Öljykuormitetun pohjalevyn perusominaistaajuus Robert Piché, Antti Suutala, Veijo Ikonen Tampereen teknillinen yliopisto 1 Johdanto Moottoreita suunniteltaessa eräs tärkeä lähtökohta on resonanssien välttäminen. Nämä resonanssit syntyvät, kun moottorin rakenteiden jokin ominaistaajuus osuu päällekkäin moottorin kierrosnopeuden kanssa. Tällöin moottorin rakenteet alkavat värähdellä voimakkaasti moottorin käydessä ja tämä johtaa usein moottorin vaurioitumiseen. Resonanssien esiintymiseen voidaan vaikuttaa osien mitoituksella ja erilaisilla vahvisterakenteilla. Ongelmallisimpia ovat yleensä koko moottorin tai sen osien matalimmat ominaistaajuudet. Tässä tarkastellussa tapauksessa ongelmana on suuren dieselmoottorin öljyaltaan ja varsinkin sen pohjalevyn ominaistaajuuksien osuminen moottorin yleisimmin käytetylle kierrosnopeusalueelle. Tästä aiheutuneet resonanssit ovat synnyttäneet murtumia useiden moottorien öljyaltaiden rakenteisiin. Pohjalevyn ominaistaajuudet pystytään kyllä arvioimaan FEM-ohjelmia käyttäen riittävän tarkasti, mutta laskenta on vielä liian hidasta ja kallista jokapäiväisessä suunnittelussa käytettäväksi. Insinöörit tarvitsevat jonkin laskennallisesti kevyemmän menetelmän suunnittelumuutosten vaikutuksen arvioimiseksi. 2 Tarkasteltava koeallas Öljyn vaikutuksen tutkimiseksi Wärtsilä rakensi koealtaan, jossa mitattiin eri korkuisten öljykerrosten vaikutusta ominaistaajuuksiin. Lisäksi Wärtsilä teetätti FEM-simulaation, jossa laskettiin mittauksia vastaavien tilanteiden ominaismuodot ja taajuudet. Voimme siis jatkossa verrata saatuja tuloksia näihin Wärtsilän antamiin tietoihin. 1
Tarkasteltavan altaan mitat ja öljyn ja teräksen materiaaliparametrit ovat levyn massatiheys ρ p 785 kg m 3 nesteen massatiheys (2 C) ρ f 912 kg m 3 pohjalevyn paksuus s.1 m pohjalevyn pituus L 1.49 m pohjalevyn leveys M 1.322 m sivulevyjen korkeus H 1. m levyn suppeumaluku µ.3 levyn kimmokerroin E 2.6 1 7 N m 2 3 Tehtävän variaatio formulaatio Värähtelevän systeemin perusominaistaajuus ω 1 voidaan määritellärayleigh- Ritzin periaatteella ω1 2 V (u) = min u (1) T (u) missä V (u) onsysteemin potentiaalienergian amplituudi, ω 2 T (u) onliikeenergian amplituudi, ja u on oleellisten reunaehtojen toteuttava, nollasta poikkeava muotofunktio. Pohjalevyn liike-energian amplituudin kerroin on M L T p = 1 sρ p w 2 dxdy 2 missä w(x, y) onlevyn kohtisuora poikkeama tasapainoasemasta. Pohjalevyn potentiaalienergian amplituudi [1] on V p = D M L { (w,xx + w,yy ) 2 2(1 µ) ( )} w,xx w,yy w,xy 2 dxdy 2 missä D = Es 3 /[12(1 µ 2 )] on vääntöjäykkyys. Altaan sivulevyjen poikkeama v, liike-energian amplituudi T s ja potentiaalienergian amplituudi V s määritellään vastaavasti. Öljyä kuvataan kokoonpuristumattomana nesteenä, jolloin sen nopeuskenttä onnopeuspotentiaalin φ(x, y, z) gradientti. Nesteen liike-energian amplituudin kerroin on h M L T f = ρ f φ 2 dxdydz ja potentiaalienergia on nolla. Tarkan ominaistaajuuden selvittämiseksi pitäisi siis etsiä sellainen muotofunktio u =[w, v, φ], joka minimoi Rayleighn osamäärän (1). Tuolloin tuo muotofunktio on kyseistä ominaistaajuutta vastaava ominaismuoto. Tarkan ratkaisun sijasta etsimme approksimaatiota ominaistaajuudelle. 2
4 Rayleighn menetelmä Rayleign menetelmässä etsitään Rayleighn osamäärän V/T minimoija äärellisdimensioissa aliavaruudessa. Hyvä likiarvo voidaan saada käyttäen jopa vain yhtä muotofunktiota, jos se on lähellä systeemin todellista ominaismuotoa. Muotofunktio pyritään valitsemaan mahdollisimman yksinkertaiseksi energian lausekkeissa esiintyvien integraalien laskemisen helpottamiseksi. Oletamme pohjalevyn muodon olevan ( ) ( ) πx πy w(x, y) =sin sin. (2) L M Etsitään nesteen nopeuspotentiaalia muodossa φ(x, y, z) =w(x, y)z(z) Pyörteettömän nopeuskentän potentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön 2 φ =, eli Tästä saadaan w,xx + w,yy w + Z Z =, Z β 2 Z =, missä β 2 = π2 L + π2 2 M. 2 Tämän differentiaaliyhtälön yleisenä ratkaisuna saadaan Z = a cosh(βz)+b sinh(βz). Valitaan a ja b niin, että nesteen nopeuden z-komponentti on sama, kuin pohjalevyn siirtymän nopeuden amplituudi, ja paine häviää nesteen pinnalla, φ,z (x, y, ) = w(x, y), φ(x, y, h) =, jolloin saadaan Z = sinh (β(h z)). β cosh (βh) 3
Kun edellä saatuja kaavoja sijoitetaan Rayleighn osamäärään, saadaan perusominaistaajuus öljykorkeuden funktiona ω 1 (h) Dπ 4 (M 1 + L 1 ) 2 /8+V s + ρ flm tanh(βh) 8β ρ p slm 8 + T s (3) Arvioimme sivuseinien kaavan (3) liike-energian termin T s vaikutuksen pohjalevyn ominaistaajuuteen olevan pieni. Potentiaalienergian termin V s on kuitenkin merkittävä, koska FEM laskennan avulla Wärtsilä on havainnut, että pohjalevy on yksinkertaisesti kiinnitettyä levyä jäykempi muttei niin jäykkä, kuin täysin kiinnitetty levy. Kokeilimme erilaisia sivuseinien muotofunktioita, mutta tulokset eivät sopineet mittaustuloksien kanssa. Päädyimme käyttämään tyhjän altaan mitattua ominaitaajuutta V s arvon määrittämiseen. Näin saadaan perusominaistaajuuden kaava muodossa ω 1 (h) ω 1 () 1+ ρ f tanh(βh) ρ p sβ (4) Tämä kaava antaa kohtuullisen hyviä tuloksia: perusominaistaajuus (Hz) öljyn syvyys mitattu FEM Rayleigh 35.2 36.5 35.2 2 cm 23.3 25. 2.1 5 cm 18.4 tai 21.8 18.8 16.8 9 cm 16.2 tai 21.3 15.4 16.4 5 Muita lähestymistapoja Kokeilimme myös tehtävän mallintamista SYSNOISE-nimisellä akustiikan mallinnukseen tarkoitetulla FEM- ja BEM-menetelmiä käyttävällä ohjelmistolla. Saadut tulokset eivät ainakaan näin lyhyessä ajassa olleet kovin lupaavia. Suurimmaksi ongelmaksi tuntui muodostuvan öljyn yläpinnalla olevan öljy/ilma rajapinnan yhdistäminen muuhun malliin. Lisäksi tarkasteltiin mallin yhtälöiden kirjoittamista integraalimuotoon öljyä kuvaavan yhtälön fundamentaaliratkaisun avulla. Tätä kautta voisi olla mahdollista muodostaa numeerisia menetelmiä, joissa laskentatyötä saisi kuitenkin hieman vähennettyä käyttämällä osalle systeemiä tunnettuja ratkaisuja. Tämän tyyppinen lähestymistapa näytti olevan aika yleinen alueelta 4
julkaistuissa artikkeleissa, joita löytyy ainakin lehdistä Journal of Sound and Vibration ja Journal of the Acoustical Society of Ameria. Nesteen vaikutusta värähtelevän levyn ominaistaajuuksiin on tutkittu toisessa työpajassa [2] käyttäen differentiaaliyhtälöitä. 6 Jatkotutkimuksen aiheita Edellä päädyttiin arvioimaan sivuseinien potentiaalienergia mittausten avulla. Kysymykseksi kuitenkin jää, pystyttäisiinkö levyn kiinnityksen vaikutus mallintamaan ilman mittausten käyttämistä sen kalibroimiseen. Ja tähän samaan liittyen, kuinka sivuseinien ja välilevyjen mukaanottaminen malliin onnistuisi. Aiemmin todettiin, että elementtipohjaiset menetelmät johtavat liian suuriin ja raskaisiin laskentatehtäviin. Tässä on kuitenkin vielä paljon selvitettävää sen suhteen, olisiko elementtimenetelmän FEM, BEM, ja analyyttisten menetelmien yhdistämisellä saavutettavissa sopivan nopea laskentamenetelmä. Viitteet [1] William F. Stokey, Vibration of Systems Having Distributed Mass and Elasticity, luku 7 teoksessa Shock and Vibration Handbook, kolmas painos, toim. Cyril M. Harris, McGraw-Hill, 1988. [2] Ellis Cumberbatch, The Vibrating Element Densitometer, teoksessa Mathematical Modelling, toim. Ellis Cumberbatch & Alistair Fitt, Cambridge University Press, 21, sivut 66-79. 5