Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen. Määritellään esimerkiksi f, g : R R asettamalla f(x) = x + cos x sin x ja g(x) = e sin x (x + cos x sin x) kaikille x R. Yritetään määrätä L Hospitalin säännön avulla raja-arvo f(x) lim x g(x). Ensinnäkin f(x) ja g(x), kun x. Toisaalta jolloin f (x) = 2(cos x) 2 ja g (x) = e sin x cos x(2 cos x + f(x)), f (x) lim x g (x) = lim 2 cos x e sin x ( ) = 0, x 2 cos x + f(x) missä yhtälö ( ) johtuu siitä, että 2 cos xe sin x on rajoitettu, mutta f(x), kun x, joten myös 2 cos x + f(x), kun x. L Hospitalin sääntö sanoo tällöin, että myös f(x) lim = 0. () x g(x) Kuitenkin f(x) g(x) = =, kun x = nπ kaikille n N, esin x joten ehto () ei voi pitää paikkaansa. Ylläolevassa päättelyssä on siis jokin virhe. Missä hemmetissä se on? 2. Määritellään kuvaus f : R R asettamalla {e x f(x) = 2 kun x R \ {0} 0 kun x = 0. Osoita, että f on origossa äärettömän monta kertaa derivoituva ja että f (n) (0) = 0 kaikille n N. (Ohje: Tähän ei (tietenkään) pääse käsiksi tutkimalla pelkästään pistettä x = 0, vaan on tutkittava, mitä tapahtuu origon ympäristössä. Osoita ensin induktiolla, että kaikilla n N on olemassa astetta 3n oleva polynomi P n siten, että kaikille x R \ {0} pätee f (n) (x) = P n ( x )e x 2.
Osoita sitten varsinainen väite oikeaksi uudella induktiolla tutkimalla erotusosamäärää f (n ) (x) f (n ) (0) lim. x 0 x 0 Tämän raja-arvon voi laskea L Hospitalin sääntöä soveltaen, kuitenkin pitäen tehtävän. (mahdolliset) opetukset ja varoitukset mielessä.) 3. Olkoon I R, A = {f : I R f on rajoitettu} ja (f n ) joukon A jono sekä g, h A, g h. Voiko syntyä tämmöistä tilannetta: (f n ) konvergoi kohti g:tä pisteittäin vaan ei tasaisesti, mutta konvergoikin tasaisesti kohti h:ta? Jos mielestäsi voi, anna esimerkki; jos taas mielestäsi ei voi, todista se. 4. Olkoon A = {f : R R f on rajoitettu} ja (f n ) joukon A jono siten, että kaikille n N f n (x) = x2n kaikille x R. + x2n Konvergoiko jono (f n ) a) pisteittäin, b) tasaisesti R:ssä, c) tasaisesti välillä [, ], d) tasaisesti välillä ], [ tai e) tasaisesti välillä ] 2, 2 [? 5. Olkoon R > 0, I =] R, R[ ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Määritellään kaikille n N kuvaukset g n A, g n (x) = x ( + x ) n kaikille x I ja näiden avulla edelleen rekursiivisesti joukon A jono (f n ) siten, että ensin asetetaan f 0 = g 0 ja jos oletetaan, että jonoalkiot f 0, f,..., f n on jo määritelty, niin asetetaan f n+ (x) = f n (x) + g n+ (x) kaikille x I. Suppeneeko jono (f n ) pisteittäin tai tasaisesti välillä I? (Ohje: Yritä ensin löytää funktioille f n mahdollisimman yksinkertainen esitys jonkunmoisen induktiopäättelyn avulla. Laske siis ensin muutama ensimmäinen f n, arvaa näistä yleinen esitys ja todista se oikeaksi induktiolla. Jos tuntuu hankalalta, muistele geometrisen sarjan summakaavoja.) 6. Tarkastellaan esimerkin.6 tilannetta, jossa annettu jono (f n ) konvergoi välillä [0, ] pisteittäin kohti funktiota f : [0, ] R, missä { kun x Q [0, ] f(x) = 0 kun x [0, ] \ Q. Tässä on merkillepantavaa se, että esimerkin.6 jonon (f n ) alkiot eivät ole jatkuvia, joten lause.5 ei sano konvergenssin laadusta yhtään mitään. Sen sijaan f n :t ovat Riemann-integroituvia, joten lause.7 puree tähän ja sen nojalla konvergenssi ei voi olla tasaista. Nyt kysymys kuuluu, voidaanko esimerkin.6 funktiojono (f n ) korvata jonolla jatkuvia funktioita g n : [0, ] R siten, että (g n ) konvergoi kohti funktiota f? Huomaa, että jos näin on, konvergenssi ei lauseen.5 mukaan voi olla tasaista. Tehtävänä on nyt siis joko konstruoida
tämmöinen jono (g n ) tai sitten todistaa, että sellaista ei ole olemassa. (Ohje: Tässä saattaa olla apua ns. Osgoodin lauseesta, joka sanoo, että jos jono jatkuvia funktioita konvergoi pisteittäin kohti rajafunktiota h : I R, niin h on jatkuva joukossa A I, joka on tiheä joukossa I, so. A:n sulkeuma I:ssä täyttää koko joukon I. Vertaa tätä tulosta lauseeseen.5, joka siis sanoo, että jos konvergenssi on tasaista, niin suorastaan A = I.) 7. Olkoon I R kompakti, epätyhjä joukko ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikki f n :t ovat jatkuvia joukossa I. Oletetaan, että kaikille x I reaalilukujono (f n (x)) on kasvava. Oletetaan, että on olemassa f A siten, että f on jatkuva ja (f n ) konvergoi pisteittäin joukossa I kohti funktiota f. Osoita, että tällöin f n f tasaisesti I:ssä. Tämä on ns. Dinin lause, sen voi lyhyesti lukea niin, että kompaktissa joukossa pisteittäin ja monotonisesti kohti jatkuvaa funktiota konvergoiva jatkuvien funktioiden muodostama jono konvergoi aina tasaisesti. (Ohje: Olkoon ɛ > 0 annettu. Merkitse kaikille n N A n = {x I f n (x) f(x) ɛ} I. Huomaa, että A n :t ovat suljettuja, A 0 A A 2... ja A n =. n N Päättele tästä (tämä on todistuksen vaikea vaihe) kompaktisuutta käyttäen, että jollekin N N pätee A n = kaikille n N.) 8. Olkoon I = [0, ] ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikille n N f n (x) = x n kaikille x I. Osoita, että (f n ) ei konvergoi tasaisesti joukossa I. Miksi tämä ei ole vastoin Dinin lausetta eli tehtävää 7? 9. Olkoon I = [0, [ ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikille n N f n (x) = x n kaikille x I. Osoita, että (f n ) ei konvergoi tasaisesti joukossa I. Miksi tämä ei ole vastoin Dinin lausetta eli tehtävää 7? 0. Olkoon I = [0, ] ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikille f 0 0 ja n N, n { 0 kun x ]0, f n (x) = n [ kun x I\ ]0, n [. Osoita, että (f n ) ei konvergoi tasaisesti joukossa I. Miksi tämä ei ole vastoin Dinin lausetta eli tehtävää 7?
. Olkoon I = [0, 2] ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikille f 0 ja n N, n { 0 kun x ] 2 f n (x) = n, 2] n 2 x 2 2nx kun x I\ ] 2 n, 2]. Osoita, että (f n ) ei konvergoi tasaisesti joukossa I. Miksi tämä ei ole vastoin Dinin lausetta eli tehtävää 7?
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 2. Tasaisen suppenemisen määritelmä voidaan esittää myös ilman ehtoa esiintyvien funktioiden rajoittuneisuudesta (tämähän vaaditaan määritelmässä.4). Määritelmä kuuluu tällöin näin (tämä on ehkä yleisin tapa määritellä tasaisen suppenemisen käsite): Määritelmä 0. Olkoon = I R, (f n ) jono funktioita f n : I R ja f : I R jokin funktio. Sanotaan, että jono (f n ) konvergoi tasaisesti kohti funktiota f joukossa I, jos kaikille ɛ > 0 on olemassa N N siten, että kaikille n N pätee f n (x) f(x) < ɛ kaikille x I. On selvää, että jos funktiot f n ja f ovat rajoitettuja ja f n f määritelmän.4 mielessä, niin jono (f n ) konvergoi tasaisesti kohti f:ää myös määritelmän 0. mielessä. Määritelmän 0. konvergenssissa voi tapahtua kuitenkin yllättäviä asioita. Anna esimerkki, jossa jono (f n ) konvergoi kohti f:ää tasaisesti jollakin sopivalla välillä määritelmän 0. mielessä, mutta (f 2 n) ei konvergoi kohti funktiota f 2 tässä samassa mielessä. Huomaa, että määritelmän.4 konvergenssissa tällaista ei voi tapahtua; tämän kieltää lauseen.23 jälkimmäinen väite. 3. Olkoon = I R, R > 0 ja (f n ) jono funktioita f n : I [0, R] ja f : I [0, R] funktio siten, että f n f. Olkoon g : [0, R] R jatkuva kuvaus. Osoita, että g f n g f. (Ohje: Käytä hyväksi g:n tasaista jatkuvuutta, ks. [A], lause 5.5) 4. Olkoon = I R, R > 0 ja (f n ) jono funktioita f n : I ]0, R[ ja f : I ]0, R[ funktio siten, että f n f. Olkoon g :]0, R[ R jatkuva kuvaus. Osoita esimerkillä, että ei välttämättä päde g f n g f. Tässä voit antaa esimerkin joko rajoittamattomalla g (mikä on vähän helpompaa) ja käyttää määritelmää 0. tai sitten rajoitetulla g, jolloin pääset käyttämään tämän kurssin oikeaa määritelmää.4. Vertaa tehtävään 3. 5. Määritellään kaikille n N kuvaus f n : R R asettamalla f n (x) = nxe nx2 kaikille x R. a) Osoita, että jono (f n ) konvergoi pisteittäin R:ssä. b) Määrää ne välit I R, joilla konvergenssi on tasaista. 6. Määritellään rekursiivisesti jono kuvauksia f n : [0, [ R asettamalla ensin f 0 (x) = x kaikille x [0, [
ja jos oletetaan, että n ja että f n on jo määritelty, asetetaan f n (x) = x + f n (x) kaikille x [0, [. a) Osoita, että jono (f n ) suppenee pisteittäin välillä [0, [. b) Osoita, että jono (f n ) suppenee tasaisesti välillä [a, b] kaikilla a, b R, joille 0 < a < b. c) Osoita, että jono (f n ) ei suppene tasaisesti välillä [0, ]. (Ohje: Osoita, että kaikille n ja x pätee f n (x) f n+ (x) + x; käytä Dinin lausetta, ks. tehtävä 7.) ( n 7. Olkoon k, n N, 0 k n. Binomikerroin määritellään asettamalla k) Osoita, että ( ) n n! = k k!(n k)!. a) Jos k n, niin pätee kaava ( ) ( n n + = k k) ( ) n +. k b) Osoita, että ( ) n N kaikille 0 k n. k Huomaa, että b)-kohdan väite ei ole mikään itsestäänselvyys, sillä kokonaislukujen osamäärä ei suinkaan välttämättä ole kokonaisluku. Käytä väitteen todistamiseen a)-kohtaa ja induktiota. 8. Todista binomikaava: Kaikille a, b R ja kaikille n N pätee (a + b) n = 9. Osoita, että kaikille n N pätee 2 n = n k=0 n k=0 ( ) n a n k b k. k ( ) n. k 20. Todista Leibnitzin kaava tulofunktion korkeamman kertaluvun derivaatoille: Olkoon = I R avoin väli, a I, n N ja f, g : I R n kertaa derivoituvia. Tällöin pätee (fg) (n) (a) = n k=0 ( ) n f (n k) (a)g (k) (a). k
(Ohje: Induktio ja tehtävä 7 a). Tässä merkintä h (0) (a) tarkoittaa tavalliseen tapaan funktion h arvoa pisteessä a.) 2. Laske funktion f : R \ {±} f(x) = x 2 kaikkien kertalukujen derivaatat. Osoita erityisesti, että { f (n) n! kun n on parillinen (0) = 0 kun n on pariton. (Ohje: Käytä Leibnitzin kaavaa tulolle x +x.) Mietipä huviksesi, miten laskisit funktion g(x) = + x 2 kaikkien kertalukujen derivaatat. Palataan tähän seuraavissa demoissa. Tulos on sellainen, että origossa saadaan { g (n) ( ) n 2 n! kun n on parillinen (0) = 0 kun n on pariton. 22. Todista seuraavanlainen kertaluvun n väliarvolause: Olkoot a, b R, a < b, n N \ {0} ja f : [a, b] R kuvaus, joka on n kertaa derivoituva, päätepisteissä toispuoleisesti. Merkitään h = (b a)/n. Tällöin on olemassa ξ ]a, b[ siten, että n ( ) ( ) n k n f(a + kh) = h n f (n) (ξ). k k=0 (Ohje: Tee induktio. Tapaus n = on selvä. Aseta induktio-oletus niin, että väite pätee kaikille funktioille tasolla n. Sovella sitten induktio-oletusta välillä [a, b h] määriteltyyn funktioon g(x) = f(x + h) f(x). Kirjoita auki ja käytä tavallista väliarvolausetta ([A2], lause 2.7) funktioon f (n ) ja sievennä; tarvitset myös tehtävää 7. a).) 23. Olkoon c R luku, jolla on sellainen ominaisuus, että Osoita, että c N. n c N kaikille n N. Siinäpä omituinen väite. Onko sillä mitään tekemistä aiempien tehtävien kanssa? Onpa hyvinkin, kuten seuraavasta näkyy: (Ohje: On selvää, että on oltava c 0. Tee antiteesi: c [0, [\N. Valitse n = min{k N k > c} ja edelleen a N siten, että c(c ) (c n + ) < a n c.
Sovella tehtävää 22. funktioon f(x) = x c siten, että b = a + n, jolloin h =. Huomaa, että ξ c n < a c n kun a < ξ. Päättele tehtävän 22. antamasta esityksestä ja tehtävästä 7. b), että on olemassa kokonaisluku välillä ]0, [.)
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 24. Lauseen 2.24 todistuksen alussa todetaan varsin huolettomasti, että kyseisen lauseen merkinnöin f P on nm + kertaa derivoituva. Osoita, että tällainen huolettomuus on perusteltua, ts. todista seuraava tulos: Olkoot I, J R avoimia välejä, n N sekä g : I R ja f : J R kuvauksia siten, että g(i) J. Olkoon a I ja oletetaan, että g on n kertaa derivoituva pisteessä a ja f n kertaa derivoituva pisteessä g(a) J. Tällöin kuvaus f g on n kertaa derivoituva pisteessä a. (Ohje: induktio) 25. Olkoon I R avoin väli, f : I R derivoituva funktio ja a I siten että toinen derivaatta f (a) on olemassa. Osoita, että tällöin pätee f (a) = lim h 0 f(a + h) + f(a h) 2f(a) h 2. () Osoita esimerkillä, että yhtälössä () oleva raja-arvo voi olla olemassa, vaikka toista derivaattaa pisteessä a ei olisikaan olemassa. 26. Olkoon I R avoin väli, f : I R kahdesti derivoituva funktio ja a I siten että kolmas derivaatta f (3) (a) on olemassa. Osoita, että tällöin pätee 3 f (3) (a) = lim h 0 f(a + h) f(a h) 2hf (a) h 3. (2) Osoita esimerkillä, että yhtälössä (2) oleva raja-arvo voi olla olemassa, vaikka kolmatta derivaattaa pisteessä a ei olisikaan olemassa. 27. Muotoile ja todista (esimerkkeineen) tehtäviä 25. ja 26. vastaava tulos kolmasti derivoituvalle funktiolle ja mahdolliselle neljännelle derivaatalle pisteessä a. 28. Olkoon I R avoin väli, n N, f : I R n kertaa derivoituva funktio ja a I sekä T n,a f kertalukua n oleva funktion f Taylorin polynomi pisteessä a. Osoita, että f(x) T n,a f(x) lim x a (x a) n = 0. (3) 29. Olkoon P polynomi, jonka asteluku on korkeintaan n N. Oletetaan, että Osoita, että P 0. P (x) lim x 0 x n = 0.
30. Olkoon I R avoin väli, n N, f : I R n kertaa derivoituva funktio ja a I. Osoita, että T n,a f on ainoa korkeintaan astetta n oleva polynomi, joka toteuttaa tehtävän 28. ehdon (3), ts. jos P on polynomi, jonka asteluku on korkeintaan n ja f(x) P (x) lim x a (x a) n = 0, niin välttämättä P = T n,a f. (Ohje: Käytä hyväksi tehtävää 29.) 3. Määrää funktion f : ], [ R, f(x) = x kaikkien kertalukujen Taylorin polynomit origossa. Osoita, että kaikille x [0, [ saadaan Lagrangen esityksestä (lause 2.4) jäännöstermille R n,0 f(x) arvio R n,0 f(x) x n+ ( x) n+2. Voidaanko tästä arviosta päätellä, että T n,0 f f tasaisesti jollakin välillä [0, a], missä 0 < a <? Osoita, että jäännöstermi on tarkalleen R n,0 f(x) = xn+ x kaikille x [0, [. Voidaanko tästä esityksestä päätellä, että T n,0 f f tasaisesti jollakin välillä [0, a], missä 0 < a <? 32. Määrää funktion f : ], [ R, f(x) = x 2 kaikkien kertalukujen Taylorin polynomit origossa. 33. Olkoon I R avoin väli, f : I R derivoituva funktio ja a I. Oletetaan, että f (x) + f(x) = 0 kaikille x I ja lisäksi f(a) = 0. Osoita, että f 0. (Ohje: Osoita ensin, että f on äärettömän monta kertaa derivoituva ja että T n,a f 0 kaikille n R. Käytä sitten Lagrangen esityksestä saatavaa arviota jäännöstermille ja anna n:n kasvaa.)
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 34. Määrää funktion f : R R, f(x) = cos 2 x kuudennen kertaluvun Taylorin polynomi origossa. Miten tästä saa helposti funktion g : R R, g(x) = sin 2 x kuudennen kertaluvun Taylorin polynomin origossa? 35. Määrää funktion f : R R, f(x) = 2 sin x cos x kuudennen kertaluvun Taylorin polynomi origossa a) suoraan Taylorin polynomin määritelmästä; derivaattojen laskemiseen kannattaa käyttää Leibnitzin kaavaa tehtävästä 20., b) lauseen 2.2 avulla ja c) lauseen 2.24 avulla; muistele tässä ensin vähän trigonometrisiä kaavoja. 36. Määrää funktion f : ], [ R, f(x) = + x 2 kuudennen kertaluvun Taylorin polynomi origossa. 37. Määrää funktion f : R R, f(x) = x 7 sin 5 (x 3 ) kertalukua 22 oleva Taylorin polynomi origossa. Tutki lauseen 2.26 avulla, onko f:llä ääriarvoa origossa. 38. Olkoon f : R R, f(x) = cos x. a) Kuinka pieni on luvun r > 0 oltava, jotta f:n origossa lasketun viidennen kertaluvun Taylorin polynomin jäännöstermille R 5,0 f pätee R 5,0 f(x) < 0 6 kaikille x ] r, r[? b) Kuinka suuri on luvun n N oltava, jotta f:n origossa lasketun kertalukua n olevan Taylorin polynomin jäännöstermille R n,0 f pätee R n,0 f(x) < 0 6 kaikille x ], [? c) Kuinka suuri on luvun n N oltava, jotta f:n origossa lasketun kertalukua n olevan Taylorin polynomin jäännöstermille R n,0 f pätee R n,0 f(x) < 0 6 kaikille x ] 0, 0[? 39. Olkoon a, b R, a < b ja f, g : [a, b] R jatkuvia funktioita siten että ne molemmat ovat derivoituvia välillä ]a, b[. Osoita, että on olemassa ξ ]a, b[ siten, että f (ξ)(g(b) g(a)) = g (ξ)(f(b) f(a)). Tämä on ns. yleistetty väliarvolause. (Ohje: Merkitse h(x) = f(x)(g(b) g(a)) g(x)(f(b) f(a)) ja sovella Rollen
lausetta, ks. [A2], lause 2.8.) 40. Yleistetyn väliarvolauseen eli tehtävän 39. tulos kirjoitetaan joskus (ks. esim. [A2], lause 2.3.) muodossa f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). () Jos määritellään f(x) = 3x 4 2x 3 x 2 + ja g(x) = 4x 3 3x 2 2x, niin osoita, että kaikille ξ ]0, [ pätee kuitenkin Miten selität? f() f(0) g() g(0) f (ξ) g (ξ). 4. Olkoon n N, I R avoin väli ja f, g : I R n + kertaa derivoituvia funktioita. Olkoon x 0 I ja x I \ {x 0 }. Olkoon T n,x0 f kertalukua n oleva f:n Taylorin polynomi pisteessä x 0 ja R n,x0 f vastaava jäännöstermi eli R n,x0 f = f T n,x0 f. Osoita, että on olemassa ξ ]x, x 0 [ ]x 0, x[ siten, että (Ohje: Määrittele kaikille t I F (t) = f(t) + n k= R n,x0 f(x)g (n+) (ξ) = R n,x0 g(x)f (n+) (ξ). k! f (k) (t)(x t) k ja G(t) = g(t) + n k= k! g(k) (t)(x t) k ja sovella näihin yleistettyä väliarvolausetta välillä [x, x 0 ] [x 0, x]. Derivaattojen F (t) ja G (t) pahannäköiset lausekkeet pitää laskea, mutta niistä tulee sievennysten jälkeen melko yksinkertaisia.) 42. Osoita, että Taylorin polynomin jäännöstermille saadaan Cauchyn esitys myös ilman oletusta derivaatan f (n+) jatkuvuudesta, ts. todista, että lauseen 2.2 väite pätee myös jos oletetaan ehdon f on n + kertaa jatkuvasti derivoituva sijasta vain, että f on n + kertaa derivoituva. (Ohje: Valitse F kuten tehtävän 4. ohjeessa, mutta nyt G(t) = t. Toista tehtävän 4. ratkaisu näille funktioille.) 43. Osoita, että Taylorin polynomin jäännöstermille saadaan Lagrangen esitys myös ilman oletusta derivaatan f (n+) jatkuvuudesta, ts. todista, että lauseen 2.4 väite pätee myös jos oletetaan ehdon f on n + kertaa jatkuvasti derivoituva sijasta vain, että f on n + kertaa derivoituva. (Ohje: Valitse g sopivasti ja käytä tehtävää 4.)
44. Olkoon n N, I R avoin väli ja f, g : I R n+ kertaa derivoituvia funktioita sekä x 0 I. Oletetaan, että f(x 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n) (x 0 ) = 0 ja g(x 0 ) = g (x 0 ) = g (x 0 ) = = g (n) (x 0 ) = 0 sekä että g (n+) (x) 0 kaikille x I. a) Osoita ensin tavallisen väliarvolauseen (ks. [A2], lause 2.7) avulla, että g(x) 0 kaikille x I \ {x 0 }. b) Todista sitten tehtävän 4. avulla oikeaksi seuraava L Hospitalin säännön versio: f(x) lim x x 0 g(x) = f (n+) (x 0 ) g (n+) (x 0 ). Huomaa, että a)-kohdan nojalla f(x)/g(x) on määritelty kaikille x I \ {x 0 }, joten väite on siltä osin järkevä. Huomaa lisäksi tehtävään sisältyvä hankaluus: f (n+) ja g (n+) eivät välttämättä ole jatkuvia, joten ei välttämättä ole lim ξ x 0 f (n+) (ξ) = f (n+) (x 0 ) tai lim ξ x 0 g (n+) (ξ) = g (n+) (x 0 ).
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 45. Laske funktion f : R ] π/2, π/2[, f(x) = arctan x Taylorin polynomi T 6,0 f tehtävän 36. avulla. 46. Olkoon I R avoin väli ja f : I R n kertaa jatkuvasti derivoituva funktio siten, että f(x) 0 kaikille x I. Osoita, että funktio /f : I R, missä f (x) = kaikille x I f(x) on n kertaa jatkuvasti derivoituva. (Ohje: Induktio. Ota mallia tehtävän 24. ratkaisusta.) 47. Olkoon I R avoin väli, a I ja f : I R n + kertaa jatkuvasti derivoituva funktio siten, että f(x) 0 kaikille x I. Osoita, että funktion /f : I R (joka määriteltiin tehtävässä 46.) Taylorin polynomin kertoimet saadaan seuraavaan rekursiiviseen tapaan: Olkoon Tällöin missä T n,a f(x) = b 0 = a 0 n a k (x a) k joillekin a 0, a,..., a n R. k=0 T n,a f (x) = n k=0 b k (x a) k, ja b k = k a k j b j kun k =,..., n. a 0 j=0 Huomaa, että tästä esityksestä voidaan kaikki kertoimet b k, k = 0,,..., n yksi kerrallaan laskea ja siten /f:n Taylorin polynomi osataan laskea, jos f:n Taylorin polynomi tunnetaan. (Ohje: Huomaa, että f (/f) ; käytä hyväksi lausetta 2.2, jota voidaan nyt soveltaa tähän tilanteeseen tehtävän 46. nojalla.) 48. Laske funktioiden f, g :] π/2, π/2[ R f(x) = cos x ja g(x) = cos 2 x Taylorin polynomit T 6,0 f ja T 6,0 g käyttäen tehtävää 47. Suorita myös tarkistuslasku lauseen 2.2 avulla havainnon g = f f kautta.
49. Laske funktion h :] π 2, π 2 [ R h(x) = tan x = sin x cos x Taylorin polynomi T 6,0 h käyttäen a) tehtävän 48. esitystä T 6,0 f:lle, sinin vastaavaa Taylorin polynomia ja lausetta 2.2 ja toisaalta b) tehtävän 48. esitystä T 6,0 g:lle ja havaintoa h = g. 50. Olkoon I R avoin väli a I ja f : I ]0, [ n + kertaa jatkuvasti derivoituva. Tällöin voidaan määritellä funktio f : I ]0, [ asettamalla f(x) = f(x) kaikille x I. Tehtävän 24. perusteella f on n + kertaa jatkuvasti derivoituva. Osoita, että funktion f : I R Taylorin polynomien kertoimet saadaan seuraavaan rekursiiviseen tapaan: Olkoon T n,a f(x) = n a k (x a) k joillekin a 0, a,..., a n R. k=0 Tällöin missä T n,a f(x) = n k=0 b k (x a) k, b 0 = a 0, b = a 2 ja b k = k a 0 2 (a k b j b k j ) kun k = 2,..., n. a 0 Huomaa, että tästä esityksestä voidaan kaikki kertoimet b k, k = 0,,..., n yksi kerrallaan laskea ja siten f:n Taylorin polynomi osataan laskea, jos f:n Taylorin polynomi tunnetaan. (Ohje: Huomaa, että f f = f; käytä hyväksi lausetta 2.2. Vertaa tehtävään 47.) 5. Laske funktioiden f, g :], [ ]0, [, Taylorin polynomit T 6,0 f ja T 6,0 g a) tehtävän 50. avulla ja b) jollakin muulla tavalla. j= f(x) = x ja g(x) = x 2 52. Laske funktion f :], [ ] π/2, π/2[, f(x) = arcsin x Taylorin polynomi T 6,0 f.
53. Tutki sarjan i=0 a i suppenemista, kun a) a n = (2n )(2n + ) b) a n = n n + c) a n = log n 2n 3 (n ) d) a n = 4n2 n + 3 n 3 + 2n + 4 e) a n = n + n 2n 3 f) a n = (n n ) n (n ) g) a n = n log n (n 2) h) a n = ne n2 i) a n = n! n n j) a n = (n!)2 (2n)! (muista e:n määritelmä) k) a n = (n!)2 2 (n2 ) l) a n = 2n n! n n m) a n = 3n n! n n n) a n = n! 3 n o) a n = n log n log(log n) (n 3). 54. Olkoot (a n ) ja (b n ) reaalilukujonoja siten, että lim n b n = B R ja että kaikille n k pätee a n = b n b n+. Osoita, että sarja i=k a i suppenee ja että sen summa on a i = b k B. i=k Miten tilanne muuttuu, jos oletetaankin, että kaikille n k pätee a n = b n b n+2? Entä, jos kaikille n k ja jollekin kiinteälle m 3 pätee a n = b n b n+m?
55. Osoita tehtävää 54. soveltaen, että sarja i=2 a i suppenee ja laske sarjan summa, kun a) a n = n 2 + n b) a n = n 2 c) a n = n 3 n.
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 56. Olkoon x ], [. Lasketaan sarjan summa seuraavasti: n= x 2n x 2n+ x 2n i) x 2n ii) = = x 2n+ ( x 2n )( + x 2n ) ( ) + x 2n ( x 2n )( + x 2n ) ( x 2n )( + x 2n ) ( ) iv) = x 2n x 2n+ x 2n vi) vii) = = x 2n x 2n x 20 iii) = viii) x = x 2n+ v) = x. Tässä yhtälö i) perustuu tunnettuun kaavaan a 2 b 2 = (a + b)(a b), yhtälöt ii) ja iii) ovat pelkkiä sievennyksiä, yhtälö iv) perustuu lauseeseen 3.43, yhtälössä v) on vaihdettu indeksointia ja yhtälöt vi), vii) sekä viii) ovatkin triviaaleja. Mihinkään ei kuitenkaan pidä suinpäin uskoa, joten tarkistetaan, mitä tapahtuu esimerkiksi, kun x = 0. Tällöinhän summa on selvästi 0, kun taas /( 0) =. Näin yllä esitetyt laskelmat eivät taida pitää paikkaansa. Tarkistetaan vielä, mitä Mathematica asiasta sanoo: Kun x = 2 summa onkin eikä 2, kuten ylläolevan laskelman mukaan pitäisi olla. Kokeilut eri pisteissä antavat vastaavankaltaisia tuloksia ja yleinen linja näyttää olevan se, että sarjan summa x olisi x eikä x. Yllä esitetyissä laskuissa on siis virhe. Etsi se (tai ne voihan virheitä olla useampia). 57. Suorita tehtävän 56. laskut oikein; summaksi tulee todella x 2n = x x 2n+ x. 58. Osoita, että on olemassa suppeneva sarja, jonka tulosarja sen itsensä kanssa ei suppene. Vertaa Mertensin lauseen jälkeiseen huomautukseen. (Ohje: Määrittele jono (a n ) esimerkiksi asettamalla { 0 kun n = 0 a n = ( ) n n kun n.) 59. Olkoon (a n ) reaalilukujono siten, että a n > 0 kaikille n.
a) Anna juuritestin avulla yksinkertainen todistus seuraavalle faktalle: lim n an = 0 lim a n = 0. n n b) Osoita esimerkillä, että käänteinen tulos ei päde, ts. lim a n = 0 lim n an = 0. n n (Ohje: Valitse a n = n!/n n. Vertaa tehtävään 53. i). Voit käyttää tässä myöhemmin todistettavaa faktaa: Jos raja-arvot ovat olemassa, niin ne ovat samoja.) a n+ lim ja lim n an n a n n 60. Olkoot (a n ) ja (b n ) reaalilukujonoja ja N N siten, että kaikille n N pätee a n > 0 ja b n > 0. Merkitään kaikille n 0 c n = b n a n+b n+ a n. a) Osoita, että jos on olemassa r > 0 siten, että niin sarja i=0 a i suppenee. c n r kaikille n N, (Ohje: Osoita ensin, että jono (a n b n ) suppenee. Sovella sitten tehtävää 54. ja maksimiperiaatetta.) b) Osoita, että jos ja sarja niin sarja i=0 a i hajaantuu. c n 0 kaikille n N, b i=0 i (Ohje: Sovella minimiperiaatetta.) hajaantuu, Tehtävän 6. testiä voi (yrittää) käyttää tilanteissa, joissa suhdetesti ei toimi: 6. (Raaben testi) Olkoon (a n ) reaalilukujono ja N N siten, että kaikille n N pätee a n > 0. a) Osoita, että jos on olemassa r > 0 siten, että a n+ a n n r n kaikille n N,
niin sarja i=0 a i suppenee. b) Osoita, että jos niin sarja i=0 a i hajaantuu. a n+ a n n kaikille n N, (Ohje: Sovella tehtävää 60. jonolle (b n ), missä b n = n.) Totea tehtävissä 62, 63 ja 64, että suhdetesti (eli lause 3.32) ei toimi ja selvitä sarjan i= a i suppeneminen tai hajaantuminen Raaben testillä, kun 62. a n = ( ) 2 4 7 (3n 2) (n ). 3 6 9 3n 63. a n = en n! n n. (Vertaa tehtäviin 53. i),l) ja m). Muistele taas luvun e määritelmää.) 64. a n = (n )n e n (n )!, n. Tehtävän 65. testi sopii joihinkin tilanteisiin, joissa suhdetesti eikä myöskään Raaben testi toimi: 65. (Gaussin testi) Olkoon (a n ) reaalilukujono ja N N siten, että kaikille n N pätee a n > 0. Oletetaan, että on olemassa A R, s > ja rajoitettu kuvaus f : N R siten, että a n+ a n = A n + f(n) n s kaikille n N. a) Osoita, että jos A >, niin sarja i=0 a i suppenee. (Ohje: Käytä Raaben testiä.) a) Osoita, että jos A, niin sarja i=0 a i hajaantuu. (Ohje: Käytä Raaben testiä, kun A <. Tapaus A = on vähän hankalampi. Sovella tehtäviä 60. ja 53. g) jonolle (b n ), missä b n = n log n. Tehtävät arviot pitää tehdä melko tarkasti; helpointa on ehkä käyttää väliarvolausetta funktioon f(x) = x log x välillä [n, n + ] ja tämän avulla pungertaa tehtävässä 60. tarvittava epäyhtälö tosin tässä on muitakin mahdollisuuksia.) 66. Olkoon /2 < b < /4 ja a = b /2. Määritellään kaikille n a n = ( ) 2 a(a + ) (a + n ). b(b + ) (b + n )
Osoita, että sarjan i= a i suppeneminen ei selviä suhdetestillä sen enempää kuin Raaben testilläkään. Gaussin testillä se selviää. Mikä on tulos? 67. Suppeneeko sarja i= ( ) i log i i Ole tarkkana Leibnitzin testin ehtojen kanssa. 68. Osoita, että on olemassa raja-arvo lim ( + n 2 + 3 +... + log n) = E R. n Tämä raja-arvo E on ns. Eulerin vakio. Sen likiarvo on E = 0.577256649. (Ohje: Määrittele kaikille n a 2n = n ja a 2n =? n+ n x dx. Osoita, että sarja i= ( )i a i suppenee. Osoittautuu, että sarjan summa on juuri haluttu luku E.)
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 69. Määrää ne pisteet x R, joissa sarja i= f i(x) suppenee, kun (f n ) on jono funktioita f n : R R, missä f n (x) = xn n 3 n. Yritä edelleen määrätä ne suljetut ja rajoitetut välit I R, joilla suppeneminen on tasaista. Tämän jälkimmäisen tehtävän täydellinen ratkaiseminen on vähän hankalaa. Palataan asiaan seuraavissa harjoituksissa. Huomaa, että vastaavan ongelman ratkaisu tehtävissä 70.-7. ja 73.-75. on paljon helpompaa. Minkä takia? 70. Määrää ne pisteet x R, joissa sarja i= f i(x) suppenee, kun (f n ) on jono funktioita f n : R R, missä f n (x) = ( )n x 2n (2n )! Määrää edelleen ne suljetut ja rajoitetut välit I R, joilla suppeneminen on tasaista. 7. Määrää ne pisteet x R, joissa sarja i= f i(x) suppenee, kun (f n ) on jono funktioita f n : R R, missä f n (x) = n(x )n 2 n (3n ). Määrää edelleen ne suljetut ja rajoitetut välit I R, joilla suppeneminen on tasaista. 72. Määrää ne pisteet x R \ {}, joissa sarja i= f i(x) suppenee, kun (f n ) on jono funktioita f n : R \ {} R, missä f n (x) = 2n ( x + 2 x Yritä edelleen määrätä ne suljetut ja rajoitetut välit I R \ {}, joilla suppeneminen on tasaista. Tämä on taas vähän hankalampi ongelma, vrt. tehtävä 69. 73. Määrää ne pisteet x R, joissa sarja i= f i(x) suppenee, kun (f n ) on jono funktioita f n : R R, missä f n (x) = sin(nx) n 3. Määrää edelleen ne suljetut ja rajoitetut välit I R, joilla suppeneminen on tasaista. 74. Määrää ne pisteet x R, joissa sarja i= f i(x) suppenee, kun (f n ) on jono funktioita f n : R R, missä f n (x) = xn n 3. ) n.
Määrää edelleen ne suljetut ja rajoitetut välit I R, joilla suppeneminen on tasaista. 75. Olkoon p N. Määrää ne pisteet x R, joissa sarja i=0 f i(x) suppenee, kun (f n ) on jono funktioita f n : R R, missä f n (x) = ( )n (x/2) p+2n. n!(n + p)! Määrää edelleen ne suljetut ja rajoitetut välit I R, joilla suppeneminen on tasaista. Tässä sarjan määräämää funktiota sanotaan kertalukua p olevaksi Besselin funktioksi ja sitä on tapana merkitä symbolilla J p (x). 76. Yritä määrätä ne pisteet x R, joissa sarja i= f i(x) suppenee, kun (f n ) on jono funktioita f n : R R, missä f n (x) = sin(nx). n Yritä edelleen määrätä ne suljetut ja rajoitetut välit I R, joilla suppeneminen on tasaista. Tämä on huomattavasti vaikeampi tehtävä kuin aiemmat. Miksi? Palataan asiaan seuraavissa harjoituksissa. 77. Olkoon a < b ja (f n ) jono jatkuvia kuvauksia f n : [a, b] R siten, että sarja i=0 f i suppenee tasaisesti välillä [a, b] kohti kuvausta f : [a, b] R. Osoita, että tällöin pätee Vertaa lauseeseen 4.26. b a f(x)dx = i=0 b 78. Määritellään kuvaus f : R R asettamalla f(x) = n= a sin(nx) n 3. f i (x)dx. Vertaa tehtävään 73. Osoita tehtävän 77. avulla, että π 0 79. Osoita, että f(x)dx = 2 k=0 (2k + ) 4 (= 2 + 2 3 4 + 2 5 4 + 2 7 4 +...). arctan x = ( ) k 2k + x2k+ k=0 (= x x3 3 + x5 5 x7 7 +...) kaikille x ], [. Vertaa tehtävän 45. vastaukseen. (Ohje: Huomaa ensin geometrisen sarjan avulla, että /(+t 2 ) = k=0 ( )k t 2k. Integroi sitten tämä sarja välillä [0, x] tehtävän 77. tai lauseen 4.26 avulla.)
80. Laske integraali Anna integraalille x likiarvo tarkkuudella 0 6. 8. Osoita, että π = 4 0 arctan t dt, kun 0 < x <. 2 0 arctan t dt ( ) k 2k + (= 4 4 3 + 4 5 4 7 +...). k=0 Tästä esityksestä voi laskea π:n likiarvon halutulla tarkkudella, koska sarja on vuorotteleva; vertaa huomautukseen 3.4. (Ohje: Käytä hyväksi tehtävää 79. ja lausetta 4.35.)
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 82. Osoita Mertensin lauseen (3.44) avulla kertomalla keskenään sinin ja kosinin sarjakehitelmät, että vanha tuttu kaava sin(2x) = 2 sin x cos x kaikille x R pätee. (Ohje: Muistele binomikaavaa ja tehtävää 9., jossa todistettiin, että 2n+ j=0 Osoita samantapaisella idealla, että n k=0 ( ) 2n + = 2 2n+. j ( ) 2n + = 2 2n.) 2k + 83. Tehtävässä 58. osoitettiin, että suppenevien sarjojen tulosarja ei välttämättä suppene, jos kumpikaan sarjoista ei suppene itseisesti. Voiko käydä niin, että tulosarja suppenee, mutta ei suppene sinne minne pitäisi, eli voiko olla olemassa reaalilukujonoja (a n ) ja (b n ) siten, että sarjat a n ja b n suppenevat ja niiden tulosarja c n, missä c n = n k=0 a kb n k, suppenee, mutta kuitenkin ( ) ( c n a n b n )? Huomaa, että tällaisessa tilanteessa mikäli se nyt on ylipäätään mahdollinen kumpikaan sarja ei voi Mertensin lauseen nojalla supeta itseisesti. 84. Osoita, että kaikille x ] e, e [ on olemassa yksikäsitteisesti määrätty y(x) ], [ siten, että Osoita edelleen, että tällöin pätee y(x) = x = y(x)e y(x). () ( ) n n n x n kaikille x ] e, e [. (2) n! n= (Ohje: Voit käyttää tulosta, joka sanoo, että differentiaaliyhtälöllä x( + y(x))y (x) = y(x) y(0) = 0 y (0) = (3) on välillä ] e, e [ täsmälleen yksi ratkaisu. (Tämän tuloksen todistus sivuutetaan.) Osoita, että sarjan (2) määrittelemä funktio y toteuttaa differentiaaliyhtälön (3) ja samoin ehdon () toteuttava funktio y toteuttaa yhtälön (3).
Käytä sitten mainittua yksikäsitteisyystulosta.) 85. Osoita, että yhtälöllä e λ = λ on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu λ. Osoita edelleen, että tämä λ saadaan summana ( ) n n n λ = + e n. n! n= (Ohje: Käytä tehtävää 84. ja lausetta 4.35.) 86. Osoita, että funktion f :], [ R, Taylorin sarja origossa on f(x) = + x T,0 f(x) = ( ) n x n. Osoita edelleen, että kaikille x ], [ pätee T,0 f(x) = f(x) = + x. 87. Osoita, että funktion f :], [ R, Taylorin sarja origossa on missä a n = f(x) = T,0 f(x) = x a n x n, { kun n = 0 3 (2n ) 2 4 2n kun n.. Osoita edelleen, että kaikille x [, [ pätee = T,0 f(x) (= + x 2 x + 3 2 4 x2 + 3 5 2 4 6 x3 +...). (Ohje: Taylorin sarjan saat helpoimmin suoraan määritelmästä. Väitteen jälkimmäinen osa taas seuraa jäännöstermiä tutkimalla samaan tapaan kuin lauseen 5.9 todistuksessa. Tämän lauseen ehtoa ei saa nyt voimaan, vaan täytyy harrastaa vähän tarkempaa analyysiä. Vertaa huomautukseen 5.4. Päätepisteeseen x = saat sarjaesityksen lauseen 4.35 avulla.)
88. Osoita, että funktion f :], [ R, Taylorin sarja origossa on missä f(x) = T,0 f(x) = x 2 a n x n, 0 kun n on pariton a n = kun n = 0. kun n on parillinen. 3 (n ) 2 4 n Osoita edelleen, että kaikille x ], [ pätee = T,0f(x) (= + x 2 2 x2 + 3 2 4 x4 + 3 5 2 4 6 x6 +...). (Ohje: Tässä ei kannata käyttää Taylorin sarjan määritelmää, koska funktio on hankala derivoitava. Käytä sen sijaan tehtävää 87. ja lausetta 5.6 eli ratkaise tehtävä ikäänkuin takaperin hakemalla ensin f:lle sarjaesitys, jonka on sitten oltava juuri kysytty Taylorin sarja.) 89. Osoita, että kaikille x [, ] pätee arcsin x = a n x n, missä 0 kun n on parillinen a n = kun n = 3 (n 2) 2 4 (n )n xn kun n on pariton ja n 3 eli arcsin x = x + 2 3 x3 + 3 2 4 5 x5 + 3 5 2 4 6 7 x7 +.... (Ohje: Käytä tehtävää 88. Päätepisteisiin x = ± pääset lauseen 4.35 avulla) 90. Osoita, että kaikille x [, ] pätee missä eli log(x + x 2 + ) = a n x n, 0 kun n on parillinen a n = kun n = ( ) n 3 (n 2) 2 2 4 (n )n xn kun n on pariton ja n 3 log(x + x 2 + ) = x 2 3 x3 + 3 2 4 5 x5 3 5 2 4 6 7 x7 +....
9. Oletetaan, että potenssisarjan a n(x a) n suppenemissäde on R ]0, [. Oletetaan, että sarja suppenee myös suppenemisvälin toisessa päätepisteessä y = a ± R. Osoita, että suppeneminen on tasaista välillä [a, y] (tai [y, a], jos y = a R). (Ohje: Käytä Abelin osittaissummakaavaa samaan tapaan kuin lauseen 4.35. todistuksessa.) 92. Osoita, että tai täsmällisemmin (Ohje: Merkitse 4 + 7 0 +... = π 3 3 + 3 log 2 ( ) n 3n + = π 3 3 + log 2. 3 f(x) = ( ) n 3n + x3n+, derivoi, laske syntyvä summa ja integroi osamurtokehitelmän avulla.)
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 93. Olkoon = I R ja (f n ) jono funktioita f n : I R. Merkitään kaikille x I S n (x) = n i=0 f i(x). Oletetaan, että on olemassa M > 0 siten, että kaikille n N ja kaikille x I pätee S n (x) M. Oletetaan lisäksi, että (a n ) on vähenevä jono reaalilukuja siten, että lim a n = 0. n Osoita, että funktiosarja suppenee tasaisesti joukossa I. a n f n (x) (Ohje: Käytä lausetta.8 ja Abelin osittaisssummakaavaa eli lausetta 4.34.) 94. Osoita, että jokaiselle x R \ {2kπ k Z} ja kaikille n N, n pätee n sin(kx) = cos( 2 x) cos((n + 2 )x) 2 sin( 2 x). k= 95. Osoita, että sarja n= sin(nx) n suppenee tasaisesti jokaisella suljetulla välillä I R \ {2kπ k Z}. Vertaa tehtävään 76. (Ohje: Käytä tehtäviä 93. ja 94.) 96. Ratkaise täydellisesti differentiaaliyhtälö välillä I = R. y (x) 3y(x) = + e x + 2e 3x + sin x cos(2x) 97. Ratkaise täydellisesti differentiaaliyhtälö sin x y (x) + cos x y(x) = väleillä ] π, 0[ ja ]0, π[. Onko yhtälöllä ratkaisua välillä ] π, π[?
98. Ratkaise alkuarvotehtävä { xy (x) + ( x)y(x) = e 2x y() = 0 () välillä ]0, [. Onko saatu y ratkaisu koko R:ssä? Onko yhtälöllä () mitään ratkaisua välillä I = R? 99. Olkoot p ja q polynomeja. Onko yhtälöllä y + py = q välttämättä polynomiratkaisua? Vertaa lauseeseen 6.5. 00. Ratkaise edellisen tehtävän antamalla tietämyksellä täydellisesti yhtälö välillä I = R. y (x) + x 3 y(x) = x 2 0. Olkoon ϕ : R R derivoituva bijektio, jolla on derivoituva käänteiskuvaus ϕ : R R. Olkoot p, q : R R jatkuvia ja y : R R derivoituva. Osoita, että jos yhtälö ϕ (y(x))y (x) + p(x)ϕ(y(x)) = q(x) () toteutuu kaikille x R, niin z = ϕ y on lineaarisen differentiaaliyhtälön z + pz = q (2) ratkaisu R:ssä. Osoita kääntäen, että jos z on yhtälön (2) ratkaisu, niin y = ϕ z on yhtälön () ratkaisu, ts. yhtälö () toteutuu kaikille x R tälle y. Tämä tulos kertoo sen, että tyyppiä () oleva yhtälö voidaan ratkaista täydellisesti ratkaisemalla vastaava lineaarinen yhtälö (2). 02. Ratkaise täydellisesti epälineaarinen differentiaaliyhtälö e y y + e y = välillä I = ], [. Tällä on tietysti ainakin nollaratkaisu y 0 0. Voidaan osoittaa, että kaikilla muilla ratkaisuilla y pätee y(x) 0 kaikilla x ], [. Tällöin jokainen ratkaisu on joko kaikkialla aidosti positiivinen tai aidosti negatiivinen. Tämä tulee näkyviin, kun sovellat tähän tehtävää 0. Huomaa, että tehtävän 0. ehdot eivät toteudu aivan täysin, joten joudut vähän temppuilemaan. Tässä käy esimerkiksi niin, että kaikki yhtälön (2) ratkaisut eivät annakaan yhtälön () ratkaisua.
03. Ratkaise alkuarvotehtävä { e y y + e y = y(0) = välillä I = R. 04. Miksei alkuarvotehtävällä { e y y + e y = y(0) = ole ratkaisua välillä I = R? Mikä on suurin väli, jolla tällä alkuarvotehtävällä on ratkaisu? 05. Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä y 4 xy = 4 xy5. (3) välillä I = R. Tämäkään ei ole lineaarinen, joten sitä ei voi käsitellä luennoissa annettujen (lineaaristen) ohjeiden mukaisesti. Tällä on selvästi nollaratkaisu y 0 0. Voidaan osoittaa (sivuutetaan tämä tässä), että kaikilla muilla ratkaisuilla y pätee y(x) 0 kaikilla x R. Tällöin yhtälö (3) voidaan jakaa puolittain y 5 :lla, jolloin saadaan tehtävän 0. tyyppiä () oleva yhtälö sopivalle ϕ. Ratkaise tätä vastaava tyyppiä (2) oleva lineaarinen yhtälö täydellisesti ja päättele tästä, mikä on yhtälön (3) täydellinen ratkaisu, jolla siis tarkoitetaan kaikkia koko R:ssä määriteltyjä ratkaisuja. Ole tarkkana, ettet kadota mitään ratkaisua. Huomaa myös, että kaikki (2):n ratkaisut eivät suinkaan anna (3):n ratkaisua; näinhän kävi myös tehtävässä 02. Huomaa edelleen se, että tehtävän 0. ehdot eivät taaskaan aivan tarkalleen tule voimaan, joten joudut jälleen vähän soveltamaan eli mikä nyt on ongelma? Vastaus on nollaratkaisun y 0 lisäksi y(x) = ±(Ce x2 2 + ) 4, missä C R, C >.
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä 06. Ratkaistaan epälineaarinen yhtälö (vertaa tehtävään 05.) 3y 2 y + y 3 x = x () välillä I = R tehtävän 0. antamalla menetelmällä. Merkitään tässä ϕ(y) = y 3, jolloin yhtälö () tulee muotoon ϕ (y(x))y (x) + xϕ(y(x)) = x. (2) Tässä ϕ : R R on derivoituva surjektio (toisin kuin tehtävissä 02. ja 05.), joten sillä on käänteiskuvaus ϕ, missä ϕ (x) = 3 x, joka on määritelty koko R:ssä. Tällöin tehtävän 0. nojalla y on yhtälön () ratkaisu jos ja vain jos z = ϕ y on yhtälön z + xz = x (3) ratkaisu. Yhtälö (3) osataan helposti ratkaista tämähän itse asiassa tehtiin jo tehtävän 05. ratkaisun yhteydessä ja täydellinen ratkaisu välillä I = R on z C = Ce x2 2 +, missä C R. Tällöin siis tehtävän 0. mukaan yhtälön () täydellinen ratkaisu välillä I = R on y C (x) = ϕ z C (x) = 3 z C (x) = 3 Ce x2 2 +, missä C R. Tarkastellaanpa sitten ratkaisua y. Tälle pätee y (x) = 3 e x2 2 + kaikille x R, joten erityisesti y (0) = 0 ja siten 3 y (0) y (x) y (0) e x2 2 + 3 e x2 2 + = lim = lim = lim x 0 x x 0 x x 0 x 3 = 3 lim x 0 e x2 2 + x 3 = 3 lim x 0 xe x2 2 3x 2 = 3 lim x 0 e x2 2 3x = lim 3 x 0 e x2 2 3x. Tätä raja-arvoa ei kuitenkaan ole olemassa, sillä e x2 2, kun x 0 ja siten 3 e x2 2 ± kun x 0. 3x Siispä y ei ole derivoituva origossa eikä näin voi olla yhtälön () ratkaisu. Jossakin on siis tehty virhe. Missä? 07. Ratkaise alkuarvotehtävä y (x) 5y (x) + 4y(x) = sin x y(0) = 0 y (0) = 0
välillä I = R. 08. Ratkaise alkuarvotehtävä y (x) 2y (x) + 2y(x) = e x y(0) = y (0) = 0 välillä I = R. 09. Ratkaise täydellisesti differentiaaliyhtälö välillä I = R. y (x) y(x) = 2e x + cos(2x) 0. Ratkaise täydellisesti differentiaaliyhtälö välillä I = R. y (x) y(x) = 2 + e x (Ohje: Käytä lausetta 7.7; tee syntyvässä integraalissa sopiva muuttujanvaihto.). Ratkaise alkuarvotehtävä y (x) + 2y (x) + y(x) = e x x 2 y() = 0 y () = 0 välillä I =]0, [. 2. Ratkaise täydellisesti differentiaaliyhtälö välillä I =]0, [. y (x) + 3 x y (x) + x 2 y(x) = 0 (Ohje: Eräs ratkaisu on y(x) = /x; käytä lausetta 7.3.) 3. Ratkaise alkuarvotehtävä y (x) + 2 x y (x) 2 x y(x) = 0 2 y() = 0 y () = 0 välillä I =]0, [.
4. Olkoon I R avoin väli ja p 0, p : I R jatkuvia kuvauksia. Olkoot edelleen y, y 2 homogeeniyhtälön y + p y + p 0 y = 0 ratkaisuja siten, että W (y, y 2 )(x) 0 kaikille x I. Osoita, että y :n ja y 2 :n (mahdolliset) nollakohdat ovat välillä I vuorotellen; täsmällisemmin sanottuna: Jos x, x 2 I siten, että x < x 2 ja y (x ) = y (x 2 ) = 0 sekä y (x) 0 kaikille x ]x, x 2 [, niin on olemassa täsmälleen yksi piste x ]x, x 2 [ siten, että y 2 (x) = 0. (Huomaa, että tämä ilmiö näkyy vakiokertoimisen homogeeniyhtälön ratkaisuissa erityisesti silloin, kun karakteristisella polynomilla ei ole reaalisia juuria.) 5. Olkoon I R avoin väli, x 0, x I, x 0 x ja a, b, A, B R. Tarkastellaan reuna-arvotehtävää y + ay + by = 0 y(x 0 ) = A y(x ) = B. Osoita esimerkillä, että toisin kuin alkuarvotehtävällä tällä reuna-arvotehtävällä ei aina ole ratkaisua, ja toisaalta, jos ratkaisu sattuu olemaan, niitä voi olla useampia.