Level Set -menetelmä impedanssitomografiassa

Level Set -menetelmä impedanssitomografiassa Antti Voss Filosofian maisterin tutkielma Fysiikan koulutusohjelma Itä-Suomen yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos

ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekunta Fysiikan koulutusohjelma, laskennallinen ja teknillinen fysiikka Antti Voss Filosofian maisterin tutkielma, 59 sivua Tutkielman ohjaajat: Professori Marko Vauhkonen Apulaisprofessori Ville Kolehmainen kesäkuu 2014

Tiivistelmä Impedanssitomografiassa (Electrical Impedance Tomography, EIT) kuvannettavaan kohteeseen syötetään heikkoa vaihtovirtaa kohteen reunoille kiinnitettyjen elektrodien kautta. Virransyötön seurauksena syntyvät jännitteet mitataan käyttäen samoja elekrodeja ja kohteen sisäinen johtavuusjakauma voidaan rekonstruoida näiden reunalta tehtyjen jännitemittausten perusteella. Johtavuusjakauman rekonstruoiminen on matemaattisesti epälineaarinen ja huonostiasetettu käänteisongelma. Tässä tutkielmassa impedanssitomografian rekonstruktio-ongelman ratkaisemiseksi sovelletaan tasa-arvojoukkojen menetelmää eli niin kutsuttua level set - menetelmää. Rekonstruktio-ongelman ratkaisu perustuu yleiseen Tikhonov regularisointimenetelmään. Tutkielman lähestymistavassa pääpiirre on, että kohteen johtavuus oletetaan paloittain vakioksi sekä eri johtavuuksien alueet ja niiden väliset rajapinnat esitetään level set -formuloinnin avulla. Numeeriset testit osoittavat, että level set -lähestymistavalla kohteessa olevien geometrialtaan hyvinkin monimutkaisten epähomogeenisuuksien paikat ja muodot saadaan paikannettua hyvällä tarkkuudella. Myös eri alueiden johtavuudet voidaan estimoida menetelmän avulla tarkasti. Menetelmä on melko riippumaton asetettavasta alkuarvauksesta ja se sietää kohtuullisen hyvin häiriötä mittausdatassa. Avainsanat: Tasa-arvojoukkojen (Level Set) menetelmä, Impedanssitomografia, Täydellinen elektrodimalli (CEM), Tikhonov regularisointi, Äärellisten elementtien menetelmä (FEM), Gauss-Newton algoritmi

LYHENTEET EIT LS CEM FEM Impedanssitomografia Pienimmän neliösumman menetelmä Täydellinen elekrodimalli Äärellisten elementtien menetelmä

SYMBOLIT Ω Kuvattava kohde Ω Kuvattavan kohteen reuna e l D B E H ρ p J J s J o ɛ Elektrodi l Sähkövuon tiheys Magneettinen induktio Sähkökenttä Magneettikenttä Varaustiheys Virrantiheys Lähdevirta Ohminen virta Sähköinen permittiivisyys µ Magneettinen permeabiliteetti σ Sähköjohtavuus I l z l U l H 1 (Ω) Q h u h U h φ Λ Γ d(x) H(x) δ(x) ɛ 1, ɛ 2 Elektrodille l syötettävä virta Elektrodin l ja kohteen välinen kontakti-impedanssi Elektrodilla l mitattu jännite Hilbert-avaruus Avaruuden H 1 (Ω) äärellisulotteinen aliavaruus FEM-approksimaatio kohteen potentiaalijakaumalle FEM-approksimaatio elektrodijännitteille Level set -funktio Level set -funktion määrittämän alue Level set -funktion nollakäyrä Etäisyysfunktio Askelfunktio Deltafunktio Askel- ja deltafunktion approksimaatioiden sileysparametrit

Sisältö 1 Johdanto 5 2 Impedanssitomografia (EIT) 8 2.1 Matemaattinen malli........................... 9 2.1.1 Täydellinen elektrodimalli.................... 9 2.2 Käänteisongelma............................. 15 2.2.1 Jacobin matriisin laskeminen................... 16 3 Level Set- menetelmä 18 3.1 Level set -funktio ja Hamilton-Jacobi yhtälöt.............. 18 3.2 Merkki-etäisyysfunktio.......................... 20 4 Materiaalit ja menetelmät 22 4.1 Level Set-lähestymistapa ja EIT..................... 22 4.1.1 Kaksi johtavuutta......................... 23 4.1.2 Kolme tai neljä johtavuutta................... 25 4.1.3 Askelfunktion ja deltafunktion approksimaatiot........ 26 4.1.4 Gauss-Newton algoritmi ja Matlab implementointi....... 27 4.1.5 Hilat................................ 28 5 Tulokset 29 5.1 2D..................................... 29 5.1.1 Yksi level set -funktio...................... 29 5.1.2 Kaksi level set -funktiota..................... 37 5.2 3D..................................... 41 3

6 Yhteenveto & Pohdinta 44 Liitteet 47 Viitteet 51

Luku 1 Johdanto Impedanssitomografia (Electrical Impedance Tomography, EIT) on kuvantamismodaliteetti sähköä johtaville kohteille. Kuvantamismenetelmän idea on, että kohteen reunalle kiinnitetyillä elektrodeilla syötetään pienitaajuista vaihtovirtaa kuvannettavaan kohteeseen ja sen seurauksena syntyvät jännitteet elektrodeilla mitataan. Kohteen sisäinen johtavuus- tai resistiivisyysjakauma voidaan rekonstruoida reunalta tehtyjen ei-invasiivisten jännitemittausten perusteella. Rekonstruoidun johtavuusjakauman avulla saadaan merkittävää tietoa kohteen rakenteellisista ominaisuuksista ja voidaan esimerkiksi tutkia kehon funktionaalisia prosesseja. Impedanssitomografialla onkin lukuisia sovelluskohteita monilla tieteenaloilla kuten esimerkiksi lääketieteessä [17, 1, 54, 2, 33], teollisuudessa [34, 22, 36, 48, 18, 39, 40], geologiassa [27, 4, 19, 37, 12, 46] ja rakenteiden kunnon tutkimisessa [13, 5, 23]. Matemaattisessa mielessä johtavuuden (tai resistiivisyyden) rekonstruktioongelma on huonostiasetettu epälineaarinen käänteisongelma. Huonostiasetetulla ongelmalla tarkoitetaan, että pienetkin virheet esimerkiksi mittausdatassa voivat aiheuttaa suuria virheitä lopullisessa ratkaisussa/estimaatissa. Matemaattisen taustan EIT:n käänteisongelmalle kehitti Alberto Calderón [7] 1980-luvun alussa, jonka jälkeen on kehitetty monenlaisia lähestymistapoja rekonstruktio-ongelman ratkaisemiseksi. Yksi erittäin paljon käytetty tapa on käsitellä käänteisongelmaa epälineaarisena LS-ongelmana lisättynä regularisointitermillä. Tässä lähestymistavassa etsitään johtavuudelle estimaattia, joka minimoi mitattujen jännitteiden ja suoran ongelman avulla laskettujen jännitteiden erotuksen normin neliön ja regularisointifunktionaalin summan. Tässä tutkielmassa kuvannettavan kohteen sisällä olevien mahdollisten epäho- 5

mogeenisuuksien muodot, paikat ja johtavuudet estimoidaan soveltamalla tasaarvojoukkojen eli niin sanottua level set -menetelmää. Level set -menetelmä on tehokas ja mukautuva numeerinen menetelmä muotojen ja pintojen muutosten seuraamiseen. Alkuperäisen level set -idean kehittivät Osher ja Sethian [32] 1980-luvun lopulla ja sittemmin siitä on tullut suosittu työkalu monilla tutkimuksen aloilla esimerkiksi kuvankäsittelyssä, optimoinnissa ja virtauslaskennassa [14, 28]. Level set -menetelmien suuri etu numeerisessa laskennassa on, ettei kohteiden pintoja tai reunoja tarvitse parametrisoida missään vaiheessa. Level set -ideaa on käytetty onnistuneesti myös erilaisten käänteisongelmien ratkaisemiseen [41, 6, 15]. EIT:n rekonstruktio-ongelma on myös ratkaistu soveltamalla level set -menetelmää [11, 42, 43, 44, 24, 38]. Tämän tutkielman lähestymistapa EIT:n käänteisongelman ratkaisuun level set -menetelmällä on hyvin samanlainen kuin edellä mainituissa viitteissä. Lähestymistavan pääpiirre on esittää kohteen johtavuus ja kohteessa olevien mahdollisten eri johtavuuksien väliset rajapinnat level set -formuloinnin avulla. Johtavuus kohteessa oletetaan olevan paloittain vakio funktio. Tämän jälkeen kun johtavuudelle on olemassa esitys, niin impedanssitomografian käänteisongelma ratkaistaan epälineaarisena LS-ongelmana käyttäen yleistettyä Tikhonov regularisointia. Tutkielman tavoitteet ja sisältö Tämän tutkielman päämäärä on tutkia ja tarkastella level set -menetelmän toimivuutta EIT:n rekonstruktio-ongelman ratkaisussa sekä 2D- että 3D-geometriassa. Menetelmää testataan monissa erilaisissa tilanteissa. Rekonstruktioita tehdään monille geometrialtaan erilaisille kohteille, jotka sisältävät kahta tai kolmea eri johtavuuden arvoa. Menetelmää testataan tilanteissa, joissa johtavuuksien arvot tunnetaan tai niitä estimoidaan samanaikaisesti kohteen muodon estimoinnin yhteydessä. Myös menetelmän sietoa mittauskohinalle testataan. Numeerisissa testeissä tehtävät rekonstruktiot perustuvat simulointien avulla laskettuun dataan. Tutkielma on jaettu kuuteen eri kappaleeseen. Kappaleessa 2 on esitetty EIT:n perusperiaate ja siihen liittyvä suora ongelma ja käänteisongelma. Kappaleessa 3 on käyty läpi level set -menetelmän perusperiaatteita. Kappaleessa 4 on johdettu level set -menetelmän matemaattinen formulointi EIT:n käänteisongelman ratkaisussa sekä

esitetty kaikki numeeriset testit yksityiskohtaisesti. Tulokset on esitetty kappaleessa 5 ja lopuksi viimeisessä kappaleessa on lyhyt yhteenveto tutkielmasta ja kommentit saaduista tuloksista.

Luku 2 Impedanssitomografia (EIT) Impedanssitomografia on kuvantamismodaliteetti, jossa kuvattavan kohteen sisäinen johtavuusjakauma rekonstruoidaan kohteen reunoilta tehtyjen jännitemittausten perusteella. Tyypillinen mittausasetelma on esitetty kuvassa (2.1). Joukko elektrodeja {e l } on kiinnitetty kuvattavan kohteen Ω reunalle Ω. Elektrodien kautta kohteeseen syötetään sähkövirtaa ja syntyvät jännitteet mitataan käyttäen samoja elektrodeja. Yleensä syötettävät sähkövirrat ovat matalataajuista (10-100kHZ) ja pieniamplitudista (1-5mA) vaihtovirtaa. Kuva 2.1: Esimerkki mittausasetelmasta. EIT kuuluu diffuuseihin tomografiamodaliteetteihin, kun sähkövirta johdetaan 8

kohteeseen se leviää diffuusisti koko kohteen tilavuuteen. Tämän seurauksena tomografiakuvan rekonstruointi on hankalampaa kuin esimerkiksi röntgentomografiassa, jossa röntgensäteet kulkevat suoraan ja yhden mittauksen informaatio tulee hyvin rajatulta alueelta. Sähkönjohtavuusjakauman estimointi reunalta tehtyjen mittausten perusteella on epälineaarinen, huonostiasetettu käänteisongelma. Tämä on tyypillinen piirre diffuuseille tomografioille. Käytännön määritelmä huonostiasetetulle käänteisongelmalle on, että hyvinkin pienet virheet mittauksissa ja matemaattisissa malleissa voivat aiheuttaa suuria virheitä ratkaisussa. Toisin sanoen tämä tarkoittaa sitä, että klassiset (LS) ratkaisut ovat epästabiileja ja/tai ei-yksikäsitteisiä. Sähkönjohtavuusjakauman rekonstruointiin on olemassa monenlaisia lähestymistapoja, mutta yleisin tapa on rakentaa matemaattinen malli (ns. elektrodimalli) suoralle ongelmalle. Elektrodimallin avulla elektrodijännitteet reunalla voidaan laskea, kun syötettävät virrat ja kohteen sähkönjohtavuus tunnetaan. Perinteinen lähestymistapa ratkaista EIT:n käänteisongelma elektrodimalliin perustuen on Tikhonov regularisointi [49, 51]. Tikhonov regularisoinnissa klassiseen epälineaariseen LS-ongelmaan lisätään sakkofunktionaali, jolloin alkuperäinen huonostiasetettu ongelma korvataan hyvin käyttäytyvällä approksimaatiolla, jonka ratkaisu on (toivottavasti) lähellä alkuperäisen ongelman ratkaisua. 2.1 Matemaattinen malli EIT:n käänteisongelma on ratkaista kohteen sisäinen johtavuusjakauma kohteen reunalta tehtyjen jännitemittausten perusteella. Käänteisongelman ratkaisemiseksi tarvitaan matemaattinen malli (t.s suora malli), jonka avulla lasketaan jännitteet reunalla, kun syötettävät sähkövirrat ja johtavuusjakauma tiedetään. Toistaiseksi tarkin malli on niin sanottu täydellinen elektrodimalli (Complete Electrode Model, CEM)[45, 10]. Seuraavaksi esitetty täydellisen elektrodimallin johtaminen ja numeerinen ratkaisu perustuu pääosin viitteisiin [50, 26, 52, 25, 45, 10, 9]. 2.1.1 Täydellinen elektrodimalli Sähkömagneettisten kenttien käyttäytyminen kohteen Ω sisällä voidaan mallintaa Maxwellin yhtälöillä

D = ρ c (2.1) B = 0 (2.2) E = B t (2.3) H = J + D t, (2.4) missä on roottorioperaattori, on divergenssioperaattori, t on osittaisderivaatta ajan suhteen, E on sähkökenttä, H on magneettikenttä, B on magneettinen induktio, D on sähkövuon tiheys (electric displacement), ρ c on varaustiheys ja J on virrantiheys, J = J s + J o = lähdevirta + ohminen virta. Jos oletetaan, että kohde Ω on lineaarinen ja isotrooppinen väliaine, voidaan kirjoittaa D = ɛe (2.5) B = µh (2.6) J = σe, (2.7) missä ɛ on permittiivisyys, µ on permeabiliteetti ja σ = σ(x),x Ω, on johtavuus. EIT:ssä tehdään yleensä ns. kvasi-staattinen approksimaatio, joka tarkoittaa aikariippuvuuden huomiotta jättämistä, vaikkakin käytetään vaihtovirtaa. Kvasistaattinen approksimaatio on pätevä, jos vaihtovirran taajuus on tarpeeksi pieni. Approksimaation johdosta aikaderivaatat yhtälöissä (2.3) ja (2.4) ovat nollia. Lisäksi lähdevirta J s kohteen sisällä voidaan olettaa nollaksi, koska J s = 0 EIT:ssä käytettävillä vaihtovirran taajuuksilla. Nyt koska E = 0 niin on olemassa sähköinen potentiaali u siten että E = u. (2.8) Ottamalla divergenssi yhtälöstä (2.4) ja hyödyntämällä yhtälöitä (2.7) ja (2.8) saadaan yhtälö, joka mallintaa sähköiset ominaisuudet kohteen sisällä σ u = 0, u Ω. (2.9)

Yhtälö (2.9) on malli sähköiselle potentiaalille vain kohteen sisällä. Jotta saataisiin tarkka matemaattinen malli koko ongelmalle, myös reunaehdot täytyy määrittää. Reunaehdot Reunaehdot sähköiselle potentiaalille täydellisessä elektrodimallissa ovat seuraavat u + z l σ u n = U l, x e l, l = 1, 2,..., L (2.10) σ u n ds = I l, x e l, l = 1, 2,..., L (2.11) e l σ u n = 0, x Ω\ L l=1 e l, (2.12) missä I l on elektrodille e l syötetty virta, L on elektrodien lukumäärä, z l on elektrodin e l ja kohteen välinen kontakti-impedanssi ja U l on elektrodilla e l mitattu jännite. Yhtälö (2.10) ottaa huomioon oikosulku-ilmiön elektrodeilla (ts. jännite U l on vakio koko elektrodilla e l ) sekä kontakti-impedansseista z l johtuvan ylimääräisen jännitehäviön elektrodeilla. Kaksi alinta ehtoa (2.11) ja (2.12) tarkoittavat käytännössä, että virtaa syötetään vain elektrodeilta e l. Yksityiskohtaisempi johtaminen reunaehdoille on esitetty esimerkiksi viitteissä [52, 50, 10]. Edellisten reunaehtojen lisäksi myös kaksi ehtoa syötettävälle virralle ja mitattaville jännitteille on oltava voimassa, jotta suoran ongelman ratkaisu olisi olemassa ja se olisi yksikäsitteinen [45, 35]. Nämä ehdot ovat L I l = 0 (2.13) l=1 L U l = 0. (2.14) l=1 Ylempi ehto tarkoittaa, että varauksen säilymislain pitää olla voimassa ja alempi yhtälö vaatii, että potentiaalimittauksille täytyy valita jokin referenssipiste. Kokonaisuudessaan täydellinen elekrodimalli koostuu yhtälöistä (2.9)-(2.14). Täydellisen elektrodimallin ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys on todistettu viitteessä [45]. Suoran ongelman numeerinen ratkaisu Täydellinen elektrodimalli (CEM) liittää yhteen elektrodijännitteet U l, syötettävät virrat I l ja sähkönjohtavuusjakauman σ. EIT:n suora ongelma on ratkaista kohteen

sisäinen sähköinen potentiaali u ja elektrodipotentiaalit U l, kun syötettävät virrat ja johtavuusjakauma tiedetään. Täydellisen elektrodimallin (suoran ongelman) analyyttinen ratkaisu on olemassa vain hyvin yksinkertaisille geometrioille sen monimutkaisten reunaehtojen takia. Tämän takia EIT:n suoran ongelman ratkaisemiseksi käytetään numeerisia menetelmiä. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on olemassa monia eri numeerisia menetelmiä, mutta tässä tutkielmassa EIT:n suoran ongelman ratkaisussa käytetään äärellisten elementtien menetelmää (Finite Element Method, FEM), koska se soveltuu hyvin osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuun monimutkaisissa geometrioissa ja hankalissa reunaehdoissa [3, 20, 29]. Ensimmäinen askel täydellisen elektrodimallin FEM-ratkaisussa on kirjoittaa ratkaistava osittaisdifferentiaaliyhtälö ja reunaehdot niin sanotussa variationaalimuodossa (ts. heikossa muodossa). Tämän jälkeen variationaaliongelman ratkaisulle etsitään äärellisdimensionaalinen approksimaatio. Täydellisen elektrodimallin heikon muodon johtaminen yksityiskohtaisesti on esitetty viitteessä [45]. Täydellisen elektrodimallin variationaalimuodolla on heikko ratkaisu (u, V ) L B((u, U), (v, V )) = I l V l, (2.15) l=1 missä v H 1 (Ω) ja V R L. Yhtälön (2.15) vasenta puolta B((u, U), (v, V )) = Ω L σ u v dx + (u U l )(v V l ) ds (2.16) l=1 e l kutsutaan bilineaarimuodoksi B : (H 1 (Ω) R L ) (H 1 (Ω) R L ) R. Äärellistä ratkaisua variationaalimuodolle (2.15) etsittäessä kohde Ω täytyy ensin diskretisoida ja jakaa pieniin elementteihin. Tämän jälkeen tuntemattomille funktioille (u ja U) kirjoitetaan äärellisdimensionaaliset approksimaatiot. Potentiaalijakaumaa u kohteen sisällä approksimoidaan äärellisellä summalla ja samoin myös jännitteitä U elektrodeilla N n u h = α i ϕ i (2.17) i=1

L 1 U h = β j n j, (2.18) j=1 missä funktiot ϕ i muodostavat kannan äärellisulotteiselle aliavaruudelle Q h H 1 (Ω) ja kantavektorit n j R L valitaan esimerkiksi n 1 = (1, 1, 0,..., 0) T, n 2 = (1, 0, 1,..., 0) T,..., n L 1 = (1, 0,..., 1) T, jolloin ehto (2.14) täyttyy. Approksimaatioissa (2.17) ja (2.18) N n on solmupisteiden määrä elementtikannassa, L on elektrodien määrä ja kertoimet α i ja β j ovat tuntemattomia, jotka täytyy määrittää. Nyt hyödyntämällä äärellisten elementtien teoriaa [3] ja sijoittamalla approksimaatiot (2.17) ja (2.18) variationaalimuotoon (2.15) saadaan matriisiyhtälö Ab = f, (2.19) missä vektori b R Nn+L 1 on muotoa b = α β, (2.20) missä α R Nn ja β R L 1. Datavektori f on muotoa 0 f = = 0Ĩ Ll=1 I l (n j ) l, (2.21) missä 0 = (0,..., 0) T R Nn ja Ĩ = (I 1 I 2, I 1 I 3,..., I 1 I L ) T R L 1. Matriisi A R (Nn+L 1) (Nn+L 1) on harva blokkimatriisi ja se on muotoa missä osamatriisit ovat muotoa A = B C C T D, (2.22) L 1 B(i, j) = σ ϕ i ϕ j dx + ϕ i ϕ j ds, Ω l=1 z l e l i, j = 1, 2,..., N n (2.23)

C(i, j) = 1 ϕ i ds 1 z 1 e 1 z j+1 e j+1 ϕ i ds, i = 1, 2,..., N n, j = 1, 2,..., L 1 (2.24) D(i, j) = = L 1 (n i ) l (n j ) l ds l=1 z l e l e 1 z 1, i j e 1 z 1 + e j+1 z j+1, i = j, i, j = 1, 2,..., L 1. (2.25) Ratkaisemalla yhtälöstä (2.19) b = A 1 f saadaan suoran ongelman approksimatiivinen ratkaisu. Ensimmäisten kertoimien α i, i = 1, 2,..., N n avulla saadaan laskettua sisäinen potentiaalijakauma u h solmupisteissä ja jännitteet U h elektrodeilla saadaan määritettyä lopuista β j, j = 1, 2,..., L 1 kertoimista. Potentiaalit elektrodeilla saadaan laskettua kertoimien β ja yhtälön (2.18) avulla β 1 β 2 β L 1 β 1 0 0 L 1 U h 0 β 2 0 = β j n j = + + + j=1 0 0. 0 0 0.. β L 1 L 1 l=1 β l β 1 β 2 = β 3. β L 1 (2.26) Tämä voidaan kirjoittaa lyhyesti matriisimuodossa U h = Cβ, (2.27)

missä β = (β 1, β 2,..., β L 1 ) T ja C R L (L 1) on matriisi, joka on muotoa 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 C = 0 0 1 0....... 0 0 0 1. (2.28) Käytännössä varsinaiset EIT-mittaukset koostuvat jännitteistä, jotka on mitattu elektrodiparien välillä U i = Ul h - Uk h, i = 1, 2,..., m, missä m mittausten lukumäärä. Esimerkiksi jännitemittaukset voisivat muodostua potentiaalieroista U 1 = U2 h U1 h, U 2 = U3 h U2 h, jne. Suoran ongelman ratkaisuna saaduista elektrodijännitteistä U h aitoja mittauksia vastaavat potentiaalierot voidaan määrittää seuraavasti U = MU h = MCβ, (2.29) missä M R m L on mittausmatriisi (measurement pattern), joka kuvaa miltä elektrodeilta jännitteet on mitattu. 2.2 Käänteisongelma EIT:n käänteisongelma on määrittää johtavuusjakauma σ kohteen sisällä, kun syötettävät virrat ja niitä vastaavat mitatut jännitteet tiedetään. Fysikaalisen mallinnuksen (suora malli) ja FEM-diskretoinnin avulla voidaan kirjoittaa EIT-havaintomalli V = U(σ; z, I) + e, (2.30) missä e on havaintovirhe, V on mitatut jännitteet elektrodeilla ja U(σ; z, I) on diskreetti matemaattinen malli, joka yhdistää johtavuuden σ ja mittaukset V toisiinsa. EIT-rekonstruktiomenetelmiä on olemassa monia erilaisia, mutta yksi yleinen menetelmä on käsitellä EIT:n käänteisongelmaa epälineaarisena LS-ongelmana. Tyypillinen lähestymistapa on käyttää yleistettyä Tikhonov-regularisointia [49, 51], jolloin minimoitava LS-funktionaali on muotoa

F (σ) = L 1 (V U(σ)) 2 + αa(σ), (2.31) missä L 1 on painotusmatriisi, α on regularisointiparametri ja A(σ) on regularisointifunktionaali. Useasti regularisointifunktionaali on muotoa A(σ) = L 2 (σ σ ) 2, (2.32) missä L 2 on regularisointimatriisi ja σ on johtavuuden prioriestimaatti, joka voi olla esimerkiksi johtavuuden odotusarvo. Datan riippuvuus johtavuudesta σ on epälineaarinen, joten myös funktionaali (2.31) on epälineaarinen johtavuuden suhteen. Funktionaalin minimoimiseksi ja ratkaisun σ löytämiseksi voidaan käyttää iteratiivisia menetelmiä. Tässä työssä epälineaarisen käänteisongelman ratkaisussa käytetään Gauss-Newton algoritmia, jolloin iteratiivinen algoritmi johtavuusestimaatille ˆσ saadaan seuraavasti ˆσ k+1 = ˆσ k + h k ( J T k W 1 J k + αw 2 ) 1 ( J T k W 1 (V U(σ k )) αw 2 (σ σ ) ), (2.33) missä J k on jännitemittausten Jacobin matriisi sen hetkisen johtavuusestimaatin ˆσ k suhteen, h k on askelpituus, W 1 = L T 1 L 1 ja W 2 = L T 2 L 2. 2.2.1 Jacobin matriisin laskeminen Suoran ongelman ratkaisuna saatujen jännitemittausten U Jacobin matriisia johtavuusjakauman suhteen tarvitaan usein iteratiivisissa menetelmissä ja se on muotoa J = ( U σ 1,..., U σ Nn ). (2.34) Lasketut jännitteet elektrodeilla voidaan kirjoittaa U = MU h = MCβ = M Cb, missä b on sama kuin yhtälössä (2.20) ja matriisi C = ( 0 C ), 0 R L Nn. Tällöin lasketut jännitteet U = MCβ = M Cb = Mb ja niiden osittaisderivaatta m:nnen johtavuusparametrin σ m suhteen saadaan U σ m = Mb σ m = M b σ m. (2.35)

Termi b σ m voidaan kirjoittaa yhtälön (2.19) avulla muotoon Yhtälön (2.36) oikea puoli voidaan muokata muotoon b = (A 1 f). (2.36) σ m σ m (A 1 f) σ m 1 A = A A 1 1 A f = A b. (2.37) σ m σ m Nyt yhtälöiden (2.36) ja (2.37) avulla osittaisderivaatat (2.35) voidaan kirjoittaa U b = M σ m 1 A = MA b σ m σ m ( (A 1 ) T M ) T T A b = σ m ( = A 1 M ) T T A b σ m = ˆb T A b, (2.38) σ m missä ˆb = A 1 M T. Matriisissa A ainoastaan osamatriisi B riippuu johtavuudesta σ, joten osittaisderivaatta A/ σ m voidaan laskea seuraavasti A = σ m B σ m 0 0 0. (2.39) Johtavuudelle voidaan kirjoittaa äärellisulotteinen esitystapa muodossa σ(x) = Tällöin matriisi B/ σ m on muotoa N n k=1 B(i, j) = σ ϕ i ϕ j dx σ m σ m Ω σ = ϕ i ϕ j dx σ m = Ω Ω σ k ϕ k (x). (2.40) ϕ m ϕ i ϕ j dx. (2.41)

Luku 3 Level Set- menetelmä Level set -menetelmät yleisesti ovat numeerisia menetelmiä tai tekniikoita, joiden avulla voidaan seurata muuttuvien tai etenevien rajapintojen ja niiden muotojen kehittymistä. Alkuperäisen level set -menetelmän tarkoitus oli analysoida ja seurata etenevien rajapintojen liikettä nopeuskentässä ja sen kehittivät Stanley Osher ja James A. Sethian 1980-luvun lopulla. Viime aikoina level set -menetelmille on kehitetty monia eri sovelluskohteita esimerkiksi optimoinnissa ja kuvankäsittelyssä. [14, 28] 3.1 Level set -funktio ja Hamilton-Jacobi yhtälöt Alkuperäinen idea Osherin ja Sethian [32] kehittämän level set -menetelmän takana on varsin yksinkertainen. Rajapinta Γ ympäröi aluetta Λ ja tavoitteena on analysoida ja laskea tämän rajapinnan muutos tunnetun nopeuskentän v vaikutuksen alaisuudessa. Muutoksen aiheuttava kenttä voi riippua paikasta, ajasta, (raja)pinnan geometriasta (esim. normaalivektorin suunnasta) tai esimerkiksi ulkoisesta fysikaalisesta virtauksesta. Pääidea level set -menetelmässä on määrittää sileä ja vähintään Lipschitz-jatkuva funktio φ(x, t), joka kuvaa rajapinnan Γ implisiittisesti joukoksi, missä funktio menee nollaan eli φ(x, t) = 0. Tämä on ydinidea kaikissa level set - menetelmissä sovelluksista riippumatta [30, 31, 32]. Esimerkki 2D-tilanteessa, missä level set -funktion φ nollataso määrittää alueen Λ xy-tasoon, on esitetty kuvassa (3.1). 18

Kuva 3.1: Esimerkki 2D-tapauksesta (a) Level set -funktio φ leikkaa nollatason φ(x, y) = 0 ja (b) Nollataso ja sen määrittämä rajapinta Γ eri kulmasta. Level set -funktiolla voi olla hieman eriäviä määritelmiä riippuen käytettävästä sovelluksesta. Kuitenkin tyypillinen lähestymistapa on määritellä implisiittinen funktio, jolla on seuraavat ominaisuudet [30] φ(x, t) < 0, kun x Λ φ(x, t) > 0, kun x / Λ φ(x, t) = 0, kun x Λ = Γ(x, t) (3.1) Rajapinnan Γ(x, t) seuraamiseen ja kehittymiseen myöhemmillä ajanhetkillä t kun φ(x, t) muuttuu tarvitsee vain siis paikantaa kohdat missä φ(x, t) = 0. Tällä yksinkertaisella idealla on erittäin suuri merkitys numeerisen laskennan kannalta, koska näin topologiset muutokset kuten alueiden Λ hajoaminen ja yhdistyminen ovat hyvin määriteltyjä ja tapahtuvat itsestään menetelmän sisällä. Myöskään minkäänlaista rajapintojen parametrisointia ei tarvita eikä etukäteistietoa mahdollisten alueiden määrästä. [30, 31] Alkuperäisen level set -menetelmän formuloinnissa rajapinnan Γ muutos saadaan aikaan, kun funktion φ arvot muuttuvat nopeuskentän v vaikutuksesta. Tätä funktion φ muutosta voidaan kuvata matemaattisesti osittaisdifferentiaaliyhtälöllä φ t + v φ = 0. (3.2) Nopeuskentän v komponentti funktion φ tasa-arvopinnan normaalin suuntaan voidaan kirjoittaa vektorilaskennan perusteella v N = v φ. Sijoittamalla tämä yhtä- φ löön (3.2) saadaan

φ t + v N φ = 0, (3.3) missä on euklidinen normi. Yllä oleva yhtälö on välttämätön, jos halutaan seurata rajapinnan muutosta tunnetun nopeuskentän vaikutuksessa. Molemmat yhtälöt (3.2) ja (3.3) kuuluvat niin sanottuihin Hamilton-Jacobi -yhtälöihin, joilla on erittäin keskeinen rooli level set -menetelmissä. Hamilton-Jacobi -yhtälöt voidaan yleistää muotoon φ t + H(φ x, φ y, φ z ) = 0, (3.4) missä H on Hamiltonin matriisi, joka voi olla sekä paikan että ajan funktio [30, 31]. Viitteissä [30, 31] on esitelty monia erilaisia ja eri tilanteisiin sopivia numeerisia menetelmiä yhtälön (3.4) ratkaisemiseksi. 3.2 Merkki-etäisyysfunktio Level set -funktiosta φ ei ole vielä sanottu muuta kuin, että sen tulisi olla implisiittinen ja jossakin määrin sileä. Seuraavaksi esitellään yksi vaihtoehto level set - funktioksi, merkki-etäisyysfunktio (signed distance function). Merkki-etäisyysfunktio on implisiittinen funktio ja sen on osoitettu käyttäytyvän paremmin kuin minkään muun yhtälön (3.1) toteuttavan funktion kun lasketaan numeerisia approksimaatioita Hamilton-Jacobi -yhtälöille. [30] Level set -funktio φ määritellään merkki-etäisyysfunktion avulla seuraavasti φ(x) = d(x), kun x Λ d(x), kun x / Λ 0, kun x Λ, (3.5) missä d(x) tarkoittaa etäisyysfunktiota, joka on määritelty d(x) = min( x x B ) x B Λ. (3.6) Merkki-etäisyysfunktion käyttöön level set -funktiona liittyy monia muita ominaisuuksia, joita muilla funktiovaihtoehdoilla ei ole [30]. Esimerkiksi

φ = 1. (3.7) Numeerista laskentaa suoritettaessa level set -funktion φ alkuarvaus ajautuu lopulta erilleen alkuperäisestä arvostaan eikä se välttämättä enää täytä merkkietäisyysfunktion kriteerejä. Tämä voi aiheuttaa epästabilisuutta ja virhettä lopullisessa ratkaisussa. Tämän takia on suositeltavaa uudelleen alustaa φ aika ajoin takaisin muistuttamaan merkki-etäisyysfunktiota. Näin ollen varmistutaan level set -funktion riittävästä sileydestä ja ratkaisun stabiilisuudesta. [30, 47, 8] Artikkelissa [47] on esitetty yksi tapa, jolla φ voidaan uudelleen alustaa muistuttamaan merkki-etäisyysfunktiota. Uudelleen alustus perustuu yhtälön φ t + S(φ 0)( φ 1) = 0 (3.8) ratkaisuun numeerisesti. Funktio S(φ 0 ) on merkkifunktio, joka saa arvon 1 alueen Λ ulkopuolella, -1 sisäpuolella ja 0 rajapinnalla Γ.

Luku 4 Materiaalit ja menetelmät Tämän tutkielman tavoitteena on tutkia level set -menetelmän toimivuutta impedanssitomografian rekonstruktio-ongelman ratkaisussa. Kaikki simuloinnit ja laskenta suoritettiin käyttäen Matlab-ohjelmaa. Tässä luvussa käydään läpi level set - lähestymistapa impedanssitomografiaan sekä simulointien että numeeristen testien yksityiskohdat. 4.1 Level Set-lähestymistapa ja EIT Tässä tutkielmassa impedanssitomografian käänteisongelma ratkaistaan soveltamalla level set -menetelmää. Käytettävä lähestymistapa käänteisongelman ratkaisuun on hyvin samankaltainen kuin viitteissä [8, 11, 43, 44, 16] pienillä eroavaisuuksilla. Pääidea menetelmässä on, että kohteen johtavuus oletetaan paloittain vakioksi ja eri johtavuuksien alueet ja niiden väliset rajapinnat esitetään level set -formuloinnin t.s level set funktioiden φ avulla. Erona tässä tutkielmassa on level set -funktion φ valinta. Level set funktioksi ei valita varsinaisesti merkki-etäisyysfunktiota vaan level set -funktio määritellään seuraavasti c, kun x Λ φ(x) = c, kun x / Λ, (4.1) missä c R + ja se voidaan valita esimerkiksi luvuksi 1. Funktion φ arvojen kehittyessä rajapinta Γ alueiden Λ välillä t.s nollataso φ(x) = 0 määritetään kohtaan, jossa funktion positiiviset arvot muuttuvat negatiivisiksi. Level set -funktion φ reinitalisointi tehdään tarvittaessa ja se toteutetaan asettamalla sen hetkiset negatiiviset arvot arvoon c ja positiiviset arvot arvoon c. 22

Seuraavaksi johdetaan level set -lähestymistapa johtavuuden rekonstruktioongelman ratkaisemiseksi, kun kohde sisältää kahta eri johtavuuden omaava materiaalia sekä tilanne, missä eri johtavuuksia voi olla kolme tai neljä. Ongelman ratkaisuun kun eri materiaaleja on kaksi riittää yksi level set -funktio, mutta 3-4 eri materiaalin ratkaisuun tarvitaan kaksi level set -funktiota, jotta kaikki mahdolliset eri alueet saataisiin esitettyä. Yleinen sääntö on, että K määrällä level set -funktioita voidaan esittää 2 K määrä eri alueita, joilla on eri johtavuus tai jokin muu parametrin arvo [8, 16, 53]. Tässä tutkielmassa rajoitutaan tapauksiin, jossa level set -funktioita on yksi tai kaksi. 4.1.1 Kaksi johtavuutta Oletetaan, että kohde Ω sisältää kahta eri materiaalia Ω 1 ja Ω 2, joiden johtavuudet ovat σ 1 ja σ 2, vastaavassa järjestyksessä. Kun level set -funktio on määritelty, voidaan alueet Ω 1 ja Ω 2 ja niiden välinen rajapinta Γ määrittää sen avulla Ω 1 = {x Ω φ(x) > 0}, Ω 2 = {x Ω φ(x) < 0}, (4.2) Γ = {x Ω φ(x) = 0}. Kuva 4.1: Kohde Ω, joka sisältää kahta eri materiaalia johtavuuksilla σ 1 ja σ 2.

Tämä on myös esitetty kuvassa (4.1). Nyt kohteen Ω johtavuus σ(x) voidaan kirjoittaa paloittain vakiona funktiona level set -funktion avulla seuraavasti σ 1, kun φ 0 σ(x) = σ 2, kun φ < 0 missä H(x) on askelfunktio ja se on määritelty = σ 1 H(φ(x)) + σ 2 (1 H(φ(x))), (4.3) 1, kun x 0, H(x) = 0, kun x < 0. (4.4) Kun johtavuudelle σ on olemassa esitys niin muokataan luvussa 2 esitetty yleistetty Tikhonov regularisointifunktionaalin (2.31) minimointi sisältämään level set - lähestymistavan. Minimoitava funktionaali on muotoa F (σ) = F (σ(φ, σ 1, σ 2 )) = L 1 (V U(σ)) 2 + α L 2 (σ σ ) 2. (4.5) Funktionaali (4.5) on johtavuuden σ funktio, mutta σ riippuu edelleen level set - funktiosta φ ja johtavuuksista σ 1 ja σ 2 eli σ(φ, σ 1, σ 2 ). Jotta iteratiivista algoritmia (2.33) voitaisiin käyttää estimoitavien parametrien φ, σ 1 ja σ 2 päivitykseen täytyy ensin laskea kuvauksen U(σ) Jacobin matriisi estimoitavien parametrien suhteen. Kokonaisuudessa Jacobin matriisi on muotoa J tot (σ) = (J φ, J σ1, J σ2 ), (4.6) missä matriisit J φ R m Nn, J σ1 R m 1 ja J σ2 R m 1 lasketaan seuraavasti derivoinnin ketjusääntöä hyödyntäen J φ = U(σ(φ, σ 1, σ 2 )) φ J σ1 = U(σ(φ, σ 1, σ 2 )) = σ 1 J σ2 = U(σ(φ, σ 1, σ 2 )) σ 2 = = U σ σ φ = U σ (σ 1 σ 2 )δ(φ), (4.7) U σ U dx = H(φ) dx, (4.8) σ σ 1 σ Ω Ω U σ σ σ 2 dx = Ω Ω U (1 H(φ)) dx. (4.9) σ

Yhtälöiden (4.7)-(4.9) yksityiskohtaisemmat derivoinnit on esitetty liitteessä. Yhtälössä (4.7) δ(x) on Diracin deltafunktio, joka on määritelty 1, kun x = 0, δ(x) = 0, muulloin. (4.10) Yhtälöiden (4.7)-(4.9) numeerinen toteutus on seuraavanlainen: Termi U σ yhtälöissä (4.7)-(4.9) on perinteisen EIT-ongelman Jacobin matriisi (2.34). Yhtälössä (4.7) deltafunktio tarkoittaa, että matriisista U σ valitaan ainoastaan ne sarakkeet, jotka vastaavat määritettyjä nollakäyrän φ(x) = 0 solmupisteitä laskentahilassa. Nollakäyrä ei välttämättä kulje suoraan solmupisteiden kautta, jolloin nollasolmupisteiksi valitaan nollakäyrän lähellä olevat solmupisteet. Yhtälöissä (4.8)-(4.9) integraalilla ja askelfunktiolla tarkoitetaan matriisin U σ niiden sarakkeiden summausta, jotka vastaavat johtavuusalueiden Ω 1 ja Ω 2 solmupisteitä. Numeerisessa laskennassa deltafunktio ja askelfunktio on järkevää korvata sileämmillä approksimaatioilla, mutta tästä aiheesta lisää myöhemmin tässä luvussa. 4.1.2 Kolme tai neljä johtavuutta Oletetaan, että kohde Ω voi sisältää enimmillään neljää eri materiaalia, joilla on eri johtavuus σ 1, σ 2, σ 3 ja σ 4. Nyt alueiden Ω 1, Ω 2, Ω 3 ja Ω 4 esittämiseen tarvitaan kaksi level set -funktiota φ 1 ja φ 2. Kirjoitetaan kohteen johtavuus σ(x) neljän johtavuuden tilanteessa nyt paloittain vakiona funktiona level set -formuloinnin avulla σ(x) = σ 1, kun φ 1 0, φ 2 0 σ 2, kun φ 1 < 0, φ 2 0 σ 3 kun φ 1 0, φ 2 < 0 σ 4 kun φ 1 < 0, φ 2 < 0 = σ 1 H(φ 1 )H(φ 2 ) + σ 2 (1 H(φ 1 ))H(φ 2 ) +... σ 3 H(φ 1 )(1 H(φ 2 )) + σ 4 (1 H(φ 1 ))(1 H(φ 2 )). (4.11) Nyt kohteen Ω johtavuus on level set -funktioiden φ 1 ja φ 2 sekä eri alueiden johtavuuksien σ i, i = 1, 2, 3, 4, funktio eli σ = σ(φ 1, φ 2, σ 1, σ 2, σ 3, σ 4 ). Tällöin kuvauksen U(σ) Jacobin matriisi estimoitavien parametrien suhteen edellisen kappaleen esityksen nojalla on nyt muotoa

J tot (σ) = (J φ1, J φ2, J σ1, J σ2, J σ3, J σ4 ), (4.12) missä matriisit J φ1, J φ2, J σ1, J σ2, J σ3 ja J σ4 voidaan laskea seuraavasti J φ1 = U(σ) φ 1 J φ2 = U(σ) φ 2 J σ1 = U(σ) σ 1 = J σ2 = U(σ) σ 2 = J σ3 = U(σ) σ 3 = J σ4 = U(σ) σ 4 = = U ( ) (σ 1 σ 2 )H(φ 2 ) + (σ 3 σ 4 )(1 H(φ 2 )) δ(φ 1 ), (4.13) σ = U ( ) (σ 1 σ 3 )H(φ 1 ) + (σ 2 σ 4 )(1 H(φ 1 )) δ(φ 2 ), (4.14) σ Ω Ω Ω Ω U σ H(φ 1)H(φ 2 ) dx, (4.15) U σ (1 H(φ 1))H(φ 2 ) dx, (4.16) U σ H(φ 1)(1 H(φ 2 )) dx, (4.17) U σ (1 H(φ 1))(1 H(φ 2 )) dx. (4.18) Yksityiskohtaisemmat derivoinnit on esitetty liitteessä. 4.1.3 Askelfunktion ja deltafunktion approksimaatiot Numeerisessa laskennassa johtavuuden σ(x) esityksessä ja Jacobin matriisien yhtälöissä esiintyvät askelfunktio H ja deltafunktio δ on suotavaa korvata sileämmillä funktioilla. Tässä tutkielmassa käytetään seuraavia funktioita approksimoimaan askel -ja deltafunktiota [8, 16, 53] H ɛ1 (φ) = 1 π tan 1 φ + 1 ɛ 1 2, (4.19) δ ɛ2 (φ) = ɛ 2 π(φ 2 + ɛ 2 2), (4.20) missä parametrit ɛ 1 ja ɛ 2 määrittävät approksimaation sileyden. Parametrien ɛ i valinta vaikuttaa approksimaatioiden tarkkuuteen, mitä pienempi ɛ i niin sitä terävämpi ja tarkempi approksimaatio on. Kuitenkin numeerisen laskennan kannalta liian pienten parametrien ɛ i käyttö ei ole kannattavaa. Etenkin deltafunktion tapauksessa hyvin pienillä parametrin ɛ 2 arvoilla approksimaatiosta tulee erittäin terävä ja se voi aiheuttaa epästabiilisuutta numeerisessa laskennassa. Askelfunktion approksimaatiolle

voidaan ja on suositeltavaakin käyttää kohtuullisen pientä parametrin ɛ 2 arvoa. Parametrien ɛ i valintaan vaikuttaa myös numeerisessa laskennassa käytettävän hilan elementtien keskimääräinen koko. Tämän tutkielman rekonstruktioissa sileysparametrit valittiin pääsääntöisesti seuraavasti hieman riippuen käytetystä hilasta: ɛ 1 [0.01 0.15] ja ɛ 2 [1 5]. 4.1.4 Gauss-Newton algoritmi ja Matlab implementointi Seuraavaksi esitetään Gauss-Newton algoritmi EIT:n käänteisongelman ratkaisemiseksi level set -menetelmällä sekä kuinka tutkielman numeeriset testit on toteutettu Matlabilla. Tämä on näytetty vain yhden level set -funktion ja kahden johtavuuden tapaukselle, mutta siirtyminen kahteen level set -funktioon ja useampaan johtavuuteen on hyvin suoraviivaista. Minimoitava funktionaali (4.5) on johtavuuden σ funktio, mutta level set - lähestymistavassa johtavuus riippuu vielä level set -funktiosta φ sekä yksittäisistä johtavuuden arvoista σ 1 ja σ 2. φ, σ 1 ja σ 2 ovat tuntemattomat parametrit ja ne voidaan estimoida käyttäen iteratiivistä Gauss-Newton algoritmia. Nyt luvussa 2 esitetty Gauss-Newton algoritmi (2.33) saa muodon ˆx k+1 = ˆx k + h k ( J T k W 1 J k + αw 2 ) 1 ( J T k W 1 (V U(ˆx k )) αw 2 (ˆx k x ) ), (4.21) missä ˆx k = (φ k, σ (k) 1, σ (k) 2 ) ja Jacobin matriisi J on yhtälön (4.6) muotoa. Tässä tutkielmassa painotusmatriisi L 1 ja regularisointimatriisi L 2 valitaan yksikkömatriiseiksi, jolloin myös matriisit W 1 ja W 2 ovat yksikkömatriiseja. Prioriestimaattina käytetään nollavektoria x = 0 sekä askelpituus h k pidetään vakiona koko iteraation ajan ja se valitaan väliltä [0.10 0.40] tilanteesta riippuen. Regularisointiparametrin α valinta riippuu useasti eri tekijästä, esimerkiksi mittauksissa olevasta häiriön suuruudesta, oikean johtavuusjakauman mahdollisesta monimutkaisesta muodosta ja johtavuusinkluusioiden sijainnista toisiinsa nähden. Regularisointiparametri valittiin tapauskohtaisesti ja parhaan regularisointiparametrin arvon valinta tehtiin tulosten visuaalisen tarkastelun perusteella. Mittausten simulointi ja johtavuuden rekonstruointi Matlabin avulla on esitetty liitteessä pseudokoodi-muodossa kommentein varustettuna.

4.1.5 Hilat Tässä tutkielmassa level set -menetelmää testataan EIT:n käänteisongelman ratkaisuun niin 2D- kuin 3D-geometriassa. 2D-tilanteessa laskenta-alueena käytetään ympyränmuotoista kohdetta, joka sisältää 16 elektrodia reunalla ja 3D-tapauksessa kohteena on sylinteri, jonka reunalla on yhteensä 64 elektrodia neljässä kerroksessa. Molemmissa tapauksissa numeerinen laskenta toteutetaan käyttäen kolmea eri hilaa. Simuloidut oikeita mittauksia vastaavat jännitteet lasketaan yhdellä hilalla, suora ongelma ja Jacobin matriisi lasketaan toisella hilalla ja kolmas hila on käänteisongelman ratkaisua varten. Kuvissa (4.2) ja (4.3) on esitetty 2D- ja 3D-tilanteissa käytetyt hilat sekä niitä vastaavat elementtien ja solmupisteiden määrät. (a) (b) (c) Kuva 4.2: 2D hilat: (a) mittausten simulointihila, jossa on 20642 elementtiä ja 10770 solmupistettä, (b) suoran ongelman hila, jossa on 15058 elementtiä ja 7986 solmupistettä ja (c) käänteisongelman hila, jossa on 918 elementtiä ja 492 solmupistettä (a) (b) (c) Kuva 4.3: 3D hilat: (a) mittausten simulointihila, jossa on 81597 elementtiä ja 17132 solmupistettä, (b) suoran ongelman hila, jossa on 81269 elementtiä ja 17027 solmupistettä ja (c) käänteisongelman hila, jossa on 30144 elementtiä ja 5882 solmupistettä

Luku 5 Tulokset Tässä luvussa esitetään tuloksia level set -menetelmän toimivuudesta sähkönjohtavuuden rekonstruoimiseksi erilaisissa tilanteissa sekä 2D- että 3D-geometriassa. Tutkittavia tapauksia ovat esimerkiksi erilaisten johtavuusjakaumien (yksinkertaiset vs. monimutkaiset) rekonstruoiminen, rekonstruktion lopputuloksen riippuvuus level set -funktioiden alkuarvauksesta ja jännitemittausten häiriötason vaikutus rekonstruktioon. Luku on jaettu kahteen osaan 2D- ja 3D-tuloksiin ja tarkemmat yksityiskohdat testitapauksista on kerrottu niitä käsittelevissä kappaleissa. Simuloituihin jännitemittauksiin ei ole lisätty satunnaiskohinaa kuin ainoastaan niissä tapauksissa missä kohinatason vaikutusta rekonstruktioon on tarkasteltu. Niin sanotun "inverse crimen" välttämiseksi simuloidut mittausjännitteet laskettiin käyttäen eri hilaa kuin rekonstruktiossa suoran ongelman ratkaisussa. 5.1 2D 2D-geometriassa tarkastellaan tilanteita, joissa kohteessa on kahta tai kolmea eri johtavuutta. Kahdelle eri johtavuudelle rekonstruktio voidaan suorittaa yhdellä level set -funktiolla, mutta kolmen johtavuuden tapauksessa tarvitaan kaksi level set - funktiota. 5.1.1 Yksi level set -funktio Seuraavissa numeerisissa esimerkeissä kuvannettavan kohteen johtavuus σ koostuu kahdesta eri johtavuudesta σ 1 ja σ 2. Taustan johtavuus σ 1 on 0.1 Sm 1 ja epähomogeenisuuskohteen tai -kohteiden johtavuuden arvo σ 2 on 0.5 Sm 1. Taustan johtavuus oletetaan melkein kaikissa rekonstruktioissa tunnetuksi, mutta toista johtavuuden arvoa ei välttämättä tunneta. Yhdessä tapauksessa molemmat johtavuuden arvot 29

oletaan tuntemattomiksi. Rekonstruktioissa tarkastellaan kolmenlaisia tapauksia: 1. molemmat johtavuuden arvot tiedetään ja estimoidaan pelkkää johtavuusjakauman muotoa 2. taustan johtavuus tiedetään ja estimoidaan samanaikaisesti epähomogeenisuuden johtavuuden arvoa ja muotoa 3. molempia johtavuuksia estimoidaan level set -funktion rinnalla. Alkuarvauksena mahdollisille tuntemattomille johtavuuden σ 1 ja σ 2 arvoille käytettiin 0.2 Sm 1 ja 0.25 Sm 1. Ensimmäisessä esimerkissä todellinen johtavuusjakauma σ sisälsi kaksi epähomogeenisuuskohdetta. Rekonstruktiossa epähomogeenisuuksien paikat ja muodot saatiin määritettyä täsmällisesti sekä myös johtavuuden σ 2 arvo pystyttiin estimoimaan tarkasti. Tulokset pelkän level set -funktion päivitykselle on nähtävissä kuvassa (5.1) ja kuvassa (5.2) on esitetty rekonstruktio kun on estimoitu myös johtavuutta σ 2 level set -funktion lisäksi. (a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 10. iteraatio (d) 30. iteraatio Kuva 5.1: (a) Todellinen johtavuus. (b) Alkuarvaus. (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu pelkkää level set -funktiota. Seuraavassa numeerisessa esimerkissä on tutkittu tilannetta, jossa kaksi ympyrän muotoista kohdetta ovat hyvin lähellä toisiaan. Tälläisten kohteiden erottaminen toisistaan perinteisillä pikseli-rekonstruktiomenetelmillä on erittäin hankalaa, mutta

(a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 10. iteraatio (d) 20. iteraatio Kuva 5.2: (a) Todellinen johtavuus. (b) Alkuarvaus. (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu level set -funktiota ja johtavuutta σ 2. Lopullinen johtavuuden σ 2 arvo on 0.49825 Sm 1. level set -lähestymistavalla kappaleet saadaan selvästi erotettua toisistaan. Nyt kohteiden välisenä etäisyytenä on käytetty 2 cm, 1 cm ja 0.5 cm sekä johtavuuksien σ 1 ja σ 2 arvot tunnettu. Level set -rekonstruktiot on nähtävissä kuvassa (5.3). Kolmannessa esimerkissä todellinen johtavuusjakauma (kuva 5.4 (a)) voisi olla yksinkertaistettu tapaus tilanteesta, jossa raudoitus pitäisi paikantaa betonin sisältä. Raudan ja betonin johtavuuden arvossa tapahtuva hyppäys on suuri, joten level set- lähestymistavan soveltaminen olisi järkevää. Kuvissa (5.4) ja (5.5) olevista rekonstruktioista nähdään, että palkkien muodot ja paikat saadaan estimoitua kohtuullisen tarkasti sekä myös johtavuuden σ 2 arvo saadaan estimoitua täsmällisesti.

(a) Alkuarvaus (b) 2.0 cm (c) (d) 1.0 cm (e) (f) 0.5 cm (g) Kuva 5.3: (a) Kaikille kolmelle tilanteelle käytetty alkuarvaus. (b),(d) ja (f) Todelliset johtavuusjakaumat ja niiden kuvatekstissä on mainittu kohteiden välinen etäisyys. (c),(e) ja (g) Vastaavat rekonstruktiot.

(a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 5. iteraatio (d) 15. iteraatio Kuva 5.4: (a) Todellinen johtavuus. (b) Alkuarvaus (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu pelkkää level set -funktiota.

(a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 10. iteraatio (d) 20. iteraatio Kuva 5.5: (a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu level set -funktiota ja johtavuutta σ 2. Lopullinen johtavuuden σ 2 arvo on 0.50036 Sm 1. Seuraavassa esimerkissä testattiin mittausten kohinatason suuruuden vaikutusta lopulliseen rekonstruktioon. Simuloituihin mittauksiin lisättiin nollakeskiarvoista gaussista häiriötä, jonka keskihajonta oli p-prosenttia kunkin mittauksen itseisarvosta. Todellinen johtavuusjakauma oli yksinkertainen, jossa oli vain yksi epähomogeenisuus. Rekonstruktiot tehtiin kolmelle eri kohinatasolle: 0 %, 0.5 % ja 1 %. Tulokset on esitetty kuvassa (5.6) ja niistä on selvästi nähtävillä, että kohinan lisääntyessä kohteen tarkan muodon, paikan ja johtavuuden estimoiminen vaikeutuu eikä niitä saada enää rekonstruoitua täydellisesti. Kuitenkin tulosten perusteella voidaan sanoa level set -menetelmän kestävän häiriötä kohtuullisen hyvin.

(a) Todellinen johtavuus (b) 0 % (c) σ 2 = 0.49775 (d) 0.5 % (e) σ 2 = 0.47188 (f) 1 % (g) σ 2 = 0.44096 Kuva 5.6: (a) Todellinen johtavuus. (b),(d) ja (f) Rekonstruktiot pelkän level set -funktion estimoinnille. (c),(e) ja (g) Rekonstruktiot level set -funktion ja johtavuuden σ 2 yhtäaikaiselle estimoinnille. Kohinataso ja lopulliset johtavuuden σ 2 arvot on esitetty kuvateksteissä.

Viidennessä esimerkissä johtavuusjakauma on sama kuin ensimmäisessä esimerkissä (kuva (5.1) (a)), mutta nyt molemmat johtavuudet rekonstruktiossa oletetaan tuntemattomiksi. Rekonstruktio on esitetty kuvassa (5.7) ja siitä nähdään, että myös taustan johtavuus σ 1 voidaan estimoida johtavuuden σ 2 ja level set -funktion kanssa samanaikaisesti hyvällä tarkkuudella. Kuvassa (5.8) on esitetty funktionaalin (4.5) pieneneminen iteraation edetessä sekä näytetty johtavuuksien σ 1 ja σ 2 suppeneminen niiden todellisiin arvoihin. (a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 10. iteraatio (d) 20. iteraatio Kuva 5.7: (a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu level set -funktiota ja johtavuuksia σ 1 ja σ 2. Lopulliset johtavuuksien arvot ovat σ 1 = 0.10121 Sm 1 ja σ 1 = 0.49652 Sm 1.

300 0.5 250 F(σ) 200 150 Johtavuuden arvo 0.4 0.3 100 0.2 50 0.1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Iteraation numero (a) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Iteraation numero (b) Kuva 5.8: (a) Funktionaalin (4.5) F (σ) pieneneminen iteraation edetessä. (b) Johtavuuksien σ 1 ja σ 2 suppeneminen (kiinteä viiva) kohti niiden todellisia johtavuusarvoja. Sininen väri viittaa johtavuuteen σ 1 ja punainen väri johtavuuteen σ 2. 5.1.2 Kaksi level set -funktiota Seuraavissa numeerisissa esimerkeissä kohde voi sisältää kolmea eri johtavuutta σ 1, σ 2 ja σ 3. Taustan johtavuus σ 1 on taas 0.1 Sm 1 ja mahdollisten epähomogeenisuuksien johtavuuksien σ 2 ja σ 3 arvot ovat 0.4 Sm 1 ja 0.6 Sm 1. Taustan johtavuus oletetaan rekonstruktioissa tunnetuksi, mutta johtavuuksia σ 2 ja σ 3 ei välttämättä tiedetä. Rekonstruktioita tehdään kahdenlaisia: 1. kaikki johtavuusarvot tunnetaan ja estimoidaan ainoastaan level set -funktioita 2. johtavuuksia σ 2 ja σ 3 estimoidaan samanaikaisesti level set -funktioiden kanssa. Alkuarvauksena tuntemattomille johtavuuksille käytetään arvoa 0.25 Sm 1. Ensimmäisessä esimerkissä todellinen johtavuusjakauma sisältää kaksi eri johtavuuden omaava kohdetta. Level set -rekonstruktiot on esitetty kuvissa (5.9) ja (5.10) tapaukselle, jossa on päivitetty pelkkiä level set -funktioita tunnetuilla johtavuuksilla sekä tapaukselle jossa johtavuuksia σ 2 ja σ 3 on estimoitu samanaikaisesti level set -funktioiden kanssa. Tuloksista nähdään, että menetelmä toimii myös useamman johtavuuden tapauksessa. Epähomogeenisuuksien oikeat muodot ja paikat sekä niiden johtavuudet saadaan estimoitua tarkasti.

(a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 10. iteraatio (d) 30. iteraatio Kuva 5.9: (a) Todellinen johtavuus. (b) Alkuarvaus. (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu pelkkiä level set -funktioita. Seuraavassa esimerkissä tilanne on hyvin samanlainen kuin edellä, mutta nyt johtavuuskohteiden määrä ja muoto ovat erilaiset. Tässäkin tapauksessa eri johtavuusalueet ja niiden johtavuudet saadaan rekonstruoitua hyvällä tarkkuudella. Rekonstruktiot on esitetty kuvissa (5.11) ja (5.12)

(a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 10. iteraatio (d) 35. iteraatio Kuva 5.10: (a) Todellinen johtavuus. (b) Alkuarvaus (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu level set -funktioita ja johtavuuksia σ 2 ja σ 3. Lopullisiksi johtavuuden arvoiksi saadaan σ 2 = 0.40028 Sm 1 ja σ 3 = 0.5866 Sm 1. (a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 5. iteraatio (d) 25. iteraatio Kuva 5.11: (a) Todellinen johtavuus. (b) Alkuarvaus. (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu pelkkiä level set -funktioita.

(a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 10. iteraatio (d) 25. iteraatio Kuva 5.12: (a) Todellinen johtavuus. (b) Alkuarvaus. (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu level set -funktioita ja johtavuuksia σ 2 ja σ 3. Lopullisiksi johtavuuden arvoiksi saadaan σ 2 = 0.42054 Sm 1 ja σ 3 = 0.5775 Sm 1. Viimeisessä 2D-esimerkissä on havainnollistettu yhtä level set -menetelmän etua, joka on ettei tarkkaa eri johtavuusalueiden määrää tarvitse tietää. Riittää, että tiedetään eri johtavuuksien mahdollinen enimmäismäärä. Esimerkin tapauksessa on oletettu, että kohteessa olisi kolmea eri johtavuutta vaikka nyt todellinen johtavuus koostuu vain kahdesta eri johtavuudesta. Rekonstruktion tulokset on esitetty kuvassa (5.13). Tuloksista nähdään, että kun kohteessa onkin vain yksi epähomogeenisuus, mutta käytetään kahta level set -funktio niin toinen alue löytää todellisen epähomogeenisuuden ja kolmas alue sulautuu taustan johtavuuteen.

(a) Todellinen johtavuus (b) Alkuarvaus (c) 5. iteraatio (d) 25. iteraatio Kuva 5.13: (a) Todellinen johtavuus. (b) Alkuarvaus. (c)-(d) Rekonstruktiot iteraation eri vaiheissa kun on estimoitu level set -funktioita ja johtavuuksia σ 2 ja σ 3. Lopullisiksi johtavuuden arvoiksi saadaan σ 2 = 0.40183 Sm 1 ja σ 3 = 0.10466 Sm 1. 5.2 3D 3D-geometriassa tarkastellaan tilannetta kun kuvattava kohde sisältää vain kahta eri johtavuutta σ 1 ja σ 2 eli tarvitaan ainoastaan yksi level set -funktio johtavuuden rekonstruktioon. Taustan johtavuuden σ 1 arvo on sama kuin aikaisemmissa esimerkeissä eli 0.1 Sm 1 ja mahdollisen epähomogeenisuuden johtavuuden σ 2 arvo on 0.5 Sm 1. 3D- esimerkeissä molemmat johtavuuden arvot tunnetaan ja estimoidaan ainoastaan todellisen johtavuusjakauman muotoa. Alkuarvauksena 3D- rekonstruktioissa on käytetty kuvan (5.14) mukaista tilannetta. Ensimmäisessä esimerkissä todellinen johtavuusjakauma sisälsi yhden pallonmuotoisen kohteen. Todellinen johtavuus ja rekonstruoitu johtavuus on esitetty kuvassa (5.15). Rekonstruktiossa epähomogeenisuuden paikka löytyy kohtuullisesti, mutta sen koko on jää hieman todellista kokoa pienemmäksi.

(a) (b) Kuva 5.14: (a)-(b) Alkuarvaus 3D- rekonstruktioissa. (a) (b) (c) (d) Kuva 5.15: (a)-(b) Todellinen johtavuus. (c)-(d) Rekonstruktio kun on estimoitu level set -funktiota. Toisessa esimerkissä todellinen johtavuusjakauma koostui kahdesta pallomaisesta kohteesta. Todellinen johtavuus sekä rekonstruoitu johtavuus on esitetty kuvassa (5.16). Tälläkin kertaa epähomogeenisuuksen paikat saadaan estimoitua hyvin, mutta niiden koko jää hieman todellista pienemmäksi.

(a) (b) (c) (d) Kuva 5.16: (a)-(b) Todellinen johtavuus. (c)-(d) Rekonstruktio kun on estimoitu level set -funktiota.

Luku 6 Yhteenveto & Pohdinta Tässä tutkielmassa impedanssitomografian sähkönjohtavuuden rekonstruktioongelma ratkaistiin soveltamalla level set -menetelmää sekä 2D- että 3D-tapauksessa. Numeeristen tulosten perusteella voidaan sanoa, että level set -menetelmä on tehokas työkalu löytämään kohteessa olevien epähomogeenisuuksien rajapinnat sekä paikat ja jakamaan näin kohde omiin alueisiin, joilla on eri johtavuus. Level set -menetelmällä on mahdollista myös estimoida epähomogeenisuusalueiden johtavuuden arvoja mikäli niitä ei entuudestaan tiedetä. Tämän tutkielman lähestymistavassa kohteen johtavuus oletetaan paloittain vakioksi eri johtavuusalueissa, mutta level set -lähestymistapa on mahdollista muokata muotoon, missä eri alueiden johtavuudet ovat paikan funktioita eivätkä vakioita. Rekonstruktioita tehtiin useille erilaisille johtavuusjakaumilla, muuttamalla johtavuuskohteiden määrää, paikkaa ja muotoja. Myös kohteessa olevien mahdollisten eri johtavuusarvojen σ i lukumäärää vaihdettiin kahden ja kolmen johtavuuden välillä. Tulokset-kappaleesta nähdään, että jokaisessa esimerkkitapauksessa johtavuuskohteiden rajapinnat ja sijainnit sekä tarvittaessa myös niiden johtavuudet pystyttiin rekonstruoimaan tarkasti. Level set -menetelmän hyvä puoli on, että se ei ole hirveän riippuvainen alkuarvauksesta. Esimerkiksi jos kohde sisältää kolme erillistä johtavuusaluetta ja alkuarvaus on vain yksittäinen alue niin iteraation edetessä alkuarvauksen määrittelemä alue hajoaa lopulta kolmeen osaan. Ja päinvastoin, jos alkuarvauksessa on enemmän alueita kuin todellisessa johtavuusjakaumassa, niin alkuarvauksen alueet yhdistyvät lopulta toisiinsa. Toinen level set -menetelmän etu on ettei kohteessa olevien eri johtavuusarvojen tarkkaa lukumäärä tarvitse tietää vain ainoastaan niiden mahdollinen 44