Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin nähen ajan hetkellä t = π 4. Kun parametri t muuttuu määrällä t, ovat kappaleen x- ja y-koorinaattien ierentiaaliset muutokset (ks. kuva) t 4 origo r(t) aikaväli t t y t 1 t 2 x x = x t = 2 sin t cos t t = sin 2t t t y = y t = sin t t. t Raan tangentin kulmakerroin saaaan näien suhelukuna k tan = y x = sin t t sin 2t t = sin t sin 2t = sin π 4 sin π 2 = 2. Kysytty kulma on siten ( α = arctan ) 1,1 = 64,8 2
Implisiittisen funktion erivointi Implisiittinen erivointi on käytännössä ihan normaalia erivointia yhistetyn funktion erivointikaavaa soveltaen. Muuttujien välinen riippuvuus on implisiittisessä lausekkeessa ratkaisemattomassa muoossa. Jos x ja y ovat keskenään riippuvat muuttujat, voaan implisiittinen esitys kirjoittaa muoossa F (x, y) = 0. Tässä esiintyvä F (x, y) on periaatteessa muooltaan kahen muuttujan funktio. Yhtälö F (x, y) = 0 kuitenkin kytkee x:n ja y:n yhteen. Tällöin y:n voiaan ajatella olevan x:stä riippuva funktio y = y(x). Niinpä efektiivisesti F (x, y) onkin vain x:stä riippuva funktio F (x, y(x)). Implisiittisessä erivoinnissa funktiota F (x, y(x)) erivoiaan symbolisesti yhistetyn funktion erivointisääntöä käyttäen x:n suhteen. Tällöin syntyvää sisäfunktion y(x) erivaattaa merkitään vain symbolisesti y (x). Pyrkimyksenä onkin lopulta kirjoittaa yhtälö, josta erivaatta y (x) voiaan ratkaista x:n ja y:n suhteen. Esimerkit valaisevat menetelmää. Esimerkki 2 Määritä funktioien a) y(x), b) (y(x)) 2, c) xy(x) erivaatat x:n suhteen. Tehtävä on esivalmistelua varsinaiseen implisiittisen funktion erivointiin. a) Funktiossa esiintyy ainoastaan tuntematon ulkofunktio y(x). Derivoinnissa ei ole sinänsä mitään tehtävissä. Kirjoitetaan tulos vain pilkkumerkintää käyttäen. x y(x) = y (x). b) Kyseessä on yhistetty funktio, jossa ulkofunktiona on x 2 ja sisäfunktiona y(x). Käytetään erivoinnissa yhistetyn funktion ketjusääntöä. x (y(x))2 = 2y(x)y (x). On tavanomaista, ettei y:n riippuvuutta x:stä ees merkitä näkyviin, jos asiayhteyestä on selvää, että y on riippuva funktio. Tällöin ylläoleva voiaan kirjoittaa lyhyesti muoossa x y2 = 2yy. c) Kyseessä on funktioien x ja y(x) tulo. Käytetään tulon erivointisääntöä. Lyhyesti merkiten x xy = 1 y + x y = y + xy.
Esimerkki Descartes'n lehtenä tunnettu käyrä on implisiittisessä muoossa x + y 2xy = 0. Käyrä kulkee pisteen (1,1) kautta. Määritä käyrän tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä. Derivoiaan käyrän lauseketta x:n suhteen implisiittisesti. Saaaan x 2 + y 2 y 2y 2xy = 0. Tästä voiaan ratkaista y y (y 2 2x) = 2y x 2 y = 2y x2 y 2 2x. (1) Kulmakerroin selviää, kun tähän lausekkeeseen sijoitetaan kysytyn pisteen koorinaatit x:n ja y:n paikalle. k tan = y = 2 2 = 1. Tangentin kulmakerroin käyrän pisteessä (1, 1) on myös kuvaajan mukaan 1, joten tulos on hyvin sopusoinnussa kuvaajan kanssa. Jatkopohintaa Huomaa, että erivaatan lauseke (1) ei ole määritelty niissä käyrän pisteissä, joissa nimittäjä menee nollaan eli y 2 2x = 0. Käytännössä tällaiset pisteet ovat yleensä tilanteita, joissa käyrän tangentti on pystysuora. Etsitään nämä käyrän pisteet. Ollakseen käyrällä, on pisteen koorinaattien toteutettava myös alkuperäinen
implisiittinen yhtälö. Saamme näin yhtälöparin { x + y 2xy = 0 y 2 2x = 0. Ratkaistaan alemmasta x ja sijoitetaan se ylempään. Saaaan yhtälö ( ) ( ) 2 y2 + y 2 2 y2 y = 0 16 y = 0 y = 27 = 2 2 27 8 y6 2y = 0 ( ) 27 y 8 y 2 = 0 0,84 Pisteessä y = 0 tangentti on pystysuora. Lisäksi käyrä leikkaa itseään, ja on siitäkin syystä patologinen. Myös jälkimmäisessä pisteessä tangentti on pystysuora. Yleensä näistä ongelmapisteistä ei tarvitse paljoa stressata, sillä niien olemassaolo on joko ilmeistä erivaatan lausekkeesta tai ne nähään viimeistään kuvaajasta, joka on aina suositeltavaa piirtää implisiittisten käyrien tapauksessa. Tässä tarkasteltu implisiittinen käyrä ei ole aito yksikäsitteinen funktio. Tiettyjä x:n arvoja vastaa 2 erilaista y:n arvoa. Siitä huolimatta tällä menetelmällä pystytään määrittämään käyrän kuvaajan tangentin kulmakerroin myös tällaisissa alueissa. Implisiittisen erivoinnin menetelmä on siis yleispätevämpi kuin, mitä pelkästään funktiokäsitteen perusteella saattaisi ajatella. Miksi näin on? Seuraava ierentiaalinen tarkastelu pyrkii valottamaan tarkemmin, mistä implisiittisissä yhtälöissä on kyse. Implisiittinen erivointi fyysikon silmin Otetaan tarkasteltavaksi mahollisimman yksinkertainen epätriviaali esimerkki. Olkoon implisiittinen yhtälö xy 1 = 0. (2) Implisiittinen yhtälö kytkee muuttujat x ja y toisiinsa. Jos x on määrätty, asettaa yhtälö ehon, joka periaatteessa määrää y:n arvon. Eri juttu on sitten se, miten kyseinen y:n arvo saaaan ratkaistuksi implisiittisestä yhtälöstä monimutkaisemmissa tilanteissa. Jos x muuttuu pienellä ierentiaalisella määrällä x arvoon x + x, on myös y:n muututtava, jotta yhtälö (2) pitäisi eelleen paikkansa. Olkoon vastaava uusi y:n arvo y + y. Implisiittinen yhtälö tässä uuessa tapauksessa näyttää tältä (x + x)(y + y) 1 = 0, joka sievenee muotoon xy + x y + x y + x y 1 = 0.
Ryhmitellään vielä hieman termejä xy 1 +x y + x y + x y = 0. }{{} =0 Ensimmäinen termi on alkuperäisen yhtälön (2) perusteella nolla. Jäljelläolevista termeistä viimeinen on toisen kertaluvun ierentiaali. Koska ierentiaaliin sisältyy ajatus rajankäynnistä x 0, on kyseinen termi lopulta häviävän pieni verrattuna ensimmäisen kertaluvun termeihin. Näin yhtälö saa muoon x y + x y = 0. Tämä on yksinkertainen esimerkki niin sanotusta ierentiaaliyhtälöstä, joka kytkee kaksi ierentiaalista muutosta toisiinsa. Jakamalla yhtälö puolittain ierentiaalilla x, pääytään samaan yhtälöön, mitä tulee suoraan implisiittisesti erivoimalla x y x + y = 0. Tästä voiaan ratkaista ierentiaalien osamäärä y x = y x. Saatu tulos muistuttaa funktion y erivaatan lauseketta, mutta sen käyttöalue on yleisempi. Kyseessä on kahen toisiinsa kytketyn pienen muutoksen y ja x suheluku, täysin riippumatta siitä, onko suureien välinen yhteys aito funktio. Lisävalaistusta implisiittisiin yhtälöihin saa pohtimalla, miten yhtälön kuvaama käyrä voitaisiin piirtää. Tarkastellaan tässä kahta helppoa intuitiivista menetelmää. Valitaan esimerkiksi yksi x:n arvo. Etsitään jollain numeerisen ratkaisun menetelmällä yksi sitä vastaava y:n arvo. Otetaan saatu piste (x, y) käyrän piirron lähtöpisteeksi. Käyrän kulkua voiaan lähteä seuraamaan käyttämällä käyrän tangenttia talutusnuorana. Määritetään käyrän tangentin kulmakerroin löyetyssä ensimmäisessä pisteessä ja siirrytään pienen pieni matka tangentin suuntaan. Lasketaan tuossa uuessa pisteessä jälleen tangentti ja tehään taas pieni siirtymä uuen tangentin suuntaan. Näin jatkamalla pystytään vaihe vaiheelta hahmottaa käyrän kulkureittiä. Toinen menetelmä on piirtää funktio F (x, y) -ulotteiseen avaruuteen maastokarttana, jonssa maaston korkeus pisteessä (x, y) on z = F (x, y). Nyt ehon F (x, y) = 0 määräämä käyrä vastaa maastokartan rantaviivaa eli reittiä, jonka korkeus xy-tasosta on nolla. Tällaisen tasa-arvokäyrän suuntavektorit voiaan määrittää usean muuttujan ierentiaalilaskennan keinoin.