TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA Harjoitus 4 syksy 2016 Ratkaisut 1. Mitä ehtoja joukkojen M ja N tulee täyttää (kussakin kohdassa erikseen), jotta seuraavat väittämät olisivat tosia a) M = b) N \ M = c) M N = M N d) N \ M = M \ N. Ratk. a) M =. Oltava M =. b) N \ M =, eli {x x N, x / M} =. Siis N M. c) M = N. d) N \ M = M \ N. Oltava N \ M =, eli N M ja M \ N =, eli M N. Siis N = M. 2. Olkoon n 1 kokonaisluku. Ei-negatiivisille kokonaisluville a ja b on a = b mod n, jos ja vain jos a:lla ja b:llä on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa. Olkoon R suhde ei-negatiivisten kokonaislukujen joukossa, jolle a) (a, b) R jos ja vain jos a = b mod 4, b) (a, b) R jos ja vain jos (a = b mod 4 tai a = b mod 6). Tutki molemmissa tapauksissa onko R ekvivalenssisuhde ei-negatiivisten kokonaislukujen joukossa. Jos on, niin määrää R:n ekvivalenssiluokat. Jos R ei ole ekvivalenssisuhde, niin perustele miksi ei. Ratk. a) Nyt a = b 0 r 3). (i) Selvästi a = a mod 4 jos ja vain jos (a = 4q 1 + r ja b = 4q 2 + r jollakin kokonaisluvulla mod 4 kaikilla a, joten (a, a) R kaikilla a, joten R on refleksiivinen. (ii) Jos (a, b) R, eli a = 4q 1 + r ja b = 4q 2 + r jollakin kokonaisluvulla 0 r 3, niin varmasti on b = 4q 2 + r ja a = 4q 1 + r. Siis (b, a) R, ja R on symmetrinen. (iii) Jos (a, b) R ja (b, c) R, niin silloin a = 4q 1 + r 1 ja b = 4q 2 + r 1 jollakin kokonaisluvulla 0 r 1 3, ja b = 4q 3 + r 2 ja c = 4q 4 + r 2 jollakin kokonaisluvulla 0 r 2 3. Koska on oltava 4q 2 + r 1 = 4q 3 + r 2, niin r 1 = r 2. Silloin on a = c mod 4, eli (a, c) R. Siis R on transitiivinen. (i)-(iii) perusteella R on ekvivalenssisuhde. Ekvivalenssiluokat: [0] R = {0, 4, 8, 12,...} = {x x = 4q + 0} [1] R = {1, 5, 9, 13,...} = {x x = 4q + 1} [2] R = {2, 6, 10, 14,...} = {x x = 4q + 2} [3] R = {3, 7, 11, 15,...} = {x x = 4q + 3} b) (a, b) R jos ja vain jos (a = b mod 4 tai a = b mod 6). Selvästi (5, 9) R, koska 5 = 1 4 + 1 ja 9 = 2 4 + 1. Myös (9, 15) R, koska 9 = 1 6 + 3 ja 15 = 2 6 + 3. Nyt (5, 15) / R, sillä 5 = 1 4 + 1, 15 = 3 4 + 3, ja 5 = 0 6 + 5 ja 15 = 2 6 + 3. Siis R ei ole transitiivinen, eikä siten ekvivalenssisuhde. 3. Olkoon perusjoukkona U Tietotekniikan matematiikan 1. välikokeeseen syksyllä 2016 ajoissa ilmoittautuneet opiskelijat (eli se joukko jonka välikoe tarkastetaan). Määrää jokin ekvivalenssisuhde U:ssa ja perustele miksi määrittelemäsi suhde on ekvivalenssisuhde. Määrää myös määrittelemäsi ekvivalenssisuhteen ekvivalenssiluokat joukossa U. Ratk. Eräs ekvivalenssisuhde: (a, b) R jos ja vain jos a:lla ja b:llä on sama syntymävuosi. Selvästi R on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, eli ekvivalenssisuhde. Ekvivalenssiluokat: [p] R = {x U x on syntynyt vuonna p}. Esimerkiksi [1997] R käsittää kaikki vuonna 1997 syntyneet. 4. Olkoon Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} ja Z + = {1, 2, 3,...}. Määritellään joukon Z + suhde R seuraavasti: (a, b) R täsmälleen silloin kun a b = 2n jollakin kokonaisluvulla n Z. a) Onko voimassa: (8, 128) R? b) Osoita, että R on ekvivalenssirelaatio c) Mitkä ekvivalenssiluokista [6] R, [7] R, [21] R, [24] R ja [48] R ovat samoja (jos mitkään). Ratk. a) Koska 8 128 = 2 4, niin (8, 128) R.
b) (i) Koska a a = 1 = 20 aina kun a Z +, niin (a, a) R aina kun a Z +. Siis R on refleksiivinen. (ii) Jos (a, b) R, niin a b = 2n jollakin kokonaisluvulla n Z. Silloin b a = 2 n, ja koska n Z, niin (b, a) R, eli R on symmetrinen. (iii) Jos (a, b) R ja (b, c) R, niin silloin a b = 2n ja b c = 2m joillakin luvulla n, m Z. Silloin on a c = a b b c = 2n 2 m = 2 n+m. Koska n + m Z, niin (a, c) R, eli R on transitiivinen. Kohtien (i)-(iii) perusteella R on ekvivalenssisuhde. c) Koska 6 24 = 2 2, ja 24 48 = 2 1, niin (6, 24), (24, 48)(6, 48) R. Siis [6] R = [24] R = [48] R. [7] R ja [21] R muodostavat erilliset ekvivalenssiluokat. 5. Olkoon perusjoukkona U kaikki positiiviset kokonaisluvut luvusta 1, lukuun 15 (1 ja 15 mukaan lukien) Määritellään joukossa U suhde R seuraavasti: "(a, b) R täsmälleen silloin kun b a on kokonaisluku (jonka ei tarvitse kuulua joukkoon U)". Onko R osittainjärjestys joukossa U? Jos on, niin perustele vastauksesi, piirrä R:n järjestyskuvio ja luettele kaikki R:n määräämät minimaaliset ja maksimaaliset alkiot. Jos R ei ole osittainen järjestys, niin perustele vastauksesi. Ratk.
6. Olkoon joukko A = {a, b, c, d}. Muodosta sellainen joukon A osittainen järjestys R, että R ei ole jonojärjestys ja R sisältää ainakin 9 paria (x, y), joille (x, y) R, missä x, y A. Luettele R:n parit, piirrä osittaisen järjestyksen R järjestyskuvio. Määrää osittaisen järjestyksen R minimaaliset ja maksimaaliset alkiot ja esitä jokin osittaisen järjestyksen R kanssa yhteensopiva jonojärjestys. Ratk.
7. Olkoon perusjoukko U kaikki Oulun yliopiston opiskelijat. Määrittele joukon U suhde, joka on refleksiivinen, mutta ei ole ekvivalenssisuhde, eikä osittainen järjestys. Ratk. Eräs suhde: (x, y) R täsmälleen silloin kun x ja y opiskelevat samaa matematiikan kurssia. Selvästi R on refleksiivinen. Toisaalta opiskelijoiden joukossa on olemassa opiskelijat a, b, c niin, että a ja b suorittavat samaa matematiikan kurssia, jolla c ei ole, b ja c opiskelevat toista matematiikan kurssia, jolla a ei ole ja a ja c eivät opiskele samalla matematiikan kurssilla. Siis (a, b) R, (b, c) R, mutta (a, c) / R. Silloin R ei ole transitiivinen, eli ei ekvivalenssisuhde, eikä osittainen järjestys. 8. Piirrä seuraavat graafit a)k 5, b)k 3,4 c) P 7 d) C 7. Ratk.
9. Piirrä kaikki 4 pistettä sisältävät ei-isomorfiset kaksijakoiset graafit. Ratk.
10. Tiedonsiirto-ongelma (Transmitting problem) Olkoon G graafi, josta saadaan graafi G s lisäämällä siihen uusi piste s (=lähde) ja viiva pisteestä s jokaiseen graafin G pisteeseen. Jokaisena aikayksikkönä lähde s voi lähettää viestin yhteen G:n pisteeseen ja jokainen viestin jo saanut piste voi välittää viestin kaikille naapureilleen G:ssä. Kuinka monta aikayksikköä t(g) tarvitaan, että jokainen G:n piste on vastaanottanut viestin? Määrää t(g) allaolevalle graafille. Ratk.
11. Heikki ja Hanna pitivät juhlat, joihin osallistui 3 muuta pariskuntaa. Juhlan aikana useat osallistujat kättelevät toisiaan, niin, että kukaan ei kättele itseään eikä puolisoaan ja samaa kättelyä ei tapahdu kahdesti. Tervehdysten jälkeen Heikki kysyi jokaiselta läsnäolijalta (myös Hannalta) montako kättelyä hän oli tehnyt. Jokainen antoi vastaukseksi eri määrän. Montako kertaa Heikki tervehti? Montako kertaa Hanna? Ratk.