OY/MFP R6 017 Materiaalifysiikan perusteet 514P Ratkaisut 6, Kevät 017 1. Koska kuvitteellisten materiaalien hila on pkk-hila, niiden käänteishila on tkk-hila ja Brillouin-koppi on Kuvan 1.1 mukainen. Yksivyöhykekuvauksessa kaikkien energiakaistojen energiat voidaan esittää k:n funktiona ensimmäisen Brillouin-vyöhykkeen (eli Brillouinkopin) sisällä. Kuva 1.1 pkk-hilan Brillouin-koppi ja sen tärkeimmät symmetriasuunnat symboleittain. Koska materiaalin sähköisen käyttäytymisen kannalta mielenkiintoisimmat tapahtumat tapahtuvat kahden ylimmän (osittain) miehitetyn energiakaistan (valenssi- ja johtavuuskaista) välillä, niin tarkastelemme yleensä sen vuoksi energiakaistakaavioissa vain valenssikaistan maksimin ja johtavuuskaistan minimin välistä ympäristöä Brillouin-kopissa (Kuva 1.). 1, ev L (a) X K L (b) X K 0,8 ev (c) (d) L X K L X K Kuva 1. Neljän kuvitteellisen pkk-hilan omaavan materiaalin johtavuuskaistan minimienergia ja valenssikaistan maksimienergia aaltoluvun k funktiona Brillouin-kopin pääsymmetriasuunnissa (yksivyöhykekuvaus). 1
OY/MFP R6 017 (a)-kohdan materiaalin valenssikaistan maksimin ja johtavuuskaistan minimin välillä on selvä energiaero, joka on noin 1, ev. Materiaali on todennäköisestä epäsuorarakoinen puolijohde, koska energiarako on pienempi kuin ev. (b)-kohdan materiaalin valenssikaistan maksimi on vähän korkeammalla energialla kuin johtavuuskaistan minimi. Koska kaistojen limittyminen on suhteellisen pientä, niin materiaali on todennäköisestä puolimetalli. (c)-kohdan materiaalin valenssikaistan maksimi on selvästi korkeammalla energialla kuin johtavuuskaistan minimi. Koska kaistojen limittyminen on suhteellisen suurta, materiaali käyttäytyy todennäköisestä johteen tavoin. (d)-kohdan materiaalin valenssikaistan maksimin ja johtavuuskaistan minimin välillä on kohtuullisen selvä energiaero, joka on noin 0,8 ev. Materiaali on todennäköisestä myös epäsuorarakoinen puolijohde, koska energiarako on pienempi kuin ev.
OY/MFP R6 017 Materiaalifysiikan perusteet 514P Ratkaisut 6, Kevät 017. (a) Johtavuuskaistan energia on nyt muotoa E c a + b( k - c) a 3,61 a + b( k J, b 6,5-38 - kc + c Jm, c 1,6 ) bk m - bck + bc -1 + a Koska b > 0, niin Ec:n lauseke kuvaa ylöspäin aukeavaa paraabelia. Valenssikaistan energia on taas muotoa E v f f 1,3 + gk J, g -3,13-38 Jm eli se kuvaa alaspäin aukeavaa paraabelia (koska tekijän k kerroin g < 0). Energiaero kaistojen välillä eli energiarako saadaan vähentämällä johtavuuskaistan minimistä valenssikaistan maksimi. Ääriarvot saadaan derivoimalla. Johtavuuskaista: d Ec 0 dk bk - bc 0 k c min Ec Ec( k c) bc - bc + bc + a a Valenssikaista: d Ev 0 dk gk 0 k 0 max E E ( k 0) f v v Energiarako: E min E g c - max E v a - f 3,61 J -1,3 J,9 J» 1,43 ev (b) (c) Materiaalilla on siis kohtuu pieni energiarako, jolloin korkeaenergiset elektronit voivat virittyä valenssikaistalta johtavuuskaistalle. Materiaali on siis puolijohde, jolla on epäsuora energiarako. Koska energiarako on epäsuora (johdekaistan minimi ja valenssikaistan maksimi sijaitsevat eri k:n arvoilla), elektronin k muuttuu maksimin ja minimin k:n arvojen erotuksen k verran sen siirtyessä johdekaistalta valenssikaistalle. a)-kohdassa nähtiin, että johdekaistan minimi sijaitsee k:n arvolla c ja valenssikaistan maksimi sijaitsee k:n arvolla 0. Tämän vuoksi erotus k c 1,6 m -1 1,6 Å -1. 3
OY/MFP R6 017 4
OY/MFP R6 017 Materiaalifysiikan perusteet 514P Ratkaisut 6, Kevät 017 3. LED:n valmistamiseksi tarvitaan suoran energiaraon omaava puolijohde. aas on suorarakoinen puolijohde, jonka suoran energiaraon arvoa voidaan vielä säätää sopivaksi seostamalla galliumin paikalle alumiinia. Puolijohde lähettää valoa, kun sen johtavuuskaistalta elektroni siirtyy valenssikaistalle. Koska elektronin k ei muutu siirtymässä (suora energiarako), saadaan valokvantin energia suoraan energiaraon suuruudesta. Toisin sanoen tarvitsemamme puolijohteen energiaraon arvon täytyy vastata punaisen valon vastaamaa energiaa. Punaisen (67 nm) valokvantin energia on E ph hf hc l 4,136 evs,998 9 67 m -15-8 ms -1» 1,845 ev Puolijohteen energiaraon täytyy siis vastata tätä kvantin energiaa. E ( x) 1,44 + 1,49x - 0,14x g E ph -0,14x + 1,49x + 1,44-1,845 0-1,49 (1,49) - 4 (-0,14) (-0,41) x (-0,14) 0,30364... 9,90349... Koska x on alumiinin konsentraatio, sen täytyy olla 0:n ja 1:n välillä (eli 0 0 %). Tämän vuoksi vain ratkaisu x 0,3 kelpaa. LED:n tekemiseen tarvitsemamme yhdiste on siten Al0,3a0,7As. 5