Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään x i ; jonossa (1,, 3, 4, 5 ) esimerkiksi x 1 = 1 ja x 4 = 4, ja yleisesti x i = i Jonossa (1, 4, 9, 16, 5 ) taas x i = i Jonot voi määritellä ekplisiittisesti jolloin niiden jokainen jäsen on tiedossa, eli x n = f(n); esimerkiksi jono x n = n + 3n on näin määritelty Toisaalta jonon voi määritellä palautuskaavoilla, jolloin jonon jäsenet määritellään jonon muiden jäsenten avulla Esimerkiksi jono (x n ), x n+1 = x n + x n1 on näin määritelty Usein palautuskaavaisen jonon eksplisiittimuoto voidaan todistaa induktiolla Näin myös seuraavassa esimerkissä Esimerkki 1 Olkoon x 0 = 0 ja x 1 = 1 ja jono (x n ) on määritelty palautuskaavalla x n = x n1 + x n Kyseesä on siis jono (0, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, ), jossa jokainen termi on kahden edellisen termin summa Jonon jäseniä kutsutaan Fibonaccin luvuiksi Todista induktiolla, että jonon n:s termi on x n = 1 {( ) n ( ) n } 1 + 5 1 5 5 Ratkaisu Induktiotodistus etenee tuttuun tapaan kahdessa vaiheessa Ensin väite todistetaan arvolla 0 Tämän jälkeen oletetaan väite oikeaksi arvolla n, ja todistetaan, että väite pätee tälloin myös arvolla n+1 Seuraavalla tavalla: 1 Kun n = 0, on todistettava, että x 0 = 0, jossa x 0 on saatu yllä olevasta kaavasta Tmä vaihe on helppo sijoitamme ainoastaan nollan kyseiseen yhtälöön: x 0 = 1 { ( ) 0 ( ) 0 } 1 + 5 1 5 5 } {{ } =1 1 } {{ } =1
Kyseinen termi on nolla, sillä y 0 = 1 kaikilla numeroilla y Joten väite pätee arvolla 0 Väite pätee myös arvolla 1, sillä x 1 = 1 { ( ) 1 ( ) 1 } 1 + 5 1 5 = 1 5 }{{} = 5 Tehdään induktio-oletus: oletetaan väite x n = 1 {( ) n ( ) n } 1 + 5 1 5 5 oikeaksi arvoilla n ja n 1 Nyt meidän pitää päätyä tulokseen, jossa väite on tosi arvolla n + 1 Se, että väite on tosi arvolla n + 1 tarkoittaa siis, että x n+1 = 1 {( ) n+1 ( ) n+1 } 1 + 5 1 5 5 Kuinka edetä? Oletimme todeksi seuraavat kaksi väitettä: (1) x n1 = 1 {( ) n1 ( ) n1 } 1 + 5 1 5 5 () x n = 1 {( ) n ( ) n } 1 + 5 1 5 5 Induktiossa oletamme yleensä väitten todeksi vain arvolla n Nyt käytämme vahvaa induktiota, ja oletamme väitten todeksi arvoilla n ja n 1 Lisäksi voimme käyttää tehtävässä annettua palautuskaavaa x n = x n1 + x n Huomataan, että tämä kaava kertoo ainoastaan, että jokainen jonon termi on kahden edellisen termin summa, joten se voidaan kirjoittaa muotoon x n+1 = x n +x n1 Nyt voimme käyttää oletustamme x n :n ja x n1 :n lausekkeista (yhtälöitä (1) ja ()), ja sijoittaa nämä palautuskaavaan: x n+1 = x n + x n1
x n+1 = 1 {( ) n ( ) n } 1 + 5 1 5 + 1 {( ) n1 ( ) n1 } 1 + 5 1 5 5 5 x n+1 = 1 {( ) n ( ) n ( ) n1 ( ) n1 } 1 + 5 1 5 1 + 5 1 5 + 5 x n+1 = 1 {( ) n1 ( ) ( 1 + 5 1 + 5 1 5 +1 5 ) n1 ( 1 5 )} +1 x n+1 = 1 {( ) n1 ( ) ( ) n1 ( )} 1 + 5 3 + 5 1 5 3 5 5 x n+1 = 1 {( ) n1 ( ) ( ) n1 ( ) } 1 + 5 1 + 5 1 5 1 5 5 x n+1 = 1 {( ) n+1 ( ) n+1 } 1 + 5 1 5 5 Joten väite on vihdoin ja viimein todistettu Siis kertauksena: kun tehtävänä on todistaa jokin ominaisuus jostain jonosta (vaikkapa jonon ekplisiittinen kaava tai se, että jokainen termi on positiivinen ym) voidaan se tehdä induktiolla Induktiossa on tuttuun tapaan kaksi vaihetta: testaus, että kaava pätee jonon ensimäisellä termillä, ja induktiooletus, josta johdetaan haluttu tulos 3
Esimerkki Olkoon jono (x n ) määritelty palautuskaavalla x n = x n1 +, ja että x 0 = 1 Osoita induktiolla, että x n > 0 n Ratkaisu 1 Selvästi x 0 = 1 > 0 eli väite pätee arvolla 1 Oletetaan, että väite pätee arvolla n eli että x n > 0 Osoitetaan väite todeksi arvolla n + 1 : x n+1 = x n + > 0, koska x n > 0 Täten induktion nojalla väite on on tosi kaikilla n N Numero e Neperin luku eli e, on irrationaaliluku, joka on noin, 7 Se voidaan määritellä monella tavalla, mutta hyödyllisin lienee sarjan ( 1 + 1 ) n n raja-arvona, kun n kasvaa rajatta Eli ( e = lim 1 + 1 n n n) Myös e x on määritettävissä vastaavalla tavalla: Esimerkki 3 Etsi raja-arvo lim x ( 1 + 100 ) x x Ratkaisu Muokataan lauseketta kunnes se palautuu e:n määritelmään: ( lim 1 + 100 ) x ( = lim 1 + 1 ) x = x x x x/100 (( lim 1 + 1 x lim x/100 (( 1 + 1 x/100 ) x/100 ) 100 = x/100 ) x/100 ) 100 = e 100 Tässä käytettiin myös tietoa x/100 kun x 4
3 Sarjoista Jos meillä on tietty jono (x n ) jonka i:s termi on jokin numero x i, voidaan sen termit laskea yhteen (eli lasketaan x 1 + x + x 3 + ), jolloin syntyy sarja Jos tämä summa on olemassa äärellisenä, sanotaan, että kyseinen sarja suppenee Jos sarja ei suppene, se hajaantuu Jos vaikkapa (x n ) on jono, jonka i:s termi x i = i, on siitä muodostuva sarja 1 + + 3 + 4 selvästi ääretönarvoinen Tämä sarja siis hajaantuu Jotta voidaan tarkasti määrittää, mitä hajaantuminen ja suppeneminen tarkoittavat on turvauduttava uuteen terminologiaan Oletataan edelleen että meillä on jono (x 1, x, x 3, ) Ajatellaan nyt sen jäsenten osasummia, eli: S i = n x i = x 1 + x + + x i i=1 Esimerkiksi jos jonon (1,, 3, 4, 5 ) kohdalla vaikkapa S 3 = 1 + + 3 = 6 Nyt saadaan suppenemisen ja hajaantumisen määritelmä: Määritelmä 1 Olkoon n a i = a 1 + a + + a i i=1 sarja Merkitään S n :llä sen n:tä osasummaa Eli esimerkiksi S 1 = a 1 S = a 1 + a S 3 = a 1 + a + a 3 S 4 = a 1 + a + a 3 + a 4 ja niin edelleen Muodostetaan näistä osasummista S 1, S, S 3 jono (S 1, S, S 3, S 4 ) Nyt sarja n a i = a 1 + a + a 3 + i=1 suppenee jos sen osasummien jono suppenee ja hajaantuu jos sen osasummien jono hajaantuu 5
Esimerkki 4 Sarja n i = 1 + + 3 + 4 + i=1 hajantuu, sillä sen osasummien jono on muotoa (1, 3, 6, 10 ) eikä selvästi lähesty mitään tiettyä reaalilukua, joten sarja hajaantuu Yksi tärkeimmistä sarjatyypeistä on geometrinen sarja Tällaisia sajoja ovat esimerkiksi seuraavat sarjat: 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + e + e/ + e/4 + e/8 + e/16 + 1 + + 4 + 8 + 16 + Huomataan, että geometrisessa sarjassa jokainen termi on aina edellinen termi kertaa jokin luku Merkitään tätä lukua q Yllä havaitaan, että ensimmäisessä kohdassa q = 1/10, toisessa q = 1/ ja kolmannessa q = Esimerkiksi ensimmäinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + = ( ) i 1 10 Samoin sarja voidaan kirjoittaa e + e/ + e/4 + e/8 + e/16 + e + e/ + e/4 + e/8 + e/16 + = ( 1 e ) i Muodostetaan tästä geometrisen sarjan määritelmä Määritelmä Sarja joka voidaan kirjoittaa muodossa Aq i on geometrinen sarja A on sarjan ensimmäinen termi ja q on sarjan suhdeluku 6
Esimerkiksi sarjassa 1 + + 4 + 8 + 16 + A = 1 ja q = Geometriset sarjat ovat helppoja käsitellä, sillä niiden osasummille ja summille on olemassa eksplisiittinen kaava Lause 1 Geometrinen sarja Aq i suppenee jos q < 1 ja hajaantuu muulloin Sarjan summa on Aq i A 1 q Esimerkki 5 Sarja + 1 + 1/ + 1/4 suppenee sillä q = 1/ Lisäksi A =, joten sarjan summa on A 1 q = 1 1/ = 4 Geometrisilla sarjoilla on valtava määrä sovelluksia Alla tapa ratkaista vanha kiista siitä onko 0, 999999 = 1 Esimerkki 6 Osoita, että 0, 999999 = 1 Ratkaisu: 0, 999999 voidaan muodostaa geometriseksi sarjaksi Kirjoitetaan se muotoon 0, 999999 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 Tämän sarjan ensimmäimem termi on 0, 9 ja suhdeluku on 1/10 Koska suhdeluvun itseisarvo on pienempi kun yksi, sarja suppenee Summana on A 1 q = 0, 9 1 1/10 = 0, 9 0, 9 = 1 Esimerkki 7 Esitä 1, 65777777777 kahden kokonaisluvun osamääränä Ratkaisu: 1, 65777777777 = 1 + 0, 6 + 0, 05 + 0, 007 + 0, 0007 7
Tässä kolme ensimmäistä termiä eivät ole osa geometrista sarjaa Sen sijaan 0, 007 + 0, 0007 muodostaa geometrisen sarjan jonka summa on A 1 q Täten koko sarjan summa on = 0, 007 1 1/10 = 7/1000 9/10 = 7/900 1, 65777777777 = 1+0, 6+0, 05+7/900 = 900/900+549/900+45/900+7/900 = 1501/900 Yllä ollaan edetty geometristen sarjojen kohdalla muodosta A + Aq + Aq + Aq 3 muotoon A/(1q) (silloin kun kyseinen summa on ollut äärellisenä olemassa) Kuitenkin voimme edetä myös toiseen suuntaan: lähteä liikkeelle kaavasta, jonka voi muuntaa muotoon A/(1 q), ja avata tämä sarja muotoon A + Aq + Aq + Aq 3 = Aq i Esimerkki 8 Esitä summamuodossa 7 x Ratkaisu: Kaavaa pitää hieman muokata, jotta sen saa muotoon A/(1 q): 7 x = 7 x = 7/ 1 x / Nyt kyseessä on geometrisen sarjan summa, jossa ensimmäinen termi on 7/, ja suhdeluku on x / Tämä voidaan esittää muodossa Aq i = (7/)(x /) i 8