Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 2. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
|
|
- Ida Juusonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 2 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
2 Luennon 2 sisältö Luvusta 1: Numeerinen stabiilisuus Liite A: Liukulukuaritmetiikasta Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Puolitushaku Kiintopistemenetelmä Newtonin menetelmä Sekanttimenetelmä Ohjelmointitekniikasta Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
3 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä 1.3 Numeerinen stabiilisuus Numeerinen stabiilisuus: Esimerkki Tarkastellaan tehtävää x = f + 1 f, f 0 (suuri). Tehtävän häiriöalttius suurilla parametrin f arvoilla on K(x) 1 2. Lasketaan suureen x arvoja joillakin parametrin f arvoilla käyttäen yksinkertaisen tarkkuuden liukulukuaritmetiikkaa: f x tarkka E E E E E E E E E E-02 Koska neliöjuuren argumenttia ei voida esittää tarkasti liukulukuna on luonnollista, että laskennan tuloksessa esiintyy virhettä. Virhe on paljon suurempi kuin mitä tehtävän häiriöalttius ennustaa. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
4 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Esimerkki jatkuu 1.3 Numeerinen stabiilisuus Tehtävä on hyvin asetettu: ratkaisu x on olemassa ja se on yksikäsitteinen, ratkaisu x on stabiili, eli riippuu jatkuvasti alkutiedosta f Tehtävän häiriöalttius on pieni K(x) 1 2. Mutta: Liukuluvuilla laskettaessa virhe paljon suurempi kuin mitä häiriöalttius ennustaa Lausekkeen generoima äärellisestä määrästä peruslaskutoimituksia koostuva numeerinen algoritmi x:n laskemiseksi on numeerisesti epästabiili Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
5 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä 1.3 Numeerinen stabiilisuus Esimerkki jatkuu Yhtälö x = f + 1 f, f 0 (suuri). voidaan kirjoittaa yhtäpitävässä muodossa x = 1 f f. Tätä lauseketta käyttäen yksinkertaisen tarkkuuden liukulukuaritmetiikalla saadaan täysi tarkkuus suureen x arvoille. Vaikka lausekkeet ovat matemaattisesti yhtäpitäviä vain jälkimmäinen muoto on käyttökelpoinen. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
6 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä 1.3 Numeerinen stabiilisuus Numeerinen stabiilisuus: Määritelmä Kun sovelletaan jotakin numeerista algoritmia yleisen tehtävän Φ(x, f ) = 0 (1) ratkaisemiseen, tuotetaan jono alkuperäistä tehtävää approksimoivia tehtäviä Φ n (x n, f ) = 0, (2) joiden ratkaisujen jonolle {x n } pätee x n x kun n. Määritelmä 1.2 Numeerinen algoritmi on stabiili, jos yhtälön (2) ratkaisun x n riippuvuus lähtötiedon häiriöstä ei ole suurempi kuin alkuperäisen tehtävän (1) ratkaisun x. Ts. virheiden x n x n ja x x tulisi siis olla samaa kertaluokkaa kaikilla n. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
7 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä 1.3 Numeerinen stabiilisuus Numeerinen stabiilisuus Numeerinen stabiilisuus on tärkein numeeriselle menetelmälle asetettavista vaatimuksista. Ilman sitä tulosten luotettavuus on kyseenalaista. Epästabiileja operaatioita ovat esim. jakaminen itseisarvoltaan pienellä luvulla kahden suunnilleen samansuuruisen luvun vähentäminen toisistaan Ohje: sievennä tai muokkaa lauseketta! Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
8 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Esimerkki Numeerinen stabiilisuus Eksponenttifunktion arvo voidaan laskea pisteessä x = 15 potenssisarjasta e 15 = ( 15) i i=0 i! = Tämä on numeerisesti epästabiili algoritmi, koska sarjan summa on pieni yhteenlaskettaviin verrattuna. Stabiili tapa on laskea käänteisluku potenssisarjan avulla e 15 = 1 e 15 = Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
9 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Liite A: Liukulukuaritmetiikasta Liite A: Liukulukuaritmetiikasta - tietokoneessa luvut tallennetaan kiinteällä määrällä bittejä - luku x ( 0) B-kantaisessa liukulukuesityksessä on x = ( 1) s M B E, missä s {0, 1} on etumerkki M R on mantissa E Z on eksponentti Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
10 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Liukulukuaritmetiikasta Liite A: Liukulukuaritmetiikasta Nykyään käytössä IEEE:n standardin mukainen 2-kantainen liukulukuesitys yksinkertaisen tarkkuuden liukuluvut esitetään käyttäen 32 bittiä }{{} S }{{ E }} M{{} Näin voidaan esittää suuruusluokkaa 10 38,..., olevat luvut noin 7 merkitsevän numeron tarkkuudella kaksinkertaisen tarkkuuden liukuluvut esitetään käyttäen 64 bittiä }{{} S }{{ E }} M{{} Näin voidaan esittää suuruusluokkaa ,..., olevat luvut noin 15 merkitsevän numeron tarkkuudella Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
11 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Liite A: Liukulukuaritmetiikasta Liukulukuaritmetiikan ominaisuuksia liukulukujen joukossa pienin ja suurin luku liukuluvut eivät ole tasaisesti jakautuneet reaaliakselille: esim väleillä (2 128, ) ja (2 126, ) on yhtä monta liukulukua kun reaalilukua approksimoidaan liukuluvulla, menetetään mantissan bitit, jotka eivät mahdu tallennusmuotoon. Viimeinen bitti määrätään pyöristämällä. Liukulukulaskutoimituksen tulos pyöristetään aina käytetyn liukulukuesityksen mukaisesti (myös välitulokset!) Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
12 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Liite A: Liukulukuaritmetiikasta Liukulukuaritmetiikan ominaisuuksia liukulukujen joukko ei ole suljettu laskutoimitusten +,,, / suhteen; jos tulos menee itseisarvoltaan liian pieneksi, tapahtuu alivuoto liian suureksi, tapahtuu ylivuoto (tulokseksi asetetaan ± Inf). liukulukulaskutoimitusten tulos voi riippua myös laskujärjestyksestä konevakio ε R on pienin liukuluku, joka toteuttaa ε R > bitin IEEE aritmetiikassa ε R 10 7 ja 64 bitin IEEE aritmetiikassa ε R Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
13 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Liite A: Liukulukuaritmetiikasta Esimerkki: suuren ja pienen luvun yhteenlasku Lasketaan yhteen 10-järjestelmän luvut 0.01 ja 7000, käyttäen esitystä, jossa mantissa esitetään neljällä numerolla. Lukujen normalisoidut liukulukuesitykset ovat 0.01 = ja 7000 = Suoritettaessa yhteenlasku luovutaan normalisoidusta esityksestä pienemmässä luvussa Varsinainen laskutoimitus suoritetaan muistitilaa pidemmässä yksikössä Tulosta talletettaessa suoritetaan mantissan pyöristys neljään numeroon Saadaan tulos , eli pienemmällä yhteenlaskettavalla ei ollut mitään merkitystä. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
14 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Toinen Esimerkki Liite A: Liukulukuaritmetiikasta Liukulukujen yhtäsuuruuden testaaminen ei ole mielekästä. Seuraava ohjelmanpätkä jää todennäköisesti tahattomaan päättymättömään silmukkaan: s = 0.00 do read(*,*) x s = s + x if (s == 1.0) exit end do Oikea lopetuskriteeri olisi yhtäsuuruuden sijaan s 1 δ, missä δ > 0 on pieni toleranssiparametri (usein δ = ε R ). Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
15 Luku 1: Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä Liite A: Liukulukuaritmetiikasta Liukulukuaritmetiikasta Jos alkuperäinen tehtävä on hyvin asetettu ja ratkaisualgoritmi on numeerisesti stabiili, ei liukulukuaritmetiikka aiheuta ongelmia. ts. jos algoritmissa ei vähennetä lähes samansuuruisia lukuja, jaeta hyvin pienellä luvulla jne. Ei ollut tarkoitus säikäyttää liukulukuaritmetiikalla! Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
16 Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Olkoon f : R R jatkuva funktio. Tarkastellaan yhtälön ratkaisemista. f (x) = 0 (3) Jos f on epälineaarinen, yleensä yhtälön (3) ratkaisun (juuren) x lauseketta ei tunneta suljetussa muodossa. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
17 Esimerkki Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Keplerin yhtälö x e sin(x) M = 0 kuvaa (esim. satelliitin) liikettä elliptisellä radalla. - x on eksentrinen anomalia (radan kulma) - e eksentrisyys (ellipsin soikeus) - M keskianomalia (satelliitin sijainti radalla ajanhetkellä t) Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
18 Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Käytetään numeerisia ratkaisumenetelmiä, joissa etsitään iteratiivisesti uusia, parempia approksimaatioita juurelle x lähtien alkuarvauksesta x 0, kunnes ennaltamäärätty lopetuskriteeri toteutuu. ts. muodostetaan jono {x n } ratkaisuja s.e. x n x, kun n. Huom. Tehtävällä ei välttämättä ole ratkaisua tai niitä voi olla useita (jopa ääretön määrä) jos mahdollista, tehtävä kannattaa aluksi hahmottaa geometrisesti. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
19 2.1. Puolitushaku 2.1. Puolitushaku Olkoon välillä [a, b] voimassa f (a)f (b) < 0 ts. f vaihtaa merkkiä välillä [a, b]. x ]a, b[ siten, että f (x ) = 0. Olkoon piste c = 1 2 (a + b) välin keskipiste. Jos nyt f (a)f (c) < 0, niin x [a, c]; asetetaan b := c. Jos f (a)f (c) > 0, niin x [c, b]; asetetaan a := c. Jos f (a)f (c) = 0, niin f (c) = 0 ja x = c. Jatketaan, kunnes väli [a, b] on kutistunut riittävän pieneksi (tai tarkka ratkaisu on löytynyt) x = c. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
20 Algoritmi 2.1 Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen 2.1. Puolitushaku bisect( a, b, toler, itmax, c ) u := f (a) v := f (b) h := b a if sign(u) = sign(v) then stop do iter = 1,..., itmax h := h/2 c := a + h w := f (c) if h toler or w toler then return if sign(w) sign(u) then b := c v := w else a := c u := w end if end do Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
21 Esimerkki Puolitushaku Sovelletaan puolitushakua Keplerin yhtälöön (e=1/2, M=1) x 1 2 sin x 1 = 0. Kun käytetään alkuarvauksena väliä [0, 2], niin saadaan seuraavanlainen jono likiratkaisuja: iter c f (c) e e e e e e-05 Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
22 Lause 2.1 Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen 2.1. Puolitushaku Olkoon [a 0, b 0 ], [a 1, b 1 ],..., [a n, b n ] puolitushaun tuottamat välit. Tällöin lim a n = lim b n = x, n n missä f (x ) = 0. Jos c n = 1 2 (a n + b n ), niin x c n 2 (n+1) (b 0 a 0 ). Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
23 2.2. Iteratiivisten algoritmien konvergenssianalyysistä 2.2. Iteratiivisten algoritmien konvergenssianalyysistä Iteratiivisen menetelmän tulee olla suppeneva ja numeerisesti stabiili ollakseen käyttökelpoinen. Sen tulisi olla myös tehokas (tarvittavien iteraatiokierrosten lukumäärä ja funktion arvojen laskujen lukumäärä per iteraatio). Käytännössä menetelmän tehokkuutta (eli sen konvergenssinopeutta) arvioidaan seuraavasti: Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
24 2.2. Iteratiivisten algoritmien konvergenssianalyysistä Määritelmä 2.1. Olkoon {x n } n=0 R jono, jolle lim n x n = x. Jos on olemassa reaaliluvut p ja C > 0 siten, että x n+1 x lim n x n x p = C, niin p = jonon {x n } konvergenssin kertaluku ja C = asymptoottinen virhevakio. Käytännössä suurille n x n+1 x C x n x p ts. C kertoo, minkä verran 1 iteraatio parantaa ratk. approksimaatiota. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
25 2.2. Iteratiivisten algoritmien konvergenssianalyysistä Konvergenssinopeus Konvergenssinopeus jne. x n+1 x lim n x n x p = C Jos p = 1 ja C < 1, niin konvergenssi on lineaarista. Jos 1 < p < 2, niin konvergenssi on superlineaarista. Jos p = 2, niin konvergenssi on kvadraattista (neliöllistä). Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
26 Esimerkki Iteratiivisten algoritmien konvergenssianalyysistä Puolitushaussa kullakin iteraatiolla pahimmassa tapauksessa (c n ratkaisun approksimaatio). Siten x c n = 2 (n+1) (b 0 a 0 ) c n+1 x c n x = 2 (n+2) (b 0 a 0 ) 2 (n+1) (b 0 a 0 ) = 1 2, eli p = 1 ja C = 1 2. Konvergenssi on siis lineaarista. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
27 2.3. Kiintopistemenetelmä 2.3. Kiintopistemenetelmä Merkkiehtoon f (a)f (b) < 0 perustuvat menetelmät ovat yksinkertaisia toteuttaa ja ne konvergoivat varmasti. Konvergenssi on kuitenkin hidasta, eivätkä menetelmät yleisty useamman yhtälön muodostaman yhtälöryhmän tapaukseen. Luovutaan siis jatkossa merkkiehdosta. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
28 Kiintopistemenetelmä: idea 2.3. Kiintopistemenetelmä Idea: korvataan alkuperäinen yhtälö f (x) = 0 yhtäpitävällä yhtälöllä x g(x) = 0 ja sovelletaan iteraatiota x n+1 = g(x n ). Riittävä ehto sille, että iteraatio on suppeneva on, että funktio g : [a, b] [a, b] on kutistava: g(x) g(y) γ x y, jollekin vakiolle 0 < γ < 1. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
29 Kiintopistemenetelmä jatkuu 2.3. Kiintopistemenetelmä Lause Olkoon g : [a, b] [a, b] kutistava funktio. Tällöin sillä on täsmälleen yksi kiintopiste x = g(x ). Lisäksi iteraatio x n+1 = g(x n ) suppenee kiintopisteeseen kaikilla alkuarvauksilla x 0 [a, b]. Esimerkki 2.3. Yhtälö x 1 2 cos x = 0 voidaan ratkaista iteraatiolla x n+1 = 1 2 cos x n. Iteraatio suppenee kaikilla alkuarvauksilla x 0 ja ratkaisuksi saadaan x Tässä tapauksessa konvergenssi on lineaarista ja asymptoottinen virhevakio C Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
30 2.4. Newtonin menetelmä 2.4. Newtonin menetelmä Ollaan ratkaisemassa yhtälöä f (x) = 0. Juuren approksimaatiota x n parannetaan korvaamalla käyrä y = f (x) pisteeseen (x n, f (x n )) asetetulla tangentilla. Uusi approksimaatio x n+1 on tangentin ja x-akselin leikkauspiste. Saadaan iteraatiokaava x n+1 = x n f (x n) f (x n ). Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
31 Newtonin menetelmä jatkuu 2.4. Newtonin menetelmä Newtonin menetelmä on lienee tunnetuin numeerinen juurenhakumenetelmä voidaan yleistää suoraviivaisesti myös epälineaarisille yhtälöryhmille. Voidaan tulkita myös kiintopisteiteraationa, jossa iteraatiofunktioksi valitaan g(x) = x f (x) f (x). Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
32 Lause 2.3. Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen 2.4. Newtonin menetelmä Newtonin menetelmä konvergoi, kun alkuarvaus x 0 valitaan riittävän läheltä juurta x. (Olettaen, että juuren x ympäristössä funktio f on 2 kertaa jatkuvasti derivoituva ja f (x) 0) + kvadraattinen konvergenssi tehokas. - x 0 :n valinta voi käytännössä olla hankalaa - termi f (x n )/f (x n ) voi aiheuttaa ongelmia laskennassa, koska nimittäjä voi mennä pieneksi. - funktion f arvojen lisäksi tarvitaan myös derivaatan f arvoja. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
33 Newtonin menetelmä jatkuu 2.4. Newtonin menetelmä Jos funktiolla f on yksinkertainen analyyttinen lauseke, ei derivointi ole ongelma. Jos funktion f lauseketta ei ole annettu suljetussa muodossa, voidaan käyttää hyväksi tietokoneohjelmien automaattista derivointia Newtonin menetelmä voidaan yhdistää johonkin globaalisti konvergoivaan algoritmiin (esim. puolitushaku). Yksinkertaisella menetelmällä haetaan kohtuullinen likiarvo, jota käytetään Newtonin menetelmän alkuarvauksena. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
34 Sekanttimenetelmä Sekanttimenetelmä Sekanttimenetelmä saadaan Newtonin menetelmästä korvaamalla siinä esiintyvä derivaatta erotusosamäärällä: x n x n 1 x n+1 = x n f (x n ) f (x n ) f (x n 1 ), n 1. Nyt käyrää y = f (x) approksimoidaan tangentin sijaan sekantilla. Myös sekanttimenetelmä varsin tehokas menetelmä, sillä konvergenssin kertaluvuksi voidaan osoittaa p Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
35 Ohjelmointitekniikasta 2.5. Ohjelmointitekniikasta Numeerinen ratkaisumenetelmä on yksinkertaisimmillaan pelkkä iteraatiokaava Ratkaisualgoritmi sisältää iteraatiokaavan lisäksi toistorakenteen ja lopetuskriteerin. Tietokonetoteutus, eli ongelman ratkaiseva (ali)ohjelma sisältää edellisten lisäksi vielä käyttöliittymän (parametrilistan) ja mahdollisten virhetilanteiden hallintalogiikan. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
36 2.5. Ohjelmointitekniikasta Esimerkki: Newtonin men. implementointi aliohjelmaksi Aliohjelmalle newton välitetään parametrina ratkaistavan yhtälön määräävä funktio f, alkuarvaus x 0, toleranssiparametrit δ ja ε sekä iteraatiokierrosten maksimimäärä itmax. Aliohjelman suorituksen jälkeen tulosparametrit x ja error sisältävät yhtälön likiratkaisun sekä virheindikaattorin. Algoritmi 2.2 newton( f, x 0, δ, ε, itmax, x, error ) Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
37 2.5. Ohjelmointitekniikasta Esimerkki: Newtonin men. implementointi aliohjelmaksi Algoritmi 2.2 newton( f, x 0, δ, ε, itmax, x, error ) v := f (x 0 ) d := f (x 0 ) do iter = 1,..., itmax if d δ then error := 2 return end if x 1 := x 0 v/d v := f (x 1 ) d := f (x 1 ) if x 1 x 0 ε x 1 and v ε then error := 0 x := x 1 return end if x 0 := x 1 end do error := 1 x := x 1 Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
38 2.5. Ohjelmointitekniikasta Iteraation lopetuskriteerin lähempi tarkastelu Lopetuskriteeriä valittaessa tulevat esimerkiksi seuraavat ehdot kyseeseen: f (x n ) ε (funktion f itseisarvo pieni) x n x n 1 ε (likiratkaisun abs. muutos pieni) x n x n 1 ε x n (likiratkaisun suht. muutos pieni) Mikään näistä kriteereistä ei kuitenkaan yksinään sovellu kaikentyyppisille menetelmille ja yhtälöille. Yleiskäyttöisessä aliohjelmassa kannattaa vaatia vähintään kahden lopetuskriteerin voimassaoloa ennen kuin iteraatio lopetetaan. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
39 2.5. Ohjelmointitekniikasta Algoritmia 2.2 voidaan pitää Newtonin menetelmän minimitoteutuksena. Kaupallisten aliohjelmakirjastojen mukaista käyttäjäystävällisyyttä tavoitellessa Käyttäjällä tulisi olla mahdollisuus jättää toleranssi- parametrit ε ja δ antamatta, jolloin käytetään sopivia oletusarvoja (esim. ε = ε R ). Lisäksi pitäisi varautua näppäily virheisiin (esim. itmax < 0). Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotKevät Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos
Numeeriset menetelmät TIEA381 Kevät 2013 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Luento 1 () Numeeriset menetelmät 13.3.2013 1 / 34 Luennon 1 sisältö Käytännön asioita Numeerisen matematiikan
LisätiedotR. Mäkinen NUMEERISET MENETELMÄT
R. Mäkinen NUMEERISET MENETELMÄT 2011 2 Luku 1 Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä The purpose of computing is insight, not numbers. R. W. Hamming Numeerinen analyysi tutkii algoritmeja luonnontieteissä,
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotLiukulukulaskenta. Pekka Hotokka
Liukulukulaskenta Pekka Hotokka pejuhoto@cc.jyu.fi 10.11.2004 Tiivistelmä Liukulukuja tarvitaan, kun joudutaan esittämään reaalilukuja tietokoneella. Niiden esittämistavasta johtuen syntyy laskennassa
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotHarjoitus 7 -- Ratkaisut
Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,
Lisätiedotmlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt 1. Historiallisesti mielenkiintoinen yhtälö on x 3 2x 5 = 0, jota Wallis-niminen matemaatikko käsitteli,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 1 Ti 6.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 1/28 p. 1/28 Numeriikan termejä Simulointi: Reaalimaailman ilmiöiden jäljitteleminen (yleensä)
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotBM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO
6. marraskuuta 2014 Opetusjärjestelyt Luennot + Harjoitukset pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337 la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337 pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216 la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 14 To 20.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 14 To 20.10.2011 p. 1/39 p. 1/39 Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos ˆf k = 1 N 1 N
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Lisätiedot4 Epälineaarisen yhtälön ratkaisu
4 Epälineaarisen yhtälön ratkaisu 4.1 Johdanto Tässä luvussa tarkastellaan epälineaarisen yhtälön tai epälieaarisen yhtälöryhmän ratkaisemista. Ongelma voidaan kirjoittaa muotoon: Ratkaise x R n siten,
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotYhtälön ratkaiseminen
Yhtälön ratkaiseminen Suora iterointi Kirjoitetaan yhtälö muotoon x = f(x). Ensin päätellään jollakin tavoin jokin alkuarvo x 0 ja sijoitetaan yhtälön oikealle puolelle, jolloin saadaan tarkennettu ratkaisu
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
LisätiedotHarjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.
Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotSchildtin lukio
MAA1.9.15 Scildtin lukio LIKIARVO MUISTA: tavallisesti matematiikassa pyritään aina tarkkoiin arvoiin! Kuitenkin esim. mittaustulokset ovat aina likiarvoja. o Luvun katkaiseminen: näin tekevät mm. jotkut
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä
Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöryhmä
Differentiaaliyhtälöryhmä Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti täsmälleen samanlaisilla kaavoilla
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Lisätiedot5. Numeerisesta derivoinnista
Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
LisätiedotTeknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät 1. välikoe, 14.2.2009 1. Määrää matriisin 1 1 a 1 3 a a 4 a a 2 1 LU-hajotelma kaikille a R. Ratkaise LU-hajotelmaa käyttäen yhtälöryhmä Ax = b, missä b = [ 1 3 2a 2 a + 3] T. 2.
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotNumeerinen integrointi ja derivointi
Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
LisätiedotKokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotNumeerinen analyysi 2016
Numeerinen analyysi 2016 Sisältö 1 Johdanto 8 2 Numeerinen tehtävä 9 2.1 Numeerinen algoritmi............................ 9 2.2 Esimerkki.................................. 10 2.3 Numeerisen laskennan virheet.......................
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotHäiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle
Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä malleissa on usein pieniä/suuria parametreja miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle jatkuvuus ja rajayhtälöt säännölliset ja epäsäännölliset häiriöt
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä
Lisätiedot