Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä. Lopuksi käsitellään kahta tärkeää jatkuvien reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, joka sisältää myös todistukset. Kalvot sopivat kurssilla MS-A010X lähinnä oheislukemiseksi, mutta kurssilla MS-C1540 ainakin osittain varsinaiseen sisältöön. 1 / 23
Reaaliluvut Lukujoukkojen merkinnät: N = {1, 2, 3,... } = luonnolliset luvut, Z = kokonaisluvut, Q = rationaaliluvut. Lisäksi merkitään N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3,... }. Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen ja niiden laskutoimitusten konstruointi ei kuulu tälle kurssille, mutta viimeiseen kohtaan palataan lyhyesti myöhemmin. Reaalilukujen aksiomat 1 (eli tavalliset laskusäännöt) oletetaan tunnetuiksi; poikkeuksena Täydellisyysaksioma, josta alempana lisää. 2 / 23 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku
Kolmioepäyhtälö ja etäisyys Itseisarvo: Jos x R, niin x = { x, x 0 x, x 0. Määritelmästä seuraa reaalilukujen kolmioepäyhtälö x y x ± y x + y kaikille x, y R. Lauseke x y on reaalikukujen x ja y välinen etäisyys. 3 / 23
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N = {1, 2, 3,... }. Merkitään (a n ) = (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f (n) = a n. Jonon indeksöinti voi alkaa myös jostakin muusta arvosta kuin 1. Jos indeksin alkuarvo ei ole tärkeä tai tilanne on muuten selvä, voidaan käyttää merkintää (a n ). Äärellisiä jonoja (a 1,..., a n ) on tässä yhteydessä selvintä käsitellä n-ulotteisen euklidisen avaruuden R n pisteinä. 4 / 23
Ominaisuuksia Määritelmä 1 Lukujono (a n ) on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen C R, että a n C kaikilla n alhaalta rajoitettu, jos on olemassa sellainen c R, että a n c kaikilla n rajoitettu, jos se on sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu nouseva, jos a n+1 a n kaikilla n laskeva, jos a n+1 a n kaikilla n monotoninen, jos se on nouseva tai laskeva Käsitteet aidosti nouseva/laskeva/monotoninen saadaan korvaamalla ja symboleilla < ja >. 5 / 23
Jonon suppeneminen I Määritelmä 2 Lukujono (a n ) suppenee kohti raja-arvoa L R, jos lausekkeen a n L arvo lähestyy nollaa, kun n ; täsmällisemmin: Jokaista ε > 0 vastaa sellainen indeksi n ε N, että a n L < ε aina, kun n n ε. Tällöin merkitään lim a n = L tai lim a n = L tai lyhyesti a n L. n Jos lukujono ei suppenee, niin se hajaantuu. Huom: a n L = jonon pisteen a n ja raja-arvon L välinen etäisyys: a n L < ε L ε < a n < L + ε. 6 / 23
Jonon suppeneminen II Idea: Mitä pienempi ε, sitä suurempi n ε tarvitaan. a n L+ε L L ε n ε n 7 / 23
Yleisiä tuloksia Suppeneva jono on rajoitettu. Epäyhtälön säilyminen: Jos a n L ja on olemassa sellainen vakio C R, että a n C kaikilla n, niin L C. Huomaa lisäksi, että epäyhtälöistä a n < C seuraa vain L C, muttei yleensä L < C. Suppiloperiaate: Jos a n b n c n jostakin indeksistä alkaen ja lim a n = lim c n = L, n n niin jono (b n ) suppenee ja lim n b n = L. Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos suhdeluku 1 < q 1, jolloin sen raja-arvo on joko 0 tai 1. Muissa tapauksissa geometrinen jono hajaantuu. 8 / 23
Laskusääntöjä I Lause 3 Jos lim n a n = a, lim n b n = b ja c R, niin lim (a n + b n ) = a + b, n lim (c a n) = c a, n lim (a nb n ) = ab, n lim (a n/b n ) = a/b, jos b 0. n Huom: Viimeisen kohdan oletuksesta b 0 seuraa, että b n 0 jostakin indeksistä alkaen. 9 / 23
Laskusääntöjä II Perustelun idea: Ensimmäinen kaava perustuu epäyhtälöön (a n + b n ) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b. Toinen kaava seuraa yhtälöstä ca n ca = c a n a. Kolmannen kaavan kohdalla käytetään epäyhtälöä a n b n ab = (a n b n a n b) + (a n b ab) a n b n b + a n a b ja sitä, että a n C jollakin vakiolla C. Neljännen kaavan kohdalla osoitetaan aluksi, että 1/b n 1/b, ja käytetään sen jälkeen tulokaavaa. 10 / 23
supremum ja infimum Määritelmä 4 Olkoon A R ylhäältä rajoitettu. Reaaliluku M R on joukon A pienin yläraja eli supremum, jos (i) M on joukon A yläraja, eli a M kaikilla a A; (ii) M M kaikille joukon A ylärajoille M. Tällöin merkitään sup A = M. Jos A ei ole ylhäältä rajoitettu, niin merkitään sup A =. Vastaavalla tavalla määritellään suurin alaraja eli infimum inf A. Rajoitetulle joukolle A on siis [inf A, sup A] pienin suljettu väli, joka sisältää joukon A. 11 / 23
Maksimi ja minimi Supremumin ja infimumin tärkein ominaisuus on se, että ne yleistävät maksimin ja minimin käsitteet kaikille joukoille. Jos sup A on äärellinen ja A, niin max A = sup A on joukon A suurin alkio eli maksimi. Jos inf A on äärellinen ja A, niin min A = inf A on joukon A pienin alkio eli minimi. 12 / 23
sup/inf-sovelluksia Supremumin ja infimumin merkitys tulee näkyville sellaisissa tilanteissa, joissa maksimia ja minimiä ei ole olemassa. Esimerkkejä: Parametrisoidun käyrän kaarenpituus. (Kts. luentomoniste) Rajoitetun funktion Riemann-integraali. (Kts. luentomoniste) Joukon läpimitta, joukkojen välinen etäisyys. Lisäksi sup/inf-käsitteitä tarvitaan monien lauseiden todistuksissa, vaikka niiden muotoilussa sup/inf ei esiinny: Suljetulla välillä jatkuvalla funktiolla on maksimi ja minimi. Jos jatkuva funktio vaihtaa merkkiä välillä [a, b], niin sillä on nollakohta tällä välillä. 13 / 23
Täydellisyysaksioma I Reaalilukujen joukon erottaa rationaalilukujen joukosta Q Täydellisyysaksioma, eli jokin seuraavista keskenään yhtäpitävistä ominaisuuksista: (i) Jos A R on ylhäältä rajoitettu joukko, niin sillä on pienin yläraja sup A R. (ii) Nouseva ja ylhäältä rajoitettu reaalilukujono (a n ) n N suppenee kohti raja-arvoa L R. (iii) Jos (I n ) n N on pienenevä jono (inkluusion suhteen, eli I n+1 I n kaikilla n) suljettuja välejä I n R, niin leikkaus I n. n=1 Todistus (i) (ii) (iii) (i) luentomonisteessa. 14 / 23
Täydellisyysaksioma II Yhtäpitäviä versioita: (i) Jos B R on alhaalta rajoitettu joukko, niin sillä on suurin alaraja inf B R. (ii) Laskeva ja alhaalta rajoitettu reaalilukujono (b n ) n N suppenee. Perustelun idea: (i) (i) : Jos (i) on tosi ja B on alhaalta rajoitettu, niin sovelletaan ehtoa (i) ylhäältä rajoitettuun joukkoon A = B = { b b B}. Tällöin inf B = sup A. (ii) (ii ): Jos (ii) on tosi ja (b n ) on laskeva ja alhaalta rajoitettu, niin sovelletaan ehtoa (ii) nousevaan ja ylhäältä rajoitettuun jonoon (a n ), jonka termit ovat muotoa a n = b n. Tällöin lim b n = lim a n. Vastakkaiset suunnat samalla periaatteella. 15 / 23
Reaaliluku Kohdat (ii) ja (ii) tarjoavat mahdollisuuden reaaliluvun täsmälliseen määritelmään: Reaaliluku n,d 1 d 2..., jossa kokonaisosa n on kokonaisluku ja desimaalit d 1, d 2, {0, 1, 2,..., 9}, on monotonisen rationaalilukujonon raja-arvo. (n; n,d 1 ; n,d 1 d 2 ; n,d 1 d 2 d 3,... ) Reaalilukujen laskutoimitukset määritellään käyttämällä apuna approksimoivia rationaalilukujonoja ja raja-arvoja. Yksityiskohdat ovat periaatteessa suoraviivaisia, mutta melko pitkiä (ja tylsiä?). 16 / 23
Irrationaaliluvut 17 / 23 Suurin osa (kts. loppu) reaaliluvuista x R on irrationaalisia eli niitä ei voida esittää muodossa x = p/q, p Z, q N. Tunnetuimpia esimerkkejä ovat 2. Idea: Jos 2 = p/q, niin p, q ovat parillisia RR. Neperin luku e. Idea: Taylor-polynomin virhearvio (L. Euler 1737). π 3,14... (M. Lambert 1761) Katso esim. http://matematiikkalehtisolmu.fi/2001/2/lehtinen/ Tärkeimmät perustulokset ovat: Kahden eri reaaliluvun välissä on aina rationaaliluku (ja itse asiassa äärettömän monta) Kahden eri reaaliluvun välissä on aina irrationaaliluku (ja itse asiassa äärettömän monta) Todistukset luentomonisteessa.
Algebralliset luvut (oheislukemista) Kaikki rationaaliluvut ovat myös algebrallisia: Rationaaliluku x = p/q toteuttaa kokonaislukukertoimisen polynomiyhtälön qx p = 0. Vastaavasti irrationaaliluku x = 2 toteuttaa yhtälön x 2 2 = 0. Sen sijaan e ja π eivät ole algebrallisia vaan transkendenttisia lukuja: ne eivät ole minkään kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohtia! (e: C. Hermite 1873; π: F. von Lindemann 1882) Suurin osa reaaliluvuista on transkendenttisia, mutta yksittäisen luvun osoittaminen sellaiseksi on yleensä hyvin hankalaa. Esimerkkejä: e π on transkendenttinen: A.O. Gelfond 1929 2 2 on transkendenttinen: T. Schneider 1932 e + π, πe, π π, e e,... : edes rationaalisuutta ei tiedetä! 18 / 23
Numeroituvuus Joukko X on numeroituva (countable), jos se on äärellinen tai sen kaikki alkiot voidaan luetella jonon alkioina. Tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa surjektio N X. Yhtäpitävää: On olemassa injektio X N. Esimerkiksi N, Z ja Q ovat numeroituvia joukkoja. Myös algebrallisten reaalilukujen joukko on numeroituva. Perustelun idea: Keksi systemaattinen tapa luetella joukkojen alkiot jonossa. 19 / 23
Ylinumeroituvuus Lause 5 Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva (uncountable): Ei ole olemassa surjektiota f : N R; ts. mikään reaalilukujono ei voi sisältää kaikkia reaalilukuja. Todistus: Cantorin diagonaalimenetelmä, kts. luentomoniste. Tästä seuraa, että myös irrationaalilukujen ja jopa transkendenttisten lukujen joukko on ylinumeroituva. 20 / 23
Osajonot 21 / 23 Jonon (x n ) osajono (subsequence) saadaan poistamalla osa termeistä ja numeroimalla jäljelle jäävät uudelleen indekseillä 1, 2, 3,... niin, ettei termien keskinäinen järjestys muutu. Tarkemmin: Määritelmä 6 Jos ϕ: N N on aidosti kasvava, niin jono ( xϕ(n) ) on jonon (x n ) n N osajono. n N Osajonolle käytetään usein myös merkintää (x nk ), jossa n k = ϕ(k) ja k = 1, 2, 3,... on uusi indeksi. Aina pätee ϕ(n) n, kuten helposti (tai induktiolla) nähdään. Suppenevan jonon kaikki osajonot suppenevat kohti alkuperäisen jonon raja-arvoa.
Reaalilukujonojen osajonot Reaalilukujonojen tärkeimmät ominaisuudet (Täydellisyysaksioman jono-version jälkeen): Jokaisella jonolla on monotoninen osajono. Jokaisella rajoitetulla jonolla on suppeneva osajono. Todistukset erillisessä monisteessa. Näiden tulosten ja Täydellisyysaksioman avulla voidaan nyt todistaa jatkuvien yhden muuttujan funktioiden kaksi tärkeintä ominaisuutta: Jatkuvien funktioiden väliarvolause ja maksimi-minimi-lause. 22 / 23
Jatkuvien funktioiden perustuloksia Lause 7 (Nollakohtalause = Bolzanon lause) Jos f : [a, b] R on jatkuva ja f (a)f (b) < 0, niin funktiolla f on nollakohta avoimella välillä ]a, b[. Yleisempi muotoilu on nimeltään Jatkuvien funktioiden väliarvolause: Jollakin välillä I R määritellyn jatkuvan funktion f : I R arvojoukko f [I ] = {f (x) x I } on myös väli. Lause 8 Suljetulla välillä määritellyllä jatkuvalla funktiolla on maksimi ja minimi joissakin välin pisteissä. Todistukset erillisessä monisteessa. 23 / 23