xì3y=4 and ëx+7y=ë12,{x,y}) Katso tämän kappaleen alusta, miten ratkaistaan x = ë 8/11 ja y = ë 20/11. Syötä kertoimet matriisina ja ratkaisut vakiopystyrivimatriisina. Käytä matriisissa rref-funktiota. Syötä kertoimet suurennettuna matriisina. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 61

18 Lausekkeen nollien etsiminen Vihje: Kun haluat merkin tai, näppäile à tai Â.Voit myös valita ne valikosta näppäimillä 2I8 tai 2 2. Käytä zeros-funktiota ( 4). zeros(expression, var) Käytä lauseketta x ù sin(x) + cos(x). Löydä nollat suhteessa muuttujaan x väleillä 0 x ja x 3. Määrittele väli with - operaattorilla (Í). Osamäärän ja yhteisten nimittäjien etsiminen Huom! Funktiota comdenom voi käyttää lausekkeen, luettelon tai matriisin kanssa. Käytä propfrac ( 7) ja comdenom ( 6) -funktioita. propfrac(rational expression [,var]) comdenom(expression [,var]) Löydä osamäärä lausekkeelle (x 4 ì 2xñ + x) / (2xñ + x + 4). Muunna sitten ratkaisu täydellisesti lavennetun osoittajan ja täydellisesti lavennetun nimittäjän suhteeksi. Huomaa, että propfrac ja comdenom ovat vastakkaisia toimintoja. Tässä esimerkissä: varsinaisille murtoluvuille suhteessa muuttujaan yhteisille nimittäjille, jotka keräävät tämän muuttujan samankaltaisia potensseja Jos lasket tämän esimerkin TI-89- laskimellasi, siirtyy propfracfunktio näytön yläreunan ulkopuolelle 31 x + 60 on lausekkeen x 8 4 ì 2xñ +x jakojäännös jaettuna lausekkeella 2xñ +x+4. xñ 2 ì x ì 15/8 on osamäärä Kappale 3: Symbolinen manipulointi

19 Calc-valikko Tavallisia differentiaali- ja integraalitoimintoja voit valita Calc-työkalupalkkivalikosta. Calc-valikko Kun painat Home-näytössä -näppäintä, saat esiin valikon. Huom! Jokaisesta funktiosta ja funktion syntaksista on tarkka kuvaus liitteessä A. Huom! Derivointisymboli d on erikoissymboli. Se ei ole sama kuin näppäimistöllä kirjoitettava d-kirjain j [D]. Symbolin saat näppäilemällä 1 tai 2 =. Valikkotoiminto d differentiate Tämän valikon saat esiin myös, jos painat MATH-valikossa 2I ja valitset A:Calculus. Kuvaus Derivoi lausekkeen suhteessa määrättyyn muuttujaan. integrate Integroi lausekkeen suhteessa määrättyyn muuttujaan. limit G sum Π product fmin fmax arclen taylor nderiv nint desolve Laskee lausekkeen raja-arvon suhteessa määrättyyn muuttujaan. Laskee lausekkeen vaihteluväliin sijoittuvilla diskreeteillä muuttuja-arvoilla ja laskee summan. Laskee lausekkeen vaihteluväliin sijoittuvilla diskreeteillä muuttuja-arvoilla ja laskee tulon. Hakee määritetylle muuttujalle ehdokasarvoja, jotka minimoivat lausekkeen. Etsii määrätylle muuttujalle ehdokasarvoja, joilla lauseke maksimoituu. Palauttaa lausekkeen kaaren pituuden suhteessa määrättyyn muuttujaan. Laskee lausekkeelle Taylorin polynomisen likiarvon suhteessa määrättyyn muuttujaan. Laskee lausekkeen numeerisen derivaatan suhteessa määrättyyn muuttujaan. Laskee integraalin liukulukuna käyttämällä numeerista integrointia (approksimaatio, jossa käytetään integrandiarvojen painotettuja summia). Ratkaisee symbolisesti useita ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, ehdoilla tai ilman. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 63

20 Tavalliset differentiaali- ja integraalitoiminnot Tässä osassa on esimerkkejä eräistä Calctyökalupalkkivalikon funktioista. Yksityiskohtaiset tiedot kaikista funktioista löytyvät liitteestä A. Integrointi ja derivointi Käytä integrate ( 2) ja d differentiate ( 1) -funktioita. (expression, var [,low] [,up]) d (expression, var [,order]) voit määritellä rajat tai integroinnin vakion Huom! Voit integroida vain lausekkeen, mutta voit derivoida lausekkeen, luettelon tai matriisin. Raja-arvon etsiminen Integroi xñùsin(x) suhteessa muuttujaan x. Derivoi ratkaisu suhteessa muuttujaan x. Käytä limit-funktiota ( 3). limit(expression, var, point [,direction])* Merkin d saat näppäilemällä 1 tai 2 =. Älä näppäile j [D]. negatiivinen = vasemmalta positiivinen = oikealta ohitettu tai 0 = molemmat Huom! Voit etsiä raja-arvon lausekkeelle, luettelolle ja matriisille. Etsi raja-arvo lausekkeelle sin(3x) / x kun x lähenee 0. Taylorin polynomin etsiminen Käytä taylor-funktiota ( 9). taylor(expression, var, order [,point]) Tärkeää: Asteasetuksella, skaalaus p/180 differentiaalija integraalisovelluksen ratkaisut saattavat olla poikkeavan muotoisia. Etsi kuudennen kertaluvun Taylorin polynomi sin(x):lle suhteessa muuttujaan x. Tallenna ratkaisu käyttäjäkohtaiseksi funktioksi, jonka nimi on y1(x). Piirrä sitten kuvaaja sin(x) ja Taylorin polynomi. jos ohitetaan, lavennuspiste on 0 Graph sin(x):graph y1(x) 64 Kappale 3: Symbolinen manipulointi

21 Käyttäjäkohtaiset funktiot ja symbolinen manipulointi Voit käyttää käyttäjäkohtaista funktiota argumenttina TI-89 :n sisäänrakennetuissa algebrafunktiossa ja differentiaali- ja integraalifunktioissa. Lisätietoja käyttäjäkohtaisten funktioiden luomisesta Lisätietoja löydät: Kappaleesta 5: Käyttäjäkohtaisten funktioiden luominen ja laskeminen. Kappaleesta 12: Home-näytössä määritellyn funktion kuvaaja ja Paloittain määritellyn funktion kuvaaja. Kappaleesta 17: Yleiskatsaus: Funktion syöttäminen. Määrittämättömät funktiot Vihje: Kun haluat valita Calc-työkalupalkkivalikosta, näppäile 1 (tai 2 =). Voit käyttää funktioita kuten f(x), g(t), r(q) jne., joille ei ole annettu määritelmää. Nämä määrittämättömät funktiot tuottavat symbolisia ratkaisuja. Esimerkiksi: Varmista DelVarfunktiolla, että f(x) ja g(x) ovat määrittämättömiä. Etsi f(x)ù g(x):n derivaatta suhteessa muuttujaan x. Yhden väittämän funktiot Vihje: Kun haluat valita rajaarvon Calctyökalupalkkivalikosta, paina 3. Voit käyttää käyttäjäkohtaisia funktioita, jotka koostuvat yhdestä lausekkeesta. Esimerkiksi: Luo :n avulla käyttäjäkohtainen sekanttifunktio, jossa: sec(x) = 1 cos(x) Etsi sitten rajaarvo sec(x):lle, kun x lähenee p/4. Luo komennolla Define käyttäjäkohtainen funktio h(x), missä: Vihje: Kun haluat valita Calctyökalupalkkivalikosta, paina 2(tai näppäile 2 <). Kun haluat valita taylor:in, paina 9. h(x)= 0 x sin(t) / t Etsi sitten viidennen kertaluvun Taylorin polynomi h(x):lle suhteessa muuttujaan x. Määritä h(x)= (sin(t)/t,t,0,x). Kappale 3: Symbolinen manipulointi 65

22 Yhden/Usean väittämän funktiot Usean väittämän käyttäjäkohtaisia funktioita pitäisi käyttää vain numeeristen funktioiden (kuten nderiv ja nint) argumenttina. Joissakin tapauksissa voit luoda vastaavan yhden väittämän funktion. Voit luoda esimerkiksi kaksiosaisen paloittaisen funktion. Kun: Käytä lauseketta: x < 0 ë x x 0 5 cos(x) Vihje: Voit kirjoittaa pitkiä tekstikappaleita tietokoneella, ja siirtää ne TI-GRAPH LINK:in avulla TI-89:iin. Lisätietoja Kappaleessa 18. Vihje: Jos haluat valita nint:in Calc-työkalupalkkivalikosta, paina j[b]. Jos haluat luoda seuraavan muotoisen usean väittämän funktion: Func If x<0 Then Return ë x Else Return 5cos(x) EndIf EndFunc Integroi sitten numeerisesti y1(x) suhteessa muuttujaan x. Määritä y1(x)=func:if x<0 Then:... :EndFunc Luo vastaava yhden väittämän funktio. Käytä TI-89:n sisäänrakennettua when-funktiota. Määritä y1(x)=when(x<0,ëx, 5cos(x)) Vihje: Valitse Calctyökalupalkkivalikosta painamalla 2 (tai näppäile 2 <). Integroi sitten y1(x) suhteessa muuttujaan x. Liukulukutuloksen saat näppäilemällä. 66 Kappale 3: Symbolinen manipulointi

23 Out-of-Memory-virheilmoitus TI-89 tallentaa väliaikaiset tulokset muistiin ja poistaa ne, kun laskutoimitus on suoritettu loppuun. Pitkät laskutoimitukset saattavat aiheuttaa muistin loppumisen ennen ratkaisun löytymistä. Muistin vapauttaminen Sievennysongelmat Poista tarpeettomat muuttujat. Tarkastele ja poista muuttujia näppäimien 2 avulla kappaleen 21 ohjeiden mukaan. Home-näytössä: Tyhjennä historia-alue (ƒ 8) tai poista tarpeettomat historiaparit. Voit myös pienentää tallennettavien historiaparien määrää toiminnolla ƒ 9. Aseta Exact/Approx = APPROXIMATE näppäimellä 3. (Tämä asetus säästää tilaa, kun ratkaisuissa on runsaasti numeroita. Kun ratkaisuissa on vähän numeroita, tämä asetus käyttää enemmän tilaa kuin AUTO tai EXACT.) Jaa ongelma osiin. Jaa solve(aù b=0,var ) osiin solve(a=0,var ) ja solve(b=0,var ). Ratkaise kumpikin osa ja yhdistä ratkaisut. Jos jossakin yhdistelmässä esiintyy useita määrittämättömiä muuttujia, korvaa kyseinen yhdistelmä yhdellä muuttujalla. Jos m ja c esiintyvät vain muodossa mù cñ, korvaa mù cñ e:llä. (a+b)ñ + (a+b)ñ Korvaa (a+b) lausekkeessa c:llä ja käytä 1 ì (a+b)ñ cñ + cñ. Korvaa ratkaisussa c muodolla (a+b). 1 ì cñ Jos lausekkeet on yhdistetty yhteisellä osoittajalla, korvaa summat nimittäjissä uusilla, ainutkertaisilla määrittämättömillä muuttujilla. x Korvaa kohta añ +bñ + c lausekkeessa añ +bñ + c + y añ +bñ + c kirjaimella d ja käytä x d + y. Korvaa d ratkaisussa d merkinnällä añ +bñ + c. Korvaa määrittämättömät muuttujat jo alkuvaiheissa tiedetyillä numeerisilla arvoilla, erityisesti jos ne ovat yksinkertaisia kokonaislukuja tai murtolukuja. Muotoile tehtävä uudelleen, jotta välttäisit murtolukupotenssit. Poista suhteellisen pienet termit, jotta likimääräinen ratkaisu löytyisi. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 67

24 Erikoisvakiot symbolisessa manipuloinnissa Laskutoimituksen ratkaisu saattaa sisältää yhden tai usemman tässä osiossa kuvatun erikoisvakion. Joskus voit joutua syöttämäänvakion syötteesi osaksi. Vihje: saat näppäilemällä. Nämä erikoisvakiot osoittavat identiteetin tai Boolen lausekkeen ratkaisun. Tämä merkintätapa osoittaa mielivaltaista kokonaislukua, joka voi olla mikä tahansa kokonaisluku. Kun mielivaltainen kokonaisluku esiintyy useita kertoja samassa istunnossa, jokaiselle esiintymiskerralle annetaan järjestysluku. Kun saavutetaan järjestysluku 255, numerointi alkaa uudelleen Nollaa laskuri näppäilemällä 2 ˆ 2:NewProb. x=x on tosi kaikilla x:n arvoilla. 5<3 on epätosi. Ratkaisu on jokaisella kokonaisluvulla p:n kerrannainen edustavat mitä tahansa mielivaltaista kokonaislukua, mutta tämä merkintätapa osoittaa erilliset mielivaltaiset kokonaisluvut. ˆ, e Vihje: Merkin ˆ saat näppäilemällä *. Vihje: Merkin e saat näppäilemällä s. Tämä on eri merkki kuin se, jonka saat näppäilemällä j [E] näppäimistöllä. undef ˆ tarkoittaa ääretöntä ja e vakiota (luonnollisten logaritmien perusluku). Näitä vakioita käytetään usein sekä syötteissä että ratkaisuissa. Osoittaa, että ratkaisu on määrittämätön. Matemaattisesti määrittämätön ˆ (määrittämätön merkki) Ei-ainutkertainen raja-arvo 68 Kappale 3: Symbolinen manipulointi