Numeeriset menetelmät 1. välikoe, 14.2.2009 1. Määrää matriisin 1 1 a 1 3 a a 4 a a 2 1 LU-hajotelma kaikille a R. Ratkaise LU-hajotelmaa käyttäen yhtälöryhmä Ax = b, missä b = [ 1 3 2a 2 a + 3] T. 2. Suppenevatko Gauss-Seidelin iteraatiot matriisiyhtälölle 2 1 x1 0 1 3 1 Perustele vastauksesi. Laske Gauss-Seidelin menetelmällä ratkaisun approksimaatio x (4) ja arvioi virheen suuruutta -normin suhteen. 3. Yhtälön x 2 = 0 juurta välillä [ 5 3 3] etsitään kiintopisteiteraatiolla: a) x k+1 = 2 + x k b) x k+1 = 1 + 2 x k Osoita, että kiintopisteiteraatiot suppenevat. Kumpi kiintopisteiteraatio antaa tarkemman approksimaation neljän iteraation jälkeen, kun alkuarvauksena käytetään x 0 = 1.9? 4. Ratkaise Newtonin menetelmällä (l. Newton-Raphson menetelmällä) yhtälöryhmän 4 + y 3 2 = 0 ratkaisun approksimaatio. Laske kaksi iteraatiota lähtien alkuarvauksesta x 0 = 0.4, y 0 = 0.4. Kaavat kääntöpuolella
Faculty of Technology, Math division Numerical Methods 1. midterm, 14.2.2009 1. Find the LU-decomposition of the matrix 1 1 a 1 3 a. a 4 a a 2 1 Using the LU-decomposition solve the equation Ax = b, where b = [ 1 3 2a 2 a+3] T. 2. Does the Gauss-Seidel iterations converge for the matrix equation 2 1 x1 0 1 3 1 Justify your answer. Compute with the Gauss-Seidel iterations the approximation x (4) and estimate its error in -norm. 3. The root of the equation x 2 = 0 that lies on the interval [ 5 3 by the following fixed point iterations: 3] are approximated a) x k+1 = 2 + x k b) x k+1 = 1 + 2 x k Show that the the fixed point iterations converge. Which one gives more accurate approximation after four iterations when you start the iterations from x 0 = 1.9? 4. Solve by the Newton method the approxiamte solution of the system of equations 4 + y 3 2 = 0. Compute two iterations starting from x 0 = 0.4, y 0 = 0.4. Formulas on the back
Numeeriset menetelmät/kajaani 1. välikoe, 10.3.2004 1. Määrää matriisin [ 4 ] 0 5 3 1 5 QR-hajotelma Householderin menetelmällä. 2. Ratkaise Jacobin iteraatiomenetelmällä yhtälöryhmän 3 1 x1 4 1 3 4 = [0 0] T. Arvioi ratkaisun a posteriori- likiratkaisu x (4), kun alkuarvaus on x (0) virhettä. 3. Pallo heitetään suoraan ylös alkunopeudella v 0 = 20 m/s korkeudelta x 0 = 0. Sen korkeus ajanfunktiona on x(t) = 1 ρ (v 0 + v r )(1 e ρt ) v r t, missä ρ = 0.35 on ilmanvastuksesta johtuva termi, pallon loppunopeus v r = g ρ. Maan vetovoiman kiihtyvyys g = 9.8 m/s 2. Millä ajanhetkellä pallo palaa alkutilaan? Ratkaise ongelma Newtonin menetelmällä. 4. Ratkaise Newtonin menetelmällä (l. Newton-Raphson menetelmällä) yhtälöryhmän 4 + y 3 2 = 0 ratkaisun approksimaatio. Laske kaksi iteraatiota lähtien alkuarvauksesta x 0 = 0.4, y 0 = 0.4.
Numeeriset menetelmät 1. välikoe, 21.2.2004 1. Määrää matriisin 0 0 1 0 1 2 1 1 2 QR-hajotelma Householderin menetelmällä. 2. Ratkaise konjugaattigradienttimenetelmällä yhtälö 3 1 x1 4 1 3 4 3. Funktion f(x) = e x x 2 nollakohta on välillä [1, 2]. Suppeneeko jompikumpi tai peräti molemmat seuraavista kiintopisteiteraatiojonoista x k+1 = e x k 2, tai x k+1 = ln(x k + 2) kohti funktion nollakohtaa? Perustele väittämäsi. 4. Ratkaise Newtonin menetelmällä (l. Newton-Raphson menetelmällä) yhtälöryhmän 4 + y 3 2 = 0 ratkaisun approksimaatio. Laske kaksi iteraatiota lähtien alkuarvauksesta x 0 = 0.4, y 0 = 0.4.
Numeeriset menetelmät 1. välikoe, 20.2.2010 1. Määrää Pascalin matriisin 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 A = 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 LU-hajotelma. 2. Ratkaise Jacobin iteraatiolla lineaarisen yhtälöryhmän 3x 1 x 3 = 3 x 1 + 4 x 3 = 4 x 1 + 5x 3 = 5 ratkaisun approksimaatio x (4) ja arvioi approksimaation virhettä, kun alkuarvaukset aloitetaan pisteestä x (0) = [0 0 0] T. 3. Osoita, että funktiolla ϕ(x) = cos(x) on kiintopiste välillä I = [0.65, 0.8]. Määrää kiintopisteen approksimaatio 4:n desimaalin tarkkuudella. 4. Yhtälöryhmän { + y 2 x = 0 y 2 y = 0 eräs ratkaisu on pisteen (x 0, y 0 ) = (0.8, 0.5) ympäristössä. Määrää ratkaisun approksimaatio Newtonin menetelmällä. Laske ainakin kaksi iteraatiota.
Kaavakokoelma x (k+1) = Bx (k) + c, x x (k) L 1 L x(k) x (k 1) Lk 1 L x(1) x (0) x n = ϕ(z n ), y n = ϕ(x n ) z n+1 = z n (x n z n ) 2 y n 2x n + z n [ ] F : R 2 R 2 F1 (x, y), F (x, y) = F 2 (x, y) ] F (x, y) = [ F1 (x,y) x F 2 (x,y) x F 1 (x,y) y F 2 (x,y) y f[x i ] = f(x i ), f[x i,..., x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i ] 1. x 0 = 0, r 0 = d 0 = b; 2. k = 0,..., n 1 β k = r k 2 r k 1 2, β 0 = 0 d k = r k + β k d k 1, d 0 = r 0 α k = r k 2 d T k Ad k x k+1 = x k + α k d k r k+1 = r k α k Ad k