MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf Gripenbergin ja Harri Varpasen laatimiin saman kurssin aikaisempiin kalvosarjoihin. Kiitokset heille käyttöön antamastaan materiaalista! Otaniemessä 19.2.2017 Riikka Kangaslampi 1 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukko-oppi

Joukko Matematiikan kaikki rakenteet ja niitä koskevat väitteet voidaan ilmaista joukkojen avulla. Esimerkki 1 N = {0, 1, 2, 3,...} on luonnollisten lukujen joukko. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} on kokonaislukujen joukko, Z + = {1, 2, 3,...} positiiviset ja Z = {..., 3, 2, 1} negatiiviset kokonaisluvut. { } Q = p q : p, q Z, q 0 on rationaalilukujen joukko. R on reaalilukujen joukko. Joukkoja voi määritellä millaisia haluaa, vaikkapa A = { lammas, klemmari, 16, π, ikuisuus } 2 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukko Joukko-opissa peruskäsite on eli x A kun alkio x kuuluu joukkoon A ja x / A kun alkio x ei kuulu joukkoon A. Merkintätapoja: {2, 4, 5, 8} on joukko jonka alkiot ovat 2, 4, 5 ja 8. {lauseke : ehto} on joukko johon kuuluu lausekkeen antamat alkiot kun ehto on voimassa, esim. { x 2 : 2 < x < 10, x on kokonaisluku } = {9, 16, 25,..., 81}. Tyhjä joukko: = {} on joukko, johon ei kuulu yhtään alkiota, eli x on aina epätosi. A = B jos on totta, että x A jos ja vain jos x B, esimerkiksi {1, 2, 2, 3} = {3, 2, 1}. 3 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukko-opin perusmerkintöjä Yhdiste tai unioni: x A B jos ja vain jos x A tai x B. A B Leikkaus: x A B jos ja vain jos x A ja x B. A B Joukkoerotus: x A \ B jos ja vain jos x A mutta x / B. A B Komplementti: A c = Ω \ A jos A Ω ja on selvää mikä Ω on. A 4 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukko-opin perusmerkintöjä Osajoukko: A B jos jokainen A:n alkio on myös B:n alkio. B A Aito osajoukko: A B, jos A B, mutta A B. Huom: Usein osajoukkoa merkitään A B, jolloin aito osajoukko on A B. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. Potenssijoukko: P(A) on joukon kaikkien osajoukkojen muodostama joukko. Tulojoukko: A B = {(a, b) : a A, b B}, missä (a, b) on järjestetty pari eli kahden alkion lista, jossa a on ensimmäisenä ja b toisena. 5 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukko-opin perusmerkintöjä Esimerkki 2 Jos A = {0, 2, 4}, B = {1, 3, 5} ja C = {0, 1, 2, 3, 4}, niin A C ja B C. Esimerkki 3 Jos A = {1, 2, 3}, niin P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }. Esimerkki 4 {0, 1} {2, 1} = {(0, 2), (0, 1), (1, 2), (1, 1)}. 6 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukko-opin perusmerkintöjä Merkintä A tarkoittaa joukon A alkioiden lukumäärää. Esimerkki 5 Jos A = 5 ja B = 9, niin mitkä seuraavista eivät kelpaa luvuksi A B missään tilanteessa? a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 14 f) 20 Vastaus: a,b ja f. 7 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukko-opin perusmerkintöjä Esimerkki 6 Päteekö A (B C) = (A B) (A C)? Tutki piirtämällä Venn-diagrammit joukoista A, B C, A (B C), A B, A C ja (A B) (A C), kun A, B ja C ovat kuten alla. A B C Vastaus: kyllä 8 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Perusjoukko Kylässä on miespuolinen parturi, joka ajaa niiden ja vain niiden miesten parran, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako parturi oman partansa? (ns. Russelin paradoksi) Joukko-oppi ei aina ole niin yksinkertaista! Käytännössä joukot ovat aina tietyn perusjoukon (eng. domain of discourse, universal set of discourse) osajoukkoja. Russellin paradoksi voidaan välttää vaatimalla taustalle perusjoukko X, jonka osajoukkoja kaikki tarkasteltavat joukot ovat. 9 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Indeksöity joukkoperhe Olkoon X perusjoukko ja A 1, A 2, A 3,... X joukkoja. Tällöin on indeksöity joukkoperhe. {A k } k=1 Merkitään A k = {x X : x A k jollakin k Z + } k=1 A k = {x X : x A k kaikilla k Z + } k=1 10 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Indeksöity joukkoperhe Esimerkki 7 Olkoon X = R ja A k = [0, 1 k ] (suljettu väli). Osoita, että a) b) k=1 A k = [0, 1] k=1 A k = {0} Todistus taululla 11 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Logiikka

Väitelause Määritelmä 8 Väitelause (eng. statement) on lause, joka on joko tosi tai epätosi. Esimerkki 9 Väitelauseita: 2 Z, 5 = 2, luvun π miljoonas desimaali on 7. Nämä eivät ole väitelauseita: Onko 2 + 2 = 4? Tämä lause on epätosi. Usein väitelauseet ovat muotoa kaikille x A pätee P(x) tai jollekin x A pätee P(x). Nämä lyhennetään usein x A : P(x) ja x A : P(x). 12 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Esimerkkejä väitelauseista x R : x 2 > 0 a R : x R : ax = x n Z : m Z : m = n + 5 n Z : m Z : m = n + 5 Mistä tahansa bileistä löytyy kaksi ihmistä, jotka tuntevat yhtä monta ihmistä samoista bileistä. Keskustelutehtävä: Mitkä näistä väitteistä ovat totta? Tosia toinen ja kolmas, epätosia ensimmäinen ja neljäs. Viides jätetään myöhemmäksi. 13 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Negaatio Miten muodostaa negaatio väitteelle kaikille x A pätee P(x)? (1) Esimerkki 10 Esitetään väite jokainen luonnollinen luku voidaan esittää alkulukujen tulona muodossa kaikille x N pätee P(x), missä P(x) = x voidaan esittää alkulukujen tulona. Negaatio tälle on on olemassa luonnollinen luku, jota ei voida esittää alkulukujen tulona eli jollekin x N ei päde P(x). 14 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Negaatio Yleisesti: Olkoon B niiden alkioiden joukko, joille P(x) pätee. Tällöin väite (1) saa muodon A B. Tämän negaatio on A B, ts. jollekin x A pätee x / B. Siten väitteen (1) negaatio on jollekin x A ei päde P(x). Samoin väitteen jollekin x A pätee P(x) negaatio on kaikille x A pätee ei-p(x) eli millekään x A ei päde P(x). Edellä palautettiin negaation muodostaminen (voi olla vaikeaa) osajoukkouden määritelmään ja sen negaatioon (helppoa). 15 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Loogiset konnektiivit Väitelauseita voi yhdistää loogisilla konnektiiveilla: Lisäksi jo tutut kvanttorit: implikaatio = ekvivalenssi negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai kaikille jollekin 16 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Loogiset konnektiivit Sopimus Implikaatio P Q on matematiikassa tosi aina, kun P on epätosi. Esimerkki 11 Väite x R : (x 2 < 0 x = 23) on tosi, koska x 2 < 0 on epätosi kaikilla x R. Implikaation totuustaulu: P Q P = Q E E T E T T T E E T T T 17 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Loogiset konnektiivit Identtisesti tosia lauseita sanotaan tautologioiksi. Esimerkki 12 Seuraavat lauseet ovat tautologioita, mikä voidaan nähdä esimerkiksi totuustaulun avulla: P P (kaksoiskiellon poisto) P P (vaihtoehtopakko) (P = Q) ( Q = P) (kontraponointilaki) (P Q) ((P = Q) (Q = P)) (ekvivalenssilaki) Esimerkiksi ekvivalenssilain mukaan kahden väitteen yhtäpitäväksi osoittaminen voi tapahtua osoittamalla ne erikseen toistensa seurauksiksi. 18 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Loogiset konnektiivit Esimerkki 13 Tutkimusmatkailija saapuu rehtien ja retkujen saarella T-risteykseen, jossa maleksii yksi saaren asukas. Miten matkailija saa yhdellä kysymyksellä selville, onko kaupunki oikealla vai vasemmalla? Merkitään: P = kaupunki on oikealla ja Q = asukas on retku ja kysytään päteekö P Q. P Q P Q asukkaan vastaus kyllä E E T T E T E T T E E E T T T E 19 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Kontrapositio Määritelmä 14 Väitteen jos P, niin Q eli P = Q kontrapositiivinen väite on jos ei-q, niin ei-p eli Q = P. Esimerkki 15 Väitteen (perusjoukkona R) jos x > 0, niin x 3 0 kontrapositio on jos x 3 = 0, niin x 0. 20 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Kontrapositio Lause 16 Väite ja sen kontrapositio ovat loogisesti yhtäpitäviä. Todistus. Merkitään väitettä P Q. Väite on epätosi ainoastaan yhdessä tapauksessa eli silloin, kun P on tosi ja Q on epätosi. Tarkastellaan sitten kontrapositiota ( Q) ( P). Kontrapositio on vastaavasti epätosi silloin, kun Q on tosi ja P on epätosi. Toisin sanoen kontrapositio on epätosi täsmälleen silloin, kun Q on epätosi ja P on tosi. Koska väite ja kontrapositio ovat tosia / epätosia samoissa tilanteissa, lause on todistettu. 21 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Käänteinen väite Määritelmä 17 Väitteen P = Q käänteinen väite on Q = P. Huomio. Käänteinen väite on eri asia kuin väitteen kontrapositio. Väite ja sen kontrapositio ovat yhtäpitäviä, mutta väitteen totuusarvosta ei voi päätellä käänteisen väitteen totuusarvosta yhtään mitään. Esimerkki 18 Reaalilukuja koskevan väitteen jos x > 0, niin x 3 0 (tosi) käänteinen väite on jos x 3 0, niin x > 0 (epätosi). 22 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

Todistamisesta Matematiikan väitelauseet voidaan aina esittää muodossa A B, toisin sanoen muodossa x X : x A = x B. Tällaisen väitteen suora todistus on yksisuuntainen päättelyketju, joka lähtee oletuksesta x A ja etenee johtopäätökseen x B. Väitteen epäsuora todistus käyttää hyväksi yhtäpitävää kontrapositiota B c A c eli x X : x / B = x / A. Toisin sanoen tehdään vastaoletus x / B ja edetään jälleen yksisuuntaisella päättelyketjulla ristiriitaan x / A. Väite A B on epätosi täsmälleen silloin, kun x A x B on epätosi jollekin x X. Siten väitteen A B todistaminen vääräksi edellyttää, että löydämme vastaesimerkin: alkion x A, jolle x / B. Tarkemmin: harjoitus 1. 23 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

Relaatiot

Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A joukkoon B on mikä tahansa joukko R A B. Joukko A on relaation R lähtöjoukko, joukko B sen maalijoukko. Jos A = B, sanotaan, että R on relaatio joukossa A. Huomautus Määritelmää yllä kutsutaan usein myös binääriseksi relaatioksi. (Vastaavasti voidaan määritellä n-paikkainen relaatio joukkojen A 1,..., A n välillä joukon A 1... A n osajoukkona.) Sovelluksia mm. Relaatiotietokannat, ohjelmointikielten kääntäjät. 1 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Relaatio Esimerkki 2 Olkoon A = {1, 2, 3, 4}. Määritellään relaatio R joukossa A säännöllä R = {(a, b) : a on b:n tekijä}. Tällöin R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}. Huom: Yllä jaollisuutta (a, b) R on tapana merkitä a b. Yleisestikin relaatioon pyritään liittämään sopiva symboli (esim., =,, ) ja merkitsemään vastaavasti. Merkitsemme tällä kurssilla yleistä relaatiota a b emmekä arb kuten lähteissä. 2 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Relaatio suunnattuna verkkona Esimerkki 3 Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {a, b} ja R = {(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)}. Tällöin relaatio R voidaan esittää suunnattuna verkkona kuten alla: 0 1 2 a b Kysymys Jos A = m ja B = n, montako relaatiota on olemassa joukosta A joukkoon B? (Vastaus: 2 mn.) 3 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Relaatioiden luokittelua Määritelmä 4 Relaatio joukossa A (merkitään ) on refleksiivinen, jos x A : x x symmetrinen, jos x, y A : x y y x transitiivinen, jos x, y, z A : (x y ja y z) x z antisymmetrinen, jos x, y A : (x y ja y x) x = y. Esimerkki 5 Joukon Z relaatio = on refleksiivinen, symmetrinen, transitiivinen ja antisymmetrinen. Joukon N relaatio (jaollisuus) on antisymmetrinen, refleksiivinen ja transitiivinen. 4 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Ekvivalenssirelaatio Määritelmä 6 Jos relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, sitä kutsutaan ekvivalenssirelaatioksi tai lyhyesti ekvivalenssiksi. Esimerkki 7 C-ohjelmointikielen kääntäjä tarkistaa muuttujien nimistä vain kahdeksan ensimmäistä merkkiä ja mikäli ne ovat samoja, katsoo muuttujat samoiksi. (Lähde: Rosen.) Määritellään äärellisten merkkijonojen joukossa relaatio R asettamalla (x, y) R, jos x = y tai jos x:n ja y:n kahdeksan ensimmäistä merkkiä ovat samat. Tällöin R on ekvivalenssi. 5 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Ekvivalenssirelaatio Ekvivalenssirelaatio ilmaisee yleistä samuutta. Riippuu tilanteesta, millä kriteereillä samuus määritellään, mutta jokainen ekvivalenssirelaatio jakaa joukkonsa samojen alkioiden muodostamiin ekvivalenssiluokkiin: Määritelmä 8 Olkoon R ekvivalenssirelaatio joukossa A (merkitään ). Alkion a A ekvivalenssiluokka on joukko [a] = {x A : a x}. 6 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Ekvivalenssirelaatio Pätee Jos joukossa A on annettu ekvivalenssi, niin sen ekvivalenssiluokat jakavat A:n erillisiin osiin. Toisin sanoen kaikille a, b A pätee joko [a] = [b] tai [a] [b] =. Tarkemmin: Book of Proof, 11.2 & 11.3, erityisesti kuva sivulla 184. (Moduloluvut ovat neljännen viikon asiaa.) 7 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Järjestysrelaatio Vastaavasti määritellään yleinen järjestyksen käsite relaationa, joka on antisymmetrinen ja transitiivinen. Tarkemmin harjoitustehtävässä 11, jossa tutustutaan osittaisiin järjestyksiin (eng. partial order; poset = partially ordered set). 8 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Funktiot

Funktio Määritelmä 9 Funktio joukosta A joukkoon B on relaatio f joukosta A joukkoon B siten, että kullekin lähtöjoukon alkiolle a löytyy täsmälleen yksi maalijoukon alkio b, jolle (a, b) f. Esimerkki 10 lähtöjoukko maalijoukko lähtöjoukko maalijoukko 9 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Funktio Huomioita Funktio siis rajoittaa relaatiota kahdella tavalla: 1) kaikkien lähtöjoukon alkioiden on oltava relaatiossa jonkun maalijoukon alkion kanssa, 2) maalijoukon alkio on yksikäsitteinen. Tapana on funktion tapauksessa merkitä f (a) = b eikä (a, b) f. Funktiota f joukosta A joukkoon B merkitään lyhyesti f : A B. 10 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Funktio Huomioita (jatkuu) Määritelmä tarkasti: a A, b, c B : ( f (a) = b ja f (a) = c ) b = c. Joskus funktiolle ei tarvita kirjainta; voidaan esimerkiksi ilmaista reaaliluvun korottaminen neliöön funktiona R R, x x 2. (Tässä f (a) = b on korvattu ilmaisulla a b.) Tarkemmin: Book of Proof, 12.1. 11 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Funktio Esimerkki 11 Funktion f = {(x, 4x + 5) : x Z} Z Z määrittelyjoukko (domain) on Z maalijoukko (codomain) on Z arvojoukko (range) on {4x + 5 : x Z} = {..., 7, 3, 1, 5, 9,...} Esimerkki 12 Lukujono on funktio N R. Algoritmien nopeuksien vertailukohteena käytetään lukujonoja muotoja f (n) = log k n, f (n) = n k ja f (n) = k n (jollekin k N) sekä näiden yhdistelmiä. 12 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Injektio, surjektio, bijektio Määritelmä 13 Funktio f : A B on injektio (tai yksi-yhteen ), jos x, y A : x y f (x) f (y) surjektio (tai peittävä ), jos b B a A : f (a) = b bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Esimerkki 14 injektio surjektio bijektio 13 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Injektio, surjektio, bijektio Esimerkki 15 Onko kuvaus f : Z Z Z, f (n) = (2n, n + 3), bijektio? Kuvaus on injektio, jos f (n) = f (m) = m = n. Nyt: f (n) = f (m) = (2n, n + 3) = (2m, m + 3) = (2n = 2m) (n + 3 = m + 3) = (n = m) (n = m) = n = m eli kuvaus todellakin on injektio. Kuvaus on surjektio, jos kaikilla (x, y) Z Z on olemassa n Z siten, että f (n) = (x, y), eli että (2n, n + 3) = (x, y). Tämä ei ole totta: esimerkiksi jos (x, y) = (2, 5), pitäisi olla samanaikaisesti 2n = 2 ja n + 3 = 5 eli n = 1 ja n = 2. Kuvaus siis ei ole bijektio. 14 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Injektio, surjektio, bijektio Bijektiiviset funktiot voidaan kääntää: Määritelmä 16 Bijektiivisen funktion f : A B käänteisfunktio on funktio g : B A, missä g(b) on se yksikäsitteinen luku a, jolle f (a) = b. Huomioita Voidaan osoittaa, että käänteisfunktio on yksikäsitteinen (ts. jos g ja h ovat f :n käänteisfunktioita, niin g = h). Funktion f käänteisfunktiota merkitään f 1. Merkintää f 1 käytetään eri tarkoituksessa alkukuvan käsitteen yhteydessä, tästä lisää hetken kuluttua. 15 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Injektio, surjektio, bijektio Määritelmä 17 Bijektiivistä funktiota A A (oletetaan A < ), kutsutaan joukon A permutaatioksi. Esimerkki 18 Olkoon A = {1, 2, 3}. Määritellään permutaatio f : A A asettamalla ( f (1) ) = 3, f (2) = 2, f (3) = 1. Tiiviimmin matriisina: 1 2 3 f =. Nyt f 1 = f. 3 2 1 16 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Yhdistetty funktio Määritelmä 19 Funktioiden f : A B ja g : B C yhdistetty funktio on g f : A C, (g f )(x) = g ( f (x) ). Huomioita Määritelmässä f :n maalijoukko = g:n lähtöjoukko. Määritelmä toimii myös, kun f :n maalijoukko g:n lähtöjoukko. Yhdistäminen ei ole vaihdannainen (eng. commutative): yleensä g f f g. Yhdistäminen on liitännäinen (eng. associative): f (g h) = (f g) h. Tarkemmin: Book of Proof, luku 12.4. 17 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Yhdistetty funktio Esimerkki 20 Määritellään ( joukon ) {1, 2, ( 3} permutaatiot ) 1 2 3 1 2 3 f = ja g =. Tällöin 3 2 1 2 1 3 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 g f = ja f g =. 3 1 2 2 3 1 18 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Kuva ja alkukuva Tilanteessa f (a) = b sanotaan, että b on a:n kuva ja a on b:n alkukuva. (Funktiota kutsutaan joskus nimellä kuvaus.) Sama terminologia on voimassa yleisemmin joukoille: Määritelmä 21 Olkoon f : X Y. Joukon A X kuva on joukko {f (a) : a A} Y. Joukon B Y alkukuva on joukko {x X : f (x) B} X. Joukon A kuvaa merkitään f (A) ja joukon B alkukuvaa merkitään f 1 (B). 19 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Kuva ja alkukuva Huomioita Kuva ja alkukuva ovat aina hyvin määriteltyjä. Erityisesti alkukuva f 1 (B) on aina olemassa, vaikka f ei olisi bijektio. Kuvan ja alkukuvan määritelmät toimivat myös relaatiolle. Itse asiassa mikä tahansa relaatio voidaan kääntää (ks. BoP luku 12.5), mutta funktion käänteisrelaatio ei ole funktio ellei alkuperäinen funktio ole bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin {f 1 (b)} = f 1 ({b}) kaikille b B. Tarkemmin: Book of Proof, luku 12.6. 20 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Funktiot ja joukko-operaatiot Lause 22 Kaikille funktioille f ja kaikille lähtö- tai maalijoukon osajoukoille A, B pätee: A B f (A) f (B) A B f 1 (A) f 1 (B) f (A B) = f (A) f (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B). Siis: Alkukuva säilyttää kaikki joukko-operaatiot, mutta kuva vain yhdisteen ja osajoukkouden. 21 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Funktiot ja joukko-operaatiot Erityisesti siis lauseen kaksi viimeistä eivät yleisesti päde kuvajoukoille, kuten vastaesimerkit etsimällä huomaamme: Esimerkki 23 (Tehtävä) Etsi sellainen esimerkkifunktio ja joukot, joille f (A B) f (A) f (B) f (A \ B) f (A) \ f (B). Ensimmäiseen kohtaan sopii vastaesimerkiksi tilanne, jossa A B on tyhjä joukko, mutta f (A) f (B) ei, ja toiseen vastaavasti tilanne, jossa f (A) \ f (B) on tyhjä joukko, mutta f (A \ B) ei ole. 22 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukon mahtavuus Määritelmä 24 Kaksi joukkoa A ja B ovat yhtä mahtavia, jos on olemassa bijektio A B. Tällöin merkitään A = B. Huomioita A = n tarkoittaa, että on olemassa bijektio A {1, 2,..., n}. Joukko A on äärellinen jos on olemassa n N siten, että A = n. Jos joukko ei ole äärellinen, se on ääretön. Määritelmässä joukkojen A ja B ei tarvitse olla äärellisiä. Joukko A on numeroituva (eli numeroituvasti ääretön) jos A = N ja ylinumeroituva jos A > N. 23 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukon mahtavuus Esimerkki 25 Pätee N = Z = Q R. Joukot N, Z ja Q ovat siis numeroituvia ja R on ylinumeroituva. Todistus: N = Z. Koska funktio f : N Z, missä f (0) = 0, f (2k 1) = k ja f (2k) = k kun k 1, on bijektio, niin joukot ovat yhtä mahtavia. 24 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukon mahtavuus Todistus: N = Q. N = Q, koska voimme järjestää murtoluvut jonoon, ja siis konstruoida bijektion, seuraavalla tavalla: 0 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1... 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1... 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2... 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2... 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3... Hypäten jo listalla olevien lukujen yli saamme seuraavan bijektion: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 1, f (4) = 1 2, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 4, f (8) = 3, f (9) = 1 2, f (10) = 1 3, f (11) = 3, f (12) = 4, f (13) = 5,... 2 25 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

Joukon mahtavuus Todistus: Q R. Todistus on harjoitustehtävänä. 26 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 3: Kombinatoriikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

Kombinatoriikka

Summaperiaate Esimerkki 1 Opetusohjelmakomiteaan valitaan matematiikan edustaja joko professorien, lehtorien tai matematiikan pääaineopiskelijoiden joukosta. Jos professoreita on 12, lehtoreita 8 ja pääaineopiskelijoita 83 (ja kukaan ei kuulu kahteen ryhmään), niin kuinka monella tavalla valinta voidaan tehdä? 12+8+83=103 tavalla 1 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Summaperiaate Lause 2 (Summaperiaate) Olkoot A 1,..., A n erillisiä äärellisiä joukkoja: i {1,..., n}: A i <, i, j {1,..., n}: i j A i A j =. Tällöin A 1... A n = A 1 +... + A n. Todistus. Taululla (induktio). Muistetaan viime viikolta: A = m tarkoittaa, että on olemassa bijektio A {1,..., m}. 2 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Kyyhkyslakkaperiaate Esimerkki 3 Montako opiskelijaa on kurssilla oltava, jotta vähintään seitsemän heistä saisi saman arvosanan (0-5)? 37 opiskelijaa. Idea: Jos n palloa asetetaan k:hon laatikkoon, niin ainakin yhteen laatikkoon tulee vähintään n k palloa. Tässä esiintyi kattofunktio: x = min {m Z : m x} 3 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Kyyhkyslakkaperiaate Lause 4 (Kyyhkyslakkaperiaate) Olkoot A ja B äärellisiä joukkoja. Jos f : A B on mikä tahansa funktio ja jos A > B, niin f ei voi olla injektio. (Yleisemmin: jos n N: A > n B, niin b B : f 1 ({b}) n + 1.) Todistus. Todistus taululla: vastaoletus ja summaperiaate. Vaikka lause on ilmeinen, se esiintyy päättelyissä yllättävän usein; ks. Book of Proof -kirjan luku 12.3. 4 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Kyyhkyslakkaperiaate Esimerkki 5 Olkoon m N ja olkoon S m kaikkien korkeintaan m-pituisten bittijonojen joukko. Määritellään pakkausmenetelmä joukossa S m funktiona S m S m 1. Pakkausmenetelmä on häviötön, jos funktio on injektio. Kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla ei ole olemassa yleistä häviötöntä pakkausmenetelmää, koska selvästi S m > S m 1 kaikilla m. (Erikoistapauksissa on olemassa häviöttömiä pakkausmenetelmiä, jotka käyttävät hyväkseen tunnettuja tiedostorakenteita.) 5 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Tuloperiaate Esimerkki 6 Kirjahyllyssä on viisi fysiikan kirjaa, seitsemän tietotekniikan kirjaa ja kymmenen matematiikan kirjaa. Monellako eri tavalla hyllystä voidaan valita kaksi eri alan kirjaa? 155 tavalla. Otetaan vastauksen perusteluun työkaluksi tuloperiaate: 6 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Tuloperiaate Lause 7 (Tuloperiaate) Olkoot A 1,..., A n äärellisiä joukkoja. Tällöin A 1... A n = A 1... A n. Joukon A 1... A n := {(a 1,..., a n ): a i A i kaikilla i} alkioita sanotaan järjestetyiksi listoiksi (tai äärellisiksi jonoiksi). 7 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Tuloperiaate Nyt saadaan esimerkin kysymykseen vastaus perusteltua näppärästi: Ratkaisu Olkoot F, T ja M fysiikan, tietotekniikan ja matematiikan kirjojen joukot. Tällöin sallitut valinnat ovat joukon (F T ) (F M) (T M) alkiot. Summaperiaatteen nojalla valintoja on F T + F M + T M kappaletta, joten tuloperiaatteen nojalla kirjat voidaan valita eri tavalla. F T + F M + T M = 35 + 50 + 70 = 155 8 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Tuloperiaate Tuloperiaatteen todistus. Tapaus n = 1 selvä. Tehdään tapaus n = 2; yleinen tapaus samoin induktiolla. Olkoon A = k ja B = m; merkitään A = {a 1,..., a k } ja B = {b 1,..., b m }. Tällöin A B = k i=1 j=1 m {(a i, b j )}, missä joukot {(a i, b j )} ovat erillisiä, joten summaperiaatteen nojalla A B = k m {(a i, b j )} = i=1 j=1 k m 1 = km = A B. i=1 j=1 9 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Tuloperiaate Huomio Edellä esiintyi uusi merkintä; yleisesti määritellään (X = perusjoukko) n A k := { x X : x A k jollekin k {1,..., n} } k=1 ja n A k := { x X : x A k kaikille k {1,..., n} }. k=1 Nämä ovat yhdisteen ja leikkauksen yleistykset useammalle kuin kahdelle joukolle. (Vastaava merkintä äärettömälle yhdisteelle ja leikkaukselle toki nähtiin jo äärettömän joukkoperheen yhteydessä.) 10 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Tuloperiaate Esimerkki 8 Todistetaan, että äärellisen joukon A osajoukkojen lukumäärä on P(A) = 2 A : Olkoon A = n; merkitään A = {a 1,..., a n }. Määritellään {0, 1} n := {0, 1} {0, 1} (n-pituiset bittijonot) ja funktio f : P(A) {0, 1} n asettamalla f (B) = (i 1,..., i n ), missä { 1, jos aj B, i j = 0, muulloin. Tällöin f on bijektio, joten joukon mahtavuuden määritelmän ja tuloperiaatteen nojalla P(A) = {0, 1} n = 2 n = 2 A. Aiheesta tarkemmin / eri tavalla: Book of Proof, luku 3.1. 11 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Kertoma Määritelmä 9 Luvun n N kertoma (eng. factorial) n! määritellään rekursiivisesti: 0! = 1 ja k! = (k 1)! k kaikilla k 1. Tällöin induktiolla saadaan tuttu kaava n! = 1 2... (n 1) n. 12 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Kertoma Esimerkki 10 Kuinka monta nollaa on luvun 10! lopussa? Entä luvun 100! lopussa? Luvun 10! = 1 2 3 4 }{{} 5 6 7 8 9 }{{} 10 yksi nolla toinen nolla lopussa on kaksi nollaa. Yksi tulee tekijästä 10 ja toinen kertomalla tekijä 5 millä tahansa parillisella luvulla. Jäljelle jääviä lukuja kertomalla nollia ei synny lisää. Luvun 100! lopussa on 24 nollaa (luvun 5 monikertoja on tulontekijöiden joukossa 20, niistä 4 myös luvun 25 monikertoja). 13 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Kertoma Esimerkki 11 Jos n:stä merkistä muodostetaan k:n pituisia merkkijonoja ilman samojen merkkien toistoa, niin mahdollisia tapoja on n (n 1)... (n (k 1) ) = n (n 1)... (n k + 1). Kun lavennetaan luvulla (n k)! = 1... (n k), saadaan n! järjestettyjen merkkijonojen (ilman toistoa) lukumääräksi (n k)!. 14 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Osajoukkojen lukumäärä Jos A on äärellinen joukko ja k A, niin k-alkioista A:n osajoukkoa kutsutaan joskus k-kombinaatioksi joukossa A. Termi viittaa siihen, että kukin k-alkioinen osajoukko saadaan valitsemalla k alkiota joukosta A ilman, että järjestyksellä on merkitystä. Lause 12 Jos A = n ja k {0,..., n}, niin k-alkioisia A:n osajoukkoja A on ( ) n! n k!(n k)! =: k kappaletta. 15 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Osajoukkojen lukumäärä Todistus. Aiemmasta tiedämme, että erilaisia k:n alkion järjestettyjä listoja n! (ilman toistoa) on kappaletta. Toisaalta k alkiota (n k)! voidaan järjestää k! tavalla, joten osajoukkojen (järjestämättömiä n! listoja ilman toistoa) lukumäärä saadaan jakamalla luku (n k)! luvulla k!. 16 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikerroin Termiä ( n k), missä n, k N ja 0 k n, kutsutaan binomikertoimeksi. Se voidaan määritellä joko kaavalla (kuten edellisessä kalvossa) tai osajoukkojen lukumääränä. Pätee ( ( n 0) = n ( n) = 1 ja n ) ( 1 = n n 1) = n. Tapana on määritellä myös ( n k) = 0, kun k n + 1. Esimerkki 13 Kuinka monella tavalla voidaan muodostaa 75 henkilön joukosta 9 hengen komitea ja sille 4 hengen hallitus? ( 75 )( 9 ) ( 9 4 = 75 )( 75 4 ) 4 9 4 = 15825048394050 tavalla 17 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikerroin Lause 14 (Pascalin kaava) ( ) ( ) n n 1 = k k 1 ( n 1 + k ). Todistus. Olkoon A = n ja a A. Jaetaan k-alkioiset A:n osajoukot kahteen luokkaan sen mukaan, kuuluuko alkio a joukkoon vai ei. Osajoukkoja, joihin alkio a kuuluu, on ( n 1 k 1) kappaletta ja osajoukkoja, joihin alkio a ei kuulu, on ( ) n 1 k kappaletta. 18 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikerroin Esimerkki 15 Äskeisen tuloksen ( ) n = k ( ) n 1 + k 1 ( ) n 1 k eli ( ) ( ) n + 1 n = + k k 1 ( ) n k avulla saadaan rakennettua Pascalin kolmio, kun lisäksi muistetaan ( n ) ( 0 = n ) n = 1 kaikille n. (Taululla.) 19 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikaava Lause 16 Kaikilla n N ja kaikilla x, y R pätee (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. k Todistus 1 (kombinatorinen) Kun (x + y) kerrotaan itsellään n kertaa ja tulo lasketaan auki, saadaan summa jossa esiintyy termejä x k y n k kullekin k = 0, 1,..., n. Kuinka monta kertaa termi x k y n k esiintyy, kun k on kiinnitetty? 20 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikaava Todistus 1 (jatkuu) Termi x k y n k saadaan, kun tulon (x + y)(x + y)... (x + y) (termejä n kpl) aukilaskussa valitaan täsmälleen k kertaa x eli täsmälleen n k kertaa y. Tämä voidaan tehdä ( ) ( n k = n ) n k tavalla. Todistus 2 (induktio) Kun n = 1, kaava saa muodon x + y = x + y. Oletetaan, että väite pätee jollekin n. Tällöin (x + y) n+1 = (x + y)(x + y) n 21 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikaava Todistus (jatkuu) (ind.) = (x + y) = x k=0 n k=0 ( ) n x k y n k k n ( ) n x k y n k + y k k=0 n ( ) n x k y n k k k=0 n ( ) n n ( ) n = x k+1 y n k + x k y n k+1 k k k=0 k=0 ( n 1 ( ) ( n n ( ) n = x n+1 + )x k+1 y n k + y n+1 + )x k y n k+1 k k k=1 22 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikaava Todistus (jatkuu) n 1 ( ) n n = x n+1 + x k+1 y n k + k k=0 k=1 n ( ) n = x n+1 + x k y n (k 1) + k 1 k=1 n (( ) n = x n+1 + + k 1 k=1 (Pascal) n ( n + 1 = x n+1 + k=1 k ( ) n x k y n k+1 + y n+1 k n k=1 ( ) n x k y n k+1 + y n+1 k ( )) n x k y n (k 1) + y n+1 k ) x k y n (k 1) + y n+1 23 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikaava Todistus (jatkuu) n+1 ( ) n + 1 = x k y (n+1) k. k k=0 Esimerkki 17 Todistetaan kahdella tavalla, että n ( n k=0 k) = 2 n. Tapa 1. 2 n = (1 + 1) n = n k=0 ( n k ) 1 k 1 n k = n k=0 ( n k). 24 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Binomikaava Tapa 2. Joukossa, jossa on n alkiota, on yhteensä 2 n osajoukkoa. Näistä k-alkioisia on ( n k) kappaletta. Esimerkki 18 Miksi 4 n = n Miksi k ( ) ( n k = n n 1 Vastaus: k=0 3k( n k 1)? k)? Kuten tapa 1 yllä; 4 = 1 + 3. Valitaan n:n ihmisen joukosta k:n henkilön komitea ja sille puheenjohtaja. Yhtälön vasemmalla puolella valitaan ensin komitea ja sitten puheenjohtaja, oikealla puolella valitaan ensin puheenjohtaja ja sitten loput komiteasta. 25 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Multinomikertoimet Esimerkki 19 Eräs henkilö aikoo valita 100 päivää vuonna 2017, joina hän juoksee 10 kilometrin lenkin, 200 päivää, joina hän juoksee 5 kilometrin lenkin, ja 65, joina hän ei harrasta liikuntaa. Monellako tavalla hän voi tehdä nämä valinnat? Jos ensin valitaan 365 päivän joukosta 100 päivää, jolloin hän juoksee 10 kilometrin lenkin, niin vaihtoehtoja on ( 365 100). Jos jäljellä olevista 365 100 = 265 päivistä valitaan 200 päivää, jolloin hän juoksee 5 kilometrin lenkin, niin vaihtoehtoja on ( 265 200). Kaikkien vaihtoehtojen lukumääräksi tuloperiaatteen nojalla tulee ( ) 365 100 ( ) 265. 200 26 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Multinomikertoimet Huomataan, että ( ) ( ) 365 265 100 200 = = = 365! 100! (365 100)! 265! 200! (265 200)! 365! 265! 100! 265! 200! 65! 365! 100! 200! 65!. Vaikuttaa järkevältä, koska toisaalta kyse onkin siitä, kuinka monella tavalla 365 päivän joukko voidaan jakaa kolmeen pistevieraaseen osajoukkoon, joissa on 100, 200 ja 65 alkiota. Tämän innoittamana määritellään multinomikerroin: 27 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Multinomikertoimet Määritelmä 20 (Multinomikerroin) ( ) n = n 1, n 2,..., n m n! n 1! n 2!... n m!, kun n = n 1+n 2 +...+n m. ( ) n Merkitys: on vaihtoehtojen lukumäärä kun n 1, n 2,..., n m joukko A jaetaan osajoukoiksi A j, j = 1,..., m siten, että m j=1 A j = A, A i A j = kun i j, ja A j = n j. Esimerkki 21 Äskeisen esimerkin vastaus siis toisin kirjoitettuna on ( ) 365 365! := 100, 200, 65 100! 200! 65!. 28 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Seulayhtälö Kahdelle joukolle: A B = A + B A B. Esimerkki 22 Montako 8:n pituista bittijonoa joko alkaa ykkösellä tai päättyy kahteen nollaan? Vastaus: 2 7 + 2 6 2 5 = 128 + 64 32 = 160. Kolmelle joukolle: A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3. 29 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Seulayhtälö Esimerkki 23 (Erastotheneen seula) Määritetään kuinka moni luvuista 1,..., 100 on jaollinen kolmella, seitsemällä tai yhdellätoista. Merkitään jolloin A 3 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen kolmella }, A 7 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen seitsemällä }, A 11 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen yhdellätoista }, A 3 = 33, A 7 = 14, A 11 = 9, A 3 A 7 = 4, A 3 A 11 = 3, A 7 A 11 = 1, A 3 A 7 A 11 = 0. 30 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Seulayhtälö Siten seulayhtälön nojalla A 3 A 7 A 11 = A 3 + A 7 + A 11 A 3 A 7 A 3 A 11 A 7 A 11 + A 3 A 7 A 11 = 33 + 14 + 9 4 3 1 + 0 = 47 lukua luvuista 1,..., 100 on jaollisia kolmella, seitsemällä tai yhdellätoista. 31 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Seulayhtälö Kun kolmen joukon tapauksessa merkitään S 1 = A 1 + A 2 + A 3, S 2 = A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 ja S 3 = A 1 A 2 A 3, niin yhtälö saa muodon A 1 A 2 A 3 = 3 ( 1) k 1 S k. k=1 32 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Seulayhtälö Lause 24 (Seulayhtälö) Jos A 1,..., A n ovat äärellisiä joukkoja, niin missä A 1... A n = S k = B n ( 1) k 1 S k, (1) k=1 i B A i ja summaus yllä tapahtuu yli kaikkien joukon {1,..., n} osajoukkojen B, joille B = k. 33 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Seulayhtälö Todistus. Jokainen x A 1... A n tulee lasketuksi täsmälleen kerran yhtälön (1) vasemmalla puolella. Todistetaan, että näin tapahtuu myös yhtälön (1) oikealla puolella. Olkoon siis x A 1... A n. Merkitään symbolilla m sitä, moneenko alkuperäisistä joukoista alkiomme x kuuluu: m := { k {1,..., n}: x A k }. Jos i {1,..., m}, niin x kuuluu ( ) m i :een i:n joukon leikkaukseen, ja jos i {m + 1,..., n}, niin x ei kuulu yhteenkään i:n joukon leikkaukseen. 34 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

Seulayhtälö Todistus (jatkuu) Siten x tulee lasketuksi yhtälön (1) oikealla puolella m ( ) m ( 1) i 1 = 1 i i=1 kertaa, sillä m i=0 ( 1)i 1( ) m i = (1 1) m = 0. (Huomio. Seulayhtälö on summaperiaatteen yleistys.) 35 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

Modulaariaritmetiikka

Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku n Z on jaollinen luvulla m Z, merkitään m n (lue: m jakaa n:n), jos on olemassa k Z, jolle n = km. Lause 2 (Jakoyhtälö) Olkoot a, b Z ja b 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset q, r Z, joille 0 r < b ja a = qb + r. Toisin sanoen: jos a jaetaan b:llä, niin osamäärä q ja jakojäännös r määräytyvät yksikäsitteisesti. 1 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Jakoyhtälö Todistetaan lause pienimmän alkion periaatteella, joka on loogisesti yhtäpitävä induktioperiaatteen kanssa. Todistus. Tarkastellaan Z:n osajoukkoa A = {a kb k Z}. Oletetaan ensin b > 0. Joukossa A on selvästi ei-negatiivisia alkioita. Valitaan niistä pienin ja merkitään sitä r:llä. Nyt joukon A määritelmän mukaan r = a kb jollekin k Z; merkitään tätä k:ta symbolilla q. 2 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Jakoyhtälö Todistus (jatkuu) Luvut q ja r toteuttavat halutun yhtälön a = qb + r, joten tehtävänä on osoittaa epäyhtälö 0 r < b. Epäyhtälö r 0 on selvä, koska r oli pienin ei-negatiivisista alkioista. Tehdään vastaoletus r b, jolloin joukosta A löytyykin r:ää pienempi ei-negatiivinen alkio: a (q + 1)b = a qb b = r b 0, mikä on ristiriita sen kanssa, että r oli joukon A pienin ei-negatiivinen alkio. (Huom. oletettiin b > 0, joten a (q + 1)b < a qb = r.) Tapauksessa b < 0 korvataan ylläolevan todistuksen b luvulla b. 3 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Jakoyhtälö Todistus (jatkuu) Jäljellä on vielä yksikäsitteisyys. Jos myös luvut q ja r toteuttavat annetut ehdot, niin r r = (q q )b. Tästä saadaan q q b < b, koska ehdoista 0 r < b ja 0 r < b seuraa r r < b. Siten on oltava q q < 1, ja koska q, q Z, on oltava q q = 0 eli q = q. Yhtälöstä r r = (q q )b seuraa edelleen r = r. Pienimmän alkion periaate sanoo, että epätyhjässä N:n osajoukossa on olemassa pienin alkio. Pienimmän alkion periaatetta käytettiin kohdassa, jossa valittiin A:sta pienin ei-negatiivinen alkio. 4 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiluokat Määritelmä 3 Olkoon n N + eli n N ja n 0. Jos kokonaisluvuille a, b Z pätee n (a b), niin sanotaan, että a on kongruentti b:n kanssa modulo n ja merkitään a b (mod n) tai a n b. Määrittelevä ehto n (a b) sanoo, että a:lla ja b:llä on n:llä jaettaessa sama jakojäännös. Esimerkiksi 4 16 (mod 12); voi ajatella kellotaulua, jossa lasketaan modulo 12. 5 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiluokat Voidaan vähällä vaivalla todeta (taululla), että annetulle n:lle relaatio n on ekvivalenssirelaatio, joten se jakaa kokonaisluvut erillisiin ekvivalenssiluokkiin: Määritelmä 4 Olkoon n N +. Luvun a Z jäännösluokka modulo n on [a] n := {b Z a b (mod n)} Z. Jäännösluokan alkioita kutsutaan luokkansa edustajiksi. Esimerkki 5 Joukkoa [4] 12 = {..., 20, 8, 4, 16, 28,...} voidaan ajatella kellonajan 4 edustajina. 6 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiluokat Esimerkki 6 Mikä on pienin ei-negatiivinen luku joukossa [27] 11? Vastaus: 5. Määritelmä 7 Olkoon n N +. Kaikkien jäännösluokkien modulo n joukkoa merkitään Z n (tai joskus Z/nZ), eli siis Huomio Z n = {[0] n, [1] n,..., [n 1] n }. a) Aina pätee [n] n = [0] n. b) Usein luvulle a Z on tapana kirjoittaa a mod n tarkoittamaan luokan [a] n edustajaa joukosta {0,..., n 1}. 7 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Määritelmä 8 Määritellään annetulle n N + ja annetuille a, b Z [a] n + [b] n := [a + b] n, [a] n [b] n := [ab] n. Esimerkki 9 Joukossa Z 3 = {[0] 3, [1] 3, [2] 3 } saadaan seuraavat yhteen- ja kertolaskutaulukot: + 3 [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] ja 3 [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1]. 8 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Tärkeitä huomioita Tapana on jättää alaindeksi pois, kun se käy ilmi asiayhteydestä. Usein jätetään myös luokkamerkit pois eli voidaan kirjoittaa esim. 7 + 2 = 0 joukossa Z 3 sen sijaan, että kirjoitettaisiin [7] 3 + [2] 3 = [0] 3 tai 7 + 2 0 (mod 3). Laskutoimitukset ovat hyvinmääriteltyjä eli eivät riipu edustajien valinnasta. Esimerkiksi joukon Z yhteenlasku + voidaan mieltää funktiona Z Z Z, jolloin olennaista on, että kahdella luvulla on yksikäsitteinen summa. Nyt voisi periaatteessa käydä niin, että [2 + 3] 4 [6 + 7] 4, vaikka [2] 4 = [6] 4 ja [3] 4 = [7] 4. Näin ei kuitenkaan käy; todistus sivuutetaan. 9 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Lause 10 Joukon Z n yhteen- ja kertolasku toteuttaa joukosta Z tutut laskusäännöt: kaikille a, b, c Z n pätee a + b = b + a ja ab = ba (vaihdannaisuus) a + (b + c) = (a + b) + c ja a(bc) = (ab)c (liitännäisyys) a + 0 = a ja a 1 = a (neutraalialkioiden olemassaolo) a + ( a) = 0 (yhteenlaskun vasta-alkion olemassaolo) a(b + c) = ab + ac (osittelulaki). Nämä ovat ns. rengasaksioomat ja joukkoa Z n kutsutaankin usein jäännösluokkarenkaaksi. (Huom. alkiot a, b ja c ovat viime kädessä luokkia, eivät lukuja.) 10 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Z vs. Z n eroavaisuuksia Taulukosta edellä puuttui kertolaskun vasta-alkion eli käänteisalkion olemassaolo. Alkion a käänteisalkiolla tarkoitetaan alkiota b, jolle a b = 1. Joukossa Z käänteisalkio on olemassa vain luvuille ±1. Osoittautuu, että joukossa Z n käänteisalkio on olemassa täsmälleen sellaisille luokille, joiden edustajilla ei ole n:n kanssa yhteisiä tekijöitä. Erityisesti jos n on alkuluku, niin käänteisalkio on olemassa kaikille Z n :n nollasta eroaville luokille. Tällaista rakennetta sanotaan kunnaksi; myös esimerkiksi Q ja R ovat kuntia. Toinen merkittävä eroavaisuus liittyy supistamiseen; joukossa Z n ei päde Z:sta tuttu supistussääntö ab = ac ja a 0 b = c paitsi silloin, kun a on kääntyvä (kuten tulemme näkemään). 11 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Z vs. Z n eroavaisuuksia Esimerkki 11 Joukossa Z 6 on 2 4 = 2 1, mutta 4 1. Joukossa Z 7 on 2 4 = 1, joten 2 ja 4 ovat toistensa käänteisalkiot. Esimerkki 12 Mikä on jakojäännös, kun luku 4 119 jaetaan luvulla 9? Jakoyhtälö: 4 119 = 9q + r, joten joukossa Z 9 pätee r = 4 119 (koska 9q = 0). Kysymys siis kuuluu: Mitä on 4 119 mod 9? Joukossa Z 9 : 4 2 = 7, 4 3 = 4 2 4 = 7 4 = 1 ja 4 119 = (4 3 ) 39 4 2 = 1 7 = 7. Siten vastaus on 7. 12 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Jaollisuustestejä Mitä tarkoittaa luvun esittäminen kymmenjärjestelmässä? Esimerkiksi 2875 = 5 10 0 + 7 10 1 + 8 10 2 + 2 10 3. Merkitään yleisesti n = d 0 + d 1 10 +... + d k 10 k, jolloin luvun n N esitys 10-kantaisessa järjestelmässä on muotoa n = d k d k 1... d 1 d 0. (Yleensä oletetaan lisäksi d k 0, jolloin 10 k n < 10 k+1.) 13 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Jaollisuustestejä Esimerkki 13 Kymmenjärjestelmän luku on kolmella jaollinen täsmälleen silloin, kun sen numeroiden summa on kolmella jaollinen. Miksi? Lähdetään siitä, että 3 n n 0 (mod 3). Edelleen, jos n = d 0 + d 1 10 +... + d k 10 k, niin joukossa Z 3 pätee n = 0 d 0 + d 1 10 +... + d k 10 k = 0 d 0 + d 1 +... + d k = 0, sillä joukossa Z 3 on 10 m = 1 kaikilla m N. 14 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Jaollisuustestejä Esimerkki 14 Kymmenjärjestelmän luku on viidellä jaollinen täsmälleen silloin, kun sen viimeinen numero (ykkösen kerroin) on viidellä jaollinen. Miksi? Kuten edellä, mutta nyt lasketaan joukossa Z 5, jossa 10 0 = 1 ja 10 m = 0 kaikilla m 2. 15 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiyhtälöistä Milloin yhtälöstä ax b (mod n) voidaan ratkaista x, ja miten se ratkaistaan? Määritelmä 15 (käänteisalkio) Luvun a Z n käänteisalkio on sellainen luku b Z n, jolle ab 1 (mod n); merkitään b = a 1. Esimerkki 16 Joukossa Z 5 luvun 3 käänteisalkio on 2; muita ei ole. Jos käänteisalkio on olemassa, se on yksikäsitteinen. (Taululla.) Joukossa Z 6 luvulla 3 ei ole käänteisalkiota. 16 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiyhtälöistä Milloin yhtälöstä ax b (mod n) voidaan ratkaista x, ja miten se ratkaistaan? Määritelmä 15 (käänteisalkio) Alkion a Z n käänteisalkio on sellainen alkio b Z n, jolle ab 1 (mod n); merkitään b = a 1. Esimerkki 16 Joukossa Z 5 alkion 3 käänteisalkio on 2; muita ei ole. Jos käänteisalkio on olemassa, se on yksikäsitteinen. (Taululla.) Joukossa Z 6 alkiolla 3 ei ole käänteisalkiota. 17 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiyhtälöistä Lause 17 Alkiolla a Z n on käänteisalkio täsmälleen silloin, kun syt(a, n) = 1. Muistetaan: Suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) syt(a, b) on suurin luku, joka jakaa molemmat luvut a ja b niin, että lopputulos on kokonaisluku. Oikeastaan syt-kohdassa puhutaan luokan a Z n mistä tahansa edustajasta. Jatkossakin puhutaan luvuista a Z n tarkoittaen tätä. 18 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiyhtälöistä Todistus. Oletetaan ensin, että syt(a, n) = 1. Tällöin Eukleideen algoritmin nojalla on olemassa luvut x, y Z siten, että 1 = xa + yn. Nyt luku x kelpaa luvun a käänteisalkioksi, koska yn 0 (mod n). Jos käänteisalkio on olemassa, ts. jos ab 1 (mod n), niin (mod)-määritelmän mukaan n (ab 1) eli ab 1 = kn jollekin k Z. Luku syt(a, n) jakaa luvut a ja n ja siten myös summan ab kn eli luvun 1. On siis oltava syt(a, n) = 1. 19 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiyhtälöistä Lause 18 (Seuraus edellisestä lauseesta) Jos a Z n on kääntyvä (eli jos a:lla on käänteisalkio), niin yhtälöllä ax b (mod n) on jokaiselle b Z n yksikäsitteinen ratkaisu x Z n. Todistus. Kertomalla yhtälön ax = b molemmat puolet vasemmalta käänteisalkiolla a 1 saadaan x = a 1 b. 20 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiyhtälöistä Esimerkki 19 Joukon Z 10 kääntyvät alkiot ovat 1, 3, 7 ja 9. Vastaavat käänteisalkiot ovat 1, 7, 3 ja 9. Ratkaistaan yhtälö 7x = 9 joukossa Z 12. Yhtälö ratkeaa, koska luvulla 7 on käänteisalkio joukossa Z 12, nimittäin se itse. Kertomalla yhtälön molemmat puolet 7:lla saadaan x = 63 = 3. Joukossa Z 5 kaikki nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä; pätee 1 1 = 1, 2 1 = 3 ja 4 1 = 4. 21 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiyhtälöistä Edellisen lauseen nojalla kaikki nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä joukossa Z p, kun p on alkuluku. Edelleen pätee Lause 20 (Fermat n pieni lause) Kun p on alkuluku, niin kaikille a Z pätee a p a (mod p). Todistus Luvuille a 0 (mod p) väite pätee. Koska p on alkuluku, on kaikilla a 0 (mod p) käänteisalkio; tällaisille väite on yhtäpitävä väitteen a p 1 1 (mod p) kanssa. 22 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Kongruenssiyhtälöistä Todistus (jatkuu) Olkoon siis a 0 joukossa Z p. Koska a on kääntyvä, pätee (ma p na) (m p n), erityisesti luvut a, 2a,..., (p 1)a ovat täsmälleen luvut 1,..., (p 1) eri järjestyksessä, ja siten niiden p 1 tulo on toisaalta (p 1)! ja toisaalta (ka) = a p 1 (p 1)!. Siten a p 1 1 (mod p) k=1 23 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

Fermat n pieni lause Esimerkki 21 Tarkistetaan, että Fermat n pieni lause pätee joukossa Z 7 : 1 6 = 1 2 6 = 2 2 2 2 2 2 = 4 4 4 = 2 4 = 1 3 6 = 3 2 3 2 3 2 = 2 2 2 = 4 2 = 1 4 6 = 4 2 4 2 4 2 = 2 2 2 = 4 2 = 1 5 6 = 5 2 5 2 5 2 = 4 4 4 = 2 4 = 1 6 6 = 6 2 6 2 6 2 = 1 1 1 = 1. 24 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

RSA-salausalgoritmi Käydään ensin läpi algoritmin toiminta esimerkinomaisesti. Oletetaan, että Liisa haluaa lähettää Pekalle salatun viestin tietokoneella. Tietokone generoi kaksi (oikeasti hyvin suurta) alkulukua, olkoot ne tässä p = 61 ja q = 53. Tietokone laskee tulot n = pq = 61 53 = 3233 ja m = (p 1)(q 1) = 60 52 = 3120. Tietokone generoi koodausavaimen k siten, että 0 < k < m ja syt(k, m) = 1; esimerkiksi k = 17. Tietokone laskee luvun d = k 1 joukossa Z m ; tässä d = 2753. Tietokone antaa Liisalle julkiseksi avaimeksi (salausta varten) luvut n = 3233 ja k = 17. Tietokone antaa Pekalle yksityiseksi avaimeksi (purkamista varten) luvut n = 3233 ja d = 2753. 25 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

RSA-salausalgoritmi Oletetaan, että Liisa haluaa koodata luvun (merkkijonon) s. Ensin hän tarvittaessa lisää s:n perään tyhjiä merkkejä siten, että luvulle pätee syt(s, n) = 1. Olkoon esimerkiksi s = 65. Liisa koodaa viestin laskemalla s k mod n; tässä 65 17 mod 3233 = 2790. Pekka purkaa koodatun viestin c laskemalla c d mod n; tässä 2790 2753 mod 3233 = 65. Kaksi kysymystä Miksi koodin murtaminen on vaikeaa? Miksi koodi toimii oikein? 26 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

RSA-salausalgoritmi Murtamisesta Jotta ulkopuolinen Eveliina pystyisi purkamaan viestin pelkän julkisen avaimen avulla, hänen pitäisi päätellä lukujen n ja k avulla luku d eli luvun k käänteisalkio joukossa Z m. Se selvittäminen on vaikeaa, koska hän ei tiedä lukua m. Luvun m selvittämiseksi hänen pitäisi selvittää alkuluvut p ja q, joiden tulo luku n on. Isojen lukujen jakaminen alkutekijöihin on vaikeaa! Ks. Wikipedia: RSA algorithm. 27 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

RSA-salausalgoritmi Koodi toimii, koska Fermat n pienen lauseen seurauksena saadaan Lause 22 Olkoot p ja q alkulukuja, n = pq ja m = (p 1)(q 1). Olkoon edelleen s sellainen, että syt(s, n) = 1, ja olkoon h (esimerkissämme h = kd) sellainen, että h = 1 joukossa Z m. Tällöin s h = s joukossa Z n. Pekka purki viestin laskemalla c d = (s k ) d = s kd modulo n, joten ylläolevan lauseen perusteella tämä todellakin on alkuperäinen viesti s. 28 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

RSA-salausalgoritmi Lauseen todistus Koska h = 1 mod m, niin h 1 = ym jollekin y Z. Siten s h = s 1+ym = s(s m ) y, joten riittää osoittaa, että s m = 1 mod n. Oletettiin syt(s, n) = syt(s, pq) = 1, joten s 0 mod p. Fermat n pienen lauseen mukaan s p 1 = 1 mod p. Edelleen s m = s (p 1)(q 1) = 1 q 1 = 1 mod p, samoin s m = 1 mod q. Siten sekä p että q jakavat luvun s m 1 ja koska p ja q ovat alkulukuja, niin myös niiden tulo n jakaa luvun s m 1, ts. s m = 1 mod n. 29 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

RSA-salausalgoritmi Esimerkki 23 (Vakoilutehtävä) Luennoitsija haluaa lähettää ystävälleen tiedoksi kissansa nimen, salattuna totta kai. Ystävä antaa julkisen avaimensa (7, 143) ja luennoitsija lähettää hänelle koodatun viestin 046, 048, 117, 001. Mikä on kissan nimi? Vihje: Aakkoset on alunperin muutettu numeroiksi siten, että a=01, b=02, jne. Vihje 2: Etsi q ja p siten, että qp = 143. Etsi sitten yksityinen avain d siten, että 7d 1 mod (p 1)(q 1). Pura koodi laskemalla kullekin salatulle kirjaimelle c lasku c d mod 143 ja tulkitse luvut kirjaimina. Vastaus: Kissa on Sima. 30 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

Ryhmät ja permutaatiot

Väritysongelma Jos meillä on 6 palloa, monellako tavalla voimme värittää 2 niistä vihreiksi ja muut valkoisiksi? Jos pallot ovat identtiset on vain yksi tapa, 2 väritetään vihreiksi ja 4 valkoisiksi. Jos pallot on numeroitu niin on ( 6 2) = 15 tapaa valita ne, jotka väritetään vihreiksi ja loput valkoisiksi. Jos pallot ovat säännöllisen 6-kulmion kulmissa ja tätä 6-kulmiota voi kiertää ja kääntää niin on 3 vaihtoehtoa: Mutta miten ratkaistaan monimutkaisemmat tämäntyyppiset ongelmat? 1 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

Permutaatio (kertaus) Määritelmä 1 Äärellisen joukon A permutaatio on bijektio A A. Kun A = {1,..., n}, niin joukon A kaikkien permutaatioiden joukkoa merkitään S n. Huomaa S n = n!. Kahdelle permutaatiolle f, g S n määritellään kertolasku asettamalla fg = f g. Huom. (fg)(x) = f ( g(x) ) eli kertominen tapahtuu oikealta vasemmalle. 2 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

Permutaatio (kertaus) Esimerkki 2 (matriisiesitys) Joukon {1, 2, 3} permutaatioille ( ) 1 2 3 f = 3 2 1 ( ) 1 2 3 ja g = 2 1 3 pätee Lisäksi tässä ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 gf =, fg =. 3 1 2 2 3 1 f 1 = f ja g 1 = g, mutta tällainen ei päde yleisesti, esimerkiksi yllä (fg) 1 fg. 3 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

Permutaatio Permutaatiot voidaan esittää myös syklinotaatiolla. Esimerkki 3 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 α =. 2 4 1 3 5 7 6 Nyt ( näemme, ) että 1 2 4 3 1 ja tästä saamme syklin 1 2 4 3. Koska α(5) = 5, saamme syklin (5), joskin yhden pituista sykliä tosin ei ole tapana ottaa merkintään mukaan. ( ) Lopuksi näemme, että 6 7 6 joten saamme syklin 6 7. Syklinotaatiolla voimme nyt kirjoittaa ( ) ( ) α = 1 2 4 3 6 7. On myös ( muita ) ( esitystapoja ) syklien tuloina, esim. α = 7 6 4 3 1 2. 4 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

Ryhmä Ryhmä on pari [G, ] missä G on joukko ja on funktio G G G, jolla on seuraavat ominaisuudet: Sulkeutuneisuus: a b G jos a ja b G. Liitännäisyys: (a b) c = a (b c) jos a, b ja c G. Neutraalialkio: On olemassa alkio e G siten, että e a = a e = a jos a G. Käänteisalkio: Jos a G, niin on olemassa alkio a 1 G siten, että a a 1 = a 1 a = e. 5 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

Ryhmä Esimerkki 4 Joukko S n varustettuna permutaatioiden kertolaskulla toteuttaa ryhmäaksioomat: sulkeutuneisuus: jos f, g S n, niin fg S n liitännäisyys: (fg)h = f (gh) pätee kaikille f, g, h S n neutraalialkion ( ) olemassaolo: identtiselle permutaatiolle 1 2 3 e := pätee ef = fe = f kaikille f S n 1 2 3 käänteisalkion olemassaolo: kaikilla f S n löytyy käänteisalkio g S n, jolle fg = gf = e. 6 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

Ryhmä Huomioita Käänteisalkion yksikäsitteisyys todistetaan kuten joukossa Z m. Siten on oikeutettua merkitä f :n käänteisalkiota f 1 :llä. Kun p on alkuluku, niin joukko (Z p \ {0}, ) eli Z p \ {0} varustettuna kertolaskulla on ryhmä, neutraalialkio on 1. Joukko (Z m, +) eli Z m varustettuna yhteenlaskulla on ryhmä kaikilla m N +, neutraalialkio on 0. Permutaatioiden ryhmä S n on ryhmistä tärkein, sillä voidaan osoittaa (Cayleyn lause), että jokainen äärellinen ryhmä on miellettävissä permutaatioryhmänä tai sellaisen aliryhmänä. 7 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402