BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015

Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 3 2.1 Separoituvat differentiaaliyhtälöt.......................... 3 2.2 Eksaktit differentiaaliyhtälöt............................. 4 2.2.1 Integroivat tekijät............................... 5 2.3 Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt.............. 6 2.3.1 Bernoullin yhälö............................... 7 2.4 Käyräparven kohtisuorat leikkaajat......................... 7 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 8 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt.................... 8 3.1.1 Lineaarisesti riippumattomat ratkaisut kantaratkaisut........... 9 3.1.2 Vakiokertoimiset homogeeniset differentiaaliyhtälöt............ 10 3.1.3 Euler Cauchy differentiaaliyhtälö..................... 11 3.2 Epähomogeeniset 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöt................ 12 3.2.1 Ratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä........... 12 3.2.2 Ratkaisu parametrien varioinnilla...................... 13 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 14 4.1 Taustaa ja teoriaa................................... 14 4.2 Vakiokertoimiset homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät....... 15 4.3 Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät.............. 16

1 Johdanto 1.1 Peruskäsitteitä Ongelman saattaminen matemaattiseen muotoon = mallinnus, mallinnuksen tulos = matemaattinen malli. Usein nämä matemaattiset mallit sisältävät tietoa niin tutkittavasta suureesta y kuin sen muutosnopeudesta (ja mahdollisesti muutosnopeuden muutoksesta jne.). Tällaisia malleja tarvitaan lähes kaikilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Differentiaaliyhtälöiden avulla voidaan mallintaa esimerkiksi sähköisiä piirejä lämmön siirtymistä kappaleissa nesteiden/kaasujen virtausta eläinpopulaatioiden kasvua/vähenemistä talouden lainalaisuuksia rakenteiden värähtelyä kemiallisia prosesseja bioreaktoreja Matemaattisten mallien sisältämissä yhtälöissä voi esiintyä varsinaisten muuttujien lisäksi myös (ratkaistava) funktio ja sen derivaattoja, tällaisia yhtälöitä kutsutaan differentiaaliyhtälöiksi. Jos muuttujia on vain yksi (olkoon se x) ja kiinnostava funktio on y(x) niin tälläinen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon F (x, y, y, y,..., y n ) = 0, (1) missä F on siis funktio jolla n + 2 muuttujaa ja oleellisesti määrittelee yllä lausekkeen jossa voi esiintyä symboleita x, y, y, y,..., y n. Tällöin kyseessä on tavallinen differentiaaliyhtälö (ordinary differential equation, ODE). Tavallinen differentiaaliyhtälö on siis yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion y(x) derivaattoja. Yhtälön ratkaisuna saadaan funktio y(x). Tälläisten yhtälöiden ratkaiseminen on usein kuitenkin huomattavan vaikeaa. Jos yhtälöissä on mukana osittaisderivaattoja puhutaan osittais differentiaaliyhtälöistä (partial differential equations, PDE). Tällä kurssilla keskittymme kuitenkin vain tavallisiin differentiaaliyhtälöihin, ja näissäkin painopiste on n.k. lineaarisissa differentiaaliyhtälöissä. Differentiaaliyhtälön kertaluku = korkeimman yhtälössä esiintyvän derivaatan kertaluku. Esimerkiksi tuttu eksponentiaaliseen kasvuun (tai vähenemiseen) liittyvä yhtälö y = ky on ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Useimmat insinööritieteisiin liittyvät differentiaaliyhtälöt ovat ensimmäisen tai toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, mutta korkeammankin kertaluvun yhtälöitä esiintyy, mm. joskus malleja ratkaistaessa ongelma voidaan uudelleen muotoilla korkeamman kertaluvun yhtälöksi. 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista Kertalukua n olevan differentiaaliyhtälön ratkaisu avoimella välillä a < x < b on funktio y = h(x), jolla on derivaatat y (i), i = 1, dots, n ja joka toteuttaa alkuperäisen differentiaaliyhtälön kaikilla x:n arvoilla välillä a < x < b. Jos differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa H(x, y) = 0, (2) 2

missä kahden muuttujan funktio H siis määrittelee jonkin x:n ja y:n lausekkeen on kyseessä implisiittinen ratkaisu. Tämä ratkaisu on parvi tasokäyriä. Huomaa että implisiittinen ratkasu voi sisältää useampiakin ratkaisufunktioita: tasokäyrä kun ei aina määrittele vain yksittäistä funktiota vaan kaksi tai jopa useampia funktioita. Esimerkki 1.1. a) Osoita että Ce kx on differentiaaliyhtälön y ky = 0 ratkaisu. b) Anna differentiaaliyhtälö jonka ratkaisuksi kelpaa x 2 +y 2 = 10, osoita että myös x 2 +y 2 = 3 on tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu mutta 2x 2 + y 2 = 3 ei ole. Siis kuten edellisestä esimerkistäkin huomataan, on differentiaaliyhtäilöillä useita ratkaisuja. Tämän voidaan ajatella seuraavan esim. siitä että kun differentiaaliyhtälöitä ratkaistaan integroimalla, syntyy mielivaltaisia (integroimis) vakioita. Toisaalta derivoidessa nämä vakiot häviävät. Esim. yhtälön y = cos x ratkaisu on y = sin x + c. Tämä on ko. yhtälön yleinen ratkaisu. Jos valitaan c:lle jokin kiinteä arvo, saadaan erityisratkaisu. Jos on olemassa yksittäinen ratkaisu, jota ei saada yleisestä ratkaisusta, on kyseessä singulaarinen ratkaisu (kutsutaan myös erikoisratkaisuksi). Jos puhutaan vain "ratkaisusta"jää usein lukijan vastuulle ymmärtää mikä kolmesta edellisestä tapauksesta on kyseessä. Systeemin matemaattinen tutkiminen tehdään usein seuraavasti: 1. Muodostetaan systeemiä kuvaava matemaattinen malli esim. fysiikan lainalaisuuksien avulla. Tämä malli, tai ainakin jokin sen osa, on usein differentiaaliyhtälö. 2. Ratkaistaan malli. 3. Määritetään erityisratkaisu alkuehtojen perusteella. 4. Tutkitaan ratkaisun herkkyyttä alkuehtojen/muiden epävarmojen tekijöiden suhteen. Tyypillinen esimerkki on alkuarvoprobleemasta, joka on muotoa y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 (3) Alkuehdon y(x 0 ) = y 0 avulla voidaan määrittää yleisessä ratkaisussa esiintyvä vakio c, ja systeemin herkkyys alkuehtojen (ja c:n) suhteen voi olla kiinnostuksen kohde. Esimerkki 1.2. Ratkaise välillä x [0, ] alkuarvo-ongelma 2y + 5y = 0, y(0) = 4. Kuinka herkkä on arvo y(1) alkuehdon y(0) = a muutoksille? Ehdot voivat liittyä myös välin päätepisteisiin: jos tarkastellaan väliä x [a, b] niin ehdoilla y(a) = c ja y(b) = d varustettua differentiaaliyhtälöä kutsutaan reunarvotehtäväksi. Sekä reuna-arvotehtävissä että alkuarvotehtävissä ehdot voidaan myös antaa itse funktion sijasta derivaatoille. Esimerkki 1.3. Tutkitaan y(x):n käyttäytymistä välillä x [0, 2]. Millä vakion k arvolla reuna-arvotehtävällä y = ky, y (0) = 1, y(2) on olemassa ratkaisu. 2 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2.1 Separoituvat differentiaaliyhtälöt Monet 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon g(y)y = f(x). (4) 3

Tässä siis f EI viittaa merkintään y = f(x) vaan sekä g että f ovat differentiaaliyhtälön määritteleviä funktoita. Esimerkiksi eksponentiaaliseen kasvumalliin liittyvälle differentiaaliyhtälölle y = ky tämä on mahdollista. Separoituva yhtälö: Määräämättömän integraalin määritelmästä seuraa että, sellaisella välillä jolla f ja g ovat jatkuvia, pätee: g(y)dy = f(x)dx + c g(y)y = f(x). (5) Siis laskemalla vasemman puolen integraalit, saadaan yhtälön (4) yleinen ratkaisu. Huomaa että ratkaisu on lähes aina implisiittisessä muodossa. Esimerkki 2.1. Eräässä prosessissa jossa seurataan suureen y muutosta ajan funktiona on huomattu että y:n kasvussa mopo on karannut täysin käsistä: y:n arvon muutosnopeus on kolminkertainen y:n neliöön verrattuna. Jos hetkellä t = 1 y:n arvo on 3, niin milloin y saavuttaa arvon 10 1000? Esimerkki 2.2. Ratkaise separoituva differentiaaliyhtälö y 2 y + (1 y 3 )x = 0, y(0) = 2. Anna vastaus eksplisiittisessä muodossa. Esimerkki 2.3. Sirkkelistä tippuu sahanpurua ympyräpohjaisen kartion muotoiseen kasaan nopeudella m 3 /min. Oletetaan, että kasan korkeus on aina puolet pohjan halkaisijasta. Kuinka nopeasti kasan korkeus kasvaa kasan ollessa 3 m:n korkuinen? Missä ajassa korkeus kasvaa 2 m:stä 3 m:in? Myös jotkin differentiaaliyhtälöt jotka eivät ole alunperin separoituvia voidaan sopivalla sijoituksella muuttaa separoituviksi. Esimerkiksi muotoa ( y y = g (6) x) olevat yhtälöt voidaan muuntaa separoituviksi sijoituksella y x = u (7) Esimerkki 2.4. Ratkaise differentiaaliyhtälö y = (x + y) 2 palauttamalla se separoituvaksi sijoituksella x + y = u. 2.2 Eksaktit differentiaaliyhtälöt Tässä kappaleessa tutkittavat eksaktit differentiaaliyhtälöt ovat sellaisenaan suhteellisen harvinaisia, eikä kuulu kurssin painopistealueeseen. Eksaktien differentiaaliyhtälöiden teoriaa tarvitaan kuitenkin myöhemmissä kappaleissa esiteltävän lineaarisen epähomogeenisen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun johtamiseen, joten esiteltäköön teoria nyt tässä. Lähtökohta: Jos funktiolla u(x, y) on jatkuvat osittaisderivaatat, sen kokonaisdifferentiaali (eksakti differentiaali) on du = u u dx + dy (8) x y Tällöin jos u(x, y) = c, missä c on vakio, niin du = 0 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, joka on muotoa M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (9) 4

on eksakti, jos sen vasen puoli on jonkin funktion u(x, y) kokonaisdifferentiaali. Yhtälö (9) voidaan tällöin kirjoittaa muotoon du = 0. (10) Integroimalla saadaan ratkaisu u(x, y) = c (11) Vertaamalla yo. yhtälöitä nähdään, että yhtälö (9) on eksakti, jos on olemassa funktio u(x, y) siten, että u x = M, u y = N (12) Oletetaan, että M ja N ovat määritelty xy tason alueessa, jota rajoittaa suljettu itseään leikkaamaton käyrä, ja niillä on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat ko. alueessa. Tällöin { M y = 2 u y x, N = 2 u x x y Jatkuvuus Välttämätön ja riittävä ehto sille, että Mdx + Ndy on eksakti differentiaali on Funktio u(x, y) saadaan integroimalla: u = M y = N x (13) (14) Mdx + k(y) (15) Yllä k(y) on x:stä riippumaton integrointivakio, joka voidaan määrittää laskemalla u/ y yhtälöstä (15), ratkaisemalla sitten dk/dy, josta integroimalla saadaan k. Vastaavasti voitaisiin käyttää yhtälöä u = Ndy + l(x) (16) Esimerkki 2.5. Ratkaise eksakti differentiaaliyhtälö (xe x + e x e y ) xe y y = 0. 2.2.1 Integroivat tekijät Oletetaan, että on olemassa yhtälö P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (17) joka ei ole eksakti, mutta josta saadaan eksakti kertomalla se sopivalla funktiolla F (x, y). Uusi yhtälö F P dx + F Qdy = 0 (18) on eksakti, ja se voidaan ratkaista edellä kuvatulla tavalla. Funktio F (x, y) on yhtälön (17) integroiva tekijä. Eksaktiusehto integroivan tekijän kanssa on eli F y P + F P y = F x Q + F Q x. y (F P ) = (F Q), (19) x Usein on helpompaa etsiä vain yhden muuttujan integroiva tekijä, esim. F = F (x). Tällöin F y = 0 ja F x = F = df/dx, jolloin F P y = F Q + F Q x, (20) 5

josta saadaan 1 df F dx = 1 ( P Q y Q ) x Merkitään oikeaa puolta R:llä, saadaan F (x) = exp (21) R(x)dx (22) Vastaavasti jos F = F (y), saadaan F (y) = exp R(y)dy. (23) Esimerkki 2.6. Integroiva tekijä 1/x muuttaa differentiaaliyhtälön xy 2 dx+(2x 2 y xe y )dy = 0 eksaktiksi. Ratkaise yhtälö alkuehdolla y(1) = 0. 2.3 Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon y + p(x)y = r(x) (24) Huom. Yhtälö on lineaarinen y:n ja y :n suhteen, p ja r voivat olla mitä tahansa x:n funktioita. Jos r(x) 0, yhtälö on homogeeninen, muulloin se on epähomogeeninen. Homogeeninen yhtälö y + p(x)y = 0 separoituva ja se voidaan ketun edellisissä kappaleissa: y(x) = Ce p(x)dx missä C voi olla mikä tahansa vakio. Epähomogeenisella yhtälöllä taasen on integroiva tekijä, joka riippuu ainoastaan x:stä: Kirjoitetaan yhtälö (24) muotoon (py r)dx + dy = 0 Yhtälö on nyt muotoa P dx + Qdy = 0, missä P = py r ja Q = 1. Näin ollen (ks. yhtälö (21)) eli yhtälöllä (24) on integroiva tekijä 1 df F dx = p(x), F (x) = e pdx Kerrotaan tällä yhtälö (24) ja saadaan e pdx y = e pdx rdx + C, josta saadaan y(x) = e h [ ] e h rdx + C, h = p(x)dx (25) joka on yhtälön (24) yleinen ratkaisu integraalimuodossa. Huomaa että tässä kaavassa integroimisvakiot on jo otettu valmiiksi huomioon. 6

Esimerkki 2.7. Ratkaise i) y + e x y = 3e x, ii) y + x 2 y + 1 = 0 Esimerkki 2.8. Jos mahdollista, muokkaa seuraavat differentiaaliyhtälöt sellaiseen muotoon että ratkaisukaavaa (25) voitaisiin käyttää (olettaen että esiintyvät integraalit osattaisiin jollakin tapaa ratkaista): i) sin(x)/y = x + y, ii) (sin(x) + y)/y = cos(x), ja iii) (xy + y) 3 = e x. Lineaarinen homogeeninen (1.kertaluvun) differentiaaliyhtälö kuvaa usein sitä miten systeemi käyttäytyy ilman ulkoisia häiriöitä/herätteitä/syötteitä. Epähomogeenisuusosa taasen kuvaa vastaavasti sitä kuinka systeemiä yritetään ohjata kohti tiettyä tilaa, funtiota r(x) kutsutaankin usein ohjaussignaaliksi. Jos ohjaussignaalin muodolla ei ole mitään rajoitteita, on naurettavan helppoa löytää sopiva ohjaussignaali kun haluttu funktion y muoto on annettu: täytyy osata vain derivoida. Samoin, jos systeemistä tunnetaan vain että se on lineaarinen, on funktio p (tai sen numeerinen approksimaatio) määritettävissä mittausten avulla mikäli y ja r pystytään mittaamaan. Kaavaa (25) tarvitaan simuloimaan tilannetta kun ohjaussignaalille r on rajoituksia ja/tai systeemiä kuvaavaa funktio p voidaan muuttuu tai sitä muutetaan. (esim. lämpötila muuttuu ajan myötä). Kaavaa (25) voidaan käyttää myös osana algoritmia jolla etsitään sopivia r ja/tai p funktioita jotka tuottaisivat mahdollisimman lähelle halutunlaisen lopputuloksen eli funktion y. 2.3.1 Bernoullin yhälö Yhtälö y + p(x)y = g(x)y a, (26) missä a on reaaliluku, on Bernoullin yhtälö. Jos a = 0 tai a = 1, yhtälö on lineaarinen, muulloin epälineaarinen. Tämä yhtälö voidaan kuitenkin aina muuntaa lineaariseksi: Asetetaan Derivoimalla ja sijoittamalla y yhtälöstä 26 saadaan u(x) = [y(x)] 1 a (27) u = (1 a)y a y = (1 a)y a (gy a py) = (1 a)(g py 1 a ), (28) missä y 1 a = u. Saadaan lineaarinen yhtälö u + (1 a)pu = (1 a)g (29) Epälineaarinen yhtälö on näin saatu redusoitua lineaariseen muotoon. Esimerkki 2.9. Ratkaise Bernoullin differentiaaliyhtälö xy + 6y = 3xy 3/4 Bernoulin yhtälöitä muodostuu mm. kasvumalleista: ajatellaan että populaation yksilöiden kasvuhalu on suoraan verrannollinen käytettävissä oleviin "ylimääräisiin"resursseihin. Jos ajanhetkellä t resursseja on r(t) verran yhteensä ja yksittäinen yksilö käyttää g(t) verran (g on usein vakiofunktio) niin tällöin ylimääräisiä resursseja on r(t) g(t)y ja malli on siten y = k(r(t) g(t)y)y mikä vastaa Bernoulin yhtälöä vakion a arvolla 2. 2.4 Käyräparven kohtisuorat leikkaajat Yhtälö F (x, y, c) = 0 (30) esittää käyrää xy tasossa kiinteällä c:n arvolla. Vaihtelemalla c:n arvoa saadaan äärettömän monta käyrää, c on tämän käyräparven parametri. Käyräparven lausekkeesta voidaan ratkaista y derivoimalla puolittain x:n suhteen ja ajattelemalla y:tä x:n funktiona ja c:tä vakiona. Näin 7

saatuun lopputulokseen jää myös c, mutta se voidaan (yrittää) eliminoida ratkaisemalla se alkuperäisestä lausekkeesta F (x, y, c) = 0. Oletetaan nyt että näin ollaan tehty, eli esitetään käyräparvi differentiaaliyhtälönä y = g(x, y). (31) Koska derivaatta on tangentisuoran kulmakerroin ja suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan jos kulmakertoimien tulo on -1, seuraa että differentiaaliyhtälö y = 1 g(x, y) esittää toista käyräparvea jonka käyrät ovat kohtisuorassa alkuperäisen käyräparven tasokäyriin nähden. Esimerkki 2.10. Määritä käyräparven y = C(x + 2)e x kohtisuorat leikkaajat. Erityismaininnan ansaitsevat käyräparvet jotka ovat muotoa f(x, y) = c, eli käyräparvi muodostuu kahden muuttujan funktion korkeyskäyristä. Tällaisen käyräparven kohtisuorat leikkaajat ovat niitä reittejä joita pitkin funktion kasvu on aina suurimmillaan tai pienimmillään, kulkusuunnasta riippuen. Esimerkki 2.11. Määritä se reitti mitä pitkin täytyy kulkea kun lähdetään liikkumaan pitkin y kahden muuttujan funktion f(x, y) = kuvaajan pintaa pisteestä (0, 1) kohti jyrkintä (x+2)e x ylämäkeä. 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä käsitellessä tutkimme myös epälineaarisia tapauksia (mm. useat separoituvat sekä Bernoulin yhtälö).toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt keskittyvät tällä kurssilla erityisesti lineaarisiin differentiaaliyhtälöihin. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon (jos ei voida, yhtälö on epälineaarinen) Jos r(x) = 0, saadaan homogeeninen yhtälö: (32) y + p(x)y + q(x)y = r(x). (33) y + p(x)y + q(x)y = 0 (34) Jos r(x) 0, yhtälö (74) on epähomogeeninen. p:tä ja q:ta kutsutaan yhtälön kertoimiksi. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisu avoimella välillä a < x < b on funktio y = h(x), jolla on derivaatat y = h (x) ja y = h (x) ja joka toteuttaa ko. yhtälön tällä välillä. 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun homogeenisen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat tärkeässä roolissa myös epähomogeenisia yhtälöitä ratkaistaessa. Tutkintaan siis ensin homogeenisia yhtälöitä. Superpositioperiaate: Mikä tahansa lineaarikombinaatio homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuista välillä I on myös ratkaisu välillä I. Erityisesti ratkaisujen summa ja vakiokertoimella kerrotut ratkaisut ovat myös ratkaisuja. Huom. Edellinen ei päde epähomogeenisille eikä epälineaarisille yhtälöille. 8

Alkuarvoprobleema koostuu yhtälöstä (34) ja alkuehdoista y(x 0 ) = K 0, y (x 0 ) = K 1 (35) Yleisemmin piste x 0 voi olla jokin muukin kuin tarkasteluvälin alkupiste, eikä derivaatan ja funktion arvoja tarvitse samassa kiinnittää samassa pisteessä, ja ehto voidaan antaa korkeammankin kertaluvun derivaatalle. 3.1.1 Lineaarisesti riippumattomat ratkaisut kantaratkaisut Funktioiden lineaarinen riippumattomuus määritellään samaan tapaan kuin vektoreillekin: Funktion y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos k 1 y 1 (x) + k 2 y 2 (x) = 0 k 1 = 0, k 2 = 0. (36) Toisen kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on kahden lineaarisesti riippumattoman ratkaisun y 1 ja y 2 lineaarikombinaatio: y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (37) Huom! Se että y.o. lauseke sisältää kaikki mahdolliset ratkaisut on kaikkea muuta kuin triviaali asia todeta, kun taas se että edellinen lauseke kelpaa ratkaisuksi on taasen helppo todeta. Esimerkki 3.1. Oletetaan että y 1 = cos(x) ja y 2 = sin(x) ovat toisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuja. Osoita että myös 3y 1 2y 2 on ratkaisu. Vektoreille voidaan tutkia lineaarista riippumattomuutta vektorit sisältävän kerroinmatriisin rankkia tutkimalla. Neliömatriisn kohdalla det(a) 0 tarkoitti oleellisesti että matriisin sarakkeet/rivit olivat lineaarisesti riippumattomia. Pohjimmiltaan kyseessä oli kuitenkin vain homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisujen tutkiminen, eli oliko muita kuin triviaaliratkaisuja. Nämä ajatukset voidaan laajentaa myös funktiille ja lopputuloksena saadaan: Wronskin determinantti (kahdelle funktiolle) määritellään seuraavasti: W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y 1 y 2 = y 1y 2 y 2 y 1 (38) Jos p(x) ja q(x) ovat jatkuvia avoimella välillä I, ratkaisut y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I, jos Wronskin determinantti W (y 1, y 2 ) 0 yhdelläkin arvolla x I. Esimerkki 3.2. Osoita että sin(x) ja cos(x) ovat lineaarisesti riippumattomia. Huom. Wronskin determinantin käyttö voi tuntua hieman hassulta sillä kahden funktion lineaarinen riippumattomuus on yleensä helppo nähdä myös silmämääräisesti jos lausekkeet on annettu. Useamman funktion tapauksessa (palataan tähän myöhemmin) lineaarisen riippuvuuden huomaaminen ei kuitenkaan ole niin helppoa ja tällöin Wronskin determinantti on kätevä apuväline. Sitä tarvitaan myös eräissä ratkaisumenetelmissä epähomogeenista differentiaaliyhtälöä ratkaistaessa. Sanotaan että lineaarisesti riippumattomat, yhtälön (34) ratkaisevat funktiot y 1 ja y 2 muodostavat yhtälön kannan välillä I ja niitä kutsutaan kantaratkaisuiksi. Erityisratkaisu välillä I saadaan, kun valitaan kertoimille C 1 ja C 2 kiinteät arvot. Se, kuinka sopivat y 1 ja y 2 funktiot löydetään, onkin suuri ongelma ja tällä kurssilla tutkitaan ratkaisuja vain muutamille (tärkeille) erikoistapauksille. Sen sijaan jos kantaratkaisut on annettu niin niin differentiaaliyhtälön (34) määrittelevät kerroinfunktiot on ratkaistavissa. Esimerkki 3.3. Jos yhtälön y +r(x)y +q(x)y = 0 yleinen ratkaisu on y(x) = C 1 e x +C 2 sin(x) niin mitä ovat funktiot r(x) ja q(x). 9

3.1.2 Vakiokertoimiset homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tarkastellaan yhtälöitä, jotka ovat muotoa y + ay + by = 0, (39) missä a ja b ovat vakioita. Ratkaisu: vertaamalla 1. kertaluvun yhtälöön saadaan yrite Sijoittamalla yrite ja sen derivaatat saadaan Tämä on yhtälön (79) karakteristinen yhtälö. Karakteristisen yhtälön ratkaisut ovat jolloin yhtälön (79) ratkaisuksi saadaan y = e λx (40) y = λe λx ja y = λ 2 e λx, (41) λ 2 + aλ + b = 0 (42) λ 1,2 = a ± a 2 4b, (43) 2 y 1 = e λ 1x ja y 2 = e λ 2x (44) Riippuen diskriminantin D = a 2 4b arvosta saadaan kolme tapausta: Tapaus I: Kaksi reaalijuurta, λ 1 ja λ 2 y 1 = e λ 1x ja y 2 = e λ 2x muodostavat kannan; yleinen ratkaisu on y = C 1 y 1 + C 2 y 2 = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x (45) Tapaus II: Reaalinen kaksoisjuuri Kun D = 0, saadaan yksi juuri λ = λ 1 = λ 2 = a/2, jolloin yksi ratkaisu on y 1 = e (a/2)x (46) Toisen ratkaisun saamiseksi käytetään kertaluvun pudotusta (reduction of order). Asetetaan y 2 = uy 1 (47) ja etsitään u siten, että y 2 on yhtälön (79) ratkaisu. Sijoitetaan y 2 = uy 1 ja derivaatat yhtälöön (79), saadaan y 2 = u y 1 + uy 1 y 2 = u y 1 + 2u y 1 + uy 1 (48) u y 1 + u (2y 1 + ay 1 ) + u(y 1 + ay 1 + by 1 ) = 0 (49) Saadaan siis u y 1 = 0 u = 0, josta integroimalla u = c 1 x + c 2. Valitaan u = x, jolloin yleinen ratkaisu on Huom. Jos juuri on yksinkertainen, tämä ratkaisu ei päde. y = C 1 e ax/2 + C 2 xe ax/2 (50) 10

Tapaus III: Kompleksiset juuret Jos D < 0, saadaan juuret, jotka ovat toistensa kompleksikonjugaatteja: missä ω = λ 1 = 1 2 a + iω, λ 2 = 1 a iω, (51) 2 b 1 4 a2. Kompleksiset ratkaisut e λ 1x ja e λ 2x Sijoittamalla λ 1 ja λ 2 ja ottamalla huomioon, että (kompleksinen eksponenttifunktio): saadaan reaaliset ratkaisut e z = e s+it = e s (cos(t) + i sin(t)), (52) y 1 = e ax/2 cos(ωx) y 2 = e ax/2 sin(ωx) (53) Nämä ovat kantaratkaisuja y 1 ja y 2 eivät ole verrannollisia; toteuttavat alkuperäisen yhtälön Yleinen ratkaisu y = C 1 e ax/2 cos(ωx) + C 2 e ax/2 sin(ωx) (54) Esimerkki 3.4. Tutki, onko y = C 1 e x + 5C 2 e x DY:n y 2y + y = 0 yleinen ratkaisu, yksityisratkaisu tai yleensä ratkaisu ollenkaan. Määritä DY:n yleinen ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla. Vakiokertoimisia lineaarisia differentiaaliyhtäöitä esiintyy moninaisissa tekniikan alan sovelluksissa, tyypillisiä esimerkkejä ovat värähteljät ja sähköiset piirit. Esimerkki 3.5. Jouseen kiinnitetty paino liikkuu edestakaisin. Liikettä kuvaava DY on s + 16s = 0, missä s on jousen venymä. Ratkaise s ajan t funktiona, kun hetkellä t = 0 on s = 2 ja s = 1. 3.1.3 Euler Cauchy differentiaaliyhtälö Edellisessä kappaleessa käsitellyt DY:t olivat vakiokertoimisia. Tässä kappaleessa käsiteltävät Euler-Cauchy DY:t eivät ole varsinaisesti kurssin tärkeintä antia, mutta ovat kuitenkin hyviä (helposti käsiteltäviä) esimerkkejä ei-vakiokertoimisista differentiaaliyhtälöistä. Euler Cauchy differentiaaliyhtälö on muotoa x 2 y + axy + by = 0. (55) Tähän yhtälötyyppiin voidaan törmätä esim värähtelyä tutkittaessa. Tämä yhtälötyyppi voidaan ratkaista muutamallakin eri tavalla. Beta-taulukkokirja esittelee sijoituksen jollä tämä yhtälötyyppi muuttuu vakiokertoimiseksi. Toinen tapa on sijoittaa y = x m ja sen derivaatat yhtälöön (55), jolloin saadaan Koska x m 0, kun x 0, saadaan x 2 m(m 1)x m 2 + axmx m 1 + bx m = 0 (56) m 2 + (a 1)m + b = 0 (57) Tämän yhtälön juurista riippuen saadaan jälleen 3 erilaista ratkaisua: 11

Tapaus I: Kaksi reaalijuurta Jos kaksi juurta m 1 ja m 2 ovat reaalisia ja erisuuria, kantaratkaisut ovat jolloin yleinen ratkaisu on (C 1 ja C 2 mielivaltaisia): Tapaus II: Kaksinkertainen juuri y 1 (x) = x m 1 ja y 2 (x) = x m 2, (58) y = C 1 x m 1 + C 2 x m 2 (59) Jos yhtälöllä (55) on kaksinkertainen juuri 1 (1 a), yksi ratkaisu on 2 y 1 = x (1 a)/2 (60) on Toinen ratkaisu saadaan kertaluvun pudotuksella, tulos y 2 = y 1 ln x, joten yleinen ratkaisu y = C 1 x (1 a)/2 + C 2 ln(x)x (1 a)/2 (61) Tapaus III: Kompleksiset juuret Jos juuret ovat kompleksisia, ne ovat toistensa konjugaatteja: m 1 = µ + iν ja m 2 = µ iν. Kantaratkaisut ovat tällöin y 1 = x µ cos(ν ln x) ja y 2 = x µ sin(ν ln x) (62) Yleinen ratkaisu y = C 1 x µ cos(ν ln x) + C 2 x µ sin(ν ln x) (63) Esimerkki 3.6. Ratkaise DYx 2 y xy 3y = 0 alkuehdoilla y(1) = 0, y (1) = 1. 3.2 Epähomogeeniset 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun epähomogeenisen differentiaaliyhtälön y + p(x)y + q(x)y = r(x) yleinen ratkaisu on muotoa y(x) = y h (x) + y p (x), (64) missä y h (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) on vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja y p (x) on yhtälön epähomogeenisen yhtälön mikä tahansa ratkaisu. Erityisratkaisu saadaan jälleen kiinnittämällä mielivaltaisten kertoimien C 1 ja C 2 arvot. 3.2.1 Ratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä Tämän kappaleen asiaa ei käsitellä kurssin luennoilla, mutta halutessaan sen voi opetella ja sitä saa soveltaa tenteissä. Määräämättömien kertoimien menetelmä (tai toiselta nimeltään yritemenetelmä) toimii lähinnä vakiokertoimisille differentiaaliyhtälöille eli yhtälöille jotka ovat muotoa y + ay + by = r(x) ja näillekin vain siinä tapauksessa että epähomogeenisuusosa r(x) on suhteellisen yksinkertainen funktio. Tämä johtuu siitä että menetelmä perustuu "valistuneeseen arvaukseen"sopivasta funktiosta y p. Erityisesti jos r(x) on eksponenttifunktio, polynomi, kosini, sini tai näiden tulo tai summa, voidaan ratkaista määräämättömien kertoimien menetelmällä. 12

Perussääntö: Jos r(x) on jokin seuravan taulukon funktioista, valitaan vastaava funktio y p taulukosta ja määritetään sen määräämättömät kertoimet sijoittamalla y p ja sen derivaatat alkuperäiseen differentiaaliyhtälöön y:n ja sen derivaattojen paikalle.. r(x) ke γx Yrite Ce γx kx n (n = 0, 1, ) K n x n + K n 1 x n 1 + + K 1 x + k 0 k cos ωx, k sin ωx K cos ωx + M sin ωx ke αx cos ωx, ke αx sin ωx e αx (K cos ωx + M sin ωx) Modifikaatiosääntö: Jos yrite on homogeenisen yhtälön ratkaisu, yrite kerrotaan x:llä. Summasääntö: Jos r(x) on usean yo. funktion summa, on yrite vastaavien yritefunktioiden summa. Modifikaatiosääntöä soveltaakseen on siis ensin ratkaistava vastaava homogeeninen yhtälö. Väärä tai liian vähän termejä sisältävä yrite tuottaa yhtälöryhmän jolla ei ole ratkaisua. Liian monta termiä sisältävä yrite tuottaa yhtälöryhmän jolla on äärettömän monta ratkaisua ja/tai jotkin kertoimista menevät menevät nolliksi. Liian monta termiä yritteessä ei siis sinällään haittaa mutta teettää ylimääräistä työtä. Esimerkki 3.7. Ratkaise DY y + y 2y = r(x) kun a) r(x) = e x, b) r(x) = 2e x + 3x 3.2.2 Ratkaisu parametrien varioinnilla Parametrien variointitekniikka toimii myös ei-vaikiokertoimiselle yhtälölle y + p(x)y + q(x)y = r(x), ja tällä kurssilla tämä on pääasiallinen työkalumme tälläisen yhtälön ratkaisemiseksi. Yksityisratkaisu y p saadaan kaavalla y p (x) = y 1 y2 r W dx + y 2 missä y 1 ja y 2 ovat vastaavan homogeenisen yhtälön kantaratkaisut ja y1 r dx, (65) W y + p(x)y + q(x)y = 0 (66) W = y 1 y 2 y 1y 2 (67) on niiden muodostama Wronskin determinantti. Menetelmän heikkous edellisessä kappaleessa kuvattuun yritemenetelmään nähden on se että vastaavan homogeenisen yhtälön kantaratkaisut täytyy ensin tuntea, kun yritemenetelmällä voidaan sopivaa y p funktiota etsiä "arvaamalla". Toisaalta jos kantaratkaisut tunnetaan, ei tarvitse kuin osata integroida. Parametrin variointi, kuten myös yritemenetelmäkin, yleistyvät myös korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöille. Esimerkki 3.8. Ratkaise vakion variointimenetelmällä DY y 3y + 2y = 1 1 + e x Huomionarvoista parametrien variointimenetelmässä on se että mikäli kantaratkaisut tunnetaan, ei DY:n kerroinfunktioita tarvita yleistä ratkaisua muodostettaessa. Tämä ei ole sinällään yllättävää sillä aikaisemmassa esimerkissä ollaan kantaratkaisujen avulla määritetty kerroinfunkiot: kantaratkaisut siis sisältävät kaiken oleellisen informaation kerroinfunktioista. Esimerkki 3.9. Jos y 1 (x) = e x ja y 2 (x) = sin(x) yhtälön ovat yhtälön y + r(x)y + q(x)y = 0 kantaratkaisut niin mikä on yhtälön y + r(x)y + q(x)y = e 2x yleinen ratkaisu? 13

4 Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Esimerkiksi toisistaan riippuvien systeemien matemaattiset mallit johtavat luonnostaan differentiaaliyhtälöryhmiin (esim. saalissaalistaja populaatiomallit). Usein differentiaaliyhtälöryhmä on muotoa y 1 = f 1 (t, y 1,, y n ) y 2 = f 2 (t, y 1,, y n ) y n = f n (t, y 1,, y n ) tai ainakin pienellä työllä muotoiltavissa tähän muotoon. Tässä siis y 1, y 2 jne. ovat funktioita joille tahdomme lausekkeet ja lausekkeet funktioille f 1, f 2 jne. ovat tunnettuja (tässä alaindeksit eivät siis viittaa osittaisderivaattoihin). Tärkeä erikoistapaus tämän tyyppisestä differentiaaliyhtälöryhmästä on korkeamman kertaluvun kertaluvun differentiaaliyhtälö y(n) = F (t, y, y,, y (n 1) ) joka voidaan muuntaa differentiaaliyhtälöryhmäksi seuraavasti: (68) y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n 1) (69) y 1 = y 2 y 2 = y 3. (70) y n 1 = y n y n = F (t, y, y 1, y 2,, y n ). Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu välillä a < t < b on n:n differentioituvan funktion joukko y 1 = φ 1 (t),, y n = φ n (t) (71) Kuten yksittäisten differentiaaliyhtälöidenkin tapauksessa, voidaan differentiaaliyhtälöryhmistä muodostaa alkuarvoprobleema joka koostuu yhtälöstä (68) ja alkuehdoista y 1 (t 0 ) = K 1, y 2 (t 0 ) = K 2,, y n (t 0 ) = K n (72) Aiemmilla kurssilla olemme oppineet ettei kaikilla, edes lineaarisilla, yhtälöryhmällä ole välttämättä ratkaisuja. Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä voidaan todeta: Olkoot f 1,, f n yhtälössä (68) jatkuvia funktioita, joilla on jatkuvat osittaisderivaatat f 1 / y 1,, f 1 / jossain ty 1 y n avaruuden alueessa R sisältäen pisteen (t 0, K 1,, K n ). Tällöin yhtälöllä (68) on yksikäsitteinen ratkaisu jollain välillä t 0 α < t < t 0 +α, siten että alkuehdot (72) toteutuvat. Differentiaaliyhtälöryhmä on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon y 1 = a 11 (t)y 1 + + a 1n (t)y n + g 1 (t) y n = a n1 (t)y 1 + + a nn (t)y n + g n (t). (73) Vektorimuodossa edellinen voidaan esittää seuraavasti: y = Ay + g, (74) 14

missä Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos g = 0 a 11 a 1n y 1 g 1 A =, y =. g =. (75) a n1 a nn y n g n y = Ay (76) Lineaariselle yhtälöryhmälle pätee: Jos a jk :t ja g j :t ovat jatkuvia t:n funktioita avoimella välillä α < t < β, joka sisältää pisteen t = t 0, yhtälöllä (74) on tällä välillä yksikäsitteinen alkuehdot toteuttava ratkaisu y(t). Superpositioperiaate: Jos y (1) ja y (2) ovat homogeenisen differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisuja jollain välillä, myös lineaarikombinaatio y = c 1 y (1) + c 2 y (2) on ratkaisu. Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisujen kanta välillä J on n:n ratkaisun lineaarisesti riippumaton joukko y (1),, y (n) tällä välillä ja vastaava lineaarikombinaatio on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä J. y = c 1 y (1) + + c n y (n) (77) Kantafunktioiden muodostama Wronskin determinantti: y (1) W (y (1),, y (n) 1 y (2) 1 y (n) 1 ) = y n (1) y n (2) y n (n) (78) 4.2 Vakiokertoimiset homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Oletetaan, että yhtälöryhmän y = Ay (79) kerroinmatriisi A = [a jk ] on vakio, eli sen alkiot eivät riipu t:stä. Koska yksittäisen yhtälön y = ky ratkaisu on y = Ce kt yrite: y = xe λt (80) Sijoitetaan yhtälöön (79), saadaan Jakamalla e λt :llä saadaan karakteristinen yhtälö y = λxe λt = Ay = Axe λt (81) Ax = λx (82) Ominaisarvot ja ominaisvektorit antavat siis yhtälöryhmälle ratkaisuja. Oletus: A:lla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria x (i), i = 1,..., n. Tällöin ratkaisut ovat y (1) = x (1) e λ 1t,, y (n) = x (n) e λnt (83) 15

Nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia sillä Wronskin determinantti x (1) 1 e λ 1t x (n) 1 e λnt W (y (1), y (n) x (1) ) = 2 e λ 1t x (n) 2 e λnt x (1) n e λ 1t x (n) n e λnt x (1) 1 x (n) 1 = e λ 1t+ +λ nt x (1) 2 x (n) 2 x (1) n x n (n) (84) Siis jos kerroinmatriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, vastaavat ratkaisut y (1),, y (n) muodostavat yhtälön (79) ratkaisujen kannan ja vastaava yleinen ratkaisu on y = c 1 x (1) e λ 1t + + c n x (n) e λnt (85) Kahden yhtälön yhtälöryhmän ratkaisuja y 1 y 2 tasossa kutsutaan poluiksi (path, trajectory) ja ko. tasoa faasitasoksi (phase plane). Jos A:lla on kaksinkertainen ominaisarvo µ, jota vastaa vain yksi ominaisvektori x, on toinen riippumaton ratkaisu, missä (A µi)u = x. y (2) = xte µt + ue µt (86) Kolminkertaisen ominaisarvon µ tapauksessa kolmas lineaarisesti riippumaton ratkaisu on missä (A µi)v = u. y (3) = 1 2 xt2 e µt + ute µt + ve µt, (87) Esimerkki 4.1. Jos lineaarisen differentiaaliyhtälöryhmän kerroinmatriisin A ainut ominaisarvo on 2 ja tätä vastaava ominaisvektori on [1 2] T niin määritä yhtälön ratkaisu. Jos ominaisarvot sattuvat olemaan imaginäärisiä niin lopputuloksena on kompleksiarvoinen ratkaisufunktio. Tässäkin tapauksessa löydetään kuitenkin reaalisia ratkaisuja: Esimerkki 4.2. Osoita että kompleksisen ratkaisun reaaliosan ja imaginääriosan täytyy kelvata myös erikseen ratkaisuiksi. Eli jos λ C ja y = c 1 x (1) e λ 1t + c 2 x (2) e λ 1t on yhtälön y = Ay ratkaisu, niin Re(y) ja Im(y) ovat ratkaisuja. Esimerkki 4.3. Anna esimerkki lineaarisesta vakiokertoimisesta homogeenisesta differentiaaliyhtälöryhmästä jonka kerroinmatriisilla on imaginääriset ominaisarvot ja ratkaise tämä ryhmä. 4.3 Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Tarkastellaan yhtälöryhmiä missä vektori g(t) 0. Yhtälöryhmän (88) yleinen ratkaisu on y = Ay + g, (88) y = y (h) + y (p), (89) 16

missä y (h) (t) on vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän y = Ay ratkaisu ja y (p) (t) on ryhmän (88) erityisratkaisu. Esittelemme seuraavaksi muutaman menetelmän erityisratkaisun löytämiseksi Määräämättömien kertoimien menetelmä: Kuten yksittäistenkin differentiaaliyhtälöiden kohdalla, määräämättömien kertoimien menetelmää voidaan käyttää menestyksekkäästi ainakin tapauksissa kun g:n komponentit ovat t:n kokonaislukupotensseja, eksponenttifunktioita, sinejä tai kosineja tai polynomilla kerrottuja versioita näistä. Lisäksi kerroinmatriisin A on syytä olla vakiokertoiminen jotta menetelmä toimisi. Yritteen rakentamisessa pätevät täsmälleen samat säännöt kuin lineaaristen differentiaaliyhtälöiden yhteydessä: yritteeseen kootaan muuten samantyyppisiä termejä kuin kuin g(t):ssä esiintyy, mutta jos tälläinen termi on jo joko homogeenisessa yhtälössä tai yritteessä itsessään niin silloin täytyy yritettä kertoa muuttujalla. Esimerkiksi jos g:ssä on termi e λt, missä λ on A:n (yksinkertainen) ominaisarvo, yritteenä on kÿtettävä termiä ute λt + ve λt. Parametrien variointimenetelmä Tätä menetelmää voidaan soveltaa myös tapauksiin missä A ei ole vakiomatriisi, eli epähomogeenisiin lineaarisiin yhtälöryhmiin missä A = A(t) ja g(t) on mikä tahansa funktio. y = A(t)y + g(t), (90) Parametrien variointimenetelmä antaa erityisratkaisun y (p) jollain välillä J, jos homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu y (h) = c 1 y (1) + + c n y (n) (91) tunnetaan. Käytetään seuraavaksi muutama rivi menetelmän johtamiseksi. Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisuvektori voidaan kirjoitaa matriisien avulla seuraavasti: c 1 y (1) 1 + + c n y (n) 1 y (1) 1 y (n) 1 c 1 y (h) =. =.. = Y(t)c (92) c 1 y n (1) + + c n y n (n) y n (n) y n (n) c n Korvataan vakiovektori c vektorilla u(t): Sijoitetaan y (p) yhtälöön (90), saadaan Toisaalta homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisut y (p) = Y(t)u(t) (93) Y u + Yu = AYu + g (94) y (1) = Ay (1), y (2) = Ay (2),, y (n) = Ay (n) (95) voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä Y = AY, jolloin yhtälö (94) redusoituu muotoon Yu = g. Matriisilla Y on käänteismatriisi (muistatko miksi?), ja näin ollen u = Y 1 g (96) 17

Integroimalla alkuarvosta t 0 t:hen, saadaan u(t) = t Saadaan yleinen ratkaisu (erityisratkaisu, jos C = 0): t 0 Y 1 ( t)g( t)d t + C (97) t y = Yu = YC + Y Y 1 ( t)g( t)d t. t 0 (98) 18