Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Samankaltaiset tiedostot
2 Funktion derivaatta

5 Differentiaalilaskentaa

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011

2 Funktion derivaatta

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

Matematiikan tukikurssi

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

Toispuoleiset raja-arvot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

Matematiikan tukikurssi

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Matematiikan tukikurssi

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

Matematiikan tukikurssi

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

Numeerinen integrointi ja derivointi

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

Yhden muuttujan funktion minimointi

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Matematiikan peruskurssi 2

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

Matemaattisen analyysin tukikurssi

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37

Numeeriset menetelmät

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Numeeriset menetelmät

Matematiikan tukikurssi

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Matematiikan tukikurssi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) = = 21 tosi

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Differentiaalilaskenta 1.

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai

MAT Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

1.4 Funktion jatkuvuus

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia

Matemaattisen analyysin tukikurssi

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

Funktioista. Esimerkki 1

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

3.3 Funktion raja-arvo

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Transkriptio:

1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa mainittu jatkuvuus, joka kaikilla derivoituvilla funktioilla välttämättä on Derivaatta tarjoaa funktion käyttäytymisestä lokaalia eli paikallista tietoa Funktio f : I on pisteessä x I lokaalisti kasvava, jos on olemassa sellainen ε >, että f ( x) < f( x), kun x ε < x< x ja f ( x ) > f( x), kun x < x< x + ε Vastaavasti määritellään lokaalisti vähenevä funktio Lause 1 Jos derivoituvalla funktiolla f : I on pisteessä x I voimassa f ( x ) >, niin f on tässä pisteessä lokaalisti kasvava Vastaavasti, jos f ( x ) <, niin f on pisteessä x lokaalisti vähenevä Lause (Rolle'n lause) Olkoon funktio f : a, b suljetulla välillä jatkuva ja avoimella välillä ( ab, ) derivoituva Jos funktion arvot välin päätepisteissä ovat = : f ( a) = f( b) =, niin on olemassa piste c ( a, b), jossa f () c = Tod; Luennolla, tai Trench s 8, Fitzpatrick s 13

Edellä mainittu jatkuvuus suljetulla välillä tarkoittaa sitä, että funktio on avoimella välillä jatkuva ja välin päätepisteissä funktiolla on toispuoleiset raja-arvot joiden arvo on sama kuin funktion arvo Lause 3 (Yleistetty väliarvolause) Olkoot funktiot f : a, b ja g: a, b jatkuvia suljetulla välillä ab, ja derivoituvia avoimella välillä (, ) c a, b, jossa ab Silloin on olemassa piste ( ) ( g( b) g( a)) f ( c) = ( f( b) f( a)) g ( c) Tod: Sovelletaan Rolle'n lausetta apufunktioon hx ( ) = ( gb ( ) ga ( )) f( x) ( f( b) f( a)) gx ( ) Erityistapauksena saadaan moneen tilanteeseen soveltuva Lause 4 (Väliarvolause) Olkoon funktio f : a, b suljetulla välillä jatkuva ja avoimella välillä ( ab, ) derivoituva Silloin on olemassa piste c a, b, jossa ( ) f ( b) f( a) f () c = b a

3 Välittöminä seurauksina väliarvolauseesta saadaan: Lause 5 Jos väliarvolauseen oletukset toteuttavalle funktiolle f pätee f ( x) =, x ( a, b), niin f on välillä ab, vakio Lause 6 (Riittävä ehto kasvavalle funktiolle) Olkoon f : I jatkuva välillä I (joka voi olla rajoittamaton) Jos f on derivoituva välin I sisäpisteissä ja siellä f ( x), niin f on välillä I kasvava Lause 7 (Riittävä ehto aidosti kasvavalle funktiolle) Olkoon f : I jatkuva välillä I (joka voi olla rajoittamaton) Jos f on derivoituva välin I sisäpisteissä ja siellä f ( x) ja yhtälö f ( x ) = ei ole voimassa millään I:n avoimella osavälillä, niin f on välillä I aidosti kasvava Tarkastelemalla edellä olevaa kahta lausetta funktiolle tulokset vähenevälle ja aidosti vähenevälle funktiolle f saadaan vastaavat

4 Väliarvolausetta käytetään usein numeerisessa matematiikassa funktion arviointiin: Lause 8 Jos f toteuttaa välillä ab, väliarvolauseen oletukset, x ( ab, ) ( ) (, ), niin f ( x) f( x ) M b a, x ( a, b) f x M x a b ja Toispuoleiset derivaatat määritellään erotusosamäärien toispuolisina rajaarvoina Funktion f : I oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä x on f ( x) f( x) f + ( x) = lim Vastaavasti määritellään vasemmanpuoleinen x x+ x x derivaatta f ( x) Esim 1 Funktiolla f : +, f ( x) = x on kohdassa x = vain vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat -1 ja 1, mutta ei derivaattaa

5 Harjoituksissa esitellään L'Hospitalin sääntö raja-arvojen laskemiseen Se soveltuu tilanteisiin, joissa raja-arvon laskenta suoraan lausekkeisiin sijoittamalla johtaisi epämääräiseen muotoon /, /, tai vastaaviin Esim Raja-arvo sin x D(sin x) cos x lim = lim = lim = 1, x x x D( x) x 1 jossa toisessa yhtälössä käytettiin L'Hospitalin sääntöä f ( x) f ( x) lim = lim x g( x) x g ( x) Suora sijoitus x = olisi johtanut muotoon / x x e e Esim 3 lim = lim = x x x 1 Sääntöä voidaan toistaa, edellyttäen että säännön soveltamisen ehdot täyttyvät: x x x e e e Esim 4 lim n = lim n 1 = = lim = x x x nx x n! Tämän esimerkin tulos on käytännön kannalta tärkeä tieto: eksponenttifunktio kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa polynomi

6 Jos funktio f : I on välillä I derivoituva, niin voidaan kysyä, onko sen derivaatta edelleen derivoituva Jos on, niin kyseessä on toisen kertaluvun d f derivaatta eli toinen derivaatta f = D f = Yleisesti voidaan dx n ( n) n d f vastaavalla tavalla määritellä n kertaluvun derivaatta f = D f = n dx Jos tämä on olemassa, sanotaan, että funktio on n kertaa derivoituva Riittävän monta kertaa derivoituvaa funktiota voidaan approksimoida polynomilla: Olkoon funktio f : I välillä I n 1kertaa derivoituva Haetaan korkeintaan astetta n 1 olevaa polynomia P( x ), joka toteuttaa pisteessä x ehdot ( n 1) ( n 1) (1) P( x ) f( x ), P( x ) f ( x ),, P = = ( x ) = f ( x ) Jos polynomi n 1 k k derivoidaan m kertaa saadaan k= P( x) = a ( x x ) P ( m) n 1 k m ( x) = kk ( 1) ( k m+ 1) a( x x) k= m Sijoittamalla x = x saadaan kertoimelle a m lauseke k a m ( m ) ( x), m,1,, P = =, m! missä on käytetty sopimusta!=1 Tästä seuraa, että jos astetta n 1 oleva polynomi P( x ) ja funktio f ( x ) on kytketty ehdoilla (1) toisiinsa, niin tämä polynomi on yksikäsitteinen, sillä kertoimet ovat välttämättä a m ( m) f ( x) =, m=,1,, m!

7 Tämä polynomi on funktion f n-1 asteen Taylorin polynomi kohdassa x : () ( n 1) f '( x) f ''( x) f ( x) Tn 1( x; x) = f( x) + ( x x) + ( x x) + + 1!! ( n 1)! Lause 9 (Taylorin kaava) Jos funktio f ja sen n ensimmäistä derivaattaa ovat olemassa ja jatkuvia välillä ( x hx, + h), niin kaikilla x ( x h, x + h) on voimassa esitys (Taylorin kehitelmä) f ( x) = T ( x; x ) + R ( x; x ), n 1 n missä jäännöstermi ( n) f ( ξ ) n Rn ( x; x) = ( x x), jollakin ξ ( x, x) tai ξ ( x, x) ( n)! Oheisessa kuviossa on funktioiden x ja x e kahden alimman asteen Taylorin polynomit kohdassa 1 ja :

8 Lauseen 9 todistus sivuutetaan Voidaan myös todistaa, että mainittu Taylorin polynomi on yksikäsitteinen Esim 5 Funktion cos x Taylorin kehitelmä on 4 6 n x x x n 1 x n cosξ n 1 + + + ( 1) + ( 1) x! 4! 6! (n )! ( n)! Teht 1 Muodosta funktion x f ( x) = e 4 asteen Taylorin polynomi Korvaamalla funktiot Taylorin kehitelmillään voidaan monesti laskea muuten vaikeita raja-arvoja: Esim 6 Lasketaan raja-arvo lim sin x x x x (1 cos x ) Sijoitetaan lausekkeeseen sinin ja kosinin Taylorin kehitelmät 3 x 4 x 3 sin x = x + x ε1( x), cos x = 1 + x ε( x), 6 missä ε1( x), ε( x), kun x Lauseke saa muodon 3 x 4 1 + x ε1( x) + xε1( x) 6 6 1 3 =, kun x x 4 1 3 x ε( x) xε ( x)