JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat (objf:n kertoimet, oikean puolen vakiot, ) miten optimiratkaisu käyttäytyy, jos tehtävän vakiot muuttuvat jonkin parametrin mukaan kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa Lineaarista optimointitehtävää, primaalitehtävää, vastaa toinen lineaarinen optimointitehtävä, duaalitehtävä Primaalitehtävän ja duaalitehtävän objektifunktioiden optimaaliset arvot ovat samat Primaalitehtävän ja duaalitehtävän optimiratkaisut liittyvät toisiinsa komplementaarisuusehtojen välityksellä = Primaalitehtävä voidaan ratkaista duaalitehtävän avulla 1
Primaalitehtävä: Duaalitehtävä: min kun max kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j b i x j 0 j = 1,..., n m i=1 m i=1 b i u i u i 0 a ij u i c j i = 1,..., m i = 1,..., m j = 1,..., n 2
Matriisimuodossa: Primaalitehtävä: min c T x kun Ax b x 0 Duaalitehtävä: max u T b kun u T A c T u 0 3
Huomaa, että: max u T b max b T u kun u T A c T kun A T u c u 0 u 0 4
Huomaa, että: max c T x min ( c) T x kun Ax b kun ( A)x ( b) x 0 x 0 min u T b max u T ( b) kun u T A c T kun u T ( A) ( c) T u 0 u 0 5
Yleisemmin: Primaalitehtävä: min kun n j=1 n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i a ij x j b i i = 1,..., p i = p + 1,..., m x j R j = 1,..., q (rajoittamattomia) x j 0 j = q + 1,..., n 6
= Duaalitehtävä: max kun m i=1 m i=1 m i=1 b i u i a ij u i = c j a ij u i c j j = 1,..., q j = q + 1,..., n u i R i = 1,..., p (rajoittamattomia) u i 0 i = p + 1,..., m 7
Tuloksia matriisimuodossa Tuloksia yhtälörajoitteiselle tehtävälle: Lause 2.5.2 (s. 27) Lause 2.5.3 (s. 28) Tuloksia epäyhtälörajoitteiselle tehtävälle: Seuraukset 1 ja 2 (s. 28) Lause 2.5.4 (s. 28) 8
Yhtälörajoitteet: n j=1 a ij x j = b i i = 1,..., m Perusmuoto: x j = b j k/ B ā jk x k j B Vastaava perusratkaisu: x j = b j x j = 0 j B j / B 9
Yhtälörajoitteet matriisimuodossa: Ax = b Olkoon A = [B, N], missä B sisältää joukkoa B vastaavat sarakkeet ja N muut sarakkeet Olkoot x = [x B,x N ] ja c = [c B,c N ] vastaavasti = Ax = b Bx B + Nx N = b x B = B 1 b B 1 Nx N 10
= Perusmuoto: x B = B 1 b B 1 Nx N Vastaava perusratkaisu: x B = B 1 b x N = 0 Olkoon B 1 b 0, jolloin perusratkaisu on sallittu 11
Tarkastellaan tehtävää min c T x kun Ax = b x 0 12
Sijoitetaan perusmuoto objektifunktioon: c T x = c T B x B + c T N x N = c T B (B 1 b B 1 Nx N ) + c T N x N = c T B B 1 b + (c T N ct B B 1 N)x N Jos c T N ct B B 1 N 0 T, niin objektifunktio saavuttaa miniminsä, kun x N = 0 Jos [c T N ct B B 1 N] j < 0 jollain j, niin objektifunktion arvo on rajoittamaton 13
= Lause 2.5.2 : Perusratkaisu x B = B 1 b, x N = 0 on optimiratkaisu c T N ct B B 1 N 0 T 14
Tarkastellaan primaalitehtävää min c T x kun Ax = b x 0 ja sen duaalitehtävää max u T b kun u T A c T u R m (rajoittamaton) 15
Olkoon x primaalin sallittu ratkaisu ja u duaalin sallittu ratkaisu = u T b = u T Ax c T x = duaalin objektifunktion arvo primaalin objektifunktion arvo = jos u T b = c T x, niin x on primaalin optimiratkaisu ja u on duaalin optimiratkaisu 16
Olkoon x B = B 1 b, x N = 0 primaalin optimiratkaisu = c T N ct B B 1 N 0 T c T B B 1 N c T N Olkoon u T = c T B B 1 = u T A = c T B B 1 A = [c T B B 1 B,c T B B 1 N] [c T B,cT N ] = ct = u on duaalin sallittu ratkaisu Toisaalta = u T b = c T B B 1 b = c T B x B = c T B x B + c T N x N = c T x = u T = c T B B 1 on duaalin optimiratkaisu ja u T b = c T x 17
= Lause 2.5.3 : Olkoot x ja u primaalin ja duaalin sallittuja ratkaisuja Silloin x ja u ovat optimiratkaisuja u T b = c T x 18
Tarkastellaan primaalitehtävää min c T x kun Ax b x 0 ja sen duaalitehtävää max u T b kun u T A c T u 0 19
Lisätään primaalitehtävään ylijäämämuuttujat: Ax b Ax Iz = b x 0 x,z 0 Määritellään ˆx = [x,z],  = [A, I] ja ĉ = [c,0] Primaalitehtävä = min ĉ Tˆx kun ˆx = b ˆx 0 20
Duaalitehtävän rajoitteet: u T A c T u T A c T u T Â ĉ T u 0 u T ( I) 0 T Duaalitehtävä = max u T b kun u T Â ĉ T u R m (rajoittamaton) = Edelliset tulokset ovat voimassa sellaisenaan 21
= Seuraukset 1 ja 2 : Olkoot x ja u primaalin ja duaalin sallittuja ratkaisuja Silloin x ja u ovat optimiratkaisuja u T b = c T x 22
Olkoon x primaalin sallittu ratkaisu ja u duaalin sallittu ratkaisu = x 0 ja Ax b 0 ja u T 0 T ja c T u T A 0 T = c T x u T Ax u T b Jos x primaalin optimiratkaisu ja u duaalin optimiratkaisu = c T x = u T Ax = u T b 23
Siten c T x = u T Ax = u T b (c T u T A)x = 0 u T (Ax b) = 0 (c j [u T A] j )x j = 0 j = 1,..., n u i ([Ax] i b i ) = 0 i = 1,..., m eli komplementaarisuusehdot 24
= Lause 2.5.4 : Olkoot x ja u primaalin ja duaalin sallittuja ratkaisuja Silloin x ja u ovat optimiratkaisuja x ja u toteuttavat komplementaarisuusehdot 25