6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa A on osittain järjestys;, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen. Kun R on osittain järjestys, niin voidaan merkitä: (a, b) R a b Esimerkki 6.10. Osoita, että suhde "suurempi tai yhtäsuuri kuin"on osittainen järjestys kokonaislukujen joukossa. Ratk.... Esimerkki 6.11. Olkoon suhde positiivisten kokonaislukujen joukossa, jolle x y jos ja vain jos x on y:n tekijä. Onko osittain järjestys. Ratk....
Järjestyskuva Osittain järjestystä R (vastaavasti ) joukossa A havainnollistetaan usein kuvalla, järjestyskuvalla, missä pisteet ovat A:n alkiot ja a ja b on yhdistetty nousevalla viivalla a:sta b:hen jos (a, b) R (vastaavasti a b) ja a b eikä ole olemassa c:tä siten, että (a, c), (c, b) R. Esimerkki. Yo. järjestyskuviosta nähdään mm. (a, e) R, (e, g) R, mutta myös (a, g) R. Maksimaalinen ja suurin alkio Äärellisen osittain järjestetyn joukon alkio (=elementti) on maksimaalinen, jos sitä suurempaa ei ole. Elementti a on suurin osittain järjestetyssä joukossa U, jos u a (vastaavasti (u, a) R) jokaisella u U. Jokaisessa äärellisessä osittain järjestetyssä joukossa on ainakin yksi maksimaalinen elementti.
Minimaalinen ja pienin alkio Äärellisen osittain järjestetyn joukon alkio (=elementti) on minimaalinen, jos sitä pienempää ei ole. Elementti a on pienin osittain järjestetyssä joukossa U, jos a u (vastaavasti (a, u) R) jokaisella u U. Jokaisessa äärellisessä osittain järjestetyssä joukossa on ainakin yksi minimaalinen elementti Jonojärjestys R on totaalijärjestys A:ssa (jonojärjestys, ketjujärjestys), jos R on osittain järjestys ja kun a, b A, niin joko (a, b) R tai (b, a) R. Esimerkki 6.12. Tarkastellaan joukon A = {1, 2, 3,..., 15} suhteita x y jos ja vain jos luku x on pienempi tai yhtä suuri kuin y ja x y jos ja vain jos x on y:n tekijä. Ovatko suhteet jonojärjestyksiä A:ssa? Määrää suhteiden järjestyskuvio. Ratk....
Yhteensopivuus Totaalinen järjestys ja osittain järjestys R ovat keskenään yhteensopivat, jos (a, b) R a b. Esimerkki 6.13. Allaolevan kuvan osittain järjestys ja totaalinen järjestys ovat yhteensopivat. Topologinen lajittelu Osittaisesta järjestyksestä voidaan aina muodostaa jonojärjestys seuraavan algoritmin avulla: Topologinen lajittelu: Input: Osittain järjestetty joukko S = {b 1, b 2,..., b n } ja osittain järjestys R. Output: Joukon S alkiot R:n kanssa yhteensopivassa jonojärjestyksessä. Algoritmin toiminta: k := 1 while S a k := Joukon S minimaalinen alkio S := S \ {a k } k := k + 1 endwhile Yhteensopiva jonojärjestys pienimmästä suurimpaan alkioon on a 1, a 2,..., a n.
Projektin hallintaa Esimerkki 6.14. Projekti koostuu osaprojekteista A, B, C, D, E ja F joiden keskinäisestä suoritusjärjestyksestä tiedetään seuraava: B:n on valmistuttava ennen A:n aloittamista. B:n ja E:n on valmistuttava ennen F :n aloittamista. C:n on valmistuttava ennen B:n aloittamista. D:n on valmistuttava ennen minkään muun osaprojektin aloittamista. Määrää järjestys, jossa osaprojektit voidaan tehdä. Ratk.... 7. Graafeista 7.1. Merkintöjä Olkoon V äärellinen joukko. E(V ) = {{u, v} u, v V, u v} V :n kaksialkioisten (eri alkiot) osajoukkojen joukko.
Graafin määritelmä Graafi on järjestetty pari G = (V G, E G ), missä V G on äärellinen joukko (pisteet) ja E G E(V G ) (viivat). Synonyymit Piste, solmu, node, point, vertex Viiva, linkki, särmä, link, line, edge Graafi, verkko, graph, network, simple graph. Jos G tiedetään, niin V G = V ja E G = E. Viiva {u, v} merkitään yleensä uv (=vu) Usein merkitään myös u G, kun u V G ja uv G, kun uv E G.
Pisteet ja viivat Jos uv on viiva, niin pisteet u ja v ovat viivan uv päätepisteet (endpoints) ja u ja v ovat vierekkäisiä eli vieruspisteitä (neighbours, adjacent points). Piste on irtopiste (isolated point) jos sillä ei ole vieruspisteitä. Viivat e 1 ja e 2 ovat vierekkäiset, jos niillä on yhteinen päätepiste. Multigraafi: Kahden pisteen välillä sallitaan yhtä useampi viiva ja viivan päätepisteet voivat olla samat Multigraafissa muotoa uu olevia viivoja Useita viivoja kahden eri pisteen välillä. Jokainen graafi on myös multigraafi.
Graafin 2. määrittely Toinen määrittely: Graafi Yksinkertainen graafi (=Simple graph) Multigraafi Graafi Suunnattu graafi Suunnattu graafi (Directed graph, Digraph) D = (V, E) on järjestetty pari, missä V on äärellinen joukko ja E V V. Lisäksi aina kun (u, v) E, on u v. Suunnatussa graafissa on viiva uv vu, kun u ja v ovat eri pisteet.
Väritys ja etäisyys Funktio α : V G K on pisteiden väritys (vertex colouring)joukon K väreillä. Funktio α : E G K on viivojen väritys (edge colouring) joukon K väreillä. Yleensä K = {1, 2,..., k}. Jos K R, niin α:aa kutsutaan myös paino- tai etäisyysfunktioksi.
Graafien isomorfia Kaksi graafia G ja H ovat isomorfiset, jos on olemassa bijektio α : V G V H, jolle uv E G jos ja vain jos α(u)α(v) E H aina kun u, v V G. Merkitään G = H Siis G ja H ovat pisteiden nimeämistä vaille yksinkäsitteisiä. Esimerkki
Lukumääriä Graafien ja ei-isomorfisten graafien lukumääriä: Pisteitä 1 2 3 4 5 6 7 9 Graafeja 1 2 8 64 1 024 32 768 2 097 152 2 36 Ei-isomorfisia 1 2 4 11 34 156 1 044 27 668