M5.. M5: Lineaarialgebra /76 M5: Lineaarialgebra Fysa5 (3 op) Syksy 4, Fysiikan laitos, Jyväskylän yliopisto Luennot Juha Merikoski 8.9. 9..4 ma&ke -4 (FYS3) Laskuharjoitukset 7 kertaa, ke, max p (voimassa vuoden). tentti Perjantaina 3..4, max 48 p. tentti Perjantaina..4 Yleinen tenttipäivä 3..5 Oletetut esitiedot Fysp ja Fysp Avuksi myös Lineaarinen algebra ja geometria (matem) Kirjallisuutta Adams&Essex: Calculus s. 6-69 (ei kattava) Fysiikan matemaattisten menetelmien kirjat, esim. Arfken, Boas, Lay, Riley&Hobson&Bence Taulukkokirjat Alan Jeffrey s. 5-66 Päivitetty luentorunko ja uusimmat tehtävät suoraan Kopasta: https://koppa.jyu.fi/kurssit/68997/materiaali/luennot.pdf https://koppa.jyu.fi/kurssit/68997/harjoitukset/tehtavat.pdf Muu materiaali (malliratkaisuja yms) Kopassa salasanan takana. M5.. Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 4/76 Useammankin kuin kahden muuttujan yhtälöryhmälle pätee : Lineaarisella yhtälöryhmällä joko ei ole yhtään ratkaisua, on täsmälleen yksi ratkaisu tai on äärettömän monta ratkaisua. Pieniä yhtälöryhmiä olemme koulussa oppineet ratkaisemaan eliminointimentelmällä. Se helpottuu huomattavasti (paperilla ja tietokoneessa, kts. ) ottamalla käyttöön matriisit. Esimerkiksi yhtälöryhmä x x +x 3 = x 8x 3 = 8 4x +5x +9x 3 = 9 voidaan esittää täydentämällä yhtälöryhmän kerroinmatriisi A ns. täydennetyksi matriisiksi B A = 8 4 5 9 B = 8 8 4 5 9 9 (3) (4) M5.. Kurssin tavoitteet /76.. Kurssin tavoitteet Kurssi sisältää seuraavia asioita: lineaariset yhtälöryhmät matriisit ja matriisioperaatiot determinantti ja käänteismatriisi vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset matriisin ominaisarvot ja -vektorit diagonalisointi ja neliömuodot kompleksiset vektoriavaruudet Kurssin vaativuustaso on asetettu siten, että kurssin antamilla tiedoilla (näiltä osin) voi esim. suorittaa Mekaniikan kurssin ja aloittaa Kvanttimekaniikan kurssin. Kurssin asiat käsitellään pääosin (ja tarkoin todistuksin) myös matematiikan kursseilla Lineaarinen algebra ja geometria &. Nämä luentokalvot ovat verrattain tiiviit ja rakentuvat pääosin Jouni Suhosen tekemän luentomonisteen () mukaisesti. Aihetta käsitellään myös Markku Lehdon monisteessa (). M5.. Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 5/76 Yleisesti m n matriisilla A tarkoitetaan kaari- tai hakasulkujen sisällä olevaa lukukaaviota, jossa on m riviä (vaakariviä) ja n saraketta (pystyriviä) alkiot (matriisielementit) a ij, i =,...,m ja j =,...n eli a a a n a a a n A =..., (5) a m a m a mn missä alkiot a ij R tai a ij C. Käytämme myös merkintöjä A = (a ij ) [A] ij = a ij. (6) Sanomme, että n n matriisi = neliömatriisi (jolle siis m = n) n matriisi = vaakavektori = rivivektori = rivimatriisi m matriisi = pystyvektori = sarakevektori = sarakematriisi M5.. Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 3/76. Matriisit ja matriisioperaatiot.. Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariseksi yhtälöksi kutsumme muotoa a x +a x +...+a n x n = b () olevaa yhtälöä muuttujille x,...,x n, missä a i ja b ovat vakioita. Lineaarinen yhtälöryhmä on useamman sellaisen lineaarisen yhtälön ryhmä, joissa on samat tuntemattomat muuttujat x i, i =,...,n. Esimerkiksi kahden muuttujan (n = ) yhtälöryhmä on { a x +a x = b a x +a x = b () ja vakioista a ij ja b i riippuen tällä yhtälöryhmällä joko ei ole yhtään ratkaisua, on täsmälleen yksi ratkaisu (yksi piste) tai äärettömän monta ratkaisua (suora). Esim Esimerkit kustakin em. tapauksesta kahden yhtälön ryhmälle. M5.. Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 6/76 m n matriisin A = (a ij ) transpoosi A T on n m-matriisi, jolle [A T ] ij = [A] ji i,j (7) eli matriisin (5) transpoosi (transponoitu matriisi) on a a a m A T a a a m =.... (8) a n a n a mn Esim Vaakavektorin transpoosi on pystyvektori: a ( ) T a b c d = b c d Huom (x,x,x 3 ) R 3 tarkoittaa joskus pystyvektoria x. x 3 x
M5.. Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 7/76 Neliömatriisin (n n) transpoosi on neliömatriisi (n n). Neliömatriisi A=(a ij ) on symmetrinen, jos A=A T eli a ij =a ji i,j. Neliömatriisi A = (a ij ) on diagonaalinen, jos a ij = a ij δ ij, missä δ ij = {, kun i = j, kun i j on Kroneckerin delta. Diagonaalimatriisille käytetään merkintää a a A =...... = diag(a,a,...,a nn ). () a nn Huom Matriisin diagonaalisuus viittaa nimenomaan vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan kulkevaan diagonaaliin ja sen symmetrisyys peilisymmetrisyyteen kyseisen diagonaalin suhteen. (9) M5.3. Matriisikertolasku /76.3. Matriisikertolasku Matriiseille voi määritellä useammankinlaisia tuloja; nyt käsitellään niistä sitä, jota tavallisimmin kutsutaan matriisikertolaskuksi. Olkoon annetut m p matriisi A=(a ij ) ja p n matriisi B=(b ij ). Niiden tulomatriisi on m n matriisi C = (c ij ), jonka alkiot ovat C = AB c ij = p a ik b kj k= i =,...,m j =,...,n Siis C:n alkio c ij on A:n i:nnen rivin ja B:n j:nnen sarakkeen vastinalkioiden tulojen summa. Oleellista: A:ssa yhtä monta saraketta kuin rivejä B:ssa (p kpl). Jos yllä m = n, voidaan laskea myös BA, joka on p p matriisi. Jos m n, niin käänteinen tulo BA ei ole määritelty. (3) M5.. Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen 8/76.. Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Yhtäsuuruus m n matriisit A = (a ij ) ja B = (b ij ) ovat samat,jos A = B a ij = b ij i =,...,m, j =,...,n. () Yhteenlasku m n matriisien A = (a ij ) ja B = (b ij ) summa on m n matriisi C = (c ij ), jolle C = A+B c ij = a ij +b ij i =,...,m, j =,...,n. () Skalaarilla kertominen Kertomalla m n matriisi A = (a ij ) vakiolla c R (tai c C) saadaan m n matriisi B = (b ij ) B = ca = Ac b ij = ca ij i =,...,m, j =,...,n. (3) Merkinnällä A tarkoitamme matriisia, joka saadaan kun c = : A = ( )A [ A] ij = [A] ij i =,...,m, j =,...,n. (4) Huom Nämä määrittelyt yleistyvät sellaisinaan myös kompleksiseen tapaukseen, jossa matriisien alkiot tai skalaari ovat kompleksisia. M5.3. Matriisikertolasku /76 Neliömatriiseista Jos A ja B ovat kumpikin n n matriiseja, niin sekä AB että BA ovat n n matriiseja. Fysiikassa on käyttöä kommutaattorille [A,B] = AB BA. (4) Jos [A,B] =, niin sanomme, että A ja B kommutoivat. Yleensä BA AB eli A ja B eivät kommutoi, jolloin niiden kommutaattori on nollasta poikkeava (kiinnostavakin) matriisi. Erityisen hyödyllinen on n n yksikkömatriisi I = diag(,,...,) =....... (5) Neliömatriisille A määritellään myös sen k:s potenssi (k ) A = I A = A A = AA A k = AA A. (6) M5.. Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen 9/76 t edellä tuottavat matriisien yhteenlaskulle ja skalaarilla kertomiselle laskusäännöt A+B = B+A (5) (A+B)+C = A+(B+C) (6), jolle A+ = A A (7) A A siten, että A+( A) = (8) (c c )A = c (c A) (9) A = A () c(a+b) = ca+cb () (c +c )A = c A+c A, () missä esiintyvät c,c,c ovat skalaareja ja kaikki matriisit ovat m n matriiseja, mukaanlukien nollamatriisi: [] ij = i,j. Todistukset menevät alkioittain ja huomaten, että alkioille pätevät samat laskusäännöt kuin muillekin skalaareille eli c:lle ja c i:lle. Tässä muodossaan laskusäännöt vastaavat vektoriavaruudelle (kts. myöh.) annettuja ehtoja. M5.4. Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia /76.4. Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia Olettaen matriisien dimensiot ja luvut j, k sellaisiksi, että kaikki tulot ja summat ovat määriteltyjä (c on mv. skalaari), pätee ja erityisesti neliömatriiseille A(BC) = (AB)C (7) A(B+C) = AB+AC (8) (A+B)C = AC+BC (9) c(ab) = A(cB) (3) AI = A = IA (3) A = = A (3) A j A k = A j+k (33) (A j ) k = A jk. (34) Huom Matriisin potenssin kautta voidaan määritellä esimerkiksi e A = I+A+ A + 6 A3 +...
M5.4. Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia 3/76 Matriisin transpoosille pätee asianmukaisin oletuksin: (AB) T = B T A T (35) (A+B) T = A T +B T (36) (ca) T = ca T (37) (A T ) T = A (38) I T = I. (39) Vielä määritellään n n neliömatriisin A = (a ij ) jälki (trace) sen diagonaalialkioiden summana Tr(A) = n a ii, (4) i= jolle pätee matriisitulon tapauksessa syklinen permutaatio Tr(AB) = Tr(BA) Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA), (4) kunhan kaikki matriisitulot ovat neliömatriiseja. M5.. Alkeisrivitoimitukset 6/76.. Alkeisrivitoimitukset Ratkaistessamme yhtälöryhmää sellaisenaan olemme tottuneet käyttämään seuraavia operaatioita: yhtälön kertominen vakiolla, yhtälön lisääminen toiseen, yhtälöiden järjestyksen vaihtaminen. 3 Näiden operaatioiden tarkoituksena on saattaa yhtälöryhmä yksinkertaisemmaksi, ratkaisultaan ekvivalentiksi yhtälöryhmäksi, kunnes ratkaisu lopulta löytyy. Nämä operaatiot ovat suoraan siirrettävissä täydennetyn matriisin käsittelyyn kutsumme seuraavia alkeisrivitoimituksiksi: ) Lisää riviin VAKIO jokin toinen rivi ) Vaihda kaksi riviä keskenään 3) Kerro rivi nollasta poikkeavalla vakiolla 3 Lisäksi olemme ehkä käyttäneet yhdestä yhtälöstä ratkaistun muuttujan sijoittamista toiseen yhtälöön silloin kun se on näyttänyt toimivan. Pyrimme nyt kuitenkin algoritmiin, joka on helposti toteutettavissa matriisien avulla. M5.. Yhtälöryhmän matriisiesitys 4/76. Yhtälöryhmien ratkaiseminen eliminointimenetelmällä.. Yhtälöryhmän matriisiesitys Yleinen m lineaarisen n tuntemattoman yhtälön ryhmä on muotoa a x +a x +...+a n x n = b a x +a x +...+a n x n = b (4).... a m x +a m x +...+a mn x n = b m Se voidaan esittää (m n) kerroinmatriisin A = (a ij ) sekä sarakevektoreiden x = (x x...x n ) T ja b = (b b...b m ) T avulla kompaktisti: Ax = b, (43) missä x on ratkaistava tuntematon vektori ja A ja b tunnetaan. Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos b =. M5.. Alkeisrivitoimitukset 7/76 Esim Vasemmalla on matriisi (3) yhtälöryhmän muodossa, oikealla täydennettynä matriisina B = (A b). x x +x 3 = x 8x 3 = 8 8 8 4x +5x +9x 3 = 9 4 5 9 9 Pyritään ensin ratkaisemaan x 3 ja sitä käyttäen sitten x jne. Lisätään Y3:een 4 Y (Ym = m:s yhtälö) eli Y3 Y3+4 Y: x x +x 3 = x 8x 3 = 8 8 8 3x +3x 3 = 9 3 3 9 Seuraavaksi Y Y ja Y3 Y3+3 Y (järjestys oleellinen): x x +x 3 = x 4x 3 = 4 4 4 x 3 = 3 3 M5.. Yhtälöryhmän matriisiesitys 5/76 Auki kirjoitettuna (43) on a a a n x b a a a x.... = b. a m a m a mn x n b m (44) ja vastaava täydennetty matriisi a a a n b a a a b (A b) =..... (45) a m a m a mn b m Yhtälöryhmää vastaava täydennetty matriisi (A b) sisältää kaiken informaation ratkaistavasta ongelmasta ja pyrimmekin seuraavassa käyttämään sitä yhtälöryhmän ratkaisemiseen. Täydennetty matriisi voidaan esittää myös muodossa (A b). M5.. Alkeisrivitoimitukset 8/76 Näin saatiin kerroinmatriisi A on yläkolmiomuotoon eli muotoon A = B =, missä on mikä tahansa luku, oli välitavoitteemme. Palaten esimerkkiin, seuraavaksi Y Y+4 Y3 ja Y Y Y3: x x = 3 3 x = 6 6 x 3 = 3 3 Vielä kerroinmatriisi yksikkömatriisiksi operaatiolla Y Y+ Y: x = 9 9 x = 6 6, x 3 = 3 3 jolloin A = diag(,,) ja esimerkkiyhtälöryhmä on ratkaistu.
M5.. Alkeisrivitoimitukset 9/76 Matriisit B ja B ovat riviekvivalentit, mikäli ne saadaan toisistaan alkeisrivitoimituksin. Tällöin merkitään B B. Jos kahden yhtälöryhmän täydennetyt matriisit ovat riviekvivalentit, niin yhtälöryhmillä on samat ratkaisut. Huom Alkeisrivitoimitusten kannalta täydennettyä matriisia (A b) kirjoittettaessa edellä käytetty pystyviiva on epäoleellinen, se vain muistuttaa viimeisen sarakkeen erityismerkityksestä yhtälöryhmiä ratkaistaessa. Tarvittavat alkeisrivitoimitukset määrää matriisi A. Huom Edellisten sivujen esimerkissä yhtälöitä oli yhtä monta kuin tuntemattomia. Tällöin kerroinmatriisi A on neliömatriisi ja se on mahdollista saattaa yläkolmiomuotoon ja lopulta diagonaaliseksi. Yleisessä tapauksessa yhtälöiden ja tuntemattomien määrä ei välttämättä ole sama, jolloin kannattaa määritellä... M5.4. Yhtälöryhmän ratkaiseminen porrasmatriiseilla /76.4. Yhtälöryhmän ratkaiseminen porrasmatriiseilla Seuraavassa esitetään kaksi algoritmia lineaarisen yhtälöryhmän Ax = b ratkaisemiseksi. Täydennetty matriisi olkoon B = (A b). Gaussin eliminointi ) Etsitään B:n kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi B = (A b ). ) Ratkaistaan yhtälöryhmä A x = b takaisinsjoituksin. Gaussin-Jordanin eliminointi ) Etsitään B:n kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi B = (A b ). ) Luetaan suoraan yhtälöryhmän A x = b ratkaisut. Huom Kummassakin algoritmissa vaihe ) edellyttää, että ratkaisuja on. Niiden olemassaoloon palataan tuotapikaa. Huom Mikäli yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu, vaihe ) on helppo. Jos ratkaisuja on äärettömän paljon, esimerkiksi jos ne muodostavat suoran tai tason, saadaan parametrisoitu ratkaisu. M5.3. Porrasmatriisit /76.3. Porrasmatriisit m n matriisi B porrasmatriisi, jos ) matriisin mahdolliset nollarivit ovat alimpana, ) jokaisen nollasta eroavan rivin ensimmäinen eli johtava alkio on ja 3) alemman rivin johtava alkio sijaitsee aina ylemmän rivin johtavan alkion oikealla puolella Porrasmatriisi B on redusoitu, jos lisäksi 4) jokaisen rivin johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta poikkeava alkio. Jokainen m n matriisi on riviekvivalentti jonkin (yksikäsitteisen) redusoidun porrasmatriisin kanssa. M5.5. Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki 3/76.5. Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki Vektoreiden a,a,...,a m lineaarikombinaatio on c a +c a +...+c m a m, c i R. (46) Vektorit a,a,...,a m ovat lineaarisesti riippumattomia (LI), jos vain kun c = c = = c m =. c a +c a +...+c m a m = (47) Jos (47) toteutuu siten, että kaikki c i :t eivät ole nollia, sanomme vektoreiden a,a,...,a m olevan lineaarisesti riippuvia (LD) ja ainakin yksi niistä voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa. Lineaarisen yhtälöryhmän tapauksessa sen rivivektorien lineaarinen riippuvuus tarkoittaa sitä, että yhtälöitä on tarpeettoman monta. Yksinkertaisimmillaan näin käy, jos kaksi yhtälöä ovat samat. Yhtälöryhmässä voi olla myös keskenään ristiriitaan johtavia rivejä. M5.3. Porrasmatriisit /76 Esim Porrasmatriisi ( mikä tahansa luku): Esim Redusoitu porrasmatriisi: Esim Alkeisrivitoimituksin nähdään, että 3 6 6 4 5 3 4 3 7 8 5 8 9 7 3 9 9 6 5 4 M5.5. Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki 4/76 Matriisin A ranki r(a) on sen LI rivivektoreiden maksimilukumäärä. Riviekvivalenteille matriiseille A B on r(a) = r(b). Seuraus Ranki r(a) on A:ta vastaavan porrasmatriisin nollasta poikkeavien rivien lukumäärä. Otetaan m kappaletta n-komponenttisia vektoreita ja muodostetaan niitä rivivektoreina käyttäen m n matriisi A. Vektorit ovat LI, jos r(a) = m, ja LD, jos r(a) < m. r(a) on A:n LI sarakevektoreiden maksimilukumäärä. Seuraus Transpoosille pätee r(a T ) = r(a). Olkoonannettumkappalettan-komponenttisiavektoreita. Jos m > n, niin vektorit ovat LD.
M5.6. Yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo 5/76.6. Yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo Tutkitaan n tuntemattoman, m yhtälön lineaarista yhtälöryhmää Ax = b, missä A on m n matriisi ja yhtälöryhmää vastaava täydennetty matriisi B = (A b) on m (n+) matriisi. : ratkaisujen olemassaolo Yhtälöryhmällä on ratkaisuja r(a) = r(b). : ratkaisujen yksikäsitteisyys Yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu r(a) = r(b) = n. Jos r(a) = r(b) = r < n, on yhtälöryhmällä äärettömän monta ratkaisua. Tällöin voidaan löytää r kappaletta riippumattomia tuntemattomia x i, jotka voidaan ilmaista jäljelle jäävien n r tuntemattoman x j = t j avulla (t j R) parametrisointi. : ratkaisujen löytäminen Mikäli yhtälöryhmällä on ratkaisuja, saadaan ne kaikki Gaussin tai Gaussin-Jordanin eliminoinnilla. M5 3.. Determinanttien laskeminen 8/76 3.. Determinanttien laskeminen Tapauksessa n = determinantti on triviaalisti D () = a = a, (5) missä pystyviivat eivät ole itseisarvomerkkejä vaan determinantin merkintätapa. Determinantin ominaisuuksiin alamme päästä kiinni tapauksessa n =, jossa määrittelemme: D () = a a a a = a a a a. (53) Tämän lausekkeen voi ajatella muodostuvan seuraavasti: D () = ( ) + a a +( ) + a a eli kuljetaan pitkin ylempää vaakariviä ja kerrotaan sen kullakin alkiolla vastaava alideterminantti 4 ja summataan etumerkkiä vuorotellen. Tästä pääsemme eteenpäin: M5 3.. Lineaarinen yhtälöryhmä ja determinantit 6/76 3. Determinantit 3.. Lineaarinen yhtälöryhmä ja determinantit Determinanteille kuten matriiseillekin on monenmoista käyttöä, mutta haetaan motivaatiota edelleen yhtälöryhmistä, nyt n n: a x +a x +...+a n x n = b a x +a x +...+a n x n = b, (48).... a n x +a n x +...+a nn x n = b n matriisein ilmaistuna Ax = b, missä kerroinmatriisi A = (a ij ) on (n n) neliömatriisi. Sitä vastaa (kerroin)determinantti a a a n a a a n D = det(a) =, (49)... a n a n a nn joka on yksi reaaliluku (reaaliselle A eli kun a ij R). M5 3.. Determinanttien laskeminen 9/76 Kun n = 3, otamme (nyt aluksi) lähtökohdaksi ylimmän rivin: D (3) a a a 3 = a a a 3 (54) a 3 a 3 a 33 = ( ) + a a a 3 a a 3 a 33 +( )+ a a 3 a a 3 a 33 +( )+3 a a 3 a 3 a 3 = ( ) + a D () (a )+( ) + a D () (a )+( ) +3 a 3 D () (a 3 ), missä D () (a ij ) on alkiota a ij vastaava alideterminantti. 4 Yllä 3 3 determinantti on kehitetty. rivinsä suhteen. Osoittautuu, että juuri tämä on oikea 5 tapa määritellä isommat determinantit pienempien determinanttien kautta. 6 4 Poistettu alkuperäisestä determinantista rivi i ja sarake j. 5 Seuraa Cramerin sääntö ja paljon muuta hyvää (fysiikkaankin). 6 Kuin venäläiset sisäkkäiset maatuska-puunuket avataan isoimmasta alkaen paitsi että nyt n-nuken sisällä on n sitä välittömästi pienempää nukkea. M5 3.. Lineaarinen yhtälöryhmä ja determinantit 7/76 Yhtälöryhmään Ax = b liittyen määrittelemme myös determinantit b a a n a a b b a a n a a b D =,...,D... n =, (5)... b n a n a nn a n a n b n joissa D i saatiin D:stä korvaamalla sarake i luvuilla b,...,b n. : Cramerin sääntö Jos D, niin yhtälöryhmän Ax = b yksikäsitteinen ratkaisu on x = D /D, x = D /D,...,x n = D n /D. (5) Lisäksi: Homogeeniselle yhtälöryhmälle Ax = (ja siis b = ) pätee: D triviaaliratkaisu x = D = äärettömän monta ratkaisua Esim Ylläolevat tulokset on helppo todistaa entuudestaan tutuille -determinanteille eli tapaukselle n =. Lasketaan... M5 3.. Determinanttien laskeminen 3/76 Saamme aiheen määritellä kutakin (n+) (n+) determinantin alkiota a ij vastaavan kofaktorin cof n (a ij ) = ( ) i+j D (n) (a ij ). (55) Sen avulla voimme kirjoittaa suhteellisen kompaktisti yleisen kaavan (kehityssäännön) n n determinantille D) D (n) = n a kj cof n (a kj ) = j= n a il cof n (a il ), (56) missä ensimmäisessä summassa on kehitetty determinantti k:nnen rivin ja jälkimmäisessä l:nnen sarakkeen suhteen. Käytännössä se kannattaa tehdä sen rivin/sarakkeen suhteen, jossa on eniten nollia. Huom Muistutetaan itseämme vielä siitä, että D (n) on jokin luku, 7 joka nyt on laskettavissa 8 kaavoista (55-56). 7 Determinantin voi ajatella kuvauksena matriisien avaruudelta reaaliluvuille. 8 Mutta laskutoimitusten määrä kasvaa nopeasti n:n kasvaessa. i=
M5 3.. Determinanttien laskeminen 3/76 Determinanttien käsittelyssä ovat avuksi myös seuraavat: D) D (n) vaihtaa merkkiä, kun sen kaksi riviä tai kaksi saraketta vaihdetaan keskenään. D3) Kertomalla D (n) :n mikä tahansa rivi tai sarake vakiolla c saadaan determinantti, jonka arvo on cd (n). D4) Jos D (n) :n jokin rivi/sarake on VAKIO toinen rivi/sarake, niin D (n) =. D5) D (n) :n arvo ei muutu jos sen jollekin riville/sarakkeelle lisätään muiden rivien/sarakkeiden lineaarikombinaatio. D6) Kaksi determinanttia, joilla vain yksi rivi/sarake ovat erilaiset, voidaan laskea yhteen. Näin saadaan determinantti, joka on muuten sama kuin alkuperäiset, mutta sanottu rivi/sarake on alkuperäisten rivien/sarakkeiden summa. D7) Transpoosille pätee det(a T ) = det(a). Huom Operaatioilla (,5) voidaan determinantti saattaa ylä- tai alakolmiomuotoon, joilloin sen arvo on diagonaalielementtien tulo. M5 4.. Käänteismatriisin ominaisuuksia 34/76 4. Neliömatriisin käänteismatriisi 4.. Käänteismatriisin ominaisuuksia Olkoot A ja C n n neliömatriiseja ja I n n yksikkömatriisi. Jos on olemassa n n neliömatriisi B, jolle AB = I, niin B on A:n käänteismatriisi, merkitään B = A. Determinanteille pätee: det(ac) = det(a)det(c). (58) Jos nyt on AB = I, niin det(ab) = det(a)det(b) = det(i) =, joten det(b) = /det(a). Täten olletinkin det(a) yksikäsitteinen A. (59) Jos A, niin A on säännöllinen eli ei-singulaarinen matriisi. Jos det(a) =, niin A on singulaarinen. M5 3.3. Determinantit ja matriisiranki 3/76 3.3. Determinantit ja matriisiranki Olkoon A m n matriisi. Silloin voidaan osoittaa seuraavat: r(a) = r A:n suurin alimatriisi, jota vastaava determinantti on nollasta poikkeava, on r r matriisi. Jos r(a) = r, niin A:n kaikkien sellaisten alimatriisien, joiden ranki > r, determinantit ovat nollia. Lisäksi n n neliömatriisille A pätee: r(a) = n det(a). (57) Huom Tuloksista yllä heijastuu lineaarisen riippumattomuuden yhteys lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisuihin ja determinantin nollasta poikkeavuuteen. Todistusten ideaa kannattaa miettiä. M5 4.. Käänteismatriisin ominaisuuksia 35/76 Edelleen (57) ja (59) r(a) = n A. (6) Olkoon B = A olemassa. Tällöin det(b) = /det(a) ja on olemassa B ja BA = BABB = BIB = BB = I, joten AA = A A = I. (6) Olettaen A ja C säännöllisiksi n n matriiseiksi (c skalaari) on ja merkitsemme (AC) = C A (6) (ca) = c A (63) (A ) = A (64) (A ) T = (A T ) (65) A p = (A ) p p =,,3,... (66) Näillä eväillä kertolaskut käänteismatriisilla sujuvat. M5 3.4. Determinanteista vielä 33/76 3.4. Determinanteista vielä Johdattelimme n n determinanttiin formaalia ja jälkiviisasta reittiä. Yleisesti determinantti on sarakkeidensa n-lineaarikuvaus (tarkastelemme tavallisia lineaarikuvauksia myöhemmin). Tämä ominaisuus takaa sen geometrisen tulkinnan, että useammassakin kuin kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa determinantilla on tulkinta sarakkeidensa määräämien vektoreiden virittämän suunnikkaan/särmiön tilavuutena. Tällä geometrisella tulkinnalla on ilmeistä, miksi determinantti tulee kerrotuksi samalla luvulla kuin millä yksi sen sarake kerrotaan, kts. luvun 3. kolmas laskusääntö. Samaten on ilmeistä, että kuudes laskusääntö pätee. Jos determinantin kaksi saraketta ovat samat, niin mainittu tilavuus on nolla, kuten determinanttikin, kts. neljäs sääntö. Determinantin alternoivuus eli kertoimet ( ) i+j seuraa kolmesta mainitusta säännöstä. Täten tapamme määritellä determinanti ei ole suinkaan mielivaltainen, vaan lopulta ainoa mahdollinen. M5 4.. Käänteismatriisi ja yhtälöryhmä 36/76 4.. Käänteismatriisi ja yhtälöryhmä Tarkastellaan yhtälöryhmää a x +a x +...+a n x n = b a x +a x +...+a n x n = b Ax = b.... a n x +a n x +...+a nn x n = b n. (67) Jos A ja b tunnetaan, (67):n muodollinen ratkaisu saadaan kertomalla puolittain A :llä eli A Ax = A b x = A b. (68) Toisaalta ylläoleva kertoo, että A saadaan (67):stä ratkaisemalla x i :t tuntemattomien b j :den lineaarikombinaationa, jolloin A on näin saatava b:n kerroinmatriisi. Huom Käänteismatriisin A laskeminen on yleisesti työlästä, mutta kun se on kerran laskettu, yhtälöryhmän Ax = b ratkaisu kaikilla annetuilla b saadaan matriisitulona x = A b.
M5 4.3. Käänteismatriisi adjungoidun matriisin kautta 37/76 4.3. Käänteismatriisi adjungoidun matriisin kautta Säännöllisen n n matriisin adjungoitu matriisi 9 on adj(a) = [cof(a)] T, (69) missä cof(a) on A:n kofaktorimatriisi cof n (a ) cof n (a ) cof n (a n ) cof n (a ) cof n (a ) cof n (a ) cof(a) =..., (7) cof n (a n ) cof n (a n ) cof n (a nn ) missä kofaktorit eli luvut cof n (a ij ) määriteltiin (55):ssa. Nyt voidaan kirjoittaa käänteismatriisin kaava A = adj(a)/det(a). (7) 9 Varo: Tällä termillä on lineaarialgebrassa muutakin käyttöä. M5 5.. Vektoriavaruus 4/76 5. Vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset 5.. Vektoriavaruus Joukko olioita (esimerkiksi tavalliset R n :n vektorit) v,v,v 3,... muodostaa vektoriavaruuden V, jos niiden joukossa on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen (skalaarit c,c,c ), joille v +v = v V (74) cv = v V (75) v +v = v +v (76) (v +v )+v 3 = v +(v +v 3 ) (77) V siten, että v+ = v v V (78) v V v V, jolle v+( v) = (79) c (c v) = (c c )v (8) v = v (8) c(v +v ) = cv +cv (8) (c +c )v = c v+c v (83) M5 4.4. Käänteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta 38/76 4.4. Käänteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta Käytännössä (7):ssa pitää laskea A:n alideterminantteja kaikissa kertaluvuissa, joten menetelmä ei ole tehokas suurille matriiseille. Haetaan nyt ratkaisua alkeisrivitoimituksin (vrt..), jotka matriisikertolaskuja varten esitämme alkeismatriiseina: ) R(i +ki ) lisää riviin i rivi i kerrottuna k:lla ) R(i,i ) vaihda rivit i ja i 3) R(ki) kerro rivi i luvulla k. Esimerkiksi 3 3 matriiseille seuraavat alkeisrivitoimitukset R saadaan kertomalla A vastaavalla R-matriisilla: R(+k3) = k R(,) = R(k3) = k Oletetaan nyt A säännölliseksi n n matriisiksi. Tällöin pätee: A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Säännöllisyys & neliömatriisi A I. M5 5.. Vektoriavaruus 4/76 Vektoreiden v i V mielivaltainen lineaarikombinaatio kuuluu V:hen: c v +c v +...+c m v m V c i. (84) Vektorijoukko v i V, i =,,...,m, on LI mikäli (muutoi LD) c v +c v +...+c m v m = c i = i (85) Jos c i R (C), niin on V reaalinen (kompleksinen) vektoriavaruus. Vektoriavaruus V on n-ulotteinen, jos siitä löytyy korkeintaan n kpl LI vektoreita. Tämä n vektorin joukko virittää V:n ja on V:n kanta. Joukon vektorit ovat kantavektoreita. Vektoriavaruuden kanta ei ole yksikäsitteinen. Myös (äärettömän) moni muu n vektorin joukko voi olla LI ja toimia kantana. Mikä tahansa vektori v V voidaan ilmaista valitussa kannassa v i, i =,,...,n, kantavektoreiden lineaarikombinaationa v = c v +c v +...+c n v n. (86) M5 4.4. Käänteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta 39/76 Edellisen perusteella löytyy alkeisrivitoimitukset eli alkeismatriisit R,R,...,R N, joiden tulo R = R N R R siten, että RA = I. Täten A = R A = RI. Siis R N R R A = RA = I (7) R N R R I = RI = A (73) Nämä yhtälöt voidaan tulkita algoritmiksi: Otetaan lähtökohdaksi täydennetty matriisi (A I). Valitaan R,R,...,R N siten, että A muuntuu I:ksi. Tällöin I muuntuu A :ksi. = Gaussin-Jordanin menetelmä käänteismatriisin laskemiseksi! Huom Meillä on nyt kaava determinantille (56), sen kautta käänteismatriisille (7), ja edelleen yhtälöryhmän ratkaisulle (68). Kun n on suuri, on silti aihetta turvautua alkeisrivitoimituksiin perustuviin algoritmeihin. Numeriikkaa varten on kehitetty lisäksi approksimatiivisia menetelmiä (kts. M7: Numeeriset menetelmät). M5 5.. Sisätuloavaruus 4/76 5.. Sisätuloavaruus Määritelmiä Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Tällöin V on reaalinen sisätuloavaruus, jos kaikilla v,v V on olemassa v :n ja v :n sisätulo (v,v ) R, jolle kaikilla v,v i V ja c i R on: (v,v ) = (v,v ) (87) (c v +c v,v 3 ) = c (v,v 3 )+c (v,v 3 ) (88) (v,v) ja: (v,v) = v =. (89) Vektorit v,v V ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ne ovat ortogonaaliset, jos (v,v ) =. Vektorin v V pituus eli normi on v = (v,v). (9) Nollasta poikkeava v V voidaan normittaa yksikkövektoriksi: Tällöin ˆv:n sanotaan olevan normitettu. ˆv = v/ v ˆv =. (9)
M5 5.. Sisätuloavaruus 43/76 ita Kaikille v,v V pätevät Cauchyn-Schwartzin epäyhtälö kolmioepäyhtälö sekä suunnikassääntö (v,v ) v v, (9) (v +v ) v + v (93) (v +v ) + (v v ) = ( v + v ) (94) Huom t ja lauseet yllä tuntuvat järkeenkäypäisiltä, kun ajatelemme avaruuksia R n pienillä n. Ne pätevät kuitenkin kaikissa R n sekä muunkinlaisille vektoriavaruuksille, joita ovat esimerkiksi: P n = {p p on polynomi R R astetta n} F = {f f on funktio R R} M n m = {A A on n m matriisi} Sisätulon keksiminen näille avaruuksille saa(ttaa) mietityttää vielä. M5 5.3. Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi 46/76 Lineaarikuvauksen matriisiesityksen F(v) = Av saamme tarkastelemalla kantavektorien kuvia: w (k) = F(î k ) = Aî k () Esimerkiksi lähtöpuolen kantavektorin î (tapaus k=) kuva on w () a a a n a w () w () =. = a a a.... = a. w m () a m a m a mn a m Nyt alkiot a i ovat ratkaistavissa: a = w (),...,a m = w m () ja samaan tapaan kaikilla k =,...,n on a k = w (k), a = w (k),..., a mk = w (k) m () Matriisin A alkiot a ij riippuvat valituista kannoista ja myös kantavektoreiden järjestyksestä. M5 5.3. Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi 44/76 5.3. Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi Määritelmiä Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä v V ja w W. Kuvauksessa (muunnoksessa) F : V W lähtöjoukon vektori v kuvautuu maalijoukon vektoriksi w, merkitään v w tai w =F(v). Tällöin sanomme, että vektori w on vektorin v kuva kuvauksessa F. F on lineaarikuvaus, mikäli v,v,v V ja c R pätee F(v +v ) = F(v )+F(v ) (95) F(cv) = cf(v) (96) Lineaarikuvauksilla on mukavia ominaisuuksia, mm. F( V ) = W, (97) missä teemme eron lähtö- ja maalipuolen nollavektorien välillä, ja F(c v +c v ) = c F(v )+c F(v ) (98) jotka on helppo todistaa lineaarikuvauksen määritelmästä lähtien. M5 5.3. Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi 47/76 Lineaarikuvausta F : R n R m vastaava matriisi A saadaan siis asettamalla kantavektoreiden î k kuvat A:n sarakkeiksi: w () w () w (n) w () A = w () w (n) (3)... w m () w m () w m (n) Kun vektorit î k olivat kantavektoreita ja kun esitimme niiden kuvat w (k) kannassa ĵ k, on (3) matriisin A esitys kannoissa {î k } ja {ĵ l }. Näin saamme en: Jokaista lineaarikuvausta F : R n R m vastaa yksikäsitteinen muotoa (3) oleva matriisi A siten, että F(v) = Av v R n. Tämä vastaavuus on yksikäsitteinen niin kauan kun pidämme kannat samoina. Palaamme myöhemmin kantojen vaihtoon neliömatriisien tapauksessa; todettakoon determinantin ja jäljen sellaisessa toimituksessa tietyin ehdoin säilyvän. M5 5.3. Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi 45/76 Tarkastellaan seuraavaksi lineaarikuvauksia F : R n R m. Lineaarikuvaus voidaan esittää matriisina, kunhan valitsemme avaruuksille V = R n ja W = R m kantavektorit. Valitaan niille nyt luonnolliset kannat eli standardikannat î = î = î n =... ĵ = ĵ = ĵ m =..... Nämä kannat ovat ortonormitettuja eli kantavektorit ovat keskenään ortogonaaliset ja kunkin kantavektorin pituus on, sisätulona tuttu pistetulo (x,y) = x y +x y +...+x n y n. (99) () M5 5.4. Matriisi käänteiskuvaukselle ja yhdistetylle kuvaukselle 48/76 5.4. Matriisi käänteiskuvaukselle ja yhdistetylle kuvaukselle Jos nyt lineaarikuvausta F : R n R n vastaava neliömatriisi A on säännöllinen, niin on olemassa A, joka vastaa käänteiskuvausta F :R n R n. Siten myös F on lineaarikuvaus ja w = Av v = A w (4) Jos taasen F : R p R m ja G : R n R p, ja näitä kuvauksia vastaavat matriisit ovat A (s.e. Av = w) ja B (s.e. By = v), niin yhdistettyä kuvausta F G : R n R m vastaa matriisi C siten että w = Av = A(By) = ABy = Cy. (5) Siis yhdistettyä kuvausta vastaa tulomatriisi C = AB ja täten kahden lineaarikuvauksen yhdistetty kuvaus on lineaarikuvaus. Tämä pätee yleisemminkin. Oleellista on, että keskimmäiselle avaruudelle käytetään samaa kantaa kummassakin kuvauksessa. Lisäksi olemme jo oppineet, että neliömatriisien tapauksessa pätee det(c) = det(a)det(b).
M5 6.. Ominaisarvo-ongelma 49/76 6. Reaalisen neliömatriisin ominaisarvo-ongelma 6.. Ominaisarvo-ongelma Johdannoksi: Ominaisarvo-ongelma näyttää äkkipäätään kaukaa haetulta mutta kuten tulemme näkemään se antaa avaimen siihen mitä annettu matriisi (tai sitä vastaava lineaarikuvaus) tekee. Lisäksi sille on monta suoraa käyttökohdetta fysiikassa (mm. ominaistaajuudet, ominaistilat). Kysymyksenasettelu kuuluu: Annetulle neliömatriisille A jossain kannassa mitkä vektorit x vain venyvät ja kuinka paljon, kun niihin operoidaan ko. matriisilla? Osoittautuu, että jos löydämme kyseiset ns. ominaisvektorit, saamme niiden kautta vektoriavaruudelle kannan, jossa A on yksinkertaisimmassa muodossaan. Olkoon A n n matriisi. Vektori x on A:n ominaisvektori, jos Ax = λx, missä λ on jokin luku (skalaari R tai C). Tällöin x on ominaisarvoon λ kuuluva ominaisvektori. On muitakin kuin matriisin ominaisarvo-ongelmia... M5 6.. Ominaisarvo-ongelma 5/76 Algebran peruslauseen nojalla P n (λ):lla on (kompleksitasossa) n nollakohtaa ja se voidaan (periaatteessa) saattaa muotoon P n (λ) = ( ) n (λ λ ) m (λ λ ) m (λ λ l ) m l, missä λ,λ,...,λ l ovat yhtälön P n (λ) = erisuuret juuret, m i on λ i :n (algebrallinen) multiplisiteetti ja m +...+m l = n. Ominaisarvo-ongelma ratkeaa siis seuraavin askelin: ) Muodosta polynomi P n (λ) = det(a λi) ) Hae yhtälön P n (λ) = juuret λ (m ),λ (m ),...,λ l (m l ) 3) Etsi yhtälöryhmän (A λ i I)x = ratkaisujoukko {x} i eli ominaisvektorit kullekin i =,,...,l. Huom Karakteristisen yhtälön ratkaiseminen ei yleisessä tapauksessa ole helppoa; ratkaisukaavatkin ovat olemassa vain 4. asteen yhtälöön saakka. Fysiikassa voidaan kuitenkin usein hyödyntää symmetrioita ongelman pilkkomisessa paloihin, minkä lisäksi monissa tilanteissa A on harva eli sisältää paljon nollia. M5 6.. Ominaisarvo-ongelma 5/76 Tutkimme siis ominaisarvo-yhtälön Ax = λx (6) mahdollisia ei-triviaaleja ratkaisuja. Jos esim. on Ax i = λ i x i eli on löydetty ominaisarvo λ i ja siihen kuuluva (sitä vastaava) ominaisvektori x i, voi olla muitakin ominaisvektoreita kuin x i, jotka kuuluvat samaan ominaisarvoon. Jos ominaisarvoon λ i kuuluu k kpl LI ominais- vektoreita, λ i on k kertaisesti degeneroitunut. Huom Jos x i on ominaisvektori, niin myös esim. 5x i on samaan ominaisarvoon kuuluva ominaisvektori, mutta nämä ovat LD. Kirjoitetaanpa (6) toisin käyttäen n n yksikkömatriisia I: (A λi)x = (7) Tämä on n lineaarisen yhtälön homogeeninen yhtälöryhmä (a λ)x +a x +...+a n x n = a x +(a λ)x +...+a n x n =. (8).... a n x +a n x +...+(a nn λ)x n = M5 6.. Joitakin tuloksia ominaisarvoille 53/76 6.. Joitakin tuloksia ominaisarvoille Olkoon A edelleen n n matriisi. Sen ominaisarvoille pätee: Jos A on yläkolmio- tai alakolmio- tai diagonaalimatriisi, det(a λi) = (a λ)(a λ) (a nn λ) eli tällöin ominaisarvot ovat A:n diagonaalialkiot. Eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat LI. Siis: Jos λ,λ,...,λ p, ovat eri ominaisarvoja ja x,x,,...,x p vastaavat ominaisvektorit, niin x,x,,...,x p ovat LI. Olkoon ominaisarvon λ multiplisiteetti m. Olkoon k kpl siihen kuuluvia LI ominaisvektoreita, missä k m. Täten λ:aa vastaavan kyseisten ominaisvektoreiden virittämän ominaisavaruuden dimensio on k. Sanomme, että λ:n degeneraatio (geometrinen multiplisiteetti) on k. Matriiseilla A ja A T on samat ominaisarvot. M5 6.. Ominaisarvo-ongelma 5/76 Yhtälöryhmän homogeenisuus antaa meille ratkaisevan askeleen: Muistamme ( 3.), että homogeenisella yhtälöryhmällä on ei-triviaaleja ratkaisuja, jos kerroindeterminantti on nolla. Vaadimme siis, että det(a λi) = eli a λ a a n a a λ a P n (λ) = = (9)... a n a n a nn λ Selvästi P n (λ) = det(a λi) on λ:n n:nnen asteen polynomi, A:n (ominaisarvo-ongelman) ns. karakteristinen polynomi. Yhtälöä P n (λ) = kutsumme A:n karakteristiseksi yhtälöksi, jonka ratkaisuina saamme A:n ominaisarvot λ,λ,... Ratkaistuamme ominaisarvot λ i syötämme ne yksi kerrallaan (8):een ja ratkaisemme niihin kuuluvat ominaisvektorit. Helppoa siis periaatteessa... M5 6.. Joitakin tuloksia ominaisarvoille 54/76 λ i ovat A:n ominaisarvot cλ i ovat ca:n ominaisarvot, missä c R. ca:n ominaisvektorit = A:n ominaisvektorit. Seuraus λ i m i = Tr(A). i i λ m i i = det(a). Karakteristisen polynomin P n (λ) vakiotermi on det(a) eli edellisessä lauseessa oleva ominaisarvojen tulo. Viimeisiä kahta lausetta ja seurausta voi hyödyntää esim. saadun ratkaisun (ominaisarvot) tarkistamisessa. Esim Luentoesimerkkejä: ( ) 3 3 3 4 4 5 4 3 4 6
M5 6.3. Kompleksisista ominaisarvoista 55/76 6.3. Kompleksisista ominaisarvoista Olkoon A = (a ij ) n n neliömatriisi, jossa a ij R i,j. Tällöin karakteristinen polynomi P n (λ) on reaalilukukertoiminen ja siten algebran peruslauseen mukaan ominaisarvot λ ovat reaalisia ja/tai esiintyvät kompleksilukupareina λ k = a+bi, λ k = a bi, a,b R. () Siten jos λ k on ominaisarvo, jolle b, niin myös λ k on. Tällöin jos λ k on ominaisvektoria x k vastaava ominaisarvo, niin Ax k = λ k x k A x k = λ k x k, () missä matriisin A = (a ij ) kompleksikonjugaatti on A = (a ij ). Nyt A oli kuitenkin reaalinen, joten A = A Ax k = λ k x k, () joten A:n ominaisarvoa λ k vastaa ominaisvektori x k. M5 7.. Similaariset matriisit 58/76 7. Neliömatriisin diagonalisointi ja neliömuodot 7.. Similaariset matriisit Seuraavassa A, B ja U ovat n n matriiseja. Määrittelemme: Neliömatriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa neliömatriisi U siten, että B = U AU. (6) Tätä kutsutaan similariteettimuunnokseksi. Similaaristen matriisien karakteristisille polynomeille pätee det(b λi) = det(u AU λu IU) = det(u (A λi)u) = det(u )det(a λi)det(u) = det(a λi), koska det(u ) = /det(u). Täten similaarisilla matriiseilla on sama karakteristinen polynomi, joten saadaan Similaarisilla matriiseilla on samat ominaisarvot. (7) M5 6.4. Erityisistä reaalisista matriisesista 56/76 6.4. Erityisistä reaalisista matriisesista Olkoon lineaarikuvausta F : R n R n vastaava n n matriisi A = (a ij ) edelleen reaalinen eli A = A. Tällöin matriisi A on symmetrinen, jos A T = A. matriisi A on antisymmetrinen, jos A T = A. matriisi A on ortogonaalinen, jos A T = A. Antisymmetrisen matriisin A diagonaalialkioille a ii = a ii, joten Jos nyt B on mielivaltainen n n matriisi, niin a ii =. (3) B = S+A, (4) missä S on symmetrinen ja A on antisymmetrinen ja S = (B+BT ) A = (B BT ). (5) M5 7.. Matriisin diagonalisointi 59/76 7.. Matriisin diagonalisointi Seuraavassa A, U ja D ovat n n matriiseja. : Neliömatriisi A on diagonalisoituva, jos on olemassa säännöllinen neliömatriisi U siten, että U AU = diag(d,d,...,d n ). (8) Diagonaalimatriisille D diag(d,d,...,d n ) pätee det(d λi) = (d λ)(d λ) (d n λ) =, joten (7) D:n ja A:n ominaisarvot ovat d,d,...,d n. Huom Similariteettimuunnoksen matriisi U sisältää sarakkeinaan A:n LI ominaisvektorit (oltava LI jotta det(u) ). A on diagonalisoituva A:lla on n LI ominaisvektoria. Seuraus A:lla on n eri ominaisarvoa A on diagonalisoituva. M5 6.4. Erityisistä reaalisista matriisesista 57/76 Symmetrisen n n matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n ortonormitettu kanta. Eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaaliset. Antisymmetrisen n n matriisin ominaisarvot ovat joko nolla tai täysin imaginaarisia (±bi) ja sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n ortonormitettu kanta. Olkoon A sitten ortogonaalinen. Tällöin pätevät et: ) A säilyttää sisätulon eli u = Aa ja v = Ab u v = a b, missä a b = (a,b) = a T b. A säilyttää myös normin a. ) Olkoon a,a,...,a n matriisin A sarakevektorit. A on ortogonaalinen (a i,a j ) = δ ij. Sama pätee rivivektoreille. 3) A:n determinantti on det(a) = ±. 4) A:n ominaisarvot λ R ja/tai λ = a±ib. Lisäksi λ =. 5) A:n ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n ortonormitettu kanta. M5 7.. Matriisin diagonalisointi 6/76 Huom Diagonalisoiminen ominaisarvo-ongelma ratkaiseminen. Koska oli D = U AU = diag(d,d,...,d n ), saamme myös AU = UD (9) millä voi helposti (vain matriisituloja) tarkistaa saamansa tuloksen. Esim Luvun 6. ensimmäiselle esimerkkimatriisille on ( ) U = ja U = ( ). 5 3 3 Reaalisten matriisien teorian keskeinen tulos on spektraalilause: A:n diagonalisoi ortogonaalimatriisi U A on symmetrinen. Todistus suuntaan on helppo, suuntaan käytetään luvun 6.4 ensimmäistä lausetta symmetriselle matriiseille. Symmetriset matriisit tulevat fysiikassa vastaan usein; niillä oli sekin tärkeä ominaisuus, että niiden ominaisarvot ovat reaaliset.
M5 7.3. Neliömuodot 6/76 7.3. Neliömuodot Funktio q : R n R on neliömuoto, jos q(x,x,...,x n ) = x T Ax, x x =., () x n missä kerroinmatriisi A on symmetrinen n n neliömatriisi. Similariteettimuunnoksen (U on ortogonaalimatriisi: U =U T ) D = U AU = diag(d,d,...,d n ), tuottamat uudet koordinaatit ovat joten y = U T x, x = Uy, q(x,x,...,x n ) = x T Ax = (Uy) T AUy = y T U T AUy = y T Dy = λ y +λ y +...+λ n y n. x M5 7.4. Neliömuodot ja tasokäyrät 64/76 Tämän jälkeen mahdollinen ratkaisu on (yksi piste, suora tai) yksi neljästä standardikartioleikkauksesta: ) Ympyrä (säde r): ) Ellipsi (puoliakselit a ja b): y +y = r a + y b = 3) Hyperbeli (puoliakselien pituudet c ja d): y c y d = tai y c y d = 4) Paraabeli (etäisyys kärjestä polttopisteeseen e): y y = ey tai y = ey Huom Tässä a,b,c,d,e,r eivät ole ():ssä olevia vakiota. Huom Tapauksessa n = 3 neliömuodot vievät toisen asteen pintoihin (joskus yhdeksi pisteeksi, suoraksi tai tasoksi). M5 7.3. Neliömuodot 6/76 Täten olemme saaneet neliömuodon pääakseliesityksen eli kanonisen muodon n n q(x,x,...,x n ) = x i a ij x j = n i= i= j= λ i y i Q(y,y,...,y n ). () missä λ i :t ovat alkuperäisen kerroinmatriisin A ominaisarvot. Esim Tarkastellaan funktiota (huomaa A-matriisin symmetrisointi) q(x,x ) = 4x +4x x +7x = ( ) ( )( ) 4 x x x. 7 x Nyt diagonalisoivaksi matriisiksi saadaan U = ( ), missä 5 etutekijä takaa sarakkeiden normituksen, ja pääakselimuodoksi Q(y,y ) = ( ) ( )( ) 3 y y y = 3y +8y 8. y M5 8.. Kompleksinen sisätuloavaruus 65/76 8. Kompleksiset vektoriavaruudet 8.. Kompleksinen sisätuloavaruus Olkoon V vektoriavaruus siten, että luvun 5. ehdot täyttyvät, mutta skalaarilla kertominen tapahtuu kompleksiluvulla. Kyseessä on tällöin kompleksinen vektoriavaruus. Siitä saadaan kompleksinen sisätuloavaruus, jos on olemassa v :n ja v :n sisätulo (v,v ) C, jolle kaikilla v,v i V ja c i C on: (v,v ) = (v,v ) (3) (c v +c v,v 3 ) = c (v,v 3 )+c (v,v 3 ) (4) (v,v) ja: (v,v) = v =. (5) Nytkin sanotaan v :n ja v :n olevan ortogonaaliset, jos (v,v )=. Lisäksi yo. sisätulon määritelmästä seuraa, että c C (v,cv ) = (cv,v ) = [c (v,v )] = c(v,v ) = c(v,v ). (6) M5 7.4. Neliömuodot ja tasokäyrät 63/76 7.4. Neliömuodot ja tasokäyrät Esim Jatketaan esimerkkiä edellä kirjoittamalla q(x,x ) = 4, mikä määrittelee (x,x )-tasossa käyrän, jonka yhtälö on 4x +4x x +7x = 4. Edellisen esimerkin perusteella tämän pääakselimuoto on 3y +8y = 4 y ( ) + y ( 3) =, minkä tunnistamme ellipsin yhtälöksi, mikä oli vaikea nähdä alkuperäisestä yhtälöstä: (x,x )-tasossa vinossa oleva ellipsi. Yleinen toisen asteen tasokäyrä (kartioleikkaus) on muotoa q(x,x ) = ax +bx x +cx +dx +ex +f =. () Kolme ensimmäistä termiä ovat neliömuoto, jonka pääakseliesitys on diagonaalinen. Ne määräävät koordinaatiston kierron. Termit dx ja ex muunnetaan uusiin koordinaatteihin samalla kierrolla. M5 8.. Kompleksinen sisätuloavaruus 66/76 Se on. argumentin suhteen antilineaarinen: (cv,v )=c (v,v ) ja. argumentin suhteen lineaarinen: (v,cv ) = c(v,v ). Sisätulo kokonaisuutena on seskilineaarinen. Olkoon A n n matriisi. : Matriisin A Hermiten konjugaatti 3 A on matriisi A = (A ) T (7) Olkoon sitten avaruus, jossa liikumme, C n. Sen mielivaltaisille vektoreille a, b sisätuloksi kelpaa (a,b) = a b = ( a a an ) b. = a b +ab +...+anb n, b jolloin vektorin a normi on n (8) a = (a,a) = a + a +...+ a n. (9) 3 Terminologiaa: Tätä(kin) kutsutaan myös adjungaatiksi. b
M5 8.. Kompleksialkioisia matriiseja 67/76 8.. Kompleksialkioisia matriiseja Olkoon A = (a ij ), a ij C, kompleksialkioinen matriisi. Tällöin A = R+iS, R = (r ij ), S = (s ij ), (3) missä r ij,s ij R. Matriisin A kompleksikonjugaatti on A = R is. (3) Kompleksialkioisille matriiseille A ja B pätee (c C) (AB) = B A (3) (A+B) = A +B (33) (ca) = c A (34) (A ) = A (35) I = I (36) Neliömatriisille eli n n matriisille A, jos sen käänteismatriisi on olemassa, pätee (A ) = (A ) (37) M5 8.3. Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia 7/76 Jos B on mielivaltainen n n matriisi, niin B = H+A, (4) missä H on hermiittinen ja A on antihermiittinen ja Lisäksi voidaan osoittaa, että: H = (B+B ) A = (B B ). (4) Hermiittisen, antihermiittisen ja unitaarisen n n matriisin ominaisvektoreista x i, i =,,...,n voidaan muodostaa C n :n ortonormitettu kanta, jolle (x i,x j ) = δ ij. Hermiittisen ja antihermiittisen matriisin eri ominaisarvoihin kuuluvat ominaisvektorit ovat ortogonaaliset. Spektraalilause saa nyt muodon A:n diagonalisoi unitaarinen matriisi U A on hermiittinen. M5 8.. Kompleksialkioisia matriiseja 68/76 Olkoon A n n neliömatriisi. Tällöin matriisi A on hermiittinen, jos A = A. matriisi A on antihermiitttinen, jos A = A. matriisi A on unitaarinen, jos A = A. Unitaariselle matriisille A on Hermiten konjugaatin determinantti on AA = I = A A. (38) det(a ) = [det(a)]. (39) Huom Nyt nähdään vastaavuudet aiempaan (vrt. 6.4): Reaalialkioiselle matriisille on A = A, joten reaalinen......hermiittinen matriisi on symmetrinen eli A T = A....antihermiittinen matriisi on antisymmetrinen eli A T = A....unitaarinen matriisi on ortogonaalinen A T = A. M5 8.4. Hermiittiset neliömuodot 7/76 8.4. Hermiittiset neliömuodot Funktio q : C n C on hermiittinen neliömuoto, jos q(x,x,...,x n ) = x Ax = ij x xi x a ij x j, x =., (4) missä kerroinmatriisi A on hermiittinen n n neliömatriisi. Similariteettimuunnoksen (U on unitaarimatriisi: U = U ) D = U AU = diag(λ,λ,...,λ n ), tuottamat uudet koordinaatit ovat y = U x, x = Uy, joten q(x,x,...,x n ) = x Ax = (Uy) AUy = y U AUy = y Dy = λ y +λ y +...+λ n y n. x n M5 8.3. Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia 69/76 8.3. Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia Seuraavassa kaikki matriisit ovat n n neliömatriiseja. Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset: λ i R. Antihermiittisen matriisin ominaisarvot ovat joko nolla tai täysin imaginaarisia: λ i = ±bi. Unitaarisen matriisin ominaisarvot ovat joko reaalisia tai kompleksisia mutta aina ykkösen pituisia: λ i = i. Olkoon A sitten unitaarinen. Tällöin pätevät et: ) A säilyttää sisätulon eli u = Aa ja v = Ab (u,v) = (a,b) u v = a b. Siten A säilyttää myös normin a. ) Olkoon a,a,...,a n matriisin A sarakevektorit. A on unitaarinen (a i,a j ) = δ ij. Sama pätee rivivektoreille. 3) A:n determinantti on det(a) = ±. M5 8.4. Hermiittiset neliömuodot 7/76 Täten olemme saaneet hermiittisen neliömuodon pääakseliesityksen eli kanonisen muodon n n q(x,x,...,x n ) = xi a ij x j = i= j= n λ i y i Q(y,y,...,y n ). (43) i= missä λ i :t ovat alkuperäisen kerroinmatriisin A ominaisarvot. Pääakselimuodosta, muistaen hermiittisen matriisin ominaisarvot reaalisiksi, seuraa, että q(x,x,...,x n ) R. Huom Neliömuodot ovat hyvä esimerkki siitä, että ominaisarvot ja ominaisvektorit tavoittavat jotain A:lle ja sitä vastaavalle lineaarikuvaukselle ominaista/karakteristista. Huom Hermiittisten matriisien ominaisarvojen reaalisuus on oleellista kvanttimekaniikassa: Hermiittisiä operaattoreita vastaavat fysikaaliset observaabelit ovat reaalisia.
M5 9.. Funktioavaruus ja funktioiden sisätulo 73/76 9. Ortogonaalisista funktiojoukoista 9.. Funktioavaruus ja funktioiden sisätulo Olkoon aluksi annettu n funktiota ϕ (x),ϕ (x),...,ϕ n (x), joiden määrittelyjoukko on R:n väli, ϕ i : [a,b] C. Oletetaan funktiot ϕ i lineaarisesti riippumattomiksi, jolloin ne muodostavat kannan joukolle V, jonka vektorit f(x) ovat lineaarikombinaatioita n f(x) = c i ϕ i (x), (44) missä kertoimet c i C. Selvästikin tämän joukon asukit f,g,h V toteuttavat luvun 5. vaatimukset, esimerkiksi i= f(x)+g(x) V cf(x) V f(x)+g(x) = g(x)+f(x) (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)). M5 9.. Joitakin ortogonaalisia funktiojoukkoja 76/76 Harmoniset pallofunktiot Pyörimismäärän L kvanttimekaaninen tarkastelu pallokoordinaateissa johtaa funktioihin, joiden yleinen lauseke voitaisiin kirjoittaa Legendren polynomien P n (x) avulla; tässä niistä muutama (lisää taulukkokirjoissa ja ehkä harjoituksissa): Y (θ,φ) = / 4π, Y (θ,φ) = 3/4πcosθ, (5) Y,± (θ,φ) = 3/8πsinθe ±iφ,... Nämä ovat ortonormitettuja: Ylm (θ,φ)y l m (θ,φ)dθdφ = δ ll δ mm, (5) missä integroidaan yli täyden avaruuskulman 4π. Funktiot Y lm ovat pyörimismääräoperaattorin ominaisfunktioita seuraavasti: L Y lm = l(l +)Y lm L z Y lm = my lm, (5) mistä ominaisarvot voidaan suoraan lukea (ks. fysa6 ja fysa35). M5 9.. Funktioavaruus ja funktioiden sisätulo 74/76 Täten V on vektoriavaruus, jonka dimensio on n. Tällöin (f,g) = b a f (x)g(x)w(x)dx, (45) missä w(x) on valittu painofunktio [esim. w(x) = ], toteuttaa luvun 8. kompleksisen sisätulon vaatimukset. Kantafunktiojoukko {ϕ i } on ortogonaalinen, jos (ϕ i,ϕ j ) =,kun i j. (46) Jos tämän lisäksi i ϕ i =, missä normi f = (f,f), on se ortonormitettu: (ϕ i,ϕ j ) = δ ij. (47) Huom Sovelluksesta riippuen on tarpeen rajata funktioiden ominaisuuksia esim. välin [a, b] päätepisteissä (tai väli voi olla myös [, ]) siten, niillä on päätepisteissä tietyt arvot ja/tai varmistaa, että tarvittavat integraalit suppenevat. M5 9.. Joitakin ortogonaalisia funktiojoukkoja 75/76 9.. Joitakin ortogonaalisia funktiojoukkoja Suuri harppaus: On uskottavaa (ei triviaalia), että edelläoleva on yleistettävissä ääretönulotteiseen tapaukseen. Lisäksi funktiot ϕ i (ja siten f) voivat olla kahden tai useamman muuttujan funktioita. Sen osoittaminen, että jokin funktiojoukko todella virittää esim. kaikkien neliöintegroituvien funktioiden muodostaman avaruuden (täydellisyys), jää seuraavalle kurssille. Tällä kurssilla kuitenkin kuuluu esitellä joitakin ortogonaalisia funktiojoukkoja: Trigonometriset funktiot (alla n,m =,,3,...) π cosnx cosmx = π δ nm Legendren polynomit π sinnx sinmx = π δ nm (48) P (x) =, P (x) = x, P (x) = (3x ) (49) P n+ (x) = xp n (x) P n (x) [xp n (x) P n (x)]/(n+) ovat ortogonaalisia, integroimisvälinä [, ].