Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1
min kun c j x j a ij x j b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m 2
c = c 1 c 2. x = x 1 x 2. b = b 1 b 2. A = a 11 a 12... a 1n a 21. a 22.... a 2n. c n x n b m a m1 a m2... a mn min c T x kun Ax b x 0 3
Resurssienjakotehtävä Myynti- Raaka-aine- Työhinta kustannukset kustannukset Puuhevonen 270 100 140 Puujuna 210 90 100 Tuotto 30 20 Puu- Maalaustyötä työtä Menekki Puuhevonen 1 2 40 Puujuna 1 1 Kapasiteetti Puutyöosasto 80 Maalaamo 100 4
x 1 = valmistettavien puuhevosten määrä x 2 = valmistettavien puujunien määrä max 30x 1 + 20x 2 kun x 1 + x 2 80 2x 1 + x 2 100 x 1 40 x 1, x 2 0 5
Sijoittajan ongelma Kohde 1 Kohde 2 Kohde 3 Kohde 4 Kohde 5 Sijoitus 1. vuotena 11 23 5 5 29 Sijoitus 2. vuotena 3 6 5 1 34 Arvioitu tuotto 13 16 16 14 39 Sijoitukset enintään 1. vuosi 40 2. vuosi 20 6
x j = kohteeseen j sijoitettu osuus, 0 x j 1 max 13x 1 + 16x 2 + 16x 3 + 14x 4 + 39x 5 kun 11x 1 + 23x 2 + 5x 3 + 5x 4 + 29x 5 40 3x 1 + 6x 2 + 5x 3 + x 4 + 34x 5 20 0 x j 1 j = 1,2,3,4,5 7
Sekoitusongelma Bensiini 1 Bensiini 2 Bensiini 3 Myyntihinta 70 60 50 Oktaaniarvon alaraja 10 8 6 Lyijymäärän yläraja 0.01 0.02 0.01 Menekki 3000 2000 1000 Jalostuskustannukset 4 4 4 Raakaöljy 1 Raakaöljy 2 Raakaöljy 3 Ostohinta 45 35 25 Oktaaniarvo 12 6 8 Lyijymäärä 0.005 0.02 0.03 Saatavuus 5000 5000 5000 Jalostamon kapasiteetti 14 000 Menekin kasvu 10 / mainos-$ 8
x ij = raakaöljyn i määrä, joka käytetään bensiinin j valmistukseen y j = bensiinin j mainostukseen käytettävä rahamäärä Nettotuotot: x 11 : 70 45 4 = 21 x 12 : 60 45 4 = 11 x 13 : 50 45 4 = 1 x 21 : 70 35 4 = 31 x 22 : 60 35 4 = 21 x 23 : 50 35 4 = 11 x 31 : 70 25 4 = 41 x 32 : 60 25 4 = 31 x 33 : 50 25 4 = 21 9
Objektifunktio: max 21x 11 + 11x 12 + x 13 + 31x 21 + 21x 22 + 11x 23 + 41x 31 + 31x 32 + 21x 33 y 1 y 2 y 3 Positiivisuus: x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23, x 31, x 32, x 33, y 1, y 2, y 3 0 Kapasiteetti: x 11 + x 12 + x 13 + x 21 + x 22 + x 23 + x 31 + x 32 + x 33 14000 10
Menekit: Bensiini 1: x 11 + x 21 + x 31 = 3000 + 10y 1 Bensiini 2: x 12 + x 22 + x 32 = 2000 + 10y 2 Bensiini 3: x 13 + x 23 + x 33 = 1000 + 10y 3 Saatavuudet: Raakaöljy 1: x 11 + x 12 + x 13 5000 Raakaöljy 2: x 21 + x 22 + x 23 5000 Raakaöljy 3: x 31 + x 32 + x 33 5000 11
Oktaaniarvot: Bensiini 1: 12x 11 + 6x 21 + 8x 31 x 11 + x 21 + x 31 10 Bensiini 2: 12x 12 + 6x 22 + 8x 32 x 12 + x 22 + x 32 8 Bensiini 3: 12x 13 + 6x 23 + 8x 33 x 13 + x 23 + x 33 6 2x 11 4x 21 2x 31 0 4x 12 2x 22 0 [ 6x 13 + 2x 33 0 ] 12
Lyijymäärät: Bensiini 1: 0.005x 11 + 0.02x 21 + 0.03x 31 x 11 + x 21 + x 31 0.01 Bensiini 2: 0.005x 12 + 0.02x 22 + 0.03x 32 x 12 + x 22 + x 32 0.02 Bensiini 3: 0.005x 13 + 0.02x 23 + 0.03x 33 x 13 + x 23 + x 33 0.01 0.005x 11 + 0.01x 21 + 0.02x 31 0 0.015x 12 + 0.01x 32 0 0.005x 13 + 0.01x 23 + 0.02x 33 0 13
Työvuorolistan suunnittelu Viikonpäivä Ma Ti Ke To Pe La Su Työntekijöitä 17 13 15 19 14 16 11 Työntekijällä oltava kaksi peräkkäistä vapaapäivää Tavoite: Minimoi työntekijöiden kokonaislukumäärä x i =niiden työntekijöiden lukumäärä, jotka aloittavat viiden päivän työjaksonsa viikonpäivänä i 14
min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 kun x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 17 ja x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 13 x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 19 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 14 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 16 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 11 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 N (kokonaislukuja) 15
Graafinen ratkaiseminen max 30x 1 + 20x 2 kun x 1 + x 2 80 2x 1 + x 2 100 x 1 40 x 1, x 2 0 Sallittu alue: Pisteiden (0,0), (40,0), (40,20), (20,60) ja (0,80) määräämä viisikulmio Objektifunktion tasa-arvokäyrät: Suoran 30x 1 + 20x 2 = C suuntaisia, missä vakio C on objektifunktion arvo 16
Ratkaisu: Piste (x 1, x 2 ) = (20,60), jolloin objektifunktion arvo on C = 1800 17
Lineaarinen optimointitehtävä min kun c j x j a ij x j b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m 18
Epäyhtälörajoite = konveksi puoliavaruus Yhtälörajoite = konveksi hypertaso Konveksien joukkojen leikkaus on konveksi = Sallittu alue on konveksi monitahokas 19
Optimiratkaisut toteuttavat kaikki rajoitteet Objektifunktio on n c j x j = z, missä z on objektifunktion arvo = yksi yhtälörajoite lisää = Optimiratkaisujen joukko on konveksi 20
Optimointitehtävien muunnoksia max = min c j x j = min ( c j )x j c j x j kun c j := c j min = max vastaavasti 21
x j 0 = x j 0 = x j 0 kun x j := x j x j R (rajoittamaton) = x + j, x j 0 kun x+ j x j := x j 22
= a ij x j b i = ( a ij )x j ( b i ) a ij x j b i kun a ij := a ij, b i := b i = vastaavasti 23
a ij x j = b i = a ij x j b i a ij x j b i =... 24
a ij x j b i = a ij x j + y i = b i y i 0 (puutemuuttuja) = n+1 a ij x j = b i kun x n+1 := y i, a i,n+1 := 1, ja c n+1 := 0, a j,n+1 := 0 j i 25
a ij x j b i = a ij x j z i = b i z i 0 (ylijäämämuuttuja) = n+1 a ij x j = b i kun x n+1 := z i, a i,n+1 := 1, ja c n+1 := 0, a j,n+1 := 0 j i 26
a ij x j b i = M a ij x j b i kun M suuri luku a ij x j b i = b i a ij x j M kun M suuri luku a ij x j = b i = b i a ij x j b i 27
x j = 0 tai 1, c j < 0 = x j = 0 tai 1, c j > 0 kun x j := 1 x j, c j := c j (lisäksi objektifunktioon tulee vakiotermi c j ) 28
Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto Perusmuoto: Jokaisessa yhtälössä on yksi muuttuja, jonka kerroin kyseisessä yhtälössä on 1 ja kaikissa muissa yhtälöissä 0 Perusmuuttuja: Edellä mainitut muuttujat (yhteensä m eri muuttujaa) Perusratkaisu: Ei-perusmuuttujat nollia, perusmuuttujat ratkaistaan Jos optimointitehtävässä lisäksi rajoite x j 0, j = 1,..., n, niin: Sallittu perusratkaisu: Perusratkaisu, jonka kaikki komponentit ei-negatiivisia 29
Esimerkki Perusmuoto: x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 x 1 + x 2 + x 4 = 4 Perusmuuttujat: x 3, x 4 Perusratkaisu: x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 6 x 4 = 4 (sallittu) 30
x 1 = 2 + x 3 2x 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (2,2,0,0) x 2 = 2 x 3 + x 4 (sallittu) x 1 = 4 x 2 x 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (4,0,2,0) x 3 = 2 x 2 + x 4 (sallittu) x 1 = 6 2x 2 x 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (6,0,0, 2) x 4 = 2 + x 2 + x 3 (ei sallittu) 31
x 2 = 4 x 1 x 4 x 3 = 2 + x 1 + 2x 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (0,4, 2,0) (ei sallittu) x 2 = 3 1 2 x 1 1 2 x 3 x 4 = 1 1 2 x 1 + 1 2 x 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (0,3,0,1) (sallittu) x 3 = 6 x 1 2x 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (0,0,6,4) x 4 = 4 x 1 x 2 (sallittu) 32
Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisu = a ij x j = b i k=1 a jk x k = b j i = 1,..., m j = 1,..., m = k B a jk x k + k/ B a jk x k = b j j = 1,..., m missä B = { perusmuuttujien indeksit } = { perussarakkeet } 33
k B a jk x k + k/ B a jk x k = b j j = 1,..., m = Perusmuoto: x j = b j k/ B ā jk x k j B = Perusratkaisu: x j = b j j B x j = 0 j / B Perusratkaisu on sallittu, jos b j 0 kaikilla j B 34
Monitahokkaan kärkipisteet Piste x C on konveksin monitahokkaan C R n kärkipiste, jos ei ole olemassa pisteitä u C ja v C siten, että x = (u + v)/2 ja u v 35
Sallittu alue C: a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Perusmuoto: x j = b j k/ B ā jk x k j B Sallittu perusratkaisu: x j = b j 0 x j = 0 j B j / B 36
Oletetaan, että x = (x 1,..., x n ) ei ole sallitun alueen C kärkipiste = on olemassa u,v C siten, että x = (u + v)/2 ja u v = u j = v j = 0 kun j / B, sillä x j = (u j + v j )/2 = 0 ja u j, v j 0 = u j = v j = b j kun j B, sillä u ja v toteuttavat perusmuodon = u = v = ristiriita = Sallittu perusratkaisu on sallitun alueen kärkipiste 37
Esimerkki Sallittu alue: x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 x 1 + 2x 2 6 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1 + x 2 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1, x 2 0 Sallitut perusratkaisut R 4 :ssa: Projektiot R 2 :een: (2,2,0,0) (2,2) (4,0,2,0) (4,0) (0,3,0,1) (0,3) (0,0,6,4) (0,0) 38
Lineaarisen optimointitehtävän perusmuoto Muunnetaan tehtävä muotoon: min kun c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Muunnetaan yhtälörajoitteet perusmuotoon: x j = b j ā jk x k k/ B j B 39
Eliminoidaan perusmuuttujat objektifunktiosta: c j x j = c j x j + j B j / B c j x j = j B c j ( b j k/ B ā jk x k ) + j / B c j x j = j B c j b j j B k/ B c j ā jk x k + k/ B c k x k = j B c j b j + k/ B (c k j B c j ā jk )x k = j B c j b j + k/ B c k x k 40
Tehtävä perusmuodossa: min j B c j b j + j / B c j x j kun x j = b j k/ B ā jk x k j B x j 0 j = 1,..., n 41
b j 0 kaikilla j B = vastaava perusratkaisu on sallittu ja objektifunktion arvo siinä on c j b j + c j x j = c j b j = vakio j B j / B j B c j 0 kaikilla j / B = objektifunktion arvo ei voi enää pienetä, sillä x j ei voi olla negatiivinen = Jos c j 0 kaikilla j / B ja b j 0 kaikilla j B, niin perusratkaisu on optimointitehtävän ratkaisu Huom: Optimointitehtävällä voi olla useita ratkaisuja 42