. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8
. Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa alaspäin.. Funktio leikkaa -akselin kohdassa =. a + 5 = - = -5 = 5 b + = 5 8 tai 8
. a Sievennetäänn ensin unktion lauseketta. Piste -, onn kuvaajalla, jos - =. Piste ei ole kuvaajalla
b g = - - - - g = - - 5 5 5 5 Piste -, on kuvaajalla, jos - =. Piste on kuvaajalla.
5. a -akseli: 5 5 Pisteessä, 5 y-akseli: Pisteessä, b -akseli: : tai Pisteissä, ja, y-akseli: Pisteessä, -
. a b -5 5 c >, d 7. a ],8[ b ],] c [, [ 8. a, kun b, kun
9. a g <, kun < tai > 8 b g <, kun < - tai < < c g ei ole negatiivinen milläänn muuttujan arvolla.. d g <, kun -
. a : 5 8 8 b 8 5 5 8 5 8 5 8 5 5
. Tarkastellaan unktiota. Nollakohdat: tai :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: + + - kun.
b 5 5 Tarkastellaan unktiota 5. Nollakohdat: 5 5 tai 5 = 5 5 :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: - + /5 - kun 5
. Merkitään :n nollakohdat: tai = = :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: + + - eli, kun tai.
. a Kun lasketaan muutosnopeus välillä,, määritetään pisteiden, - ja, - kautta piirretyn suoran kulmakerroin: b Pisteiden,, - ja, kautta piirretyn suoran kulmakerroin: c b a c Pisteiden -, ja, kautta piirretyn suoran kulmakerroin:
. a Kohtaan piirretty tangentti kulkee pisteiden -, ja, 7 kautta. Tangentin kulmakerroin: 7 b Kohtaan piirretty tangentti kulkee pisteiden, - ja, 5 kautta. Tangentin kulmakerroin: 5 8 5. a kohdassa b kohdassa =
. Funktion kuvaaja kulkee pisteiden, - ja, - kautta. Näin ollen Kohtaan piirrettyy tangentti kulkeee pisteiden, - ja -, kautta. Sen kulmakerroin on. Kohtaan piirrettyy tangentti on -akselin suuntainenn ja sen kulmakerroin on nolla. Niinpä. 7. a Kohtaan = - piirretyn tangentin kulmakerroin on: k ' b Yhdensuuntainen tangenttisuora löytyy kohdasta =, joen tässä kohdassa derivaatalla on sama s arvo. -, -,
8. Kohtaan piirretty tangentti kulkee pisteiden, ja, 9 kautta. Sen kulmakerroin on 9 7, 5 eli,. Huom! Piirrostarkkuudesta riippuen yhtä hyväksyttäviä tuloksia olisivat arvot välillä,. Kohtaan piirretty tangentti kulkee pisteiden, 8 ja, kautta. Koska sen kulmakerroin 8 5 on 5, 5.
9. a Nollakohdissa g:n kuvaaja leikkaa -akselin. g kun,5 tai 9, 5. b Derivaatan nollakohd dissa tangenttisuora on vaakasuora eli suorann kulmakerroin onn nolla. Derivaatan nollakohtia ovat:, ja 8. a D b D55 5 c D d D D D 7 e D 7 7 8 D D D
. a 7 5 5 b t t t t t t t c Sievennetään ensin unktion lauseke: 5 5 5 5 5 a a a a a a a a a 5 a a d 9 9
. Sievennetään ensin unktion lauseke: Q Derivaatta: Q 8 Q 8 Q. 5 ja 5 g 5 8 g 7 7 D 5 5 D D g 7 5 8 D D g g Näin ollen g g D D D unktioille ja g.
. a Derivoidaan ensin unktio. ' ' b Funktion derivaatta: ' ' 5. a 5 kun, 5 :
b kun tai. t t Koska, t t t
7. Derivoidaan unktio ' Ratkaistaan yhtälö tai 8 ' 8. Funktion kuvaaja on paraabeli, jonka huippu löytyy derivaatan nollakohdasta. Derivoidaan unktio: 8 8 ' Derivaatan nollakohta: : 8 8 Huippupisteen -koordinaatti on =. Huippupisteen y-koordinaatti 8 y Huippupiste -,.
9. a, kun tai tai 8 b, kun tai 8 c, kun tai 8. Derivoidaan unktio: g' 8 8 Derivaatan nollakohta: g ' 8 8 : Derivaattaunktion kuvaaja: g, kun
. g Derivaatta: g g kun tai = = Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. g + + - g, kun. Derivaatta: ' Derivaatan nollakohdat: Derivaatalla ei ole nollakohtia, joten derivaatan kuvaaja ei leikkaa -akselia. Koska derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, saa derivaatta aina positiivisia arvoja.
. a Derivaatta saa positiivisia arvoja tai arvon nolla, kun unktio on kasvava. Funktio g on kasvava, kun - tai. b Funktio saa positiivisia arvoja, kun kuvaaja kulkee -akselin yläpuolella. Funktion g on siis kasvava, kun - tai.. Hahmotellaan derivaata an kuvaaja. + - - + t Derivaatan merkkikaavio ja unktion kulkukaavio: - + - + Funktio on kasvava, kun t - tai t.
5. g Derivoidaan unktio g Derivaatan nollakohdat g, kun tai Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: - - + - g Merkkikaavio ja kulkukaavio: -7 - g - + - g
Lasketaan unktion arvoja kuvaajan piirtämiseksi. g -7 g 7 7 7,5 - g -5 g 5,5 - g - g,5 - g 8 - g,5 g g,,5 g
.,5 5 Derivoidaan unktio: 5 Derivaatan nollakohdat: kun 5 5 Derivaatan merkki: 5 5 5 Merkkikaavio ja kulkukaavio: 5 - + Funktio kasvava, kun 5. Tällöin unktion arvot kasvavat, kun muuttujan arvot kasvavat. Koska,998, 999 niin,998,999.
7. Minimikohdat: Maksimikohta: : Minimiarvot: Maksimiarvo: 8. a g,5 g g kun : Derivaatan merkki: g g
Merkki- ja kulkukaavio: g - + g Minimiarvo,5 g b g g kun g tai 5 min
Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: g + + -/ - Merkki- ja kulkukaavio: g + - + g ma min Maksimiarvo g 8 Minimiarvo g 7
9. 5 a a a, a a a a 5 joten Koska :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, on minimikohta. Minimi: 5.,,,,,,, kun,,,,,5
Derivaatan merkki:,,,98,,, Merkki- ja kulkukaavio:,5 + - ma Heiton korkeuden maksimikohta on, 5. Tällöin,5,,5 7,5 8 Heitto käy 8 m korkeudessa.,,5,
. a Suurin arvo on, joka saadaan kohdassa. b Välillä 7, suurin arvo on ja pienin p arvo on. c Välillä, suurin arvo saadaan kohdassa Pieninn arvo saadaan kohdassaa. d Funktio saaa arvon kohdassa. Funktio saa arvon 5 esimerkiksi kohdassa. Niinpä välillä, tai, saa mainitut suurimman jaa pienimmän arvon.. 8, 5, 8 8 8 kun :
Derivaatan merkki: 8 8,5,5 8 Merkki- ja kulkukaavio: -5 - + ma min ma Lasketaan unktion ääriarvot: 5 5 8 5 89 8 9 8 7 Vastaus: Suurin arvo 89, pienin arvo -9. a p ei voi saada negatiivisia arvoja eli,875t,7t p:n nollakohdat:,875t,7t t,875t,7 t tai,875t,7 t = 8 t,8. Funktio on määritelty, kun
b Derivoidaan unktio: p t,75t,7 Derivaatan nollakohta: p t kun,75t,7 t Derivaatan merkki: p,75,7,7 p 5,75 5,7,75 Merkki- ja kulkukaavio: 8 p + - p min ma min Suurin arvo saadaan, kun eli neljän tunnin kuluttua juomisen aloittamisesta. Suurin arvo on p,875,7, Veren alkoholipitoisuus on siis,.
. Merkitään aitauksen sivuja kirjaimilla ja y. y y y Sivun pituuden tulee olla positiivinen, joten: > ja y >, Muodostetaan pinta-alalle unktio A Derivoidaan: A Derivaatan nollakohta: 5,5 : Derivaatan merkki: A ' 8 A '
Merkki- ja kulkukaavio: 5,5 A + - A ma Alan arvo suurin, kun 5, 5. Aitauksen mitat tällöin 5,5 m ja 5,5 m m 5. Merkitään pohjaneliön sivuja kirjaimella ja korkeutta kirjaimella y. 8 y 5 y 5 8 y : Sivujen pituudet positiivisia: > ja y > 7,7 Muodostetaan unktio tilavuudelle: V Derivoidaan: V 8
Derivaatan nollakohdat: 8 8 = tai 8 = 8 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. - +,... - V Merkki- ja kulkukaavio: V + - V ma 7 Tilavuus V on suurin, kun. V,... Suurin tilavuus on cm.
. mm mm mm:n paksuisia nauhoja saadaan leikattua mm kappaletta. mm Didon rajaaman alueen ympärysmitta on siis,5m 5m. Merkitään alueen sivujen pituuksia kirjaimilla ja y. y y y 5 5 Sivujen pituudet positiivisia: ja y > 5 5,5 Muodostetaan pinta-alaa kuvaava unktio: 5 5 A
Derivaatta: A 5 Derivaatan nollakohta: 5 5 5 : Derivaatan merkki: A 5 A 5 5 Merkki- ja kulkukaavio: 5 A + - A ma 5 Ala on suurin, kun 5. Alueen mitat ovat tällöin 5 m ja 5 5 m 5 m Suurin ala on A5 5 5 5 785 m. eli n. 78 ha.
7. m 5, 8,. Derivaatta: m Derivaatan nollakohta: Derivaatan merkki: m m Merkki- ja kulkukaavio: 8 m + - m ma Myyntitulo on suurin, kun eli myyntihinta on. Myyntitulo on tällöin m 5 5 Suurin myyntitulo on siis 5.
8. Hinta Katsojamäärä kpl 8 5 8,5 5 5 8,5 5 5 8,5 5 5 8,5 5 5 Myyntitulo m 8,55 5 5 5 5 5 75 5 Hinta ja katsojamäärä positiivisia: 8,5 5 5,5 8 5 5, Derivaatta: m 5 75 Derivaatan nollakohta: 5 75 5 75,5
Derivaatan merkki: m 5 75 5 m 5 75 75 Merkki- ja kulkukaavio: - -,5 m + - m ma Myyntitulo on suurin, kun, 5. Lipun hinta on tällöin 8,5,5 7,5.
. Harjoituskoe. a Toisen asteen termin kerroin positiivinen, joen paraabeli aukeaa ylöspäin. b = 5 5 g = 8 8 5 : : 5 c y-akselin leikkauspisteessä =, pisteessä, - g, pisteessä, - d sijoitetaan = - g
. Piste kuvaajalla, jos. Piste on kuvaajalla.
. Nollakohdat: tai, kun Huippu nollakohtien puolivälissä derivaatan nollakohdassa. Huipun -koordinaatti on. Huipun y-koordinaatti on 8 y Eli huippu pisteessä 8,.
. a Jos kolmion piiri on cm ja hypotenuusan pituus cm, on kateettien yhteenlaskettu pituus cm. Koska kolmio on tasakylkinen, ovat molemmat kateetit yhtä pitkät. Tällöin kummankin kateetin pituus on b Suorakulmaisen kolmion pinta-ala saadaan kateettien avulla. A 7 8
5. a b 5 5 c Sievennetään ensin unktion lauseke. d 5 5 8. t t g a g on kasvava, kun eli t g t t t b g g:n kuvaaja kulkee pisteen -, kautta. g Pisteeseen -, - piirretyn tangentin kulmakerroin on -.
7. g t t t g t t t g t kun t t t t t t tai t t Derivaatan g kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: g + + - - t - g + - + g ma min Funktiolla ei ole suurinta arvoa, mutta sillä on kaksi ääriarvoa: Maksimi: g 7 Minimi: g
8., 5, Derivaatan nollakohdat: tai = Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Nollakohdista = ei kuulu tarkasteltavalle välille 5,. -5 + min ma min Lasketaan ääriarvot: 5 5 5 79 5 Suurin arvo -, pienin arvo -79
. Harjoituskoe. a, b kun tai tai tai c kun tai tai tai tai d Pienin arvo - e Suurin arvo. a 8 8 :
b Merkitään Funktion nollakohdat: 7 tai :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: + + - - kun tai
. a 5 t t t t 5 9 t t t b r r r g g r = -r c Sievennetään ensin unktion lauseke. h 8 8 8 9 h
. 5 9 9 Derivaatan nollakohdat: 9 tai 9 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: + + - Ääriarvot: maksimi 9 5 9 minimi 5 5 9 Funktio on kasvava, kun tai. + + ma min
5. Paraabelin y a 8 huipussa derivaatta saa arvon nolla: y 8a y kun 8a 8a 8a Huipun -koordinaatti on, joten saadaan yhtälö: 8a a a 9 Kun a 9 ja, y 9 8.
. Merkitään ympyräkartion pohjan sädettä kirjaimella r ja kartion korkeutta kirjaimella h. r h,5,5,5 h r h r Tilavuus,5,5 h h h h h r h V Derivaatta,5 h h V
Derivaatan nollakohdat,5 h,5 h h,5 h,8... h,... Näistä vain positiivinen arvo kelpaa. : Derivaatan V kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. -,... - +,... - V h, V + - V Tilavuus V on suurin, kun korkeus h,..., m Tilavuus on tällöin V,...,5,...,...,97..., m
7. Merkitään aitauksen aidattuja osia kirjaimilla ja y. y y y Sivujen pituudet positiivisia: > ja y >, Muodostetaan unktio pinta-alalle A
Derivaatta A Derivaatan nollakohdat 5,5 Derivaatan merkki: A 9 A Merkkikaavio: 5,5 A + A ma Ala on suurin, kun 5, 5. A 5,5 5,5 5,5,5 m
. Harjoituskoe. a b 5 5 : 8 7 8 8 kun 8 8 8 7
. a 8 Derivaatan nollakohdat: : tai Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: - + - + on kasvava, kun.
b kun + on vähenevä, kun. h 8 h h 8 kun 8 tai
Derivaatan h kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: h + + -/ - h + + h h on vähenevä välillä,. Molemmat unktiot h ja ovat siis väheneviä, kun..,5, 875 a Lasketaan unktion nollakohdat:,5,875,5,5,5.5,75 tai,5,875
Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: -,5 +,75 - Puron leveys on,75,5 m =,5 m. b Huippukohta on nollakohtien puolivälissä:,5,75,5 Huipun y-koordinaatti:,5,5,5,5,875,9...,9 Korkein kohta 9 cm päässä.. 8 8 8 8 8 8 8 kun :8
a Derivaatan nollakohta kuuluu välille,. Derivaatan merkki: 8 8 8 8 8 8 Merkkikaavio: + ma min ma 8 8 8 Suurin arvo. Pienin arvo -. b Derivaatan nollakohta ei kuulu välille,. + min 8 Pienin arvo. Ei suurinta arvoa.
5. Merkitään peilin mittoja kirjaimilla ja y. y 95 y 8 95 y 75 y 7,5 Pituudet positiivisia: ja 7,5 > < 7,5 ;7,5 Peilin ala ilman kehyksiä: A y 7,5 7,5 A 7,5 A kun 7,5 7,5 8,75
Derivaatan merkki: A 7,5 5,5 A 7,5,5 Merkkikaavio: 8,75 7,5 A + A Ala on suurin, kun 8, 75. Peilin mitat ovat tällöin 8,75cm 9cm ja 7,5 8,75cm 8,75cm 9cm. Voittoa kuvaa unktio v 5 5, 5 5,, v, 5 v kun,, 5 :,
Derivaatan merkki: v, v, Merkkikaavio: v v 5 + ma Voitto suurin, kun 5. Voitto v 5, 5 5 5 5 7. Merkitään laatikon pituutta ja leveyttä kirjaimilla ja y. y y y 8 8 Pituudet positiivisia: ja > <,
Tilavuus V V V kun Derivaatan merkki: V V Merkkikaavio: V + V ma Tilavuus on suurin, kun. V Suurin tilavuus on cm dm eli laatikkoon mahtuu,5 l hiekkaa. l Vastaus: Pystyy valmistamaan.